三年级奥林匹克数学专题讲解三阶幻方理论A篇和练习B篇
小学奥数专题巧解三阶幻方A
1
2
3
1 6 7
2 5 8
方案二
3 4 9
8
7
9 4 6 5
方案一
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的 位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请 你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、 纵、斜三个方向的三个数之和为36。 3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
5 6
图1 2、将
1 1 1 1 2 3 1 5 7 ， ， ， ， ， ， ， ， 这九 2 3 4 6 3 4 12 12 12
1、幻和=中间数×3 2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2 M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2 3、A=（B+C）÷2 E=（B+D）÷2 F=（G+D）÷2 H=（C+G）÷2
A G E反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九 个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
4 5
图2
6、 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
8
8、 在图3的空格中填入不大于15且互不相同 的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个 数之和都等于30。
5 2
图1
图3
6
9
赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲 三阶幻方
2 7 6 9 5 1 4 3 8
一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的 填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问 题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许 多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称 它为“洛书”。 洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要 求填上1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相 等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2 个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排 在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表 叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. .
三年级奥数教程第12讲三阶幻方
三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
小学数学奥林匹克竞赛三阶幻方(含答案)-
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c de f ghi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15所以：()()()()+++++++++++a e ib e hc e gde f1515151560=+++=也就是：()a b c d e f g h i e360+++++++++⨯=又因为：a b c d e f g h i++++++++=45所以45360+⨯=ee36045⨯=-e=5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
小学奥数三阶幻方讲解归纳(共10张PPT)
试一试
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻方的定义是如何做到的？？ 123456789
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10分 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 4、每“对”数的连线都过“中心” 。 3、幻和等于中间数的3倍。
别填入三阶方格中,每个数只用一次, 小学奥数三阶幻方讲解归纳
为“一对”，4,6 位为“一对”，） 小学奥数三阶幻方讲解归纳
使每一横行、竖列、对角线上三个数 规律4：角上的数字=对角相邻的两数字和的一半
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 为“一对”，4,6 位为“一对”，）
的和都相等. 九子斜排，上下对易，
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 为“一对”，4,6 位为“一对”，）
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三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左右、对
角两个数字的和=中间数×2
规律4：角上的数字=对角相邻的 两数字和的一半
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三 阶
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幻
方 81 6
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小学奥数三阶幻方讲解归纳
三阶幻方
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将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻方
的定义是如何做到的？？
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数的 和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。
4、每“对”数的连线都过“中心” 。
a 小学奥数三阶幻方讲解归纳
规律3:与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2 他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀： 3、幻和等于中间数的3倍。 大数学家杨辉的构造方法： 1、每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，都等于幻和。 小学奥数三阶幻方讲解归纳
小学奥数辅导与练习21三阶幻方
三阶幻方同学们：在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和（3）选择突破口，显然是e，看图2。
因为：所以：也就是：又因为：所以也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
（4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。
我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。
如果a为奇数，因为，所以也是奇数。
因为奇＋奇＝偶。
又因为，所以d与g同是奇数或同是偶数。
分两种情况：<1>当d、g都是奇数时，因为，，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。
这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。
2021年奥数专题专讲三年级第2讲巧填幻方-2
2021 年奥数专题专讲（三年级）
巧填幻方
这些数字，不管横着加，还是竖着加，还是斜着加，和都是 15。 这就是传说中神秘的幻方，由于这个幻方是 3 行 3 列，所以又称之为 3 阶幻方，也称之为 九宫图。 九宫图口诀： “九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。” “四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。” 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵。
3. 爱岗敬业，教书育人 为师者，一言一行都会对学生产生深 远的影响，特别是师范类学生，自己的形象会对他们日后的教学方式、 工作态度产生潜移默化的影响，进而影响到他们的学生。所以，作为 师范要时刻谨记我们面对不是眼前的这一名学生，而是他们背后的几 代人。所以对于自己的爱岗敬业提出了更高的要求，应该以近乎完美 的苛刻标准来要求自己，评判自己的工作，塑造自己形象，要做一个 甘于物质清贫而精神富足的人。
2. 学高为师，身正为范 不但要有崇高的师德，还要有深厚而 扎实的专业知识。要做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识 结构，拓宽知识视野，自己不断的钻研学习，加强对教材的驾御能力 才能提高自己的教学方法，才能在学生心目中树立起较高的威信。因 此，必须树立起终身学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他 人之长来补己之短，才能使自己更加有竞争力和教育教学的能力，才 能以己为范，引导学生保持对知识的惊异与敏锐。
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【名师心得】
1. 因材施教，注重创新 所讲授的每门课程应结合不同专业、 不同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。不仅重视知识的传 授，更要重视学生学习能力、分析和解决问题能力的培养，因为这些 才是学生终生学习的根本。 注重教学过程创新，不仅要体现在教学 模式、教学方法方面，更主要的是体现在内容的创新与扩充、实践环 节的同步改革上。
小学奥林匹克辅导与练习15三阶幻方
三阶幻方同学们：在3 3 （三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 1 —9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在4 4 （四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4 4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几x几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几x几个连续自然数，（注意这几x几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答a|b||cd e fgj h J例1.用1〜9这九个数编排一个三阶幻方。
图1 图2分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和二（1 2 3 4 5 6 7 8 9p- 3=45 亠3-15（3）选择突破口，显然是e,看图2。
因为：a ■ e i b e h c e g=d e f=15所以：（a e i）（b e h）（c e g）（d e f）-15 15 15 15 = 60也就是：（a b c d e f g h i） 3 e = 60又因为：a b c d e f g h i 45所以45 3 e = 603 e = 60-45e = 5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1〜9这九个数中正中间的数。
小学奥数：幻方（一）.专项练习及答案解析[汇编]
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1.会用罗伯法填奇数阶幻方2.了解偶数阶幻方相关知识点3.深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有：①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
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三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方理论A 篇
幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。
一般
地，在n 行n 列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n ⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n 个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的图形叫做n 阶幻方。
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：
幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等
于24。
分析： 解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据
幻和求出第三个数。
例题2 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相
等，若4,16,17,5a l d h ====。
求b 与f 为多少？
分析： 根据幻和相等：a e l c e g b e h d e f ++=++=++=++，这4个算式中都有中间数
e ，所以有：a l c g b h d
f +=+=+=+。
再代入4,16,
17,5a l d h ====即可。
一、知识介绍
二、例题讲解
例题3 编出一个三阶幻方，使其幻和为27。
分析： 先根据幻和求中间数，然后填其他数。
请你试一试：调换数的位置，还可以得到
几种答案？
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上
的三个数的和都相等。
分析： 先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。
例题5 下图中，a g :7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a ”所代表的数
字是多少？
分析： 根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
可
以得到：1218a d f a e g f g d e +++++=+++++，可求得：15a =。
三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方练习B 篇
EX 1 用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
EX 2 用3～11这9个数补全下图中的幻方，并求幻和。
EX 3 下图的三阶幻方中，填入了1～9的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。
现在另有
一个三阶幻方，请选择不同的自然数填入9个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，且每一行、每一列、每一条对角线方格内的三个数的和都相等。
EX 4 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
EX 5 在下图的空格里填入不大于15且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角
线上的三个数的和都等于30。
EX 6 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
EX 7 在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
EX 8把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
EX 9使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。
EX 10请编写下列三阶幻方。
①用6，8，10，12，14，16，18，20，22这九个数构成一个三阶幻方。
②把2，6，10，14，18，22，26，30，34这九个数构成一个三阶幻方。
③把3，5，7，9，11，13，15，17，19这九个数构成一个三阶幻方。