中垂线的性质
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
中垂线性质
中垂线性质中垂线是在平面几何中的一个重要概念，它是一条垂直于给定直线的直线。
中垂线具有一些简单的性质，这些性质为我们提供了有用的信息，有助于我们理解和求解几何问题。
首先，中垂线一定是垂直于被垂直的直线，而且它是唯一的。
如果一条直线有一个中垂线，那么它的每一条垂直的直线都有唯一的中垂线，这些垂直的直线也被称为垂线。
例如，若连接A、B、C显然有一条直线，垂线就是一条垂直于这条连接的直线的直线。
其次，中垂线是对称的，即它们的起点和终点都是对称的，两条中垂线一定具有相同的起点和终点。
若直线上有多个点，则两条中垂线起点和终点位置相同，另外，它们还有一个共同的中点。
此外，中垂线是平行的，即它们在整个图形中都是平行的，不会有任何偏移。
平行的两条中垂线斜率相等，它们的斜率与被垂线的斜率相反。
假设给定直线的斜率为M，则其对应的中垂线的斜率为-1/M。
最后，中垂线有距离性质，指中垂线将给定直线任意一点分成两等长的部分。
因为中垂线是对称的，因此在给定点和中点处，两条中垂线之间的距离也必定相等。
通过以上介绍，我们可以看出，中垂线具有垂直性质、对称性质、平行性质和距离性质，它们还有一个共同的中心点。
这些性质确保了中垂线的几何特性不会发生变化，并且可以使我们更好地利用中垂线来求解几何问题。
例如，假设有一个六边形，它有6条边和6个内角。
我们可以使用中垂线和距离性质来求出它的外角大小，因为对于每两条相邻的边，中垂线之间的距离都是相同的，所以可以认为它们所相连的两个内角也是相同的。
这样一来，六边形的总外角就可以算出来。
另外，我们也可以用中垂线的性质来确定一个三角形的边的类型。
中垂线知识点总结
中垂线知识点总结一、基本概念中垂线是垂直于线段且通过这条线段的中点的直线。
在一个平面上，任意两点之间都可以画出一条中垂线。
中垂线有很多重要的性质和应用，因此在数学中具有重要的地位。
二、中垂线的性质1. 中垂线垂直于所在线段中垂线与所在线段垂直是其最基本的性质之一。
因为中垂线是通过线段的中点，所以可以很容易地证明中垂线与所在线段垂直。
2. 中垂线等分线段中垂线还具有“等分线段”的性质。
即中垂线将线段分成两个相等的部分，这是因为中垂线是通过线段的中点的。
3. 中垂线的长度中垂线的长度可以通过勾股定理来计算。
假设线段的两个端点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则中垂线的长度为√((x2-x1)² + (y2-y1)²)。
4. 中垂线的唯一性对于一个线段，它的中垂线是唯一的。
这是因为通过两个不同的点画出的中垂线一定会相交，而相交的两条直线不能都是垂直的。
5. 中垂线的性质中垂线还有很多其他性质，比如中垂线与垂直平分线段的角度是相等的，中垂线与平行线具有一些特殊的关系等，这些性质在解题过程中会有很多应用。
三、中垂线的应用1. 中垂线的构造在几何构造中，中垂线经常被用来找出一个线段的中点，或者找到某个位置的垂心等。
通过画出线段的中垂线，可以很容易地找到需要的点。
2. 中垂线的证明在解几何问题时，通过中垂线的性质可以进行一些证明。
比如证明一个四边形是菱形，或者证明一个三角形是等腰三角形等，中垂线的性质都可以被用来证明一些结论。
3. 中垂线的计算中垂线的长度可以通过勾股定理进行计算，这在实际问题中有很多应用。
比如计算两点之间的距离，或者计算正方形的对角线长度等都可以用到中垂线的计算。
4. 中垂线的作图通过中垂线可以进行一些作图题目的解决，比如通过中垂线作一个等边三角形，或者通过中垂线作一个矩形等等。
中垂线在作图中有很多应用。
四、中垂线的例题1.已知线段AB的中点为C，通过这两个点画出中垂线。
平面几何中的三角形的中线与垂线关系
平面几何中的三角形的中线与垂线关系在平面几何中，三角形是一种基本的几何形状，它由三条边和三个角组成。
三角形的各个部分和性质在数学中有着重要的地位，而中线和垂线是三角形中两个重要的元素。
本文将探讨平面几何中三角形的中线与垂线的关系。
一、中线的定义与性质在三角形中，中线是指连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
平面几何中的三角形有三条中线，它们都有着一些共同的性质。
1. 三条中线的交点是三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它沿着三条中线的交点平均分布。
重心是三角形的一个重要的几何中心，具有坐标的特性。
2. 三角形的每条中线也被称为三角形的中位线，它将三角形分成两个等面积的三角形。
这意味着，在三角形的各个中线上，从其中一顶点到中线交点的线段与从交点到对边中点的线段所围成的面积相等。
3. 三角形的中线长度相等。
无论是自举型三角形、等腰型三角形还是等边型三角形，它们的中线都有相等的长度。
这一特性可以用来计算未知边长或作为三角形相似的依据。
4. 中线上的交点将中线分成2：1的比例。
三角形的每条中线上的交点将这条中线分成距离较短的线段和距离较长的线段，两者的比例是2：1。
这一性质有时可以用于解决相关的几何问题。
二、垂线的定义与性质在平面几何中，垂线是指与直线、线段或者平面相交成直角的线。
三角形的每条边都可以有垂线。
1. 三角形的高是从顶点向对边作的垂线，它的长度等于两条垂足之间的距离。
每个三角形都有三条高，每条高都有其垂足。
2. 垂线的垂足是该垂线与对边或顶点连接所形成的直角三角形中，对边或顶点对应的那个角的脚。
3. 三角形的三条垂线交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的各个垂线均相交于直角。
4. 垂线的特点还包括垂心到三角形三个顶点的线段长度相等，以及垂心到三角形三边的距离最短。
这些性质在解决三角形相关问题时经常被使用。
三、中线与垂线的关系在平面几何中，中线与垂线有着一些重要的关系。
垂线的概念与性质
149垂线的概念与性质知识点：垂线的定义：两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a. 垂线的性质：1.经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.注：⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角.⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.⑶垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量；垂线段是一条线段，可度量.经典例题：例题1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.答案：D.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.故选：D.例题2 如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）A． 30°B． 34°C． 45°D． 56°答案：B．解析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．例题3 如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（）A． 42°B． 64°C． 48°D． 24°答案：A．解析：利用垂直的概念和互余的性质计算．解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，∴∠PQS=138°﹣90°=48°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT=90°，∴∠SQT=42°．故选A．例题4如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm答案：A．解析：利用垂线段最短分析．解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．例题5已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE,若∠COE=35°，则∠AOD的度数是（）．A．30° B．35° C．40°D． 45°答案：B．解析：已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．解：（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=DOE，∠AOC=∠DOE；∠AOD=∠EOC=35°．∴∠AOD的度数是35°．故选：B．。
中垂线的性质定理与判定定理
M/
求证:PA=PB=PC.
P
证明: ∵ 点A在线段 AB的垂直平分线上 B (已知)
N
C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线 段两个端点距离相等)
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC
做一做 1
尺规作图
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
30o
∵BD平分A BC(已知)
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和 30o 一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.)
C
B
证明题:2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB 平分CAD. 求证:AD∥BC.
线段两个端点距离相等的点,在这
条线段的垂直平分线上).
独立
作业
知识的升华
启航
祝你成功！
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知)
∴ ABC=60o(三角形内角和定理)
两个端点距离相等.
如图,
M
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点
P
(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点距离相等).
逆定理 到一条线段两个端点距离 相等的点,在这条线段的垂直平分
A
C
B
线上. 如图,
N
∵PA=PB(已知),
等边三角形中垂线七大性质简介
等边三角形中垂线七大性质简介
等边三角形中的中垂线（也称为高、中线、角平分线、垂直平分线，因为在等边三角形中这些性质是重合的）具有一系列重要的性质。
以下是等边三角形中垂线的主要性质：
1.高：中垂线是从等边三角形的一个顶点到它的对边（底边）的垂线段。
在
等边三角形中，由于三边相等，三个中垂线（或高）也都相等，并且它们都将底边分为两个相等的部分。
2.中线：中垂线也是底边的中线，即将底边分为两个相等的部分。
在等边三
角形中，三个中线都重合，并且长度相等。
3.角平分线：中垂线还是顶角的平分线。
在等边三角形中，每个角都是60∘，
因此中垂线（或角平分线）将顶角平分为两个30∘的角。
由于三角形的三个角都相等，所以三条角平分线也都重合。
4.垂直平分线：中垂线还垂直平分底边。
这意味着中垂线与底边相交于中点，
并且与底边垂直。
在等边三角形中，由于三边相等，三个垂直平分线也都重合。
5.交点：在等边三角形中，三条中垂线（或高、中线、角平分线）都交于一
点，这个点称为三角形的重心、外心、内心和垂心，并且这些点对于等边三角形来说是重合的。
6.等距性：从等边三角形的任一顶点到其对应边的中垂线的距离（即高）都
相等，这个距离也是等边三角形的高。
7.对称性：等边三角形关于其任一条中垂线都是对称的。
这意味着如果你沿
着中垂线折叠等边三角形，它将完全重合。
综上所述，等边三角形中的中垂线具有多重性质，包括作为高、中线、角平分线和垂直平分线，并且这些性质在等边三角形中是重合的。
有心圆锥曲线焦点弦中垂线的两个性质及应用
＞ ：
，
图４
并且 与椭 圆 的左 准线 ， 切 相
的圆的方程 ；
设 弦 Ａ 的垂 互 平 分 线 与 弦 Ａ 交 于 点 Ｍ ，根 据 性 Ｂ Ｂ
（Ｉ 设 过点 Ｆ且不 与 Ｉ）
坐标轴垂直 的直线交椭 圆于 范围．
２ ：ｅｘ０得圭 ０即Ｇ坐 有 －＜＜，一 ，点 横 ｃ￣ ２
标 的取值范 围为 （ ，） 一 ０．
￣ ＩＩ Ｎ Ｆ
ｓ 丽 Ｉ ｉ Ｉ ＝ … Ｎ Ｍ
２ ３
或
３ 即斜为 或 ． 。倾角 詈等
例 如４ 双线 ＿＝ 焦Ｆ ２ 图， 曲等ｙ１ 点作 过 ２右
椭 圆外切 多边形面积 的最小值 问题
２０ ０ ９年第 ７期
福建中学数学
９
Ｊ
＝
ｃ ＋ ， ＝
ｃ ～ ， ，
点 ，双 曲线在点 Ｐ处 的切 线分别交“ 曲线类 准线” 双
～
一
由以上两式消去 ，化简 整理得 ＋ ＝０．
９／
Ａ
定理
一
２ 如 图 ２ 设 点 Ｐ 是 双 曲 线
，
率 为 ｋ，则 Ａ 方 程 为 ： Ｂ
Ｙ＝七 ＋ｃ ）， 代 入 椭 匠 方 程 整 理 得 ： ｌ
图２
（ ２ 。 ２ ＋２ ａ ｋ Ｘ＋ａ ｃｋ ａ ｋ ＋ｂ ） ｃ ２ 。 一ａＺ ＝０， ｂ
设 （ｌＹ） Ｂ ｘ ， ２ ， １ ， （２ Ｙ ），
＋ ＝ ，
于 是 ＝
，
＝
，
于 。 ＝ 莩 ， 是＝ 吖等
直线 ， 的方程 为 ：
ｃ ２ ｂｋ ｔ ｃ ｄｋ
直线 Ｉ 的方程为 ：
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B
探索并证明线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． 用几何符号表示为： ∵ PA =PB， A ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P
C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ P 这些点能组成什么几何图形？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A，B 的距离都相等；反过来， 与A，B 的距离相等的点都在直线l 上，所以直线l 可以看成与两点A、 A B 的距离相等的所有点的集合．
什么是线段的垂直平分线 2.你能找出线段的对称轴吗？ 3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，„是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，„ 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． 相等． P3 你能用不同的方法验证这一结论吗？ P
F
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
布置作业
教科书习题13.1第6、9题．
解：∵
D
C
E
∵ ∴ ∵
AB =CE，BD =DC，∴ 即 AB +BD =DE ．
AB +BD =CD +CE．
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ P 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平 A 分线上．
课件说明
• 学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理． • 学习重点： 线段垂直平分线的性质及尺规经过已知直线外一点作这 条直线的垂线．
一、创设情境，温故知新
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． P 证明：如图作PC⊥AB 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， A ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． C ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
2
P1 A l B
探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． A l P3 P2 P1 B
探索并证明点到线段两端点的距
离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． l 求证：PA =PB． P A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB， 点P 在l 上．求证：PA =PB． l
P 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， B A C ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB． 用几何语言表示为： 线段垂直平分线的性质： ∵ CA =CB，l⊥AB， 线段垂直平分线上的点与这条 ∴ PA =PB． 线段两个端点的距离相等．
C
B
课堂练习P62 2
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上 ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D 平分线．
C
尺规作图
(P62) 如何用尺规作图的方法经过直线外一点 作已知直线的垂线？ （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 （2）为什么要以大于 DE 的长为半径作弧？ 2 （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C D A K E B
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
B
D
E
C
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平 分 线 上 ， AB ， AC ， CE 的 长 度 有 什 么 关 系 ？ AB+BD与DE 有什么关系？ A AD⊥BC，BD =DC ∴ AD 是BC 的垂直平分线 ∴ AB =AC B 点C 在AE 的垂直平分线上 AC =CE． ∴ AB =AC =CE