圆的综合练习题及答案解析

圆的综合练习题答案

1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.

（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.

∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.

∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分

（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.

∵ AE =2AO =6, AB =4,

∴ 5222=-=

AB AE BE . …………………………………………………3分

∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,

∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ .AE

BE

AD AB = .6

524=AD 即

∴ 5

5

12=

AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC

于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.

（1）求证：FD 是⊙O 的切线；

（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O

半径的长； 证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.

∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.

又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.

∴FD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………2分

（2）连接BC （如图②），

∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥BC 且BC OE 2

1

=

.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG. 图②

∴

2

1

==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.

∴OC ＝6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.

3.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于 点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． （I ）求证：DE 为⊙O 的切线；

（II ）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠=，求DE 的长． 解：（I ）证明：连接AD ，连接OD

AB 是直径，∴BC AD ⊥，

又 ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 的中点． OD AC ∴∥．

DE AC ⊥，DE OD ⊥∴． DE ∴为⊙O 的切线．

（II ）在等腰ABC ∆中，60BAC ∠=，知ABC △是等边三角形．

⊙O 的半径为5，10AB BC ∴==，1

52

CD BC =

=． 53

sin 602

DE CD ∴==

4. 如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径

作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长. （1）证明：连结OC …………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE ＋∠E =900

∵ AB=AE , OB =OC ∴∠CBA =∠E =∠BCO 又∵∠DCE =∠PCB ∴∠BCO ＋∠PCB =900

∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 （2）解：连结AC ………………3分 ∵ AB=AE =5 AB 是⊙O 的直径 BE =6

∴ AC ⊥BE 且EC=BC =3 ∴ AC =4

又 ∵ ∠CBA =∠E ∠EDC =∠ACB =90

°

∴△ EDC ∽△BCA ………………4分

∴

AC DC =AB EC

即4DC =53 ∴ DC =5

12

5分

5.在Rt △ABC 中，∠C=90 ， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线

BD 交AC 于点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，

交BC 于点F

（1）求证:AC 是⊙O 的切线;

（2）联结EF ，求

EF

AC

的值. （1） 证明：连结OD ，-------1分 ∵90C ∠=，∴90DBC BDC ∠+∠=． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠

∴90ODB BDC ∠+∠=，即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径，

∴AC 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分

（2） 解：∵ DE ⊥DB ，⊙O 是Rt△BDE 的外接圆， ∴BE 是⊙O 的直径， 设⊙O 的半径为r ，

在Rt△ABC 中， 22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB =

∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=，∴△ADO ∽△ACB ．

∴

AO OD AB BC =．∴15159r r

-=．

∴458r =．∴454

BE = ·············· 4分

又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=．∴△BEF ∽△BAC

∴4534154

EF BE AC BA ===．……………………………5分

A C

E

O

B

F

D

（第5题）

F

E C

A D o B