2020-2021北京市丰台区高三一模数学【试卷+答案】
北京市丰台区2021届高三数学一模试题(含解析)
北京市丰台区2020届高三数学一模试题（含解析）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则A B =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再求并集即可. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.2.已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】向量(),2a x =，()2,1b =-，//a b ，2(2)4x ∴=⨯-=-故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题. 3.若复数z 满足1zi i=+，则z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，确定对应复平面的点，即可得出答案. 【详解】(1)1z i i i =+=-+，其对应复平面的点为(1,1)-，在第二象限 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 4.圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案. 【详解】圆()2212x y -+=的圆心坐标为(1,0)则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 5.已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和幂函数的单调性求解即可.【详解】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0a b ∴<<331log log 021c =<= b a c ∴>>故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题. 6.“ x >1”是“1x<1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解. 【详解】解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】 【分析】根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论. 【详解】该几何体对应的直观图如下图所示12332ABCS=⨯⨯=；12332ABDS =⨯⨯=； 222(3)7AC =+=，22(3)7AD =+=12332BCDS∴=⨯⨯=，2212(7)162ACD S ∆=⨯⨯-= 则面积等于3的有3个 故选：C【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.8.过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ）A.13B.433 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系以及抛物线的定义得出2AF p =，由直角三角形的边角关系得出A y ，再由直线AB 和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出B y ，结合BFQ AFN ∆∆，对应边成比例，即【详解】设(,),(,)A A B BA x yB x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM = 由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin603A y p p =︒=设直线AB 的方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即332p x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭并代入22y px =中，得：222303p y y p --=，即2A B y y p =-，则233B p y p -== 由于BFQ AFN ∆∆，则||33||3A B y AF p BF y p==⨯=- 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题. 9.将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数B. 02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C. 当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 【答案】D 【解析】 【分析】由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数()g x 的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A 选项；将2x π=-代入函数()g x 的解析式，即可判断B 选项；由余弦函数的性质判断C ，D.【详解】由题意得()sin 2g x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由(0)sin12g πω==，得出cos02πω=则()sin sin coscos sincos 222g x x x x x ππωπωωωωωω⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭对A 项，函数()g x 的定义域为R ，()cos()cos ()g x x x g x ωω-=-==，则函数()g x 为偶函数 对B 项，cos cos 0222g πππωω⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C 项，当5ω=时，()cos5g x x =，由5,2x k k Z ππ=+∈得：,105k x k Z ππ=+∈ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，x 可以取3,,10102πππ，即当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点对D 项，由22,k x k k Z πωππ≤+∈，解得22,,k k x k Z πππωωω⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦则函数()g x 在区间0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减因为()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5ππω≤，解得05ω<≤ 即ω的最大值为5 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.10.已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (],1-∞-C.1,0D. [)1,0-【答案】A 【解析】 【分析】将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =-，则5S =______. 【答案】25 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式求解即可. 【详解】()15555(19)2522a a S ++=== 故答案为：25【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题. 12.若1x >，则函数()11f x x x =+-的最小值为______，此时x =______. 【答案】 (1). 3 (2). 2 【解析】 【分析】 将()11f x x x =+-化为1()111f x x x =-++-，再由基本不等式求解即可. 【详解】1()112(1)131f x x x x =-++-=- 当且仅当111x x -=-，即2x =时，取等号 即函数()11f x x x =+-的最小值为3，此时2x = 故答案为：3；2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.13.已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥） 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面； 对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n的位置关系；对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换： ①对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ②对任意z C ∈，变换：求z 的共轭复数；③对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k ，b 均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可. 【详解】对①，集合A 的补集为集合RA ，集合RA 的补集为集合A ，故①为“回归”变换对②，设z a bi =+，,a b ∈R ，复数z 的共轭复数为z a bi =-，复数z 的共轭复数为()a b i a bi z --=+=，故②为“回归”变换对③，当0x =时，00k b b →⨯+=，b kb b →+，由于k ，b 均为非零实数，则kb b +不一定为0，则③不是“回归”变换 故答案为：①②【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.15.已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】由双曲线渐近线的斜率得出60AOB ∠=︒，进而得出点A 的坐标，根据题意得出椭圆N 的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a 的值.【详解】因为OA 为双曲线2213y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒所以sin 602AD AO ︒==，1cos602OD AO ︒=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF 由椭圆的定义可得12AF AB a +=2a =，解得a =故答案为：12【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a 是解题的关键，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin 3B C 的取值范围.【答案】（1）3a =2）33sin 322B C ∈⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】（1）由余弦定理，即可得出a 的值；（2）由23B C π=-，结合三角恒等变换得sin 3B C sin 3C π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再由C 的范围确定3C π-的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.【详解】解：（1）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得22224224cos 123a π=+-⨯⨯⋅=.所以3a =（2）由3A π=可知，23B C π+=，即23B C π=-. 2sin 3sin 33B C C C π=-⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin 3cos 22C C C =+- 13sin cos 22C C =-sin 3C π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为23B C π+=，所以20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故,333C πππ-∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因此33sin ,322C π-∈-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是33sin 3cos ,22B C -∈-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题. 17.如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【解析】 【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π. 不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π，此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题. 18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（3）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=，1B ξ=，1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=，0B ξ=，0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）337（2）详见解析（3）()()()A C B D D D ξξξ>> 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先求出A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率，得出X 的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列；（3）根据方差的意义进行判断即可.【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，()30310012015037P D ==++.所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. （2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13. X 的所有可能取值为0，1，2，3. ()7222814010339045P X ==⨯⨯==，()3227127214041103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， ()31232171119210331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()31131310339030P X ==⨯⨯==.X 的分布列为：（3）()()()A C B D D D ξξξ>>【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题. 19.已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间1,上存在极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）证明见解析（3）,0【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数()f x 的单调性，进而得出其最小值，即可证明()0f x ≥； （3）分类讨论a 的值，利用导数得出()f x 的单调性，结合题意，即可得出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=. 当()0,1x ∈时，0f x ，()f x 在区间0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 在区间1,上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间0,上的最小值.所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，0f x，()f x 在区间1,上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x'=-. 因为当()1,x ∈+∞时，0g x ，所以()g x 在1,上单调递增.因为()10g a =<， 而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.fx 和()f x 的情况如下：x因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>），点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在；点()Q【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可； （2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=，根据几何关系得出tan tan OQN OMQ ∠=∠，进而得到2OQ ON OM =，设出直线PA ，PB 的方程，得出,M N 的纵坐标，进而得到22201y m x =-，结合()220021y x =-，解出m 的值，求出点Q 的坐标.【详解】解：（1）由题意222211b ca abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(),0Q m因为2OQN OQM π∠+∠=，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQ OM=，所以2OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±）， 因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0011y y x x =--. 令0x =，得001M y y x -=-. 直线PB 的方程为：()0011y y x x -=-+. 令0x =，得001M y y x =+. 因为2OQ ON OM =，所以22201y m x =-.又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()220021y x =-.所以()20222121x m x-==-.即m =.所以存在点()Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题. 21.已知有穷数列A ：12,,,,,k n a a a a （*n ∈N 且3n ≥）.定义数列A 的“伴生数列”B ：12,,,,,k n b b b b ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠⎧=⎨=⎩，，（1,2,,k n =），规定0n a a =，11n a a +=.（1）写出下列数列的“伴生数列”： ①1，2，3，4，5； ②1，1-，1，1-，1.（2）已知数列B 的“伴生数列”C ：1c ，2c ，…，k c ，…，n c ，且满足1k k b c =+（1k =，2，…，n ）.（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i ）证明见解析（ⅱ）所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）【解析】 【分析】（1）根据“伴生数列”的定义求解即可； （2）（i ）设存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==，讨论1k =和21k n ≤≤-，结合“伴生数列”的定义证明即可；（ⅱ）利用反证法得出不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-，再对数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的值进行讨论，当1231b b b ===时，得出所有项的和0S =；当11b =，20b =，31b =时，得出220b c +=与已知矛盾；当11b =，20b =，30b =时，结合“伴生数列”的定义得出所有项的和23n S =，同理可以得出当10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，所有项的和23n S =.【详解】解：（1）①1，1，1，1，1； ②1，0，0，0，1.（2）（i ）由题意，存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21n b b ==，131b b ==.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==（2k =，3，…，1n -）.所以1k b =（1k =，2，…，n ）.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =（1k =，2，…，n ）.综上可知，数列B 中的每一项均为1.（ⅱ）首先证明不可能存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===. 若存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-.由此及（ⅰ）得数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的可能情况如下：当1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =（1k =，2，…，n ）.于是0k c =（1k =，2，…，n ）0k c =.所以所有项的和0S =.当11b =，20b =，31b =时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.当11b =，20b =，30b =时，10c =，21c =，31c =.于是20n b b ==，241b b ≠=.故1n c =，40c =，530b b ==于是110n b b -≠=，51c =，60b =，于是14b b =，25b b =，36b b =，且21n b -=，10n b -=，0n b =.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-=.同理可得10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS =.综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.【点睛】本题主要考查了求数列的前n 项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算的能力，属于难题.。
丰台区2020届高三数学一模试题及答案(word版)
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
2020年北京丰台高三一模数学试卷及答案
，此时 x
．
x 1
13. 已知平面 和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ；② m‖ ；③ m‖l ；
④ n ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖l . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 m‖ n 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
是
．（填上你认为正确的一组序号）
高三数学 参考答案及评分参考
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
C
A
C
D
2020．04
9
10
D
A
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．25
12．3 ；2
13．①④（或③⑥）
14. ①②
3 +1
15. 2
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分）
（C） b a c
（D） b c a
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 3 的有
（A）1 个 （C）3 个
（B）2 个 （D）4 个
8. 过抛物线 C：y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A， B AF
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C：ay22
x2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 2
，点
《附14套高考模拟卷》北京市丰台区2020-2021学年高三第一学期期末练习数学试题含解析
北京市丰台区2020-2021学年高三第一学期期末练习数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．252．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 3．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B．CD4．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．35．已知函数1()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”7．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ） A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-8．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x=-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2±10．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．已知ABC △的面积是12,1AB =,BC =,则AC =（ ） A ．5B ． 1C ．5或1D 12．设实数x 、y满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021北京高三一模数学试卷含答案 东城 西城 朝阳 丰台等
2021北京朝阳高三一模数 学2021．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，}0{|1x B x -=≥，则AB =（A ）{0,1,2,3} （B ）{1,2,3}（C ）{2,3} （D ）{3}（2）如果复数2iib +（b ∈R ）的实部与虚部相等，那么b = （A ）2-（B ）1（C ）2（D ）4（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31a =，918S =，则1a =（A ）0（B ）1-（C ）2-（D ）3-（4）已知圆224x y +=截直线2y kx =+所得弦的长度为k =（A （B ）（C ）2（D ）3（5）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（A ）y =（B ）y x = （C ）12y x =±（D ）2y x =±（6）在ABC △中，若2220a b c ac -++=，则B =（A ）π6（B ）π4（C ）π3（D ）2π3（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（A ）2（B（C（D ）（8）在ABC △中，“tan tan 1A B <”是“ABC △为钝角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且5AF =，则PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为 （A ）8（B）（C（D ）6（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直．当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是 （A ）1（B ）54（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市丰台区2021届高三一模考试数学试题Word版含答案
北京市丰台区2021届高三一模考试数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）.其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5；② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,.（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2021届高三一模考试数学试题参考答案二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①②2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a =. …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-. 因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,，=(211)AM -,,，=(020)BC -,,，=(220)BA -,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, ,令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而2cos 2m n m n⋅<>==⋅,m n .解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意2222112.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,. 所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,. 所以1k b =(12)k n =,,,.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,.综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,.由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,.于是0k c =(12)k n =,,,.所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,.于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23n S = . 综上，所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2020届高三下学期一模考试数学试题 Word版含答案
丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）2020丰台一模 高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. XP1445491990130…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.11 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K . 于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2020届高三数学一模试题(word版含答案)
北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分。
2020年丰台高三一模数学试题及答案
为3. 37
…………4 分
（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守
的概率分别为 3 ，1 ，1 . 10 3 3
X 的所有可能取值为 0，1，2，3.
ak 1，(k ak 1
1,2,K
,n) ，规定 a0 an ,an1 a1 .
（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：
1 1，2，3，4，5； 2 1，−1，1，−1，1.
（Ⅱ）已知数列 B 的“伴生数列” C ： c1,c2,L ,ck ,L ,cn ，且满足 bk ck 1(k 1,2,K ,n) . （i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1； （ⅱ）求数列 C 所有项的和.
，此时 x
．
x 1
13. 已知平面 和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ；② m‖ ；③ m‖l ；
④ n ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖l . 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 使 得 m‖ n 成 立 . 这 两 个 论 断 可 以
是
．（填上你认为正确的一组序号）
（Ⅰ）当 b 2 时，求 a ；
（Ⅱ）求 sin B 3 cos C 的取值范围.
17.（本小题共 14 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 M ABCD 中， AB‖CD ， ADC BM C 90 ，
M B M C ， AD DC 1 AB 2 ，平面 BCM 平面 ABCD . 2
丰台区高三数学一模考试试题 第 4 页/ 共 12页
丰台区 2019~2020 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 参考答案及评分参考
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
2022年丰台区高三一模数学试题+答案
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2022.03 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（A ）{|11}x x -<<（B ）{|11}x x -<≤（C ）{|22}x x -<<（D ）{|22}x x -<≤2．已知命题p ：2110x x ∃>->,，则p ⌝是（A ）2110x x ∀>->, （B ）2110x x ∀>-,≤ （C ）2110x x ∃>-,≤（D ）2110x x ∃-≤,≤3．已知复数，则“”是“为纯虚数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4．已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（A ）4（B ）3（C ）2（D ）15．若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（A ）15（B ）14（C ）158（D ）786．在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠= （A ）6π （B ）3π （C ）56π （D ）或7．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者.则这6位志愿者不同的分配方式共有 （A ）19种 （B ）20种 （C ）30种 （D ）60种8. 已知F 是双曲线22:148C x y -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（A ）（B ）（C ）（D ）{|12}A x x =-<≤{|21}B x x =-<≤AB =i ()z a b a b =+∈R ,0a =z 6π56π32269. 已知函数32()3x x a f x x x x a -<⎧=⎨-⎩,,,≥无最小值，则的取值范围是（A ）（B ）（C ） （D ）10. 对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为，且12100n a a a +++=，则n 的最小值为 （A ）8（B ）9（C ）10（D ）11第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.函数()lg f x x =的定义域是 ． 12. 已知向量(23)=-,a ，(6)x =-,b .若ab ，则=x ．13. 已知函数()f x 的定义域为[01],.能够说明“若()f x 在区间[01],上的最大值为(1)f ，则()f x 是增函数”为假命题的一个函数是 ．14. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为 ；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(02),，则||FM = ．15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN③存在点，使得11=90B PD ∠︒； ④△1PDD其中所有正确结论的序号是 ．a (1]-∞-,(1)-∞-,[1)∞,+(1)∞,+*N m ∈{}n a 2m m P P1B三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共13分）已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．17.（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD 中，ABCD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥． （Ⅰ）求证：DF平面BCE ；（Ⅱ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DP DF的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共14分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的X A DCBEF人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的(098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s .当为何值时，2s 最小.（结论不要求证明）19.（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（）的左、右顶点分别为，，且||4AB =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点M N ，.若||4MN ≤，求点横坐标的取值范围．20.（本小题共15分）已知函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.（本小题共14分）已知集合{12}S n =,,,(3n ≥且n ∈*N ），12{}m A a a a =,,,，且A S ⊆.若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集.（Ⅰ）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,； ②2{245}A =,,. （Ⅱ）若123{}A a a a =,,是{127}S =,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值； （Ⅲ）若12{}m A a a a =,,,是{12}S n =,,,(3n ≥且n ∈*N ）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++≥，并指出等号成立的条件. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）X ()E X a a 0a b >>A B C P C A B PA PB 4x =P北京市丰台区2021---2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案2022．03二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．(02], 12．4 13．21()()4f x x =-（答案不唯一）14．(10),；5 15．①③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共13分） 解： 选择条件①②：（Ⅰ）由条件①及已知得，所以.由条件②得， 所以，即sin 0ϕ=. 解得π()k k ϕ=∈Z . 因为||2ϕπ<， 所以， 所以.经检验符合题意.………………6分（Ⅱ）由题意得，化简得.因为，所以ππ2π2663x +≤≤， 所以当ππ262x =+，即时，. ………………13分2ππT ω==2ω=()()f x f x -=-(0)0f =0ϕ=()f x sin 2x =0ϕ=()sin 2sin(2)3πg x x x =++())6πg x x =+0π4x ≤≤6πx =()g x选择条件①③：（Ⅰ）由条件①及已知得，所以.由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ， 解得π()k k ϕ=∈Z . 因为||2ϕπ<， 所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由题意得，化简得.因为， 所以ππ2π2663x +≤≤， 所以当，即时，. ………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形.所以DF CE ‖.因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ． ………………4分（Ⅱ）线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系. 设，则，， ，，，． 2ππT ω==2ω=0ϕ=()f x sin 2x =()sin 2sin(2)3πg x x x =++())6πg x x =+0π4x ≤≤62ππ2x +=6πx =()g x DF P AE BCP 56A xyz -2AB =(000)A ,,(020)B ,,(110)C ,,(100)D ,,(011)E ,,(001)F ,,所以，，,. 设，则. 设平面的一个法向量为，所以 即 令，则，.于是． 设直线和平面所成角为， 由题意得， 整理得， 解得或. 因为， 所以，即. 所以线段上存在点，当时，直线和平面所成角的正弦值为. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯. ……4分 （Ⅱ）由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为. 用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为.随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 所以，， ，(011)AE −−→=,,(110)BC −−→=-,,(120)BD −−→=-,,(101)DF −−→=-,,(01)DP DF λλ−−→−−→=≤≤(12)BP BD DP BD DF λλλ−−→−−→−−→−−→−−→=+=+=--,,BCP ()=x,y,z n 00BC BP −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩,,n n 0 (1)20.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩,x λ=y λ=1z λ=+(1+)λλλ,,n =AE BCPθ||5sin |cos |6||||AE AE AE θ−−→−−→−−→⋅=〈〉===⋅,n n n 232270λλ-+=13λ=7λ=01λ≤≤13λ=13DP DF =DF P 13DP DF =AE BCP 561000200110005=15X 00331164(0)()(1)55125P X C ==-=1231148(1)()(1)55125P X C ==-=2231112(2)()(1)55125P X C ==-=.所以的分布列为64481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………11分 （Ⅲ）.……………14分19．（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意得22224a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，, 解得24a =，21b =.所以椭圆的方程是2214x y +=. ……………….5分（Ⅱ）设()P m n ,（22m -<<），由已知得(20)A -,，(20)B ,，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--. 令，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-.因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=. 因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤. 所以22(4)4(4)m m ---≤.整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤. 3303111(3)()(1)55125P X C ==-=X 42a =C 4x =24(4)4n m m -=-所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，. ……………….15分20.（本小题共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =.因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),.故切线方程为y x =. ……………….5分（Ⅱ）因为2()3ag x =()x a ≤，所以()g x '令()0g x '=，解得23ax =.当0a ≤时，由x a ≤,得230a x a --≥≥， 所以()0g x '≥，则在定义域(]a -∞,上是增函数. 故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去.当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减， 当23a x =时，()g x 取得最大值2()3a g=.若03a <≤时，2()03a g ，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2()03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<, 由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意.()gx综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，. ……………….15分21．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）①因为1235+=≤，又13A ∉,所以1A 不是S 的3元完美子集.②因为2245+=≤，且24A ∈,而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集. ……………….4分（Ⅱ）不妨设123a a a <<.若11a =，则112a a A +=∈,123A +=∈,134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时123+12a a a +=. 若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥.综上，123+a a a +的最小值是12. ……………….8分（Ⅲ）证明：不妨设12m a a a <<<.对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥, 否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤. 由12m a a a <<<，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+≤.所以121i i i m i a a a a a a +-+++,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,， 该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾. 所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥. 于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥.即12(1)2m m n a a a ++++≥. 等号成立的条件是111n a m +=∈+*N 且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤. ……………….14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。