专题6.1 与圆有关的性质-2021年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合(一)
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：
圆的综合（一）
1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是 cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．
2．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）①设OB＝2，求EC的长； ②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）连结AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．
4．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式 ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．
5．定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．
（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；
2021年中考数学 一轮专题训练：圆的有关性质(含答案)
1 / 17 2021中考数学 一轮专题训练：圆的有关性质
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，在⊙O中，AB︵＝CD︵，∠1＝45°，则∠2等于(
)
A．60° B．30° C．45° D．40°
2. 如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，CD⊥AB.若∠DAB＝65°，则∠BOC等于(
)
A．25° B．50°
C．130° D．155°
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD︵上一点，且DF︵＝BC︵，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
4. 2019·赤峰 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )
2 / 17 A．30° B．40° C．50° D．60°
5. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(
)
A．AP＝2OP B．CD＝2OP
C．OB⊥AC D．AC平分OB
6.
如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4
D. 5
7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2
3，则a的值是(
)
A．2 B．2＋2
C．2 3 D．2＋3
8. 2020·武汉模拟 小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶3 / 17 高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为(
数学中考一轮复习学案 第24节 圆的有关概念与性质（含解析）
1
第四章 图形的性质 第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为半径 ．
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作 无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个圆．
(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中 对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．
■知识点二：垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■知识点三： 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
2 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质
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基础知识
知识点一、圆的有关概念
1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.
②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；
2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．
3.确定圆的条件
确定一个圆有两个基本条件
①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．
经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念
1. 弦与直径：
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．
②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.
2. 弧与半圆
①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，
②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．
③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．
④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.
知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系
1. 圆的旋转不变性 - 2 - / 14 把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
知识点四、垂径定理
1. 圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2021年 中考数学 专题训练：与圆有关的性质(含答案)
1 / 14 2021 中考数学 专题训练：与圆有关的性质
一、选择题
1. 如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(
)
A．50° B．55° C．60° D．65°
2. 已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O内一点，则OP的长可能是( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
3. 下列语句中不正确的有( )
①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于 (
)
A.55° B.60° C.65° D.70° 2 / 14
5. 2019·赤峰 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为(
)
A．30°
B．40° C．50°
D．60°
6. (2019•广元)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，ODAC于点D，连接BD，BC，且10AB，8AC，则BD的长为
A．25 B．4
C．213 D．4.8
7. 下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形的四个顶点在同一个圆上；③平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有( )链接听P37例3归纳总结
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8. 如图，在⊙O中，AB︵所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB︵3 / 14 上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(
)
A．30° B．45° C．55° D．60°
9. (2019•镇江)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DCCB．若110C，则ABC的度数等于
九年级数学中考一轮复习 微专题二讲义：圆的基本性质
1 微专题二：圆的基本性质
【知识点扫描】
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是
对称图形， 是它的对称中心.
3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的
垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
6. 半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 .
7.圆内接四边形的对角 ．
8.圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为
，n°的圆心角所对的弧长为 ，弧长公式为 .
9.圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为
S= ×πr2 = = .
10.圆锥的侧面积公式：S=rl.（其中为 的半径，为 的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
【难点突破】
重难点1 垂径定理及其应用
一．选择题：
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙55tanE；⊙4956DEFS；其中正确的是( )
A. ⊙⊙ B. ⊙⊙ C. ⊙⊙ D.⊙⊙⊙
二、填空题：
2 1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为 ．
三、解答题：
1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．
中考数学专题复习圆
第六章 圆
第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
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专题30 圆的基本性质
【知识要点】
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以𝐴、𝐵为端点的弧记作𝐴𝐵⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造𝑅𝑇△，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 2 / 27
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑷ 圆心；
⑸ 半径，
⑹ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
与圆有关的位置关系-2022年中考数学一轮复习满分突破精讲精练(全国通用) (解析版)
2.19 与圆有关的位置关系
一、点与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
（1）点在圆内dr；
（2）点在圆上dr；
（3）点在圆外dr；
2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
二、直线与圆的位置关系
1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
（1）直线与圆相交（图1）dr有两个交点；
（2）直线与圆相切（图2）dr有一个交点；
（3）直线与圆相离（图3）dr无交点；
2、相关概念：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离，
（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3、相关定理： 知识回顾 （1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
三、圆和圆的位置关系
1、设两圆的半径分别为R、r（R>r），圆心距为d，则
（1）两圆外离（图1）dRr无交点；
（2）两圆外切（图2）dRr有一个交点；
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：圆的有关性质(附答案)
1 / 28 2021年九年级数学中考一轮复习中考真题演练：圆的有关性质（附答案）
1．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
2．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D（mm）用科学记数法可表示为（ ）mm．
A．4×104 B．0.4×105 C．20000 D．4×102
3．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ） 2 / 28
A．cm B．cm C．cm D．4cm
5．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
6．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
3 / 28 A．54° B．27° C．36° D．108°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）