PID控制算法

PID （Proportional Integral Differential ）控制是比例、积分、微分控制的简称。

在自动控制领域中，PID 控制是历史最久、生命力最强的基本控制方式。

PID 控制器的原理是根据系统的被调量实测值与设定值之间的偏差，利用偏差的比例、积分、微分三个环节的不同组合计算出对广义被控对象的控制量。

图1是常规PID 控制系统的原理图。

其中虚线框内的部分是PID 控制器，其输入为设定值 )(t r 与被调量实测值)(t y 构成的控制偏差信号)(t e :)(t e =)(t r -)(t y (1)其输出为该偏差信号的比例、积分、微分的线性组合，也即PID 控制律：])()(1)([)(0⎰++=tDIP dtt de T dt t e T t e K t u (2)式中，P K 为比例系数；D T 为积分时间常数；D T 为微分时间常数。

根据被控对象动态特性和控制要求的不同，式(2)中还可以只包含比例和积分的PI 调节或者只包含比例微分的PD 调节。

下面主要讨论PID 控制的特点及其对控制过程的影响、数字PID 控制策略的实现和改进，以及数字PID 控制系统的设计和控制参数的整定等问题。

1．PID 控制规律的特点 （1）比例控制器比例控制器是最简单的控制器，其控制规律为0)()(u t e K t u P += (3) 式中，Kp 为比例系数；0u 为控制量的初值，也就是在启动控制系统时的控制量。

图2所示是比例控制器对单位阶跃输入的阶跃响应。

由图2可以看到，比例控制器对于偏差是及时反应的，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用使被控量朝着减小偏差的方向变化，控制作用的强弱取决于比例系数Kp 。

图2 比例控制器的阶跃响应比例控制器虽然简单快速，但对于具有自平衡性（即系统阶跃响应终值为一有限值）的被控对象存在静差。

加大比例系数Kp 虽然可以减小静差，但当Kp 过大时，动态性能会变差，会引起被控量振荡，甚至导致闭环系统不稳定。

（2）比例积分控制器为了消除在比例控制中存在的静差，可在比例控制的基础上加上积分控制作用，构成比例积分PI 控制器，其控制规律为00)(1)()(u dt t e T t e K t u ti P +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰ 式中， 称为积分时间。

图3所示为PI 控制器对单位阶跃输入的阶跃响应。

PI 控制器对偏差的作用有两个部分：一个是按比例部分的成分，另一个是带有累积的成分（即呈一定斜率变化的部分），这就是积分控制部分的作用。

只要偏差存在，积分将起作用，将偏差累计，并对控制量产生影响，即偏差减小，直至偏差为零，积分作用才会停止。

因此，加入积分环节将有助于消除系统的静差，改善系统的稳态性能。

显然，如果积分时间太大，则积分作用减弱，反之则积分作用较强。

增大，将使消除静差的过程变得缓慢，但可以减小系统的超调量，提高稳定性。

必须根据被控对象的特性来选定，如对于管道压力、流量等滞后不大的对象，可以选得小些，对温度、成分等滞后比较大的对象，可以选得大些。

（3）比例积分微分控制器积分调节作用的加入，虽然可以消除静差，但其代价是降低系统的响应速度。

为了加快控制过程，有必要在偏差出现或变化的瞬间，不但要对偏差量做出反应（即比例控制作用），而且要对偏差量的变化做出反应，或者说按偏差变化的趋势进行控制，使偏差在萌芽状态被抑制。

为了达到这一控制目的，可以在PI 控制器的基础上加入微分控制作用，即构造比例积分微分控制器（PID 控制器）。

PID 控制器的控制规律为])()(1)([)(0⎰++=tdiP dtt de T dt t e T t e K t u 式中，d T 称为微分时间。

理想的PID 控制器对偏差阶跃变化的响应如图4所示，它在偏差变化的瞬间处有一个冲激式的瞬态响应，这就是由微分环节引起的。

图4 理想PID 控制器的阶跃响应由微分部分的控制作用dtt de T K u d p d )(= (6)可见，它对偏差的任何变化都会产生控制作用，以调整系统的输出，阻止偏差的变化。

偏差变化越快，控制量就越大，反馈校正量就越大。

故微分作用的加入将有助于减少超调量，克服振荡，使系统趋于稳定。

微分作用可以加快系统的动作速度，减小调整时间，改善系统的动态性能。

2．数字PID 控制算法在连续生产过程控制系统中，通常采用如图1所示的PID 控制，其对应的传递函数表达式为)11()()(s T sT K s E s U d i p ++= (7)对应的控制算法表达式为 ])()(1)([)(0⎰++=tdiP dtt de T dt t e T t e K t u (8) 式中，P K 为比例增益；i T 为积分时间常数；d T 为微分时间常数；)(t u 为控制量；)(t e 为被控量与设定值 )(t y 的偏差。

为了便于计算机实现PID 算法，必须将式(3)改写为离散（采样）式，这可以将积分运算用部分和近似代替，微分运算用差分方程表示，即∑⎰=≈kj tj Te dt t e 0)()((9)Tk e k e dt t de )1()()(--≈(10) 式中，T 为采样周期；k 为采样周期的序号（k=0,1,2...）；和分别为第和第k 个采样周期的偏差。

将式(9)和式(10)代入式(8)可得相应的差分方程，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧--++=∑=)]1()([)()()(0k e k e T T j e T Tk e K k u dkj iP (11)式中，)(k u 为第 k 个采样时刻的控制量。

如果采样周期T 与被控对象时间常数比较相对较小，那么这种近似是合理的，并与连续控制的效果接近。

模拟调节器很难实现理想的微分dt t de /)(，而利用计算机可以实现式(10)所表示的差分运算，故将式(11)称为理想微分数字PID 控制器。

基本的数字PID控制器一般具有以下两种形式的算法。

图5 位置型算法流程图(1)位置型算法模拟调节器的调节动作是连续的，任何瞬间的输出控制量 u 都对应于执行机构（如调节阀）的位置。

由式(11)可知，数字控制器的输出控制量)(ku也和阀门位置相对应，故称为位置型算式（简称位置式）。

相应的算法流程图如图5所示。

由图5可以看出，因为积分作用是对一段时间内偏差信号的累加，因此，利用计算机实现位置型算法不是很方便，不仅需要占用较多的存储单元，而且编程也不方便，因此可以采用其改进式——增量型算法来实现。

（2）增量型算法根据式(11)不难得到第（k-1）个采样周期的控制量，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧---++-=-∑-=)]2()1([)()1()1(1k e k e T T j e T Tk e K k u dk j iP (12) 将式(11)与式(12)相减，可以得到第k 个采样时刻控制量的增量，即)]2()1(2)([)()]1()([)]2()1(2)([)()1()()1(-+--++--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--++--=-∆k e k e k e K k e K k e k e K k e k e k e T T k e T Tk e k e K k u d i P d i P (13)式中，p K 为比例增益；i K 为积分系数，i p i T T K K /=；d K 为微分系数，T T K K d p d /=。

由于式(13)中对应于第k 个采样时刻阀门位置的增量，故称式(13)为增量型算式。

由此，第k 个采样时刻实际控制量为)()1()(k u k u k u ∆+-=（14）为了编写程序方便，将式(13)改写为)2()1()()(210-+-+=∆k e q k e q k e q k u（15）式中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=T T T T K q d i p 10 ；⎪⎭⎫⎝⎛+-=T T K q dp 211；T T K q d p =1。

由此可见，要利用)(k u ∆和)1(-k u 得到)(k u ，只需要用到)1(-k e , )2(-k e 和)1(-k u 三个历史数据。

在编程过程中，这三个历史数据可以采用平移法保存，从而可以递推使用，占用的存储单元少，编程简单，运算速度快。

增量型算法的程序流程图如图6所示。

增量型算法仅仅是在算法设计上的改进，其输出是相对于上次控制输出量的增量形式，并没有改变位置型算法的本质，即它仍然反映执行机构的位置开度。

如果希望输出控制量的增量，则必须采用具有保持位置功能的执行机构。

数字PID 控制器的输出控制量通常都是通过D/A 转换器输出的，在D/A 转换器中将数字信号转换成模拟信号（4～20 mA 的电流信号或0～5 V 的电压信号），然后通过放大驱动装置作用于执行机构，信号作用的时间连续到下一个控制量到来之前。

因此，D/A 转换器具有零阶保持器的功能。

图6 增量型算法流程图。