第17章 勾股定理小结与复习
第十七章 小结与复习
勾股定理的验证 全品27页5题：
C
b
a
b a
勾股定理的验证
D 全品27页6题： C c b
C’
B’
美国总统证法：
D’
A a B
S梯形ABCD
1 1 1 2 (a b)( a b) ab 2 c 2 2 2
∴a ² +b ² =c²
勾股定理及其应用：勾股数 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都 是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是2，4，1，3．求最大正方形E 的面积． SF= SA+ SB = 6
5、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半 径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯 口外面至少要露出4.6㎝，问吸管至少要做 17.6 ______cm 。
5题变式： 如图，将一根 24cm 的筷子，置于底面直径 为 15cm ，高 8cm 的圆柱形水杯中，设筷子 露在杯子外面的长度为 hcm，则 h的取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范 围是（ D ） A、h≤17cm B、h≥8cm C、15cm≤h≤16cm D、7cm≤h≤16cm
八年级
下册
第17章 勾股定理 小结与复习
• 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理， 进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在 距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与 它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定 理解决简单的实际问题．
• 学习目标： 1．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知 识结构； 2．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程， 体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在 解决数学问题中的作用. • 学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用．
9题变式：题单14题
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
17章勾股定理小结与复习(课件)
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系?
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法?
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三
角形?你作判断的依据是什么?
4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法?
5.一个命题成立，它的逆命题未必成立。请举例说明.
知识点梳理： 一、勾股定理
A
A
17
17
10
8
B
D
C
10
B
C
本章思想方法： 二、方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的
等量关系，利用勾股定理列方程。
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿
直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
∆ SAB，其中SA=SB，AB是圆维底面圆O的直径，已知SA=7cm,AB=4cm,
求截面∆SAB的面积.
∆ =
考题分类：
[题型一]：勾股定理的实际应用
教材38页复习题17
3.如图，车床齿轮箱党要钻两个圆孔，两孔中心的距离是 134 m，两
孔中心的水平距离是77mm.计算两孔中心的垂直距离(结果保留小数点后
[题型二]：勾股定理的直接应用
教材38页复习题17
7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2 +1和2 -1，求斜边c的
长.
c=
8.如图，在∆ABC中，AB=AC=BC，高AD=h.求AB
AB=
考题分类：
[题型三]：勾股定理的逆定理应用
教材38页复习题17
5.一个三角形三边的比为1: :2，这个三角形是直角三角形吗?
第十七章 勾股定理小结与复习
第十七章 勾股定理小结与复习知识梳理1.勾股定理（1）内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么________，即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________.（2）表示方法：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2. 温馨提示：①勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系；②勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. （3）应用：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边. 2.勾股定理的逆定理（1）内容：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是直角三角形.（2）应用：判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为_________.考点呈现考点1 勾股定理例1 如图1，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形， 连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上 的高是错误！未找到引用源。
___________.解析：由题意知，B ，C 分别为EF ，FD 的中点，所以S △ABC= S 正方形AEFD ﹣S △AEB ﹣S △BFC ﹣S △CDA =2×2-2121⨯⨯-1121⨯⨯- 2121⨯⨯=23.又BC=21122=+，所以△ABC 中BC 边上的高是23．故填23或错误！未找到引用源。
．考点2 勾股定理的逆定理例2 如图2，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形 的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接AC ，因为每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，所以分别由勾股定理求得AC 2＝5，BC 2＝5，所以AC ＝BC .又AB 2＝10，所以AC 2+BC 2＝AB 2，所以△ABC 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°，图1CBA图2故选C.考点3 勾股定理的实际应用例3 如图3，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．600 mB ．500 mC ．400 mD ．300 m解析：因为BC ∥AD ，所以∠DAE=∠ACB.因为BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，所以∠ABC=∠DEA=90°. 又AB=DE=400，所以△ABC ≌△DEA. 所以EA=BC=300. 在Rt △ABC 中，AC=50022=+BC AB ，所以CE=AC ﹣AE=200.从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700；②BC+CE= 500.所以最近的路程是500 m ．故选B ． 考点4 确定最短线路例4 如图4，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为5 cm ，若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm ；如果从P 点开始经过4个侧面绕n 圈到达Q 点，那么所爬行的最短路径长为＿＿＿＿＿cm.图4 图5分析：这是求立体图形上两点间的最短路线问题，需要将立体图形展开，转化为平面图形，然后利用两点之间线段最短求解．解：如图5是长方体的侧面展开图，其中OP =4×2+2×2=12，OQ =5．在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ =22OP OQ +=22125+=13(cm )；如果从P 点开始经过4个侧面绕n 圈到达Q 点，则OP =（4×2+2×2）n=12n. 在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ =22OP OQ +=251445)12(222+=+n n （cm ）.故填13，251442+n .图3误区点拨一、错在添加条件例1 在△ABC 中，三边的长分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，c 为质数，求c. 错解:由勾股定理，得.5432222=+=+=b a c剖析:因△ABC 是一般三角形，故不能用勾股定理来解，只能根据三角形的三边关系定理来解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的.造成错解的原因是受“勾3股4弦5”思维定势的影响.正解：由三角形的三边关系定理，得b-a ＜c ＜b+a ，即4-3＜c ＜4+3，则1＜c ＜7.因为c 为质数，所以c=2，或c=3，或c=5.二、未弄清最大边，出现错判例2 △ABC 中，已知a=n 2-1,b=n 2+1,c=2n(n ＞1)，试判断△ABC 是否为直角三角形.错解:因为a 2+ b 2=（n 2-1）2+（n 2+1）2=n 4-2n 2+1+n 4+2n 2+1=2n 4+2,而c 2=(2n)2=4n 2,所以a 2+ b 2≠c 2.故这个三角形不是直角三角形.剖析：错因在于没有弄清楚哪条边是最大边,只是简单地考查了其中两边的平方和是否等于第三边的平方就得出结论.在运用勾股定理的逆定理判断能否组成直角三角形时,应先确定最大边,再考查最大边的平方是否等于其他两边的平方和.正解: 因为n ＞1，所以b ＞a ，b ＞c.又a 2+c 2=（n 2-1）2+(2n)2=n 4+2n 2+1，b 2=（n 2+1）2=n 4+2n 2+1，所以a 2+c 2=b 2.故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.三、忽视分类讨论，出现漏解例3 等腰三角形中，一边长是6，另一边长是8，求一腰上的高．错解：如图1，作BD ⊥AC 于点D ，则在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD)2，所以82－AD 2＝62－(8－AD)2，则AD＝234，所以BD ＝22AB AD -＝222384⎛⎫- ⎪⎝⎭＝16495．剖析：对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因是只对图1中的一种情况计算，而忽视了如图2的情形．正解：分两种情况讨论：①若以6 cm 为底，8 cm 为腰，则如图1，得BD ＝16495； ②若以8 cm 为底，6 cm 为腰，则如图2，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，分别由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝BC 2－CD 2，即AB 2－AD 2＝BC 2－(AC －AD)2，所以62－AD 2＝82－(6－AD)2，则AD8图1 A D C B 6 图2B D C6 8 A＝23，所以BD ＝22AB AD -＝22263⎛⎫- ⎪⎝⎭＝9320．所以一腰上的高为16495或9320.勾股趣题一、鸟儿捉鱼（11世纪阿拉伯民间趣题）小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵棕榈树之间的距离是50尺，每棵树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离较高的棕榈树根有多远？分析：在Rt △ABE 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2，AE 2＋BE 2＝AB 2．于是，由AB ＝AC ，即AB 2＝AC 2可列方程求解．解：如图1，CD ＝20尺，BE ＝30尺，DE ＝50尺．设所求的距离AE=x 尺，则AD=（50－x ）尺.根据勾股定理，得AB 2＝302＋x 2，AC 2＝202＋（50－x ）2． 因为飞行速度相同，又同时到达，所以AB ＝AC ．所以302＋x 2＝202＋（50－x ）2，解得x ＝20．所以这条鱼出现的地方与较高的棕榈树根的距离为20尺． 二、孔雀捕蛇（12世纪印度趣题）有一根木柱，木柱下有一个蛇洞．柱高15尺，柱顶站有一只孔雀，孔雀见一条蛇正向洞口游来，现在与洞口的距离还有三倍柱高．就在这时，孔雀猛地向蛇扑过去．问在离蛇洞多远处，孔雀与蛇相遇？（假定孔雀与蛇的速度相同）分析：如图2，假设蛇自D 点向洞口C 爬去，孔雀从柱顶B 向蛇扑去，它们相遇于A 处，若设蛇与孔雀相遇时离洞口x 尺，则AD ＝3×15－x ＝45－x ．由AB ＝AD ，在Rt △ABC 中应用勾股定理便可列方程求解． 解：如图2，设离蛇洞x 尺处孔雀与蛇相遇，则AD=（45－x ）尺，AB ＝AD ．由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋152＝（45－x ）2，解得x ＝20． 所以在离蛇洞20尺处孔雀与蛇相遇．三、折竹抵地（源自《九章算术》） 今有竹高一丈（1丈=10尺），末折抵地，去本三尺（竹尖与根之间相距三尺）．问折者高几何（即折后直立的竹子高为多少）？分析：将问题转化为图3，在Rt △ABC 中，应用勾股定理求解．解：因为AB 2－AC 2＝BC 2＝32＝9，所以（AB ＋AC ）（AB －AC ）＝9．因为AC ＋AB ＝10，所以AB －AC ＝109，即AB ＝109＋AC ．所以AC ＋109＋AC ＝10， B CE D A图1BC DA 图 2 CB A 图3解得AC ＝4.55．所以折后直立的竹子高为4.55尺．跟踪训练1.三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是 （ ）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形2.一个直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长是 （ ）A.5B.13C.7D. 5或133.Rt△ABC 中，∠C =90°，若a+b=14 cm ，c=10 cm ，则Rt△ABC 的面积是 （ ）A.24 cm 2B.36 cm 2C.48 cm 2D.60 cm 24.在△ABC 中，∠C=90°，（1）已知 a=2.4，b=3.2，则c= ；（2）已知c=17，b=15，则△ABC 面积等于 .5.如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5 cm ，BC=6 cm ，则AD= cm ．6.要做一个如图2所示的零件，按规定∠B 与∠D 都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？7.两种规格的钢板原料，图3-（1）的规格为1 m ×5 m ，图3-（2）是由5个1 m ×1 m 的小正方形组成.电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）， 分别在图3-（1）和图3-（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）.（1）（2）图3AC DB 图1 2471520DC BA第十七章勾股定理小结与复习知识梳理：1. a2+b2=c2 平方和平方2. a2+b2=c23. 逆命题逆定理跟踪训练：1.C 2.D 3.A4.（1）4 （2）605.46.解：符合要求.理由是：因为AB=24，BC=7，AC=25，所以AB2+BC2=242+72=252=AC2，则△ABC是直角三角形，且∠B是直角；因为AD=20，DC=15，AC=25，所以AD2+CD2=202+152=252=AC2，所以△AC D 是直角三角形，且∠D是直角.所以这个零件符合要求.7.解：。
人教版八年级下期第十七章 《勾股定理小结与复习》共17张PPT
考点二 勾股定理的逆定理及其应用 a b c 例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ， 3 4 5 2c-b=12，求△ABC的面积． 解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k， ∵2c-b=12， ∴10k-4k=12， ∴k=2， ∴a=6，b=8，c=10， ∵62+82=102， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形， 1 ∴△ABC的面积为 2 ×6×8=24．
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中
一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点讲练
考点一 勾股定理及其应用 例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB AC2 BC2 202 152 25; 1 1 （2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= 2 AB•CD， 2 ∴20×15=25CD， ∴CD=12． ∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
c a 2 b2 , a c 2 b2 , b c 2 a 2
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理 b 如果三角形的三边长a，b，c满足 C a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角43;b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题
考点三 勾股定理与折叠问题
例6 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm， 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求 △ABE的面积. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm， 在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=(9-x)2， 解得x=4. 1 ∴△ABE的面积为3×4× 2 =6(cm2).
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习优秀教学案例
在教学评价方面，我将以学生的课堂表现、作业完成情况和课后实践成果为主要评价依据，全面评价学生对勾股定理的掌握程度。通过这一系列的教学设计，我相信学生们在复习和巩固勾股定理的过程中，能够提高自己的数学素养，为后续学习奠定坚实的基础。
3. 对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略。
作业小结环节是课堂教学的延伸和巩固。我布置具有针对性、多样性的作业，巩固学生对勾股定理的理解和应用。设置课后实践任务，让学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的数学应用能力。同时，我还对学生的作业和实践活动进行评价，反馈学生学习情况，及时调整教学策略，以保证教学效果的最大化。通过这一系列的教学内容与过程，我相信学生能够更好地理解和掌握勾股定理，提高自己的数学素养和问题解决能力。
（二）过程与方法
1. 通过自主探究、合作交流的方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。
2. 引导学生运用多媒体教学资源，提高信息技术与数学学科的整合能力。
3. 培养学生关注生活中的数学问题，提高数学应用能力。
在过程与方法目标部分，我注重引导学生积极参与课堂活动，通过自主探究、合作交流等方式，培养学生主动学习和团队协作的能力。同时，我还充分利用多媒体教学资源，将信息技术与数学学科相结合，提高学生的学习兴趣和效果。此外，我还注重培养学生的数学应用能力，使学生能够将所学知识运用到实际生活中。
（四）总结归纳
引导学生对所学知识进行总结，巩固学习成果。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习说课稿
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
八年级数学下册教学课件第17章《勾股定理》小结与复习
A.0
B.1 C.2 D.3
A
B
C
第2题图
第3题图
❖ 4. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AD=4，AB=3，BC=12，
❖ 求正方形DCEF的面积．
❖ 5. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得 ∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km， 若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
A时 B时
图1
图2
4. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
B
B′
O
A′
A
图3
❖ 【学习体会】 ❖ 1.本节课你又那些收获？ ❖ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
2、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
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张大爷的房子吗？（ A ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
2.在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？ D B.
C A
利用勾股定理解题决实际问题时，基本步 骤是什么？ 1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形， 所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得 BC及S△ABC . 答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD中，∠ADB=90°， ∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2 .∵在△ABD中， ∠ADC=90°，∠C=60°，AD= 2 ，
五 勾股定理及其逆定理的综合应用
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积. 分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助 线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的 形状为直角三角形，再利用勾股定理解题. 答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5 .∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形； ∴四边形的面积为1+ 5.
图1
图2
答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股 定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14． 故S△ABC＝84（cm2）． 第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（ cm2 ）．
二 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大 树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒 下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担 心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到
2．解决折叠的问题. 1.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？
请在图中标出来.
答案：AD=10，DC=8 .
2.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
互逆定理
勾股定理 勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
一 勾股定理的直接应用 （一）知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a， 2 斜边为b，则另一直角边c满足c = .
答案： c 2 b2 a 2
【思考】为什么不是 c 2 a 2 b 2 ？
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ，
AB＝x ，AC=8-x，则AB=
3 ,AC= 5 .
2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则
a= 16 , c= 30 .
3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,cb=8,求b,c.
答案： b=5，c=13.
2 ∴CD= 3 3 ,∴BC=
2 2 3 3
，S△ABC =
1
6 的是（ D ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= 5 ，b= 3 ，c= 2 D．a：b：c=2：3：4 2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形 三边的是（ B ） B E C Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH H Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF F A G D
5
C
B
20
15
A
10
四. 布置作业
1.一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边 长为______. 2.已知：如图，等边△ABC的边长是6 cm. 求⑴等边△ABC的高; ⑵S△ABC.
3.（选做题）如图，AB=AC=20,BC=32， ∠DAC＝90°，求BD的长.
（三）分类讨论的题型 1. 对三角形边的分类.
已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，求 第三条边的长．
答案：5 cm或 7 cm. 注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以 4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．
2. 对三角形高的分类.
已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm， 求S△ABC．
答案：因为∠B 所对的边是斜边.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果a=3，b=4， 则c=
（2）如果a=6，c=10， 则b= （3）如果c=13，b=12，则a=
5 8 5
；
； ；
（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.
答案:（4）a=
3
， c=
2 3
.
（二）知一边及另两边关系型
BC=10, 求BE的长.
【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定 理建立方程？你建立的方程是 .
答案：直角三角形△AEF, ∵∠A=90°, AE=8-x，
∴
4 (8 x) x
2 2
2
.
3.做高线，构造直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
六 勾股定理与路径最短问题
1. 如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬 到 点 B 处 吃 食 , 要 爬 行 的 最 短 路 程 ( 取 3 ） 是 ( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2
O 蛋糕 B
C
周长的一半 ６
B
8
A
８
A
2. 如 图 ， 长 方 体 的 长 为 15 cm，宽为 10 cm，高 为 20 cm ，点 B 离点 C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A 爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
直角三角形.
2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
三 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 . 求证： △ABC是等腰三角形. 分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段 AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10， AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中， AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.