2020年中考数学专题复习训练第四章：图形的认识_4.3：等腰三角形与直角三角形(解析)
第四章：图形的认识4.3：等腰三角形与直角三角形（解析）一：考点考点一：等腰三角形等腰三角形的概念、性质与判定：✧概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
✧性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴。
性质1：等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
✧判定：等角对等比。
等边三角形✧性质：三条对称轴。
三个内角都是60°。
✧判定：三个内角都相等的三角形。
有一个内角是60°的等腰三角形。
1.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°2. 如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD 。
若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的度数是( C )A. 70°B. 44°C. 34°D. 24°3. 如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD 。
下列结论一定正确的是( C )A. ∠ABD ＝∠EB. ∠CBE ＝∠CC. AD ∥BCD. AD ＝BC4. 平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A. 5B. 6C. 7D. 85. 等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° 。
6. 如图，在边长为4的等边△ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，EF ⊥AC 于点F 、G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为 219 。
7. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，则∠BED ＝ 45° 。
8. 已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，连接AE 、BD交于点O 。
AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N 。
1) 如图1，求证：AE ＝BD ；2) 如图2，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形。
解：2) △ACB ≌△DCE ；△AON ≌△DOM ；△AOB ≌△DOE ；△NCB ≌△MCE 。
9. 如图，等腰三角形ABC 中，BD 、CE 分别是两腰上的中线。
1) 求证：BD ＝CE ；2) 设BD 与CE 相交于点O ，点M 、N 分别为线段BO 和CO 的中点。
当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由。
解：2) 正方形。
考点二：直角三角形概念：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形。
性质：✧ 直角三角形的两个锐角 互余 。
✧ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。
✧ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 。
✧ 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a 、b 的 平方和 等于斜边c 的 平方 ，即 222c b a =+ 。
判定： ✧ 如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半 ，那么这个三角形为直角三角形。
✧ 勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 平方和 等于第三边的 平方 ，那么这个三角形是直角三角形1. 如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为( D ) A. 22 B. 23 C. 234 D. 2382. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F 。
若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( A ) A.23B. 34C. 35D. 583. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D 、E 分别是直角边BC 、AC 的中点，则DE 的长为( A ) . 1 B. 2 C. 3 D. 31+4. 如图，把三角形纸片折叠，使点B 、点C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG ，得到∠AGE ＝30°，若AE ＝EG ＝32厘米，则△ABC 的边BC 的长为 6+5. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，D 是AB 的中点，则CD ＝ 3 。
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线。
点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN 、ME 、DN 与ME 相交于点O 。
若△OMN 是直角三角形，则DO 的长 是 625或1350。
7. 已知，如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点。
1) 求证：△ACE ≌△BCD ；2) 求证：2222DB AD CD +=。
二：方法技巧方法一：合理利用等腰三角形的性质我们常常用等腰三角形的轴对称性判断线段或角的相等关系；根据等腰三角形的两腰相等，也会通过选择来构造全等三角形解决问题。
例1：如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝32，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°，若BD ＝2CE ，则DE 的长为 333- 。
方法二：利用勾股定理列方程解题已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾股定理计算；对于直角三角形中已知一边长和其他相关条件，求另两边长的问题，常设一边长为未知数，由勾股定理列方程求解。
例2：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝12+，点M 、N 分别是边BC 、AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B '始终落在边AC 上。
若△C B M '为直角三角形，则BM 的长为 212+或1 。
三：习题（一）：选择题1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，BC ＝6，则AD ＝( B )A. 3B. 4C. 5D. 62. 已知等腰三角形的顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是( A )A. 42°B. 60°C. 36°D. 46°3. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边的长为( B )A. 13B. 13或119C. 13或15D. 15 4. 如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D 。
如果∠A ＝30°，AE ＝6cm ，那么CE 等于( C )A. 3cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm（二）：填空题5. 四边形ABCD 是正方形，点E 是直线AB 上的一动点，且△AEC 是以AC 为腰的等腰三角形，则∠BCE 的度数为 67.5°或45°或22.5° 。
6. 若一个等腰三角形的两条边的长度之比为3∶2，则这个等腰三角形底角的正切值7. 一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝24，32tan B ，将它沿EF 折叠，使直角顶点C 与斜边AB 的中点D 重合，那么折痕EF 的长为 13 。
8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，按如下步骤作图：① 分别以点B 、C 为圆心，大于AB 21的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；② 作直线MN ，交AC 于点D ；③ 连接BD 。
若AC ＝8，则BD 的长为 4 。
（三）：解答题9. 已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 边上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BD ＝CE 。
1) 当点D 、E 运动到如图1所示的位置时，连接CD 、AE ，求证：CD ＝AE ；2) 把图1中的△ACE 绕着A 点顺时针旋转60°到△ABF 的位置（如图2），分别连接DF 、EF 。
①. 找出图2中所有的等边三角形（△ABC 除外），并对其中一个给予证明；②. 试判断四边形CDFE 的形状，并说明理由。
解：2) ①△BDF 是等边三角形；②平行四边形。
10. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，点E 为直线AC 上一点，点D 为直线BC 上一点，且DA ＝DE 。
当点D 在线段BC 上时，如图①，易证：BD ＋AB ＝AE ；当点D 在线段CB 的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD 、AB 和AE 之间有怎样的数量关系，写出你的猜想，并选择一种给予证明。
解：作EM ∥AB△ABC 为等边⇒△CME 为等边⇒△ABD ≌△DME⇒DB ＝EM ＝CM⇒DM －AE ＝CM －BM ＝BC ＝AC ⇒DB －AE ＝AB 。
11. 回答以下问题：1) 探究发现：如图1，△ABC 为等边三角形，点D 为AB 边上的一点，∠DCE ＝30°，∠DCF ＝60°且CF ＝CD 。
①. 求∠EAF 的度数；②. DE 与EF 相等吗？请说明理由。
2) 类比探究：如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边上的一点，∠DCE ＝45°，CF ＝CD ，CF ⊥CD ，请直接写出：①. ∠EAF 的度数；②. 线段AE 、ED 、DB 之间的数量关系。
解：1) ①∠EAF ＝120°；②DE ＝EF ；2) ①∠EAF ＝90°；②222ED DB AE =+。
四：测试（满分：50分，限时：40分钟）（一）：选择题（每小题3分，共6分）1. 如图，在底边BC 为32，腰AB 为2的等腰三角形ABC 中，DE 垂直平分AB ，交AB 于点D ，交BC 于点E ，则△ACE 的周长为( B )A. 32+B. 322+C. 4D. 332. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 上，∠ADC ＝2∠B ，AD ＝5，则BC 的长为( D )A. 13-B. 13+C. 15-D. 15+（二）：填空题（每小题3分，共15分）3. 如图，已知O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A(10，0)、C(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标 为 (2，4)、(3，4)、(8，4) 。
2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形基础过关1. (2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个等腰三角形的内角是50°，则等腰三角形的底角是( ) A. 50°B. 80°C. 50°或80°D. 50°或65°3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，如果CE ＝8，则ED 的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 6第3题图4. (2019张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB的距离等于( )A. 4B. 3C. 2D. 1第4题图5. (2019天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A. (1，1) B. (1，3) C. (3，1)D. (3，3)第5题图6. (2019宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为( )A. 40°B. 45°C. 55°D. 70°第6题图7. (2019衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”，它能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝75°，则∠CDE 的度数是( )A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°第7题图8. (2019湘西州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是( )A. 10B. 8C. 4 3D. 2 69. (2019黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝()A. 125°B. 145°C. 175°D．190°第9题图10. (2019大连)如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，若AB＝2，则AD的长为________．第10题图11. (2019东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是________．12. (2019株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．第12题图13. (2019盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．14. (人教八上P93第13题改编)如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的高，延长BC至点E，使CE＝CD.(1)判断△DBE的形状，并说明理由；(2)过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF.第14题图能力提升1. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个第1题图2. (2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．第2题图3. (2020原创)如图，在Rt△ACB中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝3，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE＋CD的最小值是________．第3题图满分冲关1.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为10 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.(结果保留根号)第1题图2. (2019大庆改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10 cm，AC＝6 cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B、A重合的情况)，运动速度为2 cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？第2题图参考答案基础过关1. A2. D3. C 【解析】∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ＝8，在Rt △BED 中，∵∠B ＝30°，BE ＝8，∴ED ＝12BE＝4.4. C 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC ，∵AC ＝8，∴DC ＝14×8＝2.∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD ，又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2.第4题解图5. B 【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△OAB 为等边三角形，边长为2，∴∠BOA ＝60°，OA ＝OB ＝2.∴OD ＝1，BD ＝OB · sin60°＝2×32＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．第5题解图6. C 【解析】∵AC ＝CB ，∠C ＝40°，∴∠BAC ＝∠B ＝12(180°－40°)＝70°，∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12(180°－70°)＝55°，∵GH ∥DE ，∴∠GAD ＝∠ADE ＝55°.7. D 【解析】设∠O ＝x ，∵OC ＝CD ，∴∠CDO ＝∠O ＝x .∴∠ECD ＝2∠O ＝2x .∵CD ＝DE ，∴∠CED ＝∠ECD ＝2x ，∵∠BDE ＝75°，∠BDE ＝∠O ＋∠CED ，∴3x ＝75°，解得x ＝25°.∴∠ECD ＝∠CED ＝50°，∴∠CDE ＝180°－2∠ECD ＝80°.8. D 【解析】∵cos ∠BDC ＝57，∴设DC ＝5x ，BD ＝7x ，又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝DB ＝7x ，又∵AC ＝12，∴5x ＋7x ＝12，解得x ＝1，在Rt △BDC 中，CD ＝5，DB ＝7，BC ＝BD 2－CD 2＝72－52＝2 6.9. C 【解析】如解图，连接DF ，∵CD ⊥AB ，F 为边AC 的中点，∴DF ＝12AC ＝CF ，又∵CD ＝CF ，∴CD ＝DF ＝CF ，∴△CDF 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°，∵∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点E ，∴∠DCE ＋∠CDE ＝65°.∴∠CED ＝115°，∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第9题解图10. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD ＋∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD ＝AB tan 30°＝233＝2 3.11. 6＋43 【解析】∵底角为30°，腰长为23，∴底边的一半为3，∴底为6，则周长为6＋23＋23＝6＋4 3.12. 4 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2，∴AB ＝2MC ＝4.13. 2 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝x ，AC ＝2x ，∴AB ＝2AC ＝2x ，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x ＝6＋2＝2(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.第13题解图14. (1)解：△BDE 是等腰三角形，理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，BD 是高， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝30°.又∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED ＝12∠BCD ＝30°.∴∠DBC ＝∠DEC . ∴DB ＝DE .∴△DBE 是等腰三角形； (2)证明：∵AF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CED ， ∵BD 是△ABC 的高， ∴AD ＝DC ， ∵∠ADF ＝∠CDE ， 在△AFD 和△CED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD ＝∠CED ，∠ADF ＝∠CDE ，AD ＝CD ，∴△AFD ≌△CED (AAS)，∴AF ＝CE ＝CD ＝AD ，DF ＝DE ＝BD ， ∵∠FDB ＝∠DBE ＋∠E ＝60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴BF ＝BD ， 又∵AF ＝AD ， ∴AB 垂直平分DF .能力提升1. D 【解析】①∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD是等腰三角形；③在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形；④∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形；⑤∵∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE ，∴△ADE 是等腰三角形．综上可得，图中的等腰三角形有5个．2. 6－2 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF .在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.∴AF ＝BF ＝CF ＝ 2.∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝22，在Rt △ADF 中，FD ＝AD 2－AF 2＝（22）2－（2）2＝ 6.∴CD ＝FD －FC ＝6－ 2.第2题解图3. 3＋1 【解析】当点D 为AB 的中点时，CE ＋CD 的值最小．∵∠BCA ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，∴AB ＝2，BC ＝1，∠DBC ＝60°，当D 为AB 的中点时，CD ＝AD ＝BD ＝1，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∵BE ＝AD ＝1，∴DE ＝2，∴∠BEC ＝∠BCE ＝12∠DBC ＝30°，∵∠BCD ＋∠DCA ＝90°，∠DCA ＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠ECD ＝∠BCE ＋∠BCD ＝30°＋60°＝90°，在Rt △DCE 中，∵DE ＝BD ＋BE ＝2，∠DEC ＝30°，∴CE ＝3，∴CE ＋CD ＝3＋1.满分冲关1. 14＋162 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交EF 于G ，过点D 作DM ⊥AB 于M ，∵三角板ABC 是含45°角的直角三角板，∴△ABC 关于AH 所在直线对称，又∵外框和内框之间的距离均为 2 cm ，∴点D 在AH 上，且DM ＝GH ＝ 2 cm ，∠MAD ＝45°，∴AD ＝2MD ＝2 cm ，∴DG ＝AH －AD －GH ＝22AB －2－2＝(42－2) cm ，∴EF ＝2DG ＝(82－4) cm ，∴S 阴影＝S △ABC －S △DEF ＝12AB ·AC －12EF ·DG ＝12×10×10－12(82－4)·(42－2)＝(14＋162)cm 2.第1题解图2．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝BC 2－AC 2＝8 cm ，根据题意可知AD ＝2x cm ，且点D 运动到点A 需要82＝4 s ， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC， 即8－2x 8＝y 6， ∴y ＝－32x ＋6(0<x <4)； (2)根据题意得，S ＝12BD ·AE ＝12×2xy ＝xy ＝x (－32x ＋6)＝－32x 2＋6x (0<x <4)， ∵－32<0， ∴当x ＝－62×（－32）＝2时，S 最大＝－32×22＋6×2＝6. 即当x ＝2时，△BDE 的面积有最大值，最大值为6.。
中考数学复习课件试题第四章 图形的认识[原创] 第2讲 第2课时 等腰三角形与直角三角形[配套课件]
![中考数学复习课件试题第四章 图形的认识[原创] 第2讲 第2课时 等腰三角形与直角三角形[配套课件]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/74d6603fa1c7aa00b42acb9c.webp)
等腰(边)三角形的性质与判定
例 1：(2015 年江苏宿迁)如图 4-2-23，已知 AB＝AC＝AD， 且 AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
图 4-2-23
[思路分析]根据等腰三角形的定义和平行线的性质得出
∠ ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出结论. 证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
即 2CD2＝8002，CD＝400 2≈566(米). 答：在直线 l 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖.
[思想方法]在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与 方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出 勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思 想的应用.
【试题精选】 6.(2014 年湖北黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通，
对称轴
(2)勾股定理
角平分线的 性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
(3)如果三角
角平分线的 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平那分么这个三
逆定理 线上
若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平
知识点
内容
方，则这个三角形是直角三角形
角平分线 垂直平分线 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距
＝∠C′＝45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD＝
12BC＝1，AF＝FC′＝ 22AC′＝1，∴图 D23 中阴
影部分的面积等于 S△AFC′－S△DEC′＝12×1×1－12× ( 2－1)2＝ 2－1.
中考数学复习第4章图形的认识与三角形第15讲等腰三角形与直角三角形课件
交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( A ) A．65° B．60° C．55° D．45°
A 由作图知，MN是AC的垂直平分线，∴∠DAC＝∠C＝30°.又 ∵∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－55°－30°＝95°，∴∠BAD＝ ∠BAC－∠DAC＝95°－30°＝65°.
1 ∴∠CDE＝∠CED＝ 2
∠BCD＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC. ∴DB＝DE(等角对等边)．
变式运用► [2017·蓬江区质检]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E， F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 在△DBE和△ECF中，
第四章
图形的认识与三角形
第 15讲
等腰三角形与直角三角形
考点梳理过关
考点1 等腰三角形的性质及判定 6年1考 等腰三角形的两腰①相等(定义赋予) 等腰三角形的两个底角相等，即“②等边 对等角” 性质
提示►(1)在一个三角形中， 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 如果一个角的平分线与该 底边上的高相互重合，即“③三线合一” 角对边上的中线重合，那 么这个三角形是等腰三角 形；(2)在一个三角形中， 等腰三角形是轴对称图形，有④一条对称 如果一个角的平分线与该 轴 角对边上的高重合，那么 有两⑤边相等的三角形是等腰三角形(定义这个三角形是等腰三角形 赋予) 有两个⑥角相等的三角形是等腰三角形， 即“⑦等角对等边”
判定
考点2
等边三角形的性质及判定 6年1考
考点3
中考数学第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材
判定
㊀ ㊀ ２． 等边三角形源自等角对⑥㊀ 等边㊀３． 线段的垂直平分线
ì ï性质 ï 等边三角形 í ï判定 ï î
{ {
有三条对称轴
三个内角都是⑦㊀ ６０ʎ ㊀
判定
三个内角都相等的三角形
有一个内角是⑧㊀ ６０ʎ ㊀ 的等腰三角形
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线上的点到⑨㊀ 这条线段两个端点的距离㊀ 相等；
２
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ＡＢ ２ － ＢＤ ２ ＝ ２５ ２ －２０ ２ ＝ ２２５，ʑ ＡＤ ＝ １５． ㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ．
㊀ ㊀ １． 等腰三角形的概念㊁性质与判定
考点二㊀ 直角三角形
㊀ ㊀ １． 直角三角形
概念 有一个角是⑩㊀ 直角㊀ 的三角形叫做直角三角形 （１） 直角三角形的两个锐角������ ������㊀ 互余㊀； ������ 角边等于斜边的������ ������㊀ 一半㊀； ������ （２） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的������ ������㊀ 一半㊀； ������
有两条边①㊀ 相等㊀ 的三角形是等腰三角形
（１） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴； 等腰三 角形 性质 边对③㊀ 等角㊀ ） ； 合一 ）
（２） 性质 １： 等腰三角形的两底角 ②㊀ 相等 ㊀（ 简写成 等 （３） 性质 ２： 等 腰 三 角 形 的 顶 角 的 平 分 线， 底 边 上 的 ④㊀ 中线㊀㊁底边上的 ⑤㊀ 高 ㊀ 相互重合 （ 简写成 三线
中考数学复习第四章几何初步与第三节等腰与直角课件08
于D，DE⊥AB于E，且AB＝6，则△DEB的周长是( A )
A．6
B．4
C．10
D．以上都不对
11．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点 P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 _4_．
命题角度❷ 线段垂直平分线的性质与判定
例6 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结
命题角度❷ 等边三角形的性质与判定
例2 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作
PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC
于D，则DE的长为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2
3
3
5
【分析】 过P作PF∥BC交AC于F，得出△APF是等边三角形， 推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证得 △PFD≌△QCD，进而求得DE.
在Rt△BEC和Rt△DEC中，
BE ED BC CD
∴Rt△BEC≌Rt△DEC.故选C.
线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，利用这个 性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解 决相关的问题．
12．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一 点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( C ) A．10° B．15° C．2年4考)
例3 (2013·济南)如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，
绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m
处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮
上方的部分忽略不计)为(
)
A．12m B．13m C．16m D．17m
中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形
12
【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形 的内角和即可得到结论．
第一部分 教材同步复习
13
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
第一部分 教材同步复习
6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
第一部分 教材同步复习
周长：c＝a＋b＋c；
周长、 面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
第一部分 教材同步复习
知识点四 等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
第一部分 教材同步复习
8
(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么 定 这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
两年中考模拟2020年中考数学：等腰三角形与直角三角形(学生版)
第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质,并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法,会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法,会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法,会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ,底边长为b ,则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A =180°—2∠B ,∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相等的问题．【例1】（2019内蒙古包头市,第10题,3分）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4,且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根,则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳 2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】（2019四川省宜宾市,第7题,3分）如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF 的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,它的逆命题不能直接使用．【例3】（2019山东省东营市,第14题,3分）已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法,通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】（2019北京,第12题,2分）如图所示的网格是正方形网格,则∠P AB+∠PBA= °（点A,B,P是网格线交点）．【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省内江市,第9题,3分）一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．（2019宁夏,第5题,3分）如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE．连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°3．（2019山西省,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（2019衢州,第7题,3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°5．（2019湖北省荆州市,第5题,3分）如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2019湖南省常德市,第7题,3分）如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．267．（2019湖南省长沙市,第12题,3分）如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．108．（2019辽宁省丹东市,第7题,3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．129．（2019台湾,第4题,3分）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a,矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b10．（2019甘肃省天水市,第8题,4分）如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为（）A．（1,1）B．（3C．3,1）D．33）11．（2019内蒙古赤峰市,第14题,3分）如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为（）A ．22019B ．201812C ．201912 D ．20201212．（2019台湾,第9题,3分）公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）A ．84B ．86C ．160D ．16213．（2019四川省内江市,第10题,3分）如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.614．（2019四川省成都市,第5题,3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°15．（2019四川省眉山市,第11题,3分）如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则DE 的长是（ ）A．1B．74C．2D．12516．（2019四川省绵阳市,第10题,3分）公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则（sinθ﹣cosθ）2=（）A．15B．55C．355D．9517．（2019滨州,第10题,3分）满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为（）A．AB41=,BC=4,AC=5B．AB：B C：A C=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=3：4：5D．|cosA12-|+（tanB33-）2=018．（2019聊城,第11题,3分）如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是（）A．AE+AF=AC B．∠BEO+∠OFC=180°C．OE+OF2=BC D．S四边形AEOF12=S△ABC19．（2019江苏省苏州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB．过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E．若DE=1,则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．820．（2019浙江省宁波市,第9题,4分）已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°,则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°21．（2019浙江省宁波市,第12题,4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和22．（2019浙江省湖州市,第9题,3分）在数学拓展课上,小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是（）A．22B．5C．352D．1023．（2019海南,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4．点P是边AC上一动点,过点P 作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321324．（2019湖北省咸宁市,第2题,3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．25．（2019湖北省黄石市,第8题,3分）如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=（）A．125°B．145°C．175°D．190°26．（2019辽宁省朝阳市,第7题,3分）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°27．（2019辽宁省锦州市,第7题,2分）在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME ⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为（）A．32B．65C．32或35D．32或65二、填空题28．（2019四川省宜宾市,第16题,3分）如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD 与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④111 MN AC CE=+29．（2019自贡,第18题,4分）如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos（α+β）= ．30．（2019江苏省连云港市,第15题,3分）如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始,按顺时针方向）,如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点B的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法,则点C的坐标可表示为．31．（2019江苏省镇江市,第8题,2分）如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1= °．32．（2019浙江省温州市,第16题,5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'﹣BE为分米．33．（2019湖北省荆门市,第15题,3分）如图,在平面直角坐标系中,函数ykx（k＞0,x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为．34．（2019湖北省黄冈市,第16题,3分）如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是．35．（2019辽宁省锦州市,第16题,3分）如图,边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边△OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边△O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边△O n﹣1BA n,记△OO1A的面积为S1,△O1O2A1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…,△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n,则S n=．（n≥2,且n为整数）36．（2019广安,第13题,3分）等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm．37．（2019四川省成都市,第12题,4分）如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为．38．（2019广西桂林市,第17题,3分）如图,在平面直角坐标系中,反比例ykx=（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC52=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为（3,5）．若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为．39．（2019新疆,第14题,5分）如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为．40．（2019江苏省徐州市,第18题,3分）函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个．41．（2019湖南省常德市,第14题,3分）如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D'、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是．42．（2019甘肃省白银市,第17题,4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= ．43．（2019贵州省毕节市,第17题,5分）如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD．若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为度．44．（2019内蒙古通辽市,第15题,3分）腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为．45．（2019四川省巴中市,第15题,4分）如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10．则S△ABP+S△BPC=．46．（2019四川省广元市,第13题,3分）如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是．47．（2019四川省泸州市,第16题,3分）如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为．48．（2019山东省威海市,第13题,3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°,则∠2=°．49．（2019山东省威海市,第17题,3分）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD．若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=°．50．（2019枣庄,第17题,4分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2,则CD= ．51．（2019山东省淄博市,第17题,4分）如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D（不与点A,C重合）处,折痕是EF．如图1,当CD12=AC时,tanα134=；如图2,当CD13=AC时,tanα2512=；如图3,当CD14=AC时,tanα3724=；……依此类推,当CD11n=+AC（n为正整数）时,tanαn= ．52．（2019山西省,第15题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm．53．（2019广西,第18题,3分）如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为．54．（2019江苏省宿迁市,第17题,3分）如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是．55．（2019湖北省鄂州市,第15题,3分）如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= ．56．（2019湖南省株洲市,第13题,3分）如图所示．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= ．57．（2019湖南省株洲市,第18题,3分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A（0,1）,点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．58．（2019湖南省邵阳市,第17题,3分）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是．59．（2019西藏,第15题,3分）若实数m 、n 满足|m ﹣3|4n +-=0,且m 、n 恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为 ．60．（2019贵州省毕节市,第19题,5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,点B 在ED 上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC =10,则CD 的长度是 ．61．（2019贵州省铜仁市,第16题,4分）如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,且BD ⊥AC ,ED ∥BC ,ED 交AB 于点E ,BC =7cm ,AC =6cm ,则△AED 的周长等于 cm ．62．（2019辽宁省丹东市,第13题,3分）如图,在△ABC 中,∠C =90°,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分∠BAC ．若DE =1,则BC 的长是 ．63．（2019辽宁省大连市,第13题,3分）如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点D ,使CD =AC ,连接AD ．若AB =2,则AD 的长为 ．64．（2019辽宁省抚顺市,第17题,3分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,D 是△ABC 所在平面内一点,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,则BD 的长为 ．65．（2019黑龙江省鸡西市,第9题,3分）一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为．66．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第16题,3分）等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD12=AC,则等腰△ABC底角的度数为．三、解答题67．（2019内蒙古呼和浩特市,第18题,6分）如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+,求证：△ABC是直角三角形．68．（2019四川省巴中市,第18题,8分）如图,等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理．69．（2019四川省达州市,第20题,7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3．（1）尺规作图：不写作法,保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线,垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中,求DE的长．70．（2019山东省菏泽市,第23题,10分）如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证：B P⊥CD；（2）如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积．【2018年题组】一、选择题1．（2018浙江省湖州市,第5题,3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2018兰州,第5题,4分）如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°3．（2018贵州省安顺市,第6题,3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是（）A．12B．9C．13D．12或94．（2018辽宁省丹东市,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB与点E,已知△BCE的周长为10,且BC=4,则AB的长为（）A．3B．4C．5D．65．（2018辽宁省营口市,第6题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2018台湾省,第11题,3分）如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1307．（2018山东省德州市,第12题,4分）如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2018四川省达州市,第8题,3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．39．（2018广西梧州市,第7题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB',则∠ABB'的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°10．（2018江苏省宿迁市,第6题,3分）若实数m、n满足等式|m﹣4n =0,且m、n恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．611．（2018广西玉林市,第9题,3分）如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC 为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直12．（2018浙江省台州市,第10题,4分）如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E．将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B'FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值13．（2018兰州,第7题,4分）如图,边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是（）A3333B C24 ． ．D．314．（2018福建省A,第5题,4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°15．（2018辽宁省鞍山市,第7题,3分）如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,CE与BD相交于点G,EF⊥BD于点F,若EF=2,则EG的长为（）A．334B．433C．332D．416．（2018内蒙古包头市,第8题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°17．（2018吉林省长春市,第8题,3分）如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx（x＞0）的图象上,若AB=2,则k的值为（）A．4B．22C．2D．218．（2018四川省内江市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为（2,1）,（6,1）,∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为（）A．（﹣4,﹣5）B．（﹣5,﹣4）C．（﹣3,﹣4）D．（﹣4,﹣3）19．（2018四川省凉山州,第3题,4分）如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为（）A．3B．2C．3D．520．（2018四川省南充市,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为（）A．12B．1C．32D321．（2018四川省攀枝花市,第4题,3分）如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°22．（2018四川省泸州市,第8题,3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ．若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．323．（2018四川省绵阳市,第11题,3分）如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA =CB ,CE =CD ,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,若AE 2=,AD 6=,则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-24．（2018山东省东营市,第10题,3分）如图,点E 在△DBC 的边DB 上,点A 在△DBC 内部,∠DAE =∠BAC =90°,AD =AE ,AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④25．（2018山东省枣庄市,第10题,3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接P A 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个26．（2018山东省枣庄市,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC=3,AB=5,则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8527．（2018山东省淄博市,第11题,4分）如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为（）A．4B．6C．43D．828．（2018山东省淄博市,第12题,4分）如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．3182+29．（2018山东省滨州市,第1题,3分）在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为（）A．5B．6C．7D．830．（2018山东省莱芜市,第8题,3分）在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C（0,3）,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y=kx的图象上,则k=（）A．3B．4C．6D．1231．（2018山东省菏泽市,第3题,3分）如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是（）A．45°B．30°C．15°D．10°32．（2018山东省青岛市,第6题,3分）如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点．沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F．已知EF=32,则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3333．（2018山西省,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6334．（2018广西贺州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为（）A．32B．33C．6D．6235．（2018江苏省南通市,第5题,3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3,4,5B．2,3,4C．4,6,7D．5,11,1236．（2018江苏省扬州市,第7题,3分）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC37．（2018江苏省扬州市,第8题,3分）如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③38．（2018浙江省温州市,第10题,4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53239．（2018海南省,第12题,3分）如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为（）A．6B．8C．10D．1240．（2018湖北省孝感市,第10题,3分）如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（3﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．241．（2018湖北省荆州市,第4题,3分）如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°42．（2018湖北省荆门市,第11题,3分）如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为（）。
第四单元 第十九讲 等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方
2020年中考数学专题复习训练第四章：图形的认识_4.3：等腰三角形与直角三角形(原卷)
第四章：图形的认识4.3：等腰三角形与直角三角形一：考点考点一：等腰三角形等腰三角形的概念、性质与判定：✧概念：有两条边的三角形是等腰三角形。
✧性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴。
性质1：等腰三角形的两底角（简写成“等边对”）。
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的、底边上的相互重合（简写成“三线合一”）。
✧判定：等角对。
等边三角形✧性质：三条对称轴。
三个内角都是。
✧判定：三个内角都相等的三角形。
有一个内角是的等腰三角形。
1.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°2.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD。
若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是( )A. 70°B. 44°C. 34°D. 24°3.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD。
下列结论一定正确的是( )A. ∠ABD＝∠EB. ∠CBE＝∠CC. AD∥BCD. AD＝BC4.平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 85.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为。
6.如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F、G为EF的中点，连接DG，则DG的长为。
7.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED＝。
8.已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O。
2019-2020学年度最新(河南专版)中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形(试卷部
A.50° B.70° C.75° D.80° 答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC= 180°-(25°+25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.
3.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形 的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
∵F是BD的中点,∠DAB=90°,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD. (5分) ∵DE⊥AE,∴∠DEA=90°. ∵∠DHA=90°,∠DAH=30°,
∴DH= 1 AD.
2
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE= 1 ∠BAC=30°.
2
∴∠DAE=60°,∴∠ADE=30°.
∴AE= 1 AD,∴AE=DH. (6分)
答案 D 在△ABC中,∠ACB=90°,∵DE垂直平分AC,∴AD=DC,DE∥BC,∴E为AB的中点,∴
DE= 1 BC,∵BC= A=B62,∴ADCE2= BC=3.故1 选D.
2
2
2.(2018河南,15,3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,
图1
图2
图3
思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A'可以在直线DE的下方或上方.分类 讨论,当点A'在DE的下方时,△A'EF不可能为直角三角形,当点A'在直线DE上方时,∠A'EF或 ∠A'FE为90°时分别计算AB的长,显然∠EA'F<90°,可以排除.