气象统计方法课件 3回归分析
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气候统计回归分析之多元回归
H0 : i 0, i 1, 2, ,k
检验统计量：
bi2 / Ci Fi , i 1, 2, , k SSE /(n k 1)
n t 1
Ci [ ( xit xi )2 ]1
遵从分子自由度为1，分母自由度为n-k-1的F分布。
预报因子显著性检验
或者遵从自由度为n-k-1的t分布； T分布统计量为：
1 2
方差分析
总平方和（SST）：
SST yi y
i 1 n 2
回归平方和（SSR）：
ˆi y SSR y
n 2
残差平方和（SSE）： 简单推得三者关系：
i 1
ˆi SSE ei yi y
2 i 1 i 1
n
n
2
SST SSR SSE
F F 0.05
预报因子检验
F1 4.297, F2 0.881, F3 8.07
F 0.05 (1, 40) 4.08
例2
在对城市热岛效应分析中
Tu r T Tc
Tc 为由地理位置差异（纬度、经度、海拔
高度）造成的温差
T C0 C1 C2 C3Z
常用的变量代换
幂函数，如 x2 x12 或 x2 x1 三角函数、指数、对数 联合以上函数的变量代换 虽然原预报因子为非线性函数，但经过变 量代换后可化为线性形式。
举例（图）
一元线性回归拟合
一元线性回归方程：
[CO2 ] 312.9 0.0992t
显示出很强的CO2浓度随时间增长的趋势； 截距仅仅估计出t=0时刻的CO2浓度； 残差显示出“弓形”变化，在记录的开始 和结束部分为正残差，而中间部分为负残 差。
检验统计量：
bi2 / Ci Fi , i 1, 2, , k SSE /(n k 1)
n t 1
Ci [ ( xit xi )2 ]1
遵从分子自由度为1，分母自由度为n-k-1的F分布。
预报因子显著性检验
或者遵从自由度为n-k-1的t分布； T分布统计量为：
1 2
方差分析
总平方和（SST）：
SST yi y
i 1 n 2
回归平方和（SSR）：
ˆi y SSR y
n 2
残差平方和（SSE）： 简单推得三者关系：
i 1
ˆi SSE ei yi y
2 i 1 i 1
n
n
2
SST SSR SSE
F F 0.05
预报因子检验
F1 4.297, F2 0.881, F3 8.07
F 0.05 (1, 40) 4.08
例2
在对城市热岛效应分析中
Tu r T Tc
Tc 为由地理位置差异（纬度、经度、海拔
高度）造成的温差
T C0 C1 C2 C3Z
常用的变量代换
幂函数，如 x2 x12 或 x2 x1 三角函数、指数、对数 联合以上函数的变量代换 虽然原预报因子为非线性函数，但经过变 量代换后可化为线性形式。
举例（图）
一元线性回归拟合
一元线性回归方程：
[CO2 ] 312.9 0.0992t
显示出很强的CO2浓度随时间增长的趋势； 截距仅仅估计出t=0时刻的CO2浓度； 残差显示出“弓形”变化，在记录的开始 和结束部分为正残差，而中间部分为负残 差。
《回归分析小结》课件
《回归分析小结》PPT课 件
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。通过建立数学模型， 回归分析可以预测和解释一个或多个自变量对因变量的影响。
概述回归分析
回归分析是一种重要的统计技术，用于研究变量之间的关系。它可以帮助我 们理解和量化不同变量之间的影响程度。
简单线性回归分析
散点图
通过散点图可以观察自变量和因 变量之间的关系，判断是否存在 线性关系。
回归分析的应用
1
市场营销
回归分析可以帮助企业了解市场趋势和消费者行为，制定有效的营销策略。
2
金融风险评估
回归分析可以用于评估不同因素对金融风险的影响，提高投资决策的准确性。
3
医学研究
回归分析可以帮助医学研究者探索疾病与生活方式、遗传因素之间的关系。
回归分析的局限性
1 线性假设
回归分析假设自变量和因变量之间存在线性关系，但实际情况可能是非线性的。
线性回归
残差图
线性回归分析可以拟合一条直线， 进一步探索自变量和因变量之间 的线性关系。
残差图可以帮助我们检查回归模 型的拟合情况，是否存在模型假 设的违反。
多元回归分析
多变量建模
多元回归分析可以同时考虑多个自变量对因变 量的影响，更准确地预测和解释。
变量选择
通过变量选择方法，可以确定哪些自变量对因 变量有显著影响，避免过多或冗余的自变量。
回归诊断
残差分析
残差分析可以检查回归模型的拟合情况，判断 是否存在异常值或非线存在高度相关关系，可能 导致回归系数偏离预期。
2 数据限制
回归分析需要大量的数据样本和可靠的数据质量，否则结果可能不准确。
模型检验
R方
R方可以评估回归模型对因变量 变异的解释程度，值越接近1， 模型拟合越好。
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。通过建立数学模型， 回归分析可以预测和解释一个或多个自变量对因变量的影响。
概述回归分析
回归分析是一种重要的统计技术，用于研究变量之间的关系。它可以帮助我 们理解和量化不同变量之间的影响程度。
简单线性回归分析
散点图
通过散点图可以观察自变量和因 变量之间的关系，判断是否存在 线性关系。
回归分析的应用
1
市场营销
回归分析可以帮助企业了解市场趋势和消费者行为，制定有效的营销策略。
2
金融风险评估
回归分析可以用于评估不同因素对金融风险的影响，提高投资决策的准确性。
3
医学研究
回归分析可以帮助医学研究者探索疾病与生活方式、遗传因素之间的关系。
回归分析的局限性
1 线性假设
回归分析假设自变量和因变量之间存在线性关系，但实际情况可能是非线性的。
线性回归
残差图
线性回归分析可以拟合一条直线， 进一步探索自变量和因变量之间 的线性关系。
残差图可以帮助我们检查回归模 型的拟合情况，是否存在模型假 设的违反。
多元回归分析
多变量建模
多元回归分析可以同时考虑多个自变量对因变 量的影响，更准确地预测和解释。
变量选择
通过变量选择方法，可以确定哪些自变量对因 变量有显著影响，避免过多或冗余的自变量。
回归诊断
残差分析
残差分析可以检查回归模型的拟合情况，判断 是否存在异常值或非线存在高度相关关系，可能 导致回归系数偏离预期。
2 数据限制
回归分析需要大量的数据样本和可靠的数据质量，否则结果可能不准确。
模型检验
R方
R方可以评估回归模型对因变量 变异的解释程度，值越接近1， 模型拟合越好。
统计学相关与回归分析法PPT课件
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
第15页/共50页
相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
第19页/共50页
相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
第20页/共50页
令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
第15页/共50页
相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
第19页/共50页
相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
第20页/共50页
令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
气象统计方法气象资料及其表示方法课件
气象统计方法气象资料及其表示方法
（1）概念 峰度系数与偏度系数是用来衡量随机变量概率
密度分布曲线形状的数字特征，描述了气候变量 的分布特征。
偏度系数：表征曲线峰点对期望值（平均值） 偏离的程度。
峰度系数：表征曲线分布形态顶峰的凸平度 （即渐进于横轴的陡度）。
气象统计方法气象资料及其表示方法
（2）标准偏度系数和峰度系数的计算公式为：
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象统计方法气象资料及其表示方法
ARGO计划
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象监测意义：
1. 记录天气、气候的实际情况 2. 了解气候的基本状况 3. 分析研究气候变化规律 4. 气候预测 （第一张天气图的诞生）
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象统计方法气象资料及其表示方法
江苏省气温异常及其标准化
气象统计方法气象资料及其表示方法
降水距平百分率
距平/平均值*100% 1）计算降水距平，即观测值减去平均值 2）1步骤所得结果除以该平均值，乘以100
％，即为降水距平百分比 注意：当观测值序列时间比较长，超过30年，可以
选择1980－2009的平均值，作为步骤1中的平均值
化）。
气象统计方法气象资料及其表示方法
江苏省全年月降水数据分布图
气象统计方法气象资料及其表示方法
第二节 多要素的气象资料
*也可以理解为同一要素多个格点（站点） 的资料，下面慢慢体会。
气象统计方法气象资料及其表示方法
江苏省冬季气温的异常（1958-2007）
气象统计方法气象资料及其表示方法
如何正确计算异常场？
气象统计方法气象资料及其表示方法
（1）概念 峰度系数与偏度系数是用来衡量随机变量概率
密度分布曲线形状的数字特征，描述了气候变量 的分布特征。
偏度系数：表征曲线峰点对期望值（平均值） 偏离的程度。
峰度系数：表征曲线分布形态顶峰的凸平度 （即渐进于横轴的陡度）。
气象统计方法气象资料及其表示方法
（2）标准偏度系数和峰度系数的计算公式为：
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象统计方法气象资料及其表示方法
ARGO计划
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象监测意义：
1. 记录天气、气候的实际情况 2. 了解气候的基本状况 3. 分析研究气候变化规律 4. 气候预测 （第一张天气图的诞生）
气象统计方法气象资料及其表示方法
气象统计方法气象资料及其表示方法
江苏省气温异常及其标准化
气象统计方法气象资料及其表示方法
降水距平百分率
距平/平均值*100% 1）计算降水距平，即观测值减去平均值 2）1步骤所得结果除以该平均值，乘以100
％，即为降水距平百分比 注意：当观测值序列时间比较长，超过30年，可以
选择1980－2009的平均值，作为步骤1中的平均值
化）。
气象统计方法气象资料及其表示方法
江苏省全年月降水数据分布图
气象统计方法气象资料及其表示方法
第二节 多要素的气象资料
*也可以理解为同一要素多个格点（站点） 的资料，下面慢慢体会。
气象统计方法气象资料及其表示方法
江苏省冬季气温的异常（1958-2007）
气象统计方法气象资料及其表示方法
如何正确计算异常场？
气象统计方法气象资料及其表示方法
统计分析回归分析课件演示文稿(共74张PPT)
(10)在“线性回归”主对话框中，单击“确定”按钮，完成SPSS 操作，输出结果。
2、结果分析
(1)选入和删除的变量
•在本例中，只有一个自变量“雏鸭重”，所以如下表所示，在
选入的变量中只有“雏鸭重”，没有删除的变量，使用的方法是 “选入”。
•
(3)方差分析
•如下表所示为回归模型的方差分析摘要表，其中的变异量显著
7.3 多元线性回归分析
• 自然界的万事万物都是相互联系和关联的，所以一个因变量往往
同时受到很多个自变量的影响。如本章开篇时讲到的那个例子， 男性胃癌患者发生术后院内感染的影响因素有很多，如年龄、手 术创伤程度、营养状态、术前预防性抗菌、白细胞数以及癌肿病 理分度。这时我们如果要更加精确的、有效的预测男性胃癌患者 发生术后院内感染的具体情况这个因变量，就必须引入多个自变 量，建立多元回归模型。
• （3）阶层回归分析法 • （4）方法的选择
7.3.2 各种回归分析方法的实例分析
• 接下来会举三个例子来分别说明“强迫选入法”、“逐步回
归法”和“阶层多元回归法”是如何运用的。
• 【例7.2】强迫选入法：某医院的一位优秀的男医生，想研究男性胃
癌患者发生术后院内感染的影响因素，在研究了多名病人之后，他 得到了数据资料，请通过多元线性回归统计方法找出哪些因素是对 术后感染产生影响的。其中数据资料如下页所示。
• （4）线性关系
• （5）各个残差之间相互独立假定
• （6）残差的等分散性假定
7.1.3 回归分析的基本步骤
• 具体地说，回归分析的一般过程分成四步，分别是：
• （1）提出回归模型的假设
• （2）获取数据
• （3）建立回归方程
• （4）回归方程的检验
应用统计学：回归分析PPT课件
03
使用方法
通过菜单和对话框选择分析方法，导入数据，设置参数，运行分析并查
看结果。
Stata软件介绍
适用范围
Stata（Statistical Data Analysis） 是一款适用于各种统计分析和数 据管理的软件，尤其适用于回归 分析。
特点
功能强大、命令语言简洁，支持多 种数据管理操作，提供多种统计分 析方法，结果输出详细且可视化效 果好。
使用方法
通过命令行输入分析命令，导入数 据，设置参数，运行分析并查看结 果。
R软件介绍
适用范围
R（Software for Statistical Computing）是一款开源的统 计软件，适用于各种统计分析，
包括回归分析。
特点
功能强大、社区活跃、可扩展性 强，支持多种编程语言和数据可 视化工具，提供丰富的统计函数
分层回归分析的基本思想是将多个自变量分为若干个层次，每个层次内 部的自变量之间存在较强的相关性，而不同层次的自变量之间相关性较
弱。
分层回归分析在生态学、社会学、医学等领域有广泛应用，例如研究不 同层次的人口特征对健康状况的影响、研究不同层次的社会经济因素对 犯罪率的影响等。
主成分回归分析
主成分回归分析的基本思想是将多个自变量进行主成 分分析，得到少数几个主成分，这些主成分能够反映 原始数据的大部分变异，然后利用这些主成分进行回 归分析。
线性回归模型
线性回归模型是回归分析中最常用的一种模型，其形式为 (Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + epsilon)。
其中 (Y) 是因变量，(X_1, X_2, ldots, X_p) 是自变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_p) 是回归系数，(epsilon) 是误差项。
气象统计方法多元线性回归分析
i1
i1
i1
i1
2）有时，为书写方便，（6）式两边乘上 1/n，变成各变量的协方差形式，相应的方 程组写为
b1s11 b2 s12 bp s1p s1y b1s21 b2 s22 bp s2 p s2 y
b1s p1 b2 s p2 bp s pp s py
b1
n
xd2i1 b2
n
xdi2 x di1
bp
n
xdi1xdip
n
xdi1 ydi
i1
i1
i1
i1
n
b1 i1 xdi2 xdi1 b2
n
x d2i 2
i1
bp
n
xdi2 xdip
i1
n i1
Байду номын сангаас
xdi2 ydi
b1 n xdip xdi1 b2 n xdip xdi1 bp n xd2ip n xdip ydi
1
ˆ ˆ
2 e 2 y
1
n p 1 S yy
n 1
1 ( n 1 )(1 R 2 ) n p 1
调整复相关系数是对总体复相关系数的估计， 也是对总体回归关系的解释方差的一种估计。
六、回归方程的显著性检验
假设预报因子与预报量之间无线性关系， 则回归系数应该为0。
检验假设：
H 0 : 1 2 p 0
xip xi1 bp
n
xi2p
n
xip yi
i1
i 1
i 1
i 1
求解上述方程组的方法：
1)用高斯或亚当—高斯消去法，解此 正规方程组得回归系数估计值b0和 bk(k=1-p)
2)用矩阵运算求解(逆矩阵法)
气象统计方法课件 3回归分析
t 1, 2, , n
展开
y1 0 1x11 2x21 p xp1 e1
y2
0
1x12
2 x22
p xp2 e2
(1)
yn 0 1x1n 2x2n p xpn en
(1)式也可以写成矩阵形式：
Y X e (2)
其中：
y1
y
y2
yn
0
1
3
20 2
1
15
0
10
-1
5
-2
0
1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
年
7
6
y = -0.2343x + 7.5095
5
R2 = 0.5313
4
3
2
1
0
-1
-2 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 环流指标
气象中使用最多的是回归方程的距平形式，所以 对回归方程的显著性检验可以只对因子的回归系 数进行检验。
在原假设H0：β=0的条件下，统计量
b
t b
c
2
Q
n
(n 2)
(xi x )2
i 1
遵从自由度为n-2的t分布.
ˆ 2
n
1
2
n i 1
( yi
yˆi )2
Q n2
n
c [ (xi x )2 ]1 i 1
▪ 0 ，1，2 ，，p是参数. ▪ y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 . ▪ 是被称为误差项的随机变量,包含在y里面但不
能被p个自变量的线性关系所解释的变异性.
展开
y1 0 1x11 2x21 p xp1 e1
y2
0
1x12
2 x22
p xp2 e2
(1)
yn 0 1x1n 2x2n p xpn en
(1)式也可以写成矩阵形式：
Y X e (2)
其中：
y1
y
y2
yn
0
1
3
20 2
1
15
0
10
-1
5
-2
0
1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
年
7
6
y = -0.2343x + 7.5095
5
R2 = 0.5313
4
3
2
1
0
-1
-2 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 环流指标
气象中使用最多的是回归方程的距平形式，所以 对回归方程的显著性检验可以只对因子的回归系 数进行检验。
在原假设H0：β=0的条件下，统计量
b
t b
c
2
Q
n
(n 2)
(xi x )2
i 1
遵从自由度为n-2的t分布.
ˆ 2
n
1
2
n i 1
( yi
yˆi )2
Q n2
n
c [ (xi x )2 ]1 i 1
▪ 0 ，1，2 ，，p是参数. ▪ y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 . ▪ 是被称为误差项的随机变量,包含在y里面但不
能被p个自变量的线性关系所解释的变异性.
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当b<0，回归直线斜率为负，预报量y随预报因子x增加而减少， 反映预报量与因子是负相关； 当b>0，回归直线斜率为正，预报量y随预报因子x增加而增加， 反映预报量与因子是正相关。
二、回归问题的方差分析
1、意义 评价回归方程的优劣。
2、预报量的方差可以表示成回归估计值的方差 （回归方差）和误差（残差）方差之和。
1
n
n i 1
( yi
y)2
1 n
n i 1
( yˆi
y)2
1 n
n i 1
( yi
yˆ )2
（4）
即： sy2 syˆ2 se2
• 方差分析表明，预报量y的变化可以看成由 前期因子x的变化所引起的，同时加上随机 因素e变化的影响，这种前期因子x的变化影 响可以用回归方差的大小来衡量。如果回 归方差大，表明用线性关系解释y与x的关系 比较符合实际情况，回归模型比较好。
xi
n i 1
yi
n
n
n
b0
i 1
xi
b
i 1xi 2源自i 1xiyi
（3）
（3）式称为求回归系数的标准方程组。
回归系数也可直接表示为：
b0 y bx
n
b
xi yi nxy
i 1
n
xi2 nx 2
i 1
Sxy Sx2
将 b0 =y bx 代入回归方程 yˆi =b0 bxi，得
回归分析与相关分析的区别：
1. 相关分析中，变量x、y处于平等的地位；回归分析中，
变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量， 用于预测因变量的变化。 2. 相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分 析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量， 也可以是非随机的确定变量。 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程 度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小， 还可以由回归方程进行预测和控制。
环流指标
最小二乘法求回归系数
y (xn , yn)
(x2 , y2)
ei = yi＾-yi
(x1 , y1)
(xi , yi)
yˆ b0 bx
x
对所有的xi，若 yˆi 与 yi 的偏差最小，就认为 （1）式所确定的直线能最好地代表所有实 测点的散布规律。为了消除偏差符号的影 响，可以用偏差的平方来反映偏差的绝对 值偏离情况。
全部观测值与回归直线的离差平方和记为 :
n
Q(b0 , b) (yi yˆi )2 i 1
（2）
（2）式刻画了全部观测值与回归直线偏离程度。
显然，Q值越小越好, Q是待定系数a和b的函数。 根据极值原理，要求 :
Q 0 b0
Q 0 b
整理得到求回归系数b0、b的方程组：
nb0
n
b
i 1
第一节 一元线性回归
一元回归分析处理的是两个变量之间 的关系，即一个预报量和一个预报因子之 间的关系。
一、回归模型
基本原理：对抽取容量为n的预报量y与预报因子x
的一组样本，如认为y与x是一元线性统计关系，则线
性回归方程为： y b0 bxi i 1, 2, , n
那么预报量的估计量yˆ 与x有如下关系：
第三章 回归分析
1. 一元线性回归分析 2. 多元线性回归分析 3. 逐步回归方法
回归分析是用来寻找若干变量之间统计联系 （关系）的一种方法。 它是一种统计模型，分为线性回归和非线性 回归。线性回归在气象中最为常用。
利用回归分析得到的统计关系对某一变量作 出未来时刻的估计，称为预报值（量）。前 期已发生的多个与之有关的气象要素称为预 报因子。
3
20 2
1
15
0
10
-1
5
-2
0
1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
年
7
6
y = -0.2343x + 7.5095
5
R2 = 0.5313
4
3
2
1
0
-1
-2 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 环流指标
到：
yˆi y b(xi x）
或
yˆdi bxdi
----距平形式回归方程
b Sxy Sx2
S xy SxSy
Sy Sx
rxy
Sy Sx
yˆ zi rxy xzi
----标准化形式回归方程
回归系数b与相关系数之间的关系:
b
S xy
S
2 x
Sy Sx
rxy
相关系数 r与回归系数b同号。
四、回归方程的显著性检验
显著性检验的主要思想是检验预报因子与预报量是否有 线性关系。 可以证明在原假设总体回归系数为0的条件下，统计量
(4)式两边同时乘以n变成各变量离差平方和的关系。
syy U Q
n
总离差平方和：s yy ( yi y )2 i 1
反映因变量y的n个观测值与其均值的总离差.
n
回归平方和：U ( yˆi y)2 i 1 反映回归值的分散程度. n
残差平方和：Q ( yi yˆ)2 i 1 反映观测值偏离回归直线的程度.
判决系数是衡量两个变量线性关系密切程度的量， 也等于两变量相关系数的平方。
判决系数的物理含义：
1. 回归平方和占总离差平方和的比例； 2. 反映回归直线的拟合程度； 3. 取值范围在[0,1] 4. r2→1，说明回归方程拟合的越好；
r2→0，说明回归方程拟合的越差； 5. 判决系数等于相关系数的平方.
冬季环流 5月平均 指标（x） 气温T（y）
32
0.9
25
1.2
20
2.2
26
2.4
27
-0.5
24
2.5
28
-1.1
24
0
15
6.2
16
2.7
24
3.2
30
-1.1
22
2.5
30
1.2
24
1.8
33
0.6
26
2.4
20
2.5
32
1.2
35
-0.8
气温T
气温T
7
40
6
气温T
环流指标 35
5
30
4
25
yˆi b0 bxi i 1, 2, , n (1)
或写为一般的回归方程：
yˆ bb0为0 截b距x，b为斜率
年份
1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
三、相关系数与线性回归
因为回归方差不可能大于预报量的方差，可以用它们的比 值来衡量方程的拟合效果。即：
1n
s
2 yˆ
s
2 y
n 1
i 1 n
n i1
yˆi y yi y
2 2
U s yy
rxy2
回归方程 判决系数
上式表明预报因子x对预报量y的方差的线性关系程 度，这一比值又称为解释方差。