波函数的统计诠释
§1.6 波函数的统计解释 量子力学课件
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
称为几率密度。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也 不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可 以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
经典概念中 波意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定
单位换算：
1ev～12.000K(温度表能量) ~2.410 14HZ（频率表能量）
~8.00c0m1（波长）
附录 量子力学的建立及相关科学家传略础之一，是研究微观粒 子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进 了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来，量子力学便 以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光 量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量 子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意 的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩 阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独 当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量 子力学的统一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相 容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。
波函数的统计解释
波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。
到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。
传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。
电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。
疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。
在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二．波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。
微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。
而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x 到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子；只有有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程
一、波函数的统计解释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。
如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计解释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。
由于这个性质，波函数必须满足1. 是归一化的1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）2. 满足波函数的标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。
）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t ，坐标x 有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。
由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是dx x 2⎰ψ是你所得到结果的平均值。
而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。
.测量引起波函数的坍塌而x是所有测量都是对处在ψ态的粒子所进行的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到ψ态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在ψ态，然后测量每个粒子的位置, x是所有结果的平均值。
(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在ψ态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。
计算平均值,它应该符合x。
简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
波函数的统计解释
子弹 水波 光波
｝｛ 双缝衍射
子弹：P=P1+P2 波：I≠I1+I2
电子
电子：
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即
(rr , t) 2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对 值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达： (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动 从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时 具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根 本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动 等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加 性其实质是什么呢？
波函数的统计诠释
w
1 0 (x) dx
0
0 (x) dx .
33
0(x)
1/2
ex p1(2x2)
2
exp(2)d
w
1
exp(2)d
16%
0
经典允许区
.
34
n=10时线性谐振子的位. 置几率分布
35
习题 P52~53 1、3、4、5、7、8
.
36
2m 2
定态薛定谔方程
2 m 2d d2 2x(x.)1 2m2x2
(x)E(x)
27
令
m xx,
m
d2 d2
(2)
0
2E
首先考虑方程的渐近解
dd22 20,
~ e 2 / 2
.
28
因为波函数在无穷远处为有限，
~ e 2 / 2
2
e 2 H()
代入薛定谔方程，得
dd2H 2 2ddH(1)H0
n(r,t)n(r)eiEnt
(r,t) cn n(r)eiEnt
n
.
22
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
U(x)
0
x a
x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解 释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0, xa
.
23
（2）阱内（a> x > -a）
c1 1c2 2 c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c 1 1 c 2 2 2 ( c 1 1 c 2 2 )c 1 (1 c 2 2 ) c 1 12 c 1 22 c . 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 11
波函数的统计诠释
波函數的統計詮釋現在，讓我們回頭再來看薛丁格的波動力學。
其實，當時在波動力學中還存在一個懸而未決的大問題，這就是波動方程式中包含的波函數ψ的物理意義究竟是什麼。
最初，薛丁格認為ψ函數負數模的平方式電荷的密度，這就好像電子分解成電子雲似的。
但是，哥本哈根的物理學家們並沒有像接受薛丁格的理論那樣給以讚賞。
與之相反，薛丁格對波函數的解釋遭到波耳的批評和反對。
波耳邀請薛丁個到家中討論這個問題，最後，兩人馬拉松式的討論竟把薛丁格累得病倒在波耳家中。
然而，主人卻堅持在床頭繼續與薛丁格討論。
波耳既善良熱情又很有涵養，可是在及其重要的物理學問題面前，他實在難以抑制激情。
1926年，玻恩把薛丁格波動方程用於量子力學散射過程，從而提出了波函數的統計詮釋（statistical interpretation）。
玻恩是當時享有盛名的物理學家，他1882年12月11日生於普魯士，1907年獲哥廷根大學博士學位，1921年起任該校物理系主任。
玻恩不但個人成就卓越，對學生和晚輩的提攜更是不遺餘力，海森伯、泡利等人都曾是他的研究助手。
希特勒上台後，玻恩被迫流亡英國，先後在劍橋大學和愛丁堡大學任教。
1953年退休後，波恩回到了德國，直到1970年1月5日逝世。
玻恩在1926年發表的一篇論文中指出，薛丁格波函數是一種機率振幅（probability amplitude），它的絕對值的平方對應於測量到的電子的機率分佈。
直到這時，波函數的物理含意才變得明確了。
不過，一個力學理論竟然給出了機率，這簡直是太令人震驚了！在電子的繞射圖中，底片上暗環實際上就是許多電子集中到達的地方，亮環處就是電子幾乎沒有到達過的位置。
按繞射環的半徑統計出每個環中電子留下的黑斑數目，物理學家馬上就發現，以環的半徑為橫座標、相應半徑的黑斑數為縱座標作的圖，其形狀與光以及X射線繞射的密度分佈曲線相同。
這是偶然的巧合，還是另有什麼深刻的含意呢？由於這一分佈曲線也呈波的形狀，而且對應的是電子射中底片某點的機率，玻恩建議把這種波命名為機率波。
量子力学波函数的统计解释
归一化常数 A 1/ 2
归一化的平面波： Px
1/
2 e 1/ 2
i(
Px
x Et
)
2
归一化条件 Px (x,t) dx (Px Px)
12
函数 (r ,t) — 称为波函数。
描写粒子状态的波
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的函个平数复面，函波它数通。常是一
i ( Pr Et )
P (r , t) Ae
★如果粒子处于随时间和位置变化的力场
U (rr,t )中运动，它
的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就 不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
（2）波函数一般用复函数表示。
（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
3．波函数的归一化条件
令
(r,t) C(r,t)
7
§2.1 波函数的统计解释（续7）
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
t 时刻，在空间任意两点
是：
(r ,t)
1
§2.1 波函数的统计解释（续1）
• 三个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
2．波函数的统计解释
P
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
率最大。
解：(1).求归一化的波函数
2
(x,t) dx
A2
e2x2 dx A 2
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.
9
解 根据归一化的定义，我们有
1s 2d3r 1s 2dxdyd4z r2(er/a)er/adr
0
4 r2e2r/adra3
0
归一化的波函数为
~1s
1 er/a
a3
.
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c1 1c2 2 c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c 1 1 c 2 2 2 ( c 1 1 c 2 2 )c 1 (1 c 2 2 ) c 1 12 c 1 22 c . 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 11
归一化条件可表示为：
(x,y,z,t)2d1
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
.
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r ,t) A ex i(k p r [t)]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1 s(r, , )1 s(r) e r/a
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c 11 c 22 . .c .nnc nn
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
p(r,t)Nei(Etpr)
量或强度不同的两种波述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相.对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW (x,y,z,t) (x,y,z,t)2d
几率密度为： w (x,y,z,t) (x,y,z,t)2
量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
.
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
(r,t)Aei(prE)t
t
i
E
2
p2 2
.
15
利用自由粒子
E p2 2
i 2 2
t 2
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实
验证明它们两者却无关。 .
2
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释
2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
2.5 定态薛定谔方程
2.6 一维无限深势阱
2.7 线性谐振子 .
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Aei(krt)
2
.
18
粒子数守恒定律
wJ 0 t
Vw t dSJdS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
.
19
i2 2U(r) t 2
考虑一种特解 (r,t)(r)f(t)
ifd dft 1[2 22U(r)]常数 E＝
二、能量和动量算符
E i t
pi
.
16
三、薛定谔方程
一般情况下
E p2 U(r)
2
根据能量和动量算符
i2 2U(r) t 2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
.
17
几率密度 w (r,t)*(r,t)(r,t)
几率密度随时间的变化率
w**
t
t t
利用薛定谔方程
w t 2i (**)
令
Ji(**)
.
12
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r,t)c(p)p(r,t)
p
由于p可以连续变化
(r ,t) c (p ,t)p (r )dx d p y d p zp
式中
p(r)(21)3/2 eipr/
c(p,t)(2 1)3/2
(r,t)eiprdxdydz
.
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分. 布1(x) ＋2(x)
3
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
.
4
（3）电子 的双缝衍射
设入射电子
流很微弱，
几乎是一个
一个地通过
双缝。图中
的照片是在
不同时间下
拍的。
.
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的 双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢?
在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
13
1
(r,t)(2)3/2
c(p,t)e iprdxd pyp dzp
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波 函数。
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程，
(r,t)(r)ex piE ()t
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。
定态与定态波函数.
20
定态薛定谔方程
22 2
U(r)E
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U(r)
2
本征方程
Hˆ E
描写粒子的波称为几率波
.
6
（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。
在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。
在经典物理学中，波函数 (x,y,z,t)和 A(x,y,z,t) 代表了能