流体力学第三章
第三章流体力学
第三章：流体的流动一、学习要求1、理解理想流体、稳定流动、流线、流管、速度梯度、粘滞系数等基本概念。
2、掌握流体连续性方程和伯努利方程的意义和应用。
3、掌握泊肃叶公式的内涵和适用条件。
4、理解雷诺数及斯托克司定律在医学中的应用。
5、了解层流和湍流的概念及判断标准。
6、了解心脏做功、体内的血流速度及血压分布。
二、推荐学习方法1．体会物理模型的创建方法，重点体会在不同场合选择不同物理模型的依据和理由。
例如，理想流体（绝对不可压缩，完全没有粘滞性的流体），这一概念建立的依据是液体和气体的流动时，很多时候体积变化和摩擦耗能都很少，可以忽略不计，用理想模型使分析简洁，带来的误差又很小。
在应用此模型的时候，一定要注意实际现象中存在的体积变化和摩擦是否可以忽略。
如液体在粗管内流动，比如开口很大的容器底部开一小孔，求小孔处流速，由于水的可压缩性小，体积变化可忽略，容器大，流动时速度梯度小，内摩擦力可忽略，可应用伯努利方程；但如果在开孔处联结一较长细管，水在细管中流动时，粘滞性不可忽略，则要考虑伯肃叶定律；即使管道较粗，如管道较长，比如远距离输油、输水管道，求流量时也要考虑粘滞性。
2．严格遵循各物理规律的应用条件。
连续性原理是同一流管的不同截面处流速的关系，不可比较不同的流管；柏努利方程要在同一流线上使用，比较流体中两点的流速并应用柏努利方程时，一定要用一条流线将二者联系起来；在应用伯肃叶定理时一定要强调水平圆管中的层流。
三、解题指导2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈小，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈大，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？提示：两者所针对的对象是否一样？答：不矛盾，连续性原理指的是同一流管不同截面处的流速关系，截面大处流速小，而泊肃叶定律指出管子愈粗流速愈大是针对不同的流管。
两者没有可比性。
思考：连续性原理和泊肃叶定律的适用条件分别是什么？2-2为什么一个装有烟囱的火炉，烟囱越高通风的效果越好？（即烟从烟囱中排出的速度越大）提示：高空和低空空气的流动状态有无区别？答：由于高处空气的流动速度快，根据柏努利定律，烟囱顶端的气压低，底端气压高，从而推动空气挟带烟尘向烟囱顶部运动，促进通风。
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体力学
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
流体力学
表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理
想流体稳定流动过程中流体压强能与重力势
能之间的转换关系,即高处的压强较小,低处 的压强较大. 两点的压强差为
p1 p2 g (h2 h1 )
空吸原理
SB SA SC
S AvA SB vB
S A SB
vB vA
1 1 2 2 P vA P vB A B 2 2
vB 2 gh
管涌
铜壶滴漏 “寸金难买寸光阴”是再熟 悉不过的诗句了,其中揭示 了计量时间的方法.我国古 代用铜壶滴漏计时,使水从 高度不等的几个容器里依次 滴下来,最后滴到最低的有 浮标的容器里,根据浮标上 铜壶滴漏 的刻度也就是根据最低容器 说明其计时原理. 里的水位来读取时间.
(三) 压强与流速的关系 在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1≈h2,伯 努利方程可直接写成 1 2 1 2 p1 v1 p 2 v 2 2 2 1 2 p v 常量 2 平行流动的流体,流速小的地方压强大,流速 大的地方压强小(例).
(2)求虹吸管内B、C 两处的压强. 解:水面为参考面,则 有A、B点的高度为零,
C 点的高度为2.50 m, D点的高度为-4.50m.
(1)取虹吸管为细流管,对于A、D 两点,根据伯 努利方程有 1 2 1 2 ghA v A p A ghD vD pD 2 2 由连续性方程有
1 2 1 2 p A v A pB v B 2 2
1 2 PB P0 vB 2
根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率
处处相等,vB=vD.
1 2 PB P0 vB 5.7 10 4 Pa 2 结果表明,在稳定流动的情况下,流速大处压强
流体力学第三章课后习题答案
流体力学第三章课后习题答案流体力学第三章课后习题答案流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在学习流体力学的过程中，课后习题是巩固知识和提高理解能力的重要环节。
本文将为大家提供流体力学第三章的课后习题答案，帮助读者更好地掌握流体力学的相关知识。
1. 一个液体的密度为1000 kg/m³，重力加速度为9.8 m/s²，求其比重。
解答：比重定义为物体的密度与水的密度之比。
水的密度为1000 kg/m³，所以比重为1。
因此，该液体的比重也为1。
2. 一个物体在液体中的浮力与物体的重力相等，求物体在液体中的浸没深度。
解答：根据阿基米德原理，物体在液体中的浮力等于物体所排除液体的重量。
浮力的大小等于液体的密度乘以物体的体积乘以重力加速度。
物体的重力等于物体的质量乘以重力加速度。
根据题目条件，浮力等于重力，所以液体的密度乘以物体的体积等于物体的质量。
浸没深度可以通过浸没体积与物体的底面积之比来计算。
3. 一个圆柱形容器中盛有液体，容器的高度为10 cm，直径为5 cm，液体的密度为800 kg/m³，求液体的压强。
解答：液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度乘以液体的深度。
容器的高度为10 cm，所以液体的深度为10 cm。
重力加速度为9.8 m/s²，所以液体的压强为800 kg/m³乘以9.8 m/s²乘以0.1 m，即784 Pa。
4. 一个水龙头的出水口半径为2 cm，水流速度为10 m/s，求水龙头出水口附近的压强。
解答：根据质量守恒定律，水流速度越大，压强越小。
根据伯努利定律，水流速度越大，压强越小。
因此，水龙头出水口附近的压强较小。
5. 在一个垂直于水平面的圆柱形容器中，盛有密度为900 kg/m³的液体。
容器的半径为10 cm，液体的高度为20 cm。
求液体对容器底部的压力。
解答：液体对容器底部的压力等于液体的密度乘以重力加速度乘以液体的高度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。
单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为()dr d u u cd dr d u u ab d dr r dr r u u bc rd dr r u u ad r r rr ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-2,22,2θθθθθθθθθθ面面面面根据质量守恒定律，有()02222=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-dr d u u dr d u u d dr r dr r u u rd dr r u u r r r r θθθθθθθθθθ略去高阶无穷小项（dr ）2和drd ,且化简，得01=∂∂++∂∂θθu r r u r u r r 3-8 解：送风口流量s m s m Q /2.0/52.02.033=⨯⨯=断面1-1处的流量和断面平均流速sm A Q V s m s m Q Q /5.05.06.0/6.0/2.03311331⨯===⨯==断面2-2处的流量和断面平均流速s m s m A Q V s m s m Q Q /6.1/5.05.04.0,/4.0/2.02222332=⨯===⨯== 断面3-3处的流量和断面平均流速s m s m A Q V s m Q Q /8.0/5.05.02.0,/5.0333=⨯==== 3-9解：分叉前干管的质量流量为Q m0=V 0。
设分叉后叉管的质量流量分别为Q m1和Q m2,则有21210,m m m m m Q Q Q Q Q =+=故ρπρπρπ222112100200214482V d V d V d Q Q Q m m m =====解得s m s m d v d V /05.18/24.245262.22550212100201=⨯⨯⨯⨯==ρρs m s m d v d V /25.22/3.240262.22550222200202=⨯⨯⨯⨯==ρρ 3-10 解：()()021210,01=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=k k y v x u yv xu xyyy xx εεε角变形速率线变形速率()()()()()()22222222222222222222221212,22y x x y y x x y y x x y y u x v y x xyy v y xxyxu yyyy xx +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=+-=∂∂=+=∂∂=εεε角变形速率线变形速率()()22221210,03xy=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=y u x v yv xu yy xx εεε角变形速率线变形速率3-11解：线变形速率4212,42122-=⨯⨯-=∂∂==⨯⨯==∂∂=yv xy x u yy xx εε 角变形速率()()23221212212221212222=⨯++-⨯=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y x y x y u x v xy ε 涡量()()7221212222222-=⨯---⨯=+--=∂∂-∂∂=Ωy x y x yux v z 3-12 解：()无旋流,00000001⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ωk k y u x v x wz u z v y w z yx ()无旋流,00002⎩⎨⎧=-=Ω=Ω=Ωz y x()()()无旋流,0032222222222⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=Ω=Ω=Ωy x x y y x x y z y x ()有旋流,004⎩⎨⎧-=-=Ω=Ω=Ωααz y x()无旋流,05=Ω=Ω=Ωz y x ()无旋流,06=Ω=Ω=Ωz y x()()()无旋流得,022072222222222⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=y xxyky x xyk y u x v y x ky v y x kx u z y x ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=无旋流得,00822222222222222y x x y k y x x y k y u x v y x kx v y x ky u z y x （9）和（10）不满足连续方程，不代表流场3-13 解：任意半径r 的圆周是一条封闭流线，该流线上 线速度u θ=0r,速度环量2022r ru πωπθ==Γ(2)半径r+dr 的圆周封闭流线的速度环量为()202dr r d +=Γ+Γπω得()()20020202422dr rdr r dr r d d πωπωπωπω+=-+=Γ-Γ+Γ=Γ忽略高阶项20dr 2，得drdr d 04πω≈Γ（3）设涡量为，它在半径r 和r+dr 两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d 。
因为在圆环域上可看作均匀分布，得Γ=Ωd dA z将圆环域的面积dA=2rdr 代入该式，得rdr d rdr z 042πωπ=Γ=Ω可解出=2+dr/r 。
忽略无穷小量dr/r ，最后的涡量02ω=Ωz3-14 解：由u r 和u θ=Cr,得0,,,0,,=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=-=yvC x v C y u x u Cx v Cy u 依据式（3-5a ）和（3-5b ）,有()yC Cx C Cy y v v x v u a x C C Cx y yu v x u ua y x 220..0.-=+-=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂=可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。
显然，a r 代表向心加速度。
（2）由u r =0和u θ=C/r,得()()()()42424222424222424422422422222,,2,,ry C r Cxy r Cx r y x C r Cy y v v x v u a r xCr xy C r Cx r Cxy r Cx y u v x u ua r Cxyy v r y x C x v r x y C y u r Cxy x u r Cx v r Cy u y x =+--=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂==∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂=-=可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。
显然，a r 代表向心加速度。
3-15 解：当矩形abcd 绕过O 点的z 向轴逆时针旋转时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有变形。
故有dx v v dy u u z d z d ωω+=-=,其中，称是z 向角速率。
据题意，=/4rad/s.（2）因为矩形abdc 的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab 边和ac 边绕过O 点的Z 轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。