第8章第5节质心
第五节 角动量角动量守恒定理
第五节角动量角动量守恒定理第五节角动量角动量守恒定理第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容就是中学没碰触过的，就是大学物理教学的重点和难点。
许多同学难将对应状态问题与旋转问题中的概念和规律混为一谈，比如两种冲击摆问题。
建议使用投影方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、对应状态动能和旋转动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量动量和角动量动量……一一予以比较。
本章的重点就是刚体定轴转动问题，特别注意定轴条件下，各种规律都必须用标量式则表示。
还请注意动量动量在天体问题、粒子问题中的应用领域。
基本建议1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义,会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.认知角冲量（冲量矩）概念，掌控质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，娴熟展开有关排序。
16.掌控角动量动量的条件，娴熟应用领域角动量守恒定律解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：i的大小与刚体总质量、质量原产及转轴边线有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表中5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量2力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫作力对该参考点的力矩（图5.1）：即为：大小：由右手定则确定。
对于力矩的概念必须特别注意明晰以下问题：区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点（力×力臂）方向：旋转轴决定的平面，其指向的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
地理信息系统原理第6章 空间分析
i
其中，Wi为第i个离散目标物权重，Xi，Yi为第i个离散目标物的坐
标。
质心量测经常用于宏观经济分析和市场区位选择，还可以跟踪某些
地理分布的变化，如人口变迁，土地类型变化等。
距离量算
“距离”是人们日常生活中经常涉及到的概念，它描述了两个事物或 实体之间的远近程度。最常用的距离概念是欧氏距离，无论是矢量结构， 还是栅格结构都很容易实现。
是针对矢量数据结构，或者是针对栅格数据结构的空间数据。
线的长度计算
线状地物对象最基本的形态参数之一是长度。
在矢量数据结构下，线表示为点对坐标（X，Y）或（X，Y，Z）的序
列，在不考虑比例尺情况下，线长度的计算公式为：
n1
L
X i1 X i
2
Yi1 Yi
2
Zi1 Zi
2
1 2
ArcGis地理处理工具
1）局部工具集 局部工具可以将输出栅格中 各个像元位置上的值作为所有输入 项在同一位置上的值的函数进行计 算。 通过局部工具，您可以合并 输入栅格，计算输入栅格上的统计 数据，还可以根据多个输入栅格上 各个像元的值，为输出栅格上的每 个像元设定一个评估标准。
像元统计
合并 等于频数 大于频数 最高位置 小于频数 最低位置 频数取值
、右多边形是哪些。 ⑤ 线线查询，如与某条河流相连的支流有哪些，某条道路跨过哪些
河流。 ⑥ 线点查询，如某条道路上有哪些桥梁，某条输电线上有哪些变电
站。 ⑦ 点面查询，如某个点落在哪个多边形内。
⑧ 点线查询，如某个结点由哪些线相交而成。
2) 空间量算
空间信息的自动化量算是地理信息系统所具有的重要功 能，也是进行空间分析的定量化基础。其中的主要量算有：
第八章 动能定理
第八章动能定理引言应用动力学基本方程是解决运动变化与力之间的关系的基本方法，但在许多实际问题中，特别是研究运动过程较复杂的质点系问题时，要列出每一个质点的运动方程十分困难。
动能定理建立了物体动能变化与受力所作的功之间的关系，应用动能定理解决动力学问题，淡化了具体的运动过程，使计算得到简化。
在物理中，质点的动能定理已作为重点内容进行了研究。
在理论力学中，动能定理的基本意义与物理所讲的完全相同。
为了避免重复，在本章，重点对动能定理的应用范围进行拓宽。
基本要求1、加深对功和动能概念的理种功和动能的求法，2、加深对动能定理的理解，理的应用。
3、了解功率和效率的概念第一节力的功一、功的概念物体受力的作用后，其运动状态将发生改变，这种改变不仅与力的大小和方向有关，还与物体在力的作用下所走过的路程有关。
功就是描述力在一段路程中对物体的积累效应，我们将（不变的）力Ｆ在物体运动方向上的投影F cos 与物体所走过的路程S的乘积，称为力Ｆ在路程S中对物体所作的功。
即：W F S =cos α在上式中，α表示力F 与运动方向的夹角，α<90°时，力作正功；反之力做负功。
可见，功是一个只有大小、正负而没有方向的量，是一个代数量。
功的单位由力和路程的单位来确定，在国际单位制中，功的单位是焦耳（J ），即：焦耳＝牛顿⨯米（1J 1N m =⋅）若在变力Ｆ作用下物体沿曲线运动，则可将路程S 分成为无限多个小微段dS，并将dS 视为直线，将该微段内的力Ｆ视为常力。
力在此微段上所作的功称为元功，用dW 表示。
即dW F dS =⋅cos α若求变力Ｆ在一段路程S 上所作的功，可对元功积分。
即：W dW F dSSS ==⎰⎰cos α二、几种常见力的功 1、重力的功重力的功等于物体的重力与物体重心始末位置的高度差的乘积，即W G h =±可见，重力的功只与物体的始末位置有关，而与物体运动的具体路径无关。
《高等数学II》教学大纲
《高等数学II》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：高等数学II英文名称：Higher mathematics II课程类别：公共课学时：64学分：4适用对象: 理工科专业考核方式：考试先修课程：高等数学I二、课程简介《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。
通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。
Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series.三、课程性质与教学目的目前，《高等数学II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2”的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。
大学物理 马文蔚 课堂笔记
即水分子的质心在对称轴上 距氧原子中心6.8 10-12m处.
3 /14
§3.9 质心 质心运动定律
例 2 求半径为R的匀质半薄球壳的质心. 解 如图所示, 将坐标原点建在球壳的球心.
根据对称性可知, 质心的位置应该在对称轴(z轴)上. 即 xc 0 ; yc 0 由质心的计算公式可得,
化简得
m2 2 (m ) m 2mgR m'
2m' gR ; m m'
上海师范大学
m
m'
m m m m' m'
2m' gR m m'
13 /14
习 题 课
m
2m' gR ; m m'
m'
m m'
2m' gR m m'
2m' gR m m'
d rc d ri 由速度的定义式可知 是质心的运动速度; 是第i个质点的运动速度. dt dt 因此, (5)式可以写成, n n m'c mii pi pc (6)
i 1 i 1
n dr dr m' c mi i dt dt i 1
m1 2m2
2m2 ' 0 m1
10 /14
上海师范大学
习 题 课
碰撞后,摆锤在竖直平面内作圆周运动,
' 最高点处的速率为 H , 最高点处摆锤受到重力mg和绳子
' H
的拉力F的作用, 如图所示 因此 在最高点处有,
F mg Fn
m1
F mg
' ( H ) 2 由此可得 F m2 g m2 l ' ( H ) 2 F 0 m2 m2 g l
质心运动定理
Newton 第三定律和动量守恒Newton 第二定律给出了任何物体的加速度与作用在它上面的力之间的关系，在这个基础上，原则上可以解决任何力学问题。
例如，为了确定几个粒子的运动，人们可以利用前面一节中所展开的数值方法。
但是我们有充分的理由来进一步研究Newton 定律。
首先，有一些十分简单的运动不仅可以用数值方法分析，也可以直接进行数学分析。
比如：虽然我们可以按数值方法计算简谐振子的位置，但是分析这个运动并找到一般解cos x t =，则更令人满意。
同样，一个行星由引力决定的绕太阳的运行固然可以用上一节的数值解法逐点地加以计算，从而找到轨道的一般形状，但能够得到准确的形状——分析表明这是一个完整的椭圆——就更好了。
因此，当存在一种简单而又更为精确的方法以得出结果时，再去用一系列麻烦的算术运算就毫无必要了。
遗憾的是，只有很少问题能够以分析方法精确求解。
例如就简谐振子来说，如果弹簧力不是正比于位置，而是更为复杂的话，人们就只得又回到数值解法上来。
或者，假如有两个天体绕太阳运行，使天体的总数是三个，那么分析法就无法得出一个简单的运动公式，实际上这个问题只能作数值解。
这就是有名的三体问题，今天，它已作为常规计算准确地按上一节所描述的方式进行充分的演算后，加以解决了。
十分有趣的是，人们曾经化了那么长时间才领悟到也许数学分析的能力是有限的，因而使用数值解法是必要的这个事实。
然而，也有一些两种方法都失效的情况：对简单的问题我们可以用分析方法，对适当困难的问题可以用数值和算术方法；但是对非常困难的问题则这两种方法都不能用了。
例如：两辆汽车的碰撞，或者甚至气体中分子的运动，就是一种复杂的问题。
在一立方厘米的气体中有数不清的粒子，而试图用这么许多变量(约个——即一万亿亿个)来作计算将是荒谬的。
任何问题，如果不是只有二、三个行星绕太阳运行，而是诸如象气体、木块、铁块中的分子或原子的运功，或在球状星团中许多恒星的运动之类这样的问题，我们就不能直接去解，因此只好借助于其他手段。
《弹道学》教案
《弹道学》考试知识点弹道学是兵器类专业的一门学科基础教育课程，通过掌握弹丸在膛内的运动规律、膛内压力的形成规律、弹丸在空气中运动规律、内外弹道诸元计算方法以及与弹道测试等有关的内弹道、外弹道的基本概念、基本理论和基本方法。
但不同的学科对弹道学的知识面要求重点有所不同，其中弹药工程、弹箭飞行与控制工程学科对外弹道的内容要求更多，其他如兵器发射理论与技术、火炮自动武器、机动武器系统工程、武器系统与信息工程等学科在内弹道理论知识面要求更多。
第0章概述（了解）掌握弹道发射过程的高温、高压、高速、瞬时特性，了解弹道学在武器设计中的地位和作用，了解整个弹道的过程及弹道学的发展历程。
1、结合火炮自动武器的射击过程、理解弹道全过程。
（掌握）2、理解内弹道学的研究对象、特点。
（理解）3、理解外弹道学的研究对象、特点。
（理解）4、了解内弹道学、外弹道学的发展及其实际应用。
（了解）第1章火药的燃烧规律（重点）理解火药的一般知识、熟练掌握定容密闭容器的火药气体状态方程、熟练掌握射击情况下的火药气体状态方程、熟练掌握火药的几何燃烧定律、掌握火药气体生成速率、熟练掌握形状函数、掌握燃烧速度定律；熟悉弹道学中火药燃烧建模的基本思路和简单公式推导，对其中的概念如爆温、火药力、药室容积缩径长、压力全冲量、装填密度等基本概念要熟记，并能结合工程实际的例题，进行火药燃烧的形状函数及其规律分析、火药力和余容的实验分析测定。
第一节：火药的基本知识（1）火药的分类（简单了解）（2）火药的能量特征量（掌握）（3）火药的形状参数（熟练掌握）第二节：火药气体定容状态方程（1）密闭爆发器基本结构（了解）（2）火药气体状态方程及Nobel-Alber（熟练掌握）（3）火药力和余容的测定方法（熟练掌握）第三节：变容情况下火药气体方程（1）假设条件（熟练掌握）（2）自由容积缩颈长及相关参数定义（熟练掌握）（3）变容情况下火药气体方程（熟练掌握）第四节：火药的几何燃烧定律及形状函数（1）几何燃烧定律及其应用条件（熟练掌握）（2）气体生成速率（熟练掌握）（3）简单形状火药形状函数的建立（熟练掌握）（4）简单形状火药形状函数的分析（熟练掌握）第五节：火药的燃烧速度定律（1）正比式、二项式和指数式火药燃烧速度分析比较。
第课汽车总体受力分析_图文
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析
本章内容安排
第1课 车辆行驶原理 第2课 汽车总体受力分析 第3课 拖拉机及其机组总体受力分析
*
2
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析
本节课的主要内容
一、汽车行驶方程式 二、车轮地面法向反作用力 三、作用在驱动轮上的地面切向反作用力 四、附着率
速度区间的加速时间；常将速度区间(常取5km/h为一间隙)分为若干间隔
，通过确定面积Δ 1、Δ 2、…，来计算（总）加速时间
加速换挡时刻的确定: 为了获得最短加速时间，应在
交点对应车速由Ⅰ挡换Ⅱ挡
若Ⅰ挡和Ⅱ加速度倒数曲线不 相交，则应在I挡加速行驶至发 动机转速达到最高转速时换入 Ⅱ挡。
*
加速度倒数曲线
2．高速行驶时的附着率 汽车在良好道路上高速行驶时，道路的坡度与汽车加速度均很小。 令
高速行驶时后轮驱动汽车的后驱动轮附着率为
忽略坡度阻力和加速阻力
*
28
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析 四、附着率
图中的法向反作用力与附着率是按三种空气升力系数求得的，即后升力系数为0.28、
当车速为300km/h、CLr=0.28时，Cφ2=0.99；
CLr =0.15时，Cφ2=0.74。
这说明在极高车速下，即使是良好路面也不能满足附着性能的要求。
*
29
附着力以高速、高加速度通过大坡度行驶时，动载荷的绝对值也 达到最大值。
*
15
第八章 汽车拖拉机 总体动力学
第2课 汽车总体受力分析
三、作用在驱动轮上的地面切向反作用力
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作业:P 342 1(2) ， 3 ， 4
11
所构成的质点系，则这个质点系的重心（位置）坐标为
x
m x
i 1 n
i
n
i
m
i 1
i
离 散 质 点
y
m
i 1 n i 1
n
i
yi
i
m
下面推广这个概念,利用定积分计算弧的质心.
2
§8.5 质 心
假设 l 为平面上一段质量分布均匀(密度为常数 )的 光滑曲线. 这时这段曲线的重心由曲线形状完全确定.
r
r
2 s
2r
。
F y , F为将半圆弧绕x轴旋转而成旋转曲面 2 s 4 r 2 2r （球面）面积，即 y . 2 r
6
§8.5 质 心
例2： 已知一抛物线段y x 2 1 x 1 ,曲线段上
习题
任一点处的密度与该点到y轴的距离成正比，
将l分成n个小段l1，l2 ln，长度分别为 s1 sn . 则每一小段的质量为 si .在li内任取一点 (i ,i ),
并把这一段弧的质量看 作集中在这一点的质点 , 于是,
利用上述质点系质心坐 标公式知弧 l质心坐标 ( x, y)近似为:
x
s s
i 1 n i i
n
n
s
i 1
i 1 n
i
i
i
s
i 1
,
y
s s
i 1 n i i
n
n
i
s
i 1
i 1 n
i
i
i
s
i 1
,
i
3
§8.5 质 心
记 maxsi ，则越小时，上述公式近似 程度越高， 当 0时，有
解： （注：为已知且有 .)
xds x ds
l l
加
a cos a 2 sin 2 a 2 cos 2 d
a
sin
ad
表明形心在x轴上. 10
由对称性知 y 0.
§8.5 质 心 例4: 求由抛物线ax y2 , ay x2 a 0 所围图形的形心坐标。
l
t1
t0
2 2 y (t ) x (t ) y (t )dt
s
s
2
,
s
t1
t0
x(t )
2
y '(t ) dt .
为曲线段长度. 8
§8.5 质 心
若密度不是常数，而是 x 的连续函数 ( x) a x b ，则质心坐标为
x
x ( x ) ds ( x ) ds
极限过程:有限转化为无限
xds x ds
l l
连 续 曲 线 弧
yds y ds
l l
这里的积分为曲线积分,通过弧长微分将之转化为定积分.
ds 1 f ( x) dx
2
s 1 [ f ( x)]2 dx.
a
b
4
§8.5 质 心
讨论结果
若曲线段方程为 y f x a x b ，
§8.5 质 心
引 言
前面所讨论的都是定积分在几何中 的一些应用问题(求弧长.面积.体积等), 本节讨论定积分在物理中的一种应用--求重心位置(坐标)问题.(平面)
1
§8.5 质 心
定义：均匀物体的质心（重心）叫做形心。
(i 1,2, n) 在物理学中， 平面上有 n 个质点 xi , yi ， 每一个质点的质量为 mi
s 1 [ f ( x)]2 dx. 为曲线段的长度.
5
§8.5 质 心
例 1： 求以 r 为半径的半圆弧的形心。
2 2 y r x 解： 设此半圆弧的方程 。
由对称性知 x 0 (表明重心在 y 轴上)。
y
r r
y 1 y ' dx
2
s
2 y 1 y '2 dx
解： 解方程组 得交点为 0， 0 和 a , a .故 2 ax y a x2 加 x ax dx 2 0 a 9 ay x x a 2 a 20 x ax dx 9 0 a 由对称性 y a.
7
§8.5 质 心
若曲线段方程为参数方 程：x x（t），y y（t）（t0 t t1），
t0，t1 内连续，则质心坐标为 并且x（t），y（t）都在 ：
xds x
l t1 t0
x(t ) x2 (t ) y2 (t )dt s
s
,
yds y
l l
b
a
xdm m
y
y ( x )ds ( x )ds
l l
bba Nhomakorabeaydm m
其中 dm ( x )ds ， m 为线段 l 的总质量。
a
( x ) ds
9
§8.5 质 心 例3: 求圆弧x a cos , y a sin 的形心坐标。
x 1处的密度为5，求此曲线段的质量。 解： 设密度函数为 x c x , c是常数。
将x 1, 1 5代入上式，得 c 5
故 x 5 x .
1
1
故所求的质量为
2
5 m x ds 5 x 1 2 x dx 5 5 ln 2 5 . 1 1 2
f ' x 在 a, b 连续，则此曲线段的质心坐标为
b b
xds x 1 y ' dx x ds 1 y ' dx
2 l a b 2 l a
b a
yds y 1 y ' dx y ds 1 y ' dx
2 l a b 2 l a