平均变化率的概念及几何意义
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
四、课堂运用
【基础】
1.求 在 到 之间的平均变化率，并求 ， 时平均变化率的值.
【解析】当变量从 变到 时，函数的平均变化率为
当 ， 时，平均变化率的值为： .
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+ ]的平均变பைடு நூலகம்率
【解析】 ，
所以平均变化率为
【巩固】
1.自由落体运动的运动方程为 ，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段的平均速度（位移s的单位为m）。
【解析】要求平均速度，就是求 的值，为此需求出 、 。
设在[3，3.1]的平均速度为v1，则
，
。
所以 。
同理 。
。
2.过曲线 上两点 和 作曲线的割线，求出当 时割线的斜率.
【解析】当 时
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
【拔高】
1.函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()
A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
一对一辅导教案
学生
性别
年级
学科
授课教师
上课时间
年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时： 课时
教学课题
平均变化率的概念及几何意义；
教学目标
1．了解平均变化率的几何意义；
2．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点与难点
平均变化率的概念，导数的几何意义
教学过程
教学过程
一、复习预习
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2.求函数y=3x2在点 处的导数.
【解析】因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为 即
【拔高】
1.已知函数 可导，若 ， ，求
【解析】
2.在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。
【解析】 ，
设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0
∴
【例题2】求 在 附近的平均变化率
【答案】
【解析】解： ，所以
所以 在 附近的平均变化率为
【例题3】求函数y=3x2在x=1处的导数.
【答案】6
【解析】：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
再求 再求
【例题4】:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【答案】
2.f(x)在x＝x0处可导，则 ()
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
【答案】B
【解析】式子 表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．
课后作业
【基础】
1.利用导数的定义求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
【解析】（1） ，
∴ ，
∴ 。
（2） ，
∴ ，
∴ 。
（3） ，
∴ ，
∴ 。
（4） ，
∴ ，
∴ 。
【巩固】
1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】 ,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段的平均速 度粗略地描述其运动状态?
二、知识讲解
本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析
考点1：平均变化率概念
1．上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝
li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li .
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
三、例题精析
【例题1】已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则 ．
【答案】
【解析】解： ，
2．若设 , (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 )
3．则平均变化率为
考点2导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2） ，当 时， ，所以
考点/3导数的几何意义
……
【拔高】
1.用导数的定义，求函数 在x=1处的导数
∵
∴
∴ 。
2.已知函数 可导，若 ， ，求
【解析】 （ ）
（令t=x2，x→1，t→1）
课程小结
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 .
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 .
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【答案】C
【解析】由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
【巩固】
质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()
A．4＋4t0B．0
C．8t0＋4D．4t0＋4t
【答案】C
【解析】Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即P（2，4）。
（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以 ，得 ， ，
即 。
（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得 ， ，
即 。
课后作业
【基础】
函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
新高考视角下的导数新授课：导数的概念及其意义
第一节：导数的概念与几何意义课时1.导数的概念一．知识梳理 1.平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --,如果函数的自变量的“增量”为x ∆，且21x x x ∆=-，相应的函数值的“增量”为y ∆，21()()y f x f x ∆=-，则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 2. 导数的概念（瞬时变化率）（1）函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()0000limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0|x x y ='，()()()00000lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． （2）求导数值的一般步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③求极限，得导数：00000()()'()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆． 二．典例分析 例1．函数()31f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【解析】由题，函数()31f x x =-+在区间[]1,2-上的平均变化率为()()()()()332111213213f f -+-⎡⎤-⎣⎦-+--==---，故选：D 例2．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则该物体在1t =s 时的瞬时速度为（ ）A ．0m/sB ．1m/sC ．2m/sD ．3m/s【解析】该物体在时间段[]1,1t +∆上的平均速度为()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆，当Δt 无限趋近于0时，3t +∆无限趋近于3，即该物体在1t =s 时的瞬时速度为3m/s ．故选：D变式3．（2022·全国·高二单元测试）设函数()1f x ax =+，若()12f '=，则=a （ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】∵()()()()()0111111limlim x x f x f a x a f a x x∆→∆→+∆-∆++-+'===∆∆，且()12f '=，∴2a =． 例4．已知函数()243f x ax ax b =-+，()11f '=，()12f =，求实数a ，b 的值. 【解析】()()()0111lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆()()20441133lim x a x a x b a a b x∆→⎛⎫+∆-+∆+--+ ⎪⎝⎭=∆()2002223lim lim 133x x a x a x a x a a x ∆→∆→∆+∆⎛⎫==∆+== ⎪∆⎝⎭，∴32a =.又()4123f a a b =-+=，∴52b =. 故32a =，52b =. 下面的问题主要考察了导数定义深层次的理解例5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若(3)(3)lim4x f x f x x∆→-∆-+∆=∆，则()3f '=（ ）A ．0B ．2-C ．1D ．12-【解析】因为0(3)(3)lim1x f x f x x ∆→-∆-+∆=∆，所以0(3)(3)(3)(3)lim x f x f f f x x∆→-∆-+-+∆∆，0(3)(3)(3)(3)limlim 2(3)4x x f x f f x f f x x'-∆→∆→-∆-+∆-=--=-=-∆∆，故()3 2.f '=-故选：B 例6．已知函数()f x 的导函数为(),(2)2f x f -'=-'，则0(24)(2)lim x f x f x∆→--∆--=∆（ ）A ．8-B ．2-C ．2D ．8【解析】由导数定义和()22f '-=-，得0(24)(2)(24)(2)lim(4)lim 4(2)84x x f x f f x f f x x∆→∆→--∆----∆--'=-⨯=--=∆-∆.故选：D.三．习题演练习题1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()15f '=，则()()121lim x f x f x∆→+∆-=∆（ ） A ．2B ．52C ．5D ．10【解析】因为()15f '=，所以()()()()()012121102121lim 2limx x f x f f xf x f x∆→∆→+∆-=-'=∆+∆=∆，故选：D.习题2．已知函数()21f x x =+，则()()22limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】因为()21f x x =+，所以()()()()2200222121lim lim x x f x f x x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆+--∆-=∆∆ 08lim8x xx∆→∆==∆故选：D习题3．设函数()f x 在=1x 处存在导数为2,则()()11lim3x f x f x∆→+∆-=∆=_______________．【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得： ()()011lim3x f x f x ∆→+∆-∆=()()0111lim 3x f x f x∆→+∆-∆=()31213f '⨯=.故答案为：23习题4．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知()0f x m '=，则()()0003limx f x x f x x∆→-∆-=∆_________．【解析】∵()0f x m '=，∴原式()()00Δ03Δ3lim 3Δx f x x f x x →--=-- ()033f x m ='-=-．故答案为：3m -课时2.导数的几何意义一．基本原理1.平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数()y f x =的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率．如图所示，2121()()A B AB A B y y f x f x yk x x x x x--∆===--∆．这样，平均变化率的正负与割线斜率正负一致.2.导数的几何意义——曲线的切线定义：如图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．T 也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．备注：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在0x x =处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．②0()0f x '>，切线与x 轴正向夹角为锐角，()f x 瞬时递增；0()0f x '<，切线与x 轴正向夹角为钝角，()f x 瞬时递减；0()0f x '=，切线与x 轴零度角，瞬时无增减．（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C 都用“与C 有且只有一个公共点”来定义C 的切线呢？如图的曲线C 是我们熟知的正弦曲线sin y x =的一部分，直线l 2显然与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 有不止一个公共点，但我们可以说直线l 1是曲线C 在点N 处的切线．3. 曲线的切线的求法（导数法）（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 二．典例分析例1．（2022·全国·高二课时练习）曲线()2f x x=-在点()1,2M -处的切线方程为______．【解析】因为()()2211211f x f x x x x-++∆-+∆==∆∆+∆，当0x ∆→时，()()112f x f x+∆-→∆， 所以()12f '=，即切线的斜率2k =，所以切线方程为()221y x +=-，即240x y --=． 故答案为：240x y --= 例2．2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（ ）A ．290x y ++=B ．290x y +-=C ．290x y -++=D ．290x y -+-=【解析】由已知，2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，∴()()033lim x f x f x∆→-∆-∆＝()()()033lim32x f x f f x ∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．例3．（2022·全国·高二课时练习）曲线23y x x =-的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________.【解析】设切点坐标为()00,x y ，()()()22200000003323lim lim231x x x x x x x x x x x x k x xx∆→∆→+∆-+∆-+∆-∆+∆===-=∆∆，解得02x =，20262y =-=-.切点为()2,2-. 故答案为：()2,2-.例4．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，则()()55f f '+=（ ）A ．-2B ．3C ．2D ．-3【解析】因为函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是9y x =-+，所以()()5594,51f f '=-+==-，所以()()55413f f '+=-=，故选：B.例5．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则（ ）A ．(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<B ．(4)(2)(4)(2)2f f f f -<<'' C ．(4)(2)(2)(4)2f f f f -<<'' D ．(4)(2)(4)(2)2f f f f ''-<< 【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ，结合图象，可得12l l l k k k <<，所以(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<.故选：A. 题型：过某点的曲线的切线 例6．试求过点(1,3)P -且与曲线2yx 相切的直线的斜率．【解析】设切点坐标为()00,x y ，则有200y x =．因为2200()limlim 2x x y x x x y x x x∆→∆→∆+∆-'===∆∆，所以02k x =．切线方程为()0002y y x x x -=-，将点(1,3)-代入，得02200322x x x --=-，所以200230x x --=，得01x =-或03x =．当01x =-时，2k =-；当03x =时，6k =．所以所求直线的斜率为2-或6．例7．已知函数()32y f x x x ==+-，直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【解析】设切点为()00,x y ，因为()()()()()3300000022y x x x f x f x x x x x =+-=+++--+∆∆∆-∆()()()20320313x x x x x =+++∆∆∆，所以()2200313x x y x x x ∆∆+∆+∆=+．当x ∆趋于0时，y x∆∆趋于2031x +，即()20031f x x '=+，所以切线方程为()()()320000231y x x x x x -+-=+-，因为切线过原点，所以()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，所以()14f '-=，故直线l 的方程为4y x =，又()14f -=-，所以切点的坐标为()1,4--．课时3. 复习与习题讲评一．基本原理知识点1（易错点）. 在点求切线与过点求切线1. 求曲线在某点（切点))(,(00x f x ）处的切线方程的步骤：2.切线过点))(,(11x f x ，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤：①设切点()()00,x f x ，②建立切线方程00()()()y f x f x x x '-=-，③代入点))(,(11x f x 到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：⎪⎩⎪⎨⎧--==01010'00)()()()(x x x f x f x f x f y解出切点坐标，从而写出切线方程． 知识点2.导函数的概念由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到，当时，0()f x '是一个确定的数，那么，当x 变化时，便是x 的一个函数，我们叫它为f （x ）的导函数．记作：()f x '或y '， 即：0()()()limx f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆注：（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x 而言的，也就是函数()f x 的导函数． （3）函数()f x 在点0x 处的导数()f x '就是导函数()f x '在0x x =处的函数值． 在点00(,())x f x 处的切线与过点00(,)x y 的切线的区别．在点00(,())x f x 处的切线是说明点00(,())x f x 为此切线的切点；而过点00(,)x y 的切线，则强调切线是过点00(,)x y ，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点00(,)x y 的切线方程时，先应判断点00(,)x y 是否为曲线()f x 上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点11(,())x f x ，求过此切点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，再将点00(,)x y 代入，求得切点11(,())x f x 的坐标，进而求过点00(,)x y 的切线方程．知识点3.证明：在定义域R 上，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 二．典例分析例1．曲线()1y f x x ==在点P 处的切线与直线14y x =垂直，则点P 的坐标为______． 【解析】易知曲线在点P 处的切线的斜率为4-，设001,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()()()00000000111f x x f x x x x x x x xx x x x x x -+∆-+∆-∆===-∆∆∆+∆+∆， 当0x ∆→时，()()00201f x x f x x x +∆-→-∆，所以02011=42x x --⇒=±，则点P 的坐标为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.例2．设函数()f x 在2x =处的导数存在，则()122f '-=（ ）. A ．()()022lim2x f x f x∆→+∆-∆B ．()()022lim2x f f x x∆→-+∆∆C ．()()022lim 2x f x f x∆→-∆-∆D ．()()022lim 2x f f x x∆→--∆∆【解析】因为函数()f x 在2x =处的导数存在，所以()()()()()00222211limlim 2222x x f f x f x f f x x ∆→∆→-+∆+∆-'=-=-∆∆，故B 正确.又∵()()()()()00222211limlim 2222x x f x f f x f f x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，所以C 正确. 故选：BC.例3函数()f x 的定义域为R ，()31f x -为奇函数，且()1f x -的图像关于1x =对称．若曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，则曲线()f x 在2023x =处的切线方程为（ ） A ．24046y x =-+ B ．24046y x =+ C ．24046y x =-D ．24046y x =--【解析】因为()31f x -为奇函数，即()()3131f x f x --=--， 所以，函数()f x 的图像关于点()1,0-对称，即()()2f x f x --=-，因为()1f x -的图像关于1x =对称，所以()f x 的图像关于0x =对称，即()()=f x f x -， 所以，()()()22f x f x f x --=+=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，所以曲线()f x 在2023x =处的切线斜率等于曲线()f x 在=1x -处的切线斜率，因为曲线()f x 在1x =处的切线斜率为2，图像关于0x =对称，所以，曲线()f x 在=1x -处的切线斜率为2-，因为()()11f f =-，()()11f f -=--，所以()()110f f =-=，所以()()120230f f =-=，所以曲线()f x 在2023x =处的切线方程为()022023y x -=--，即24046y x =-+.故选：A变式2．（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C ．在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D ．在[]12,t t ，[]23,t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【答案】D【解析】A 选项，根据图象可知，在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A 选项结论正确.B 选项，根据图象以及导数的知识可知，在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B 选项结论正确.C 选项，根据图象可知，在[]23,t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于D选项，根据图象可知，在[]12,t t这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率在[]23D选项结论错误.故选：D。
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。
平均变化率的几何意义课件
平均变化率可以反映该段区间 内因变量相对于自变量的平均
变化速度
平均变化率为正表示因变量在 该段区间内呈上升趋势，即正
增长
平均变化率为负表示因变量在 该段区间内呈下降趋势，即负
增长
平均变化率的应用
判断函数单调性
总结词
平均变化率可以用于判断函数的单调性。
详细描述
平均变化率是函数在某区间上的改变量与区间的比值，当这个比值大于0时，函 数在该区间上是单调递增的；当这个比值小于0时，函数在该区间上是单调递减 的。
近似计算
总结词
平均变化率可以用于进行近似计算。
详细描述
在某些情况下，我们可以利用平 均变化率来近似计算函数的值， 这种方法称为微积分中的微分法。
平均变化率的拓展
导数的概念
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率，它描述了函数在该 点的切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲 线在某一点的切线斜率， 即曲线在该点的变化趋势。
曲线的变化趋势
01
曲线的形状代表因变量 随自变量的变化趋势
02
曲线的陡峭程度代表变 化率的绝对值大小
03
曲线向上代表因变量随 自变量增加而增加，即 正相关关系
04
曲线向下代表因变量随 自变量增加而减少，即 负相关关系
平均变化率的几何意义
01
02
0304平均Fra bibliotek化率是曲线在某一段区 间上的平均倾斜程度
平均变化率的几何意义课件
引言
课程背景
01
平均变化率是微积分学中的基本 概念，它描述了一个函数在某区 间上的变化快慢。
02
几何意义是将平均变化率与线段 的长度联系起来，从而在几何空 间中解释函数的变化趋势。
平均变化率及其几何意义
平均变化率及其几何意义
平均变化率是衡量投资或经济数据变化情况的一个重要参数。
它可以提供有关一段事件、投资等变化的全面概况，因此被经常用于估计重要的经济数据，以及评估投资收益的可靠性。
一、什么是平均变化率
平均变化率是衡量一段事件或投资的变化情况的数据，也叫做变化速率、变化率或百分比变化率。
它指的是从一组数据的开头到结尾之间，每个数据点间的平均改变值，以百分比来表示。
二、平均变化率的计算
平均变化率可以通过以下公式计算：
平均变化率 = (结尾数据值 - 开头数据值) / 开头数据值
例如，假设从某个时刻开始，某个基金投资组合的价值从100到200，那么这段时间内的平均变化率就是：（200-100）/100 = 100%。
三、平均变化率的几何意义
由于平均变化率反映的是数据的累计变化，它也具有几何意义。
如果一个投资组合在一定时间内的平均变化率为100%，那么这段时间的投资组合总体上就处于增长的趋势，那么投资组合的价值会两倍增长。
相反，如果平均变化率为-100%，则表示该投资组合所处的趋势是下降的，那么投资组合的价值会两倍下降。
四、平均变化率的用途
平均变化率可以用来比较不同的投资组合的表现，这样可以让投资者更好地抉择有潜力的投资组合。
此外，平均变化率还可以帮助投资者了解不同时间段投资价值的变化趋势。
五、总结
平均变化率是用于了解投资价值变化趋势的重要参数，它衡量一段时期内数据的各种变化方向，具有几何意义和应用价值。
尽管这一概念不是投资行情精准分析的最终答案，但是它有助于投资分析的可信度，使投资者更好地进行投资决策。
曲线在点处切线的斜率D
A、在 x xo处的斜率 B、在点 (xo, f (xo ))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值
C、曲线 y f (x)在点 (xo , f (xo ))处切线的斜率
D、点 (xo , f (xo ))与（0，0）连线的斜率
应用举例——利用导数几何意义求切线方程
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
x
x2 x1
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
3、导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
4、由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本步骤是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1)
lim
x0
x
y = x 2 +1
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
y
P
M
x
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
对于导数几何意义的理解应该注意的问题： 1、提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法。
2、切线斜率的本质——函数在 x xo处的导数。
3、曲线在某点处的切线与该点的位置有关。
4、求曲线在某点处的切线的前提是函数在该点处的 导数存在。
瞬时变化率
长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y
（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以
下函数关系：
y f (x) 2 x
估计该合金棒在x=2m处的线密度 分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度， 就是这段合金棒的平均线密度。 解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到 下表
（四）、练习： 课本30页练习2：1、2. （五）、作业：
课本习题2-1：3、4、5
一、教学目标： 1、理解函数瞬时变化率的概念； 2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能
根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快 慢。
3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解 决一些简单的实际问题。
二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某 点处变化的快慢。
（Δt）/s
路程的改 变量（Δs ） /m源自 平均速度/（m/s）
5
5.1
0.1
4.95
49.5
5
5.01
0.01
0.49
49.049
5
5.001
0.001
0.049 49.0049
5
5.0001 0.0001 0.0049 49.00049
5
…
…
…
…
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋 于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬 时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出， 瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持 这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动 49m。
（三）、小结：对于一般的函数y f (x)
，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若 设Δx= x1－x０，y f (x1 ) f (x0 )，则函数的
选修2-2平均变化率
数学应用
例3、已知函数 f (x) = x2, 分别计算 f (x)在下列区 、 在下列区 y 间上的平均变化率： 间上的平均变化率： （1）[1，3]； ） ， ； （2）[1，2]； ） ， ； （3）[1，1.1]； ） ， ；
4
3 2.1 （4）[1，1.001]. 2.001 ） ，
课后思考: 课后思考:为什么平均变化率
r
1 O 1 2 3
v
r (V 2 ) − r (V1 ) V 2 − V1
气球的平均膨胀率， 气球的平均膨胀率，反映了气球半径变化 的快慢程度. 的快慢程度
思考? 思考
问题情境1 问题情境2 问题情境3 T (t 2 ) − T (t1 ) 气温的平均变化率 = t 2 − t1 h(t 2 ) − h(t1 ) 平均速度 v = t 2 − t1
令∆x = x2 − x1
∆y = f ( x2 ) − f ( x1 )
∆x是一个整体符号 , 而不是 ∆与x相乘 .
f ( x2 ) − f ( x1 ) ∆y = x2 − x1 ∆x
定义理解： 定义理解：
1.式子中的 △ x , △ y 值可正可负，但是 △ x 式子中的 值可正可负， 值不可以为 0， △ y 值可为 0. ， 2.变式： ∆ x = x2 − x1 , x2 = ∆x + x1 变式： 变式
∆y f ( −1) − f ( −3) 4 = = =2 ( −1) − ( −3) 2 ∆x
∆y f (5) − f (0) 10 = = =2 5−0 5 ∆x
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平 思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平 y=kx+b在区间[m,n] 均变化率有什么特点？ 均变化率有什么特点？
高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选择性必修第三册
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平 均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在 t0 到 t1 这段时间内运动的平均速度就是物体运动 的位移函数 s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实 质就是求函数的平均变化率．
[跟进训练] 3．一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之 间的函数关系为 s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在 2≤t≤3 这段时间内的 平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．6 B [由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m) ＝26，解得 m＝1，选 B.]
当ΔΔyx＝0 时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如 f(x) ＝x2 在区间[－2,2]上的平均变化率是 0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义 如图所示，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线 AB 的 斜率，其中 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上 kAB＝fxx22－－fx1x1＝ΔΔyx.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx 表示 x2－x1，是相对于 x1 的一个增量，Δx 的值可正可负 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负，也可以为零．
()
(3)ΔΔxy表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
求物体运动的平均变化率
【例 2】 跳水运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在0，6459这段时间内的平均速度； (2)运动员在0，6459这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
平均变化率的概念及几何意义
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝
li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li .
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
课后作业
【基础】
1.利用导数的定义求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
【解析】（1） ，
∴ ，
∴ 。
（2） ，
∴ ，
∴ 。
（3） ，
∴ ，
∴ 。
（4） ，
∴ ，
∴ 。
【巩固】
1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】 ,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即P（2，4）。
（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以 ，得 ， ，
即 。
（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得 ， ，
即 。
课后作业
【基础】
函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数的姓名
性别
年级
学科
授课教师
上课时间
年月日
第（）次课
共（）次课
课时：课时
教学课题
平均变化率的概念及几何意义；
教学目标
1．了解平均变化率的几何意义；