2020年四川省成都七中初中学校中考一诊数学试题(解析版)

2020年四川省成都七中初中学校中考一诊数学试题一．选择题（每题3 分，共30 分）1.2-的相反数是（）A. 2-B. 2C. 12D.12-【答案】B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .2.如图所示的几何体，它的左视图是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】从左面看第一层是两个小正方形，第二层左边有一个小正方形.故选C.【点睛】考查简单组合体的三视图，掌握左视图是从几何体左边看到的图形是解题的关键.3.下列计算中，正确的是（）A. a2+a3＝a5B. a2•a3＝a6C. （a3b2）3＝a6b5D. （a2）5＝（﹣a5）2【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方逐一判断即可．【详解】解：A 、a 2与a 3不是同类项，不能合并，故A 错误；B 、a 2•a 3＝a 5，故B 错误；C 、（a 3b 2）3＝a 9b 6，故C 错误；D 、（a 2）5＝（﹣a 5）2，正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方，解题的关键熟知运算法则．4.在平面直角坐标系中，点P 的坐标是(2，3)，则点P 到y 轴的距离是（ ）A. 2B. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】根据已知点的坐标及所在象限，可得出答案．【详解】解：∵点P 的坐标是(2，3)，∴点P 到y 轴的距离即横坐标的绝对值：2，故选A.【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确确定P 点位置是解题关键．5.3 月 9 日中国政府向世界卫生组织捐款 2000 万美元，捐款将用于新冠肺炎防控、发展中国家公共卫生体系建设等指定用途．2000 万用科学计数法表示为（ ）A. 3210⨯B. 4200010⨯C. 6210⨯D. 7210⨯ 【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：2000 万=7210⨯，故答案为：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6.在中考体育加试中，某班 30 名男生的跳远成绩如下表：这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（ ）A. 2.10，2.05B. 2.10，2.10C. 2.05，2.05D. 2.05，2.10 【答案】D【解析】【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；由于一共调查了30人，所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．故选：D ．【点睛】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 7.分式方程1133x x x +=--的解为（ ） A. 无解B. x = 1C. x = −1D. x = −2【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的解法，去分母将分式方程转化为整式方程解答，注意分式方程需要检验．【详解】解：方程1133x x x+=--去分母得：13x x +-=-， 解得：1x =， 经检验，x=1是原方程的解，故答案为：B【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法，注意分式方程一定要检验．8.已知：如图，ABC EBD ∠=∠，BC BD =，增加一个条件使得ABC EBD ∆≅∆，下列条件中错误的是（ ）A. AC ED =B. BA BE =C. C D ∠=∠D. A E ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 根据全等三角形的判定定理：SAS 、AAS 、ASA 、SSS ，逐一判定即可.【详解】若使ABC EBD ∆≅∆，∵ABC EBD ∠=∠，BC BD =，∴添加AC ED =，不能判定ABC EBD ∆≅∆，A 选项错误；添加BA BE =，ABC EBD ∆≅∆（SAS ），B 选项正确；添加C D ∠=∠，ABC EBD ∆≅∆（ASA ），C 选项正确；添加A E ∠=∠，ABC EBD ∆≅∆（AAS ），D 选项正确；故选：A.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握，即可解题.9.如图，在⊙O 中，若点C 是AB 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60° 【答案】A【解析】试题解析：50,,A OA OB ∠==50OBA OAB ∴∠=∠=，180505080AOB ∴∠=--=，∵点C 是AB 的中点， 140.2BOC AOB ∴∠=∠= 故选A. 点睛：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.10.已知二次函数 y ＝a 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＝0；③b 2﹣4ac ＜0；④5a +b +c ＞0． 其中正确结论的是（ ）A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口、与y 轴的交点以及对称轴的位置即可判断①；根据抛物线经过（3,0）即可判断②；根据抛物线与x 轴的交点个数即可判断③；根据12b a->得到20a b +<，再由9a +3b +c ＝0得到5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>即可判断④【详解】解：①由图象可知：0,0a c ><， ∵02b a->， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②抛物线经过点（3,0），∴9a +3b +c ＝0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③错误； ④由图象可知：12b a->，a ＞0， ∴20a b +<，∵9a +3b +c ＝0，∴c ＝-9a-3b∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确；故正确的有：①②④．故答案为：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 二．填空题（每题 4 分，共 16 分） 11.925的算术平方根是_______． 【答案】35【解析】分析】根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：925的算术平方根是35， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念，解题的关键是熟知算术平方根的概念．12.有意义，则 x 的取值范围是_____．【答案】x≥4【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，即可得出答案．【详解】解：要使代数式4x有意义，则x-4≥0，解得：x≥4．故答案为：x≥4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．13.已知一次函数y＝（k+3）x+1 的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是_____．【答案】k＜-3【解析】【分析】根据y＝kx＋b，k＜0，b＞0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k+3＜0即可求解；【详解】解：y＝（k+3）x＋1的图象经过第一、二、四象限，∴k+3＜0，∴k＜-3；故答案为：k＜-3；【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数y＝kx＋b，k与b对函数图象的影响是解题的关键．14.已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA 上取一点C，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ，交射线OB 于点D，连接CD；（2）分别以点C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN=_______．【答案】60°【解析】【分析】根据等弧或等弦所对的圆心角相等即可得到∠COM=COD=∠DON=20°，从而判断△OMN 是等边三角形即可解答．【详解】解：由作图可知：CM=CD=DN ，∴∠COM=COD=∠DON=20°，∴∠MON=60°，又∵OM=ON ，∴△OMN 是等边三角形，∴∠OMN=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到△OMN 是等边三角形．三．解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上）15.（1）计算2cos30º2020－π）0+（－1）2019； （2）解不等式组360213132x x x -<⎧⎪-+⎨<⎪⎩，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）1；（2）12x -<<，整数解是：0，1【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂以及二次根式的运算即可解答；（2）根据不等式的解法解出不等式组的解集，再写出整数解即可．【详解】解：（1）原式=22112⨯+= （2）360213132x x x -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩①②，解不等式①得：2x <，解不等式②得：1x >-，∴不等式组的解集为：12x -<<，∴该不等式组的整数解是：0，1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算、实数的运算、以及不等式的解法，解题的关键是掌握基本的运算法则．16.先化简，再求值：23211224x xx x-+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中31x=+【答案】21x-，23【解析】【分析】根据分式混合运算的法则化简，再将x的值代入计算即可．【详解】解：原式=223(1)222(2)x x x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭=212(2)2(1)x x x x-+⋅+-=21x-将31x=+代入得：原式=2333=【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，解题的关键是熟知分式运算的法则，正确化简分式．17.如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B 点测得A 在北偏东60°方向上，向东前进200m 到达C 点，测得A 在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）．参考数据2≈1.414，3≈1.732．【答案】河宽度为173.2米．【解析】【分析】过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BC＝BD−CD＝200，即可求出AD的长．【详解】解：过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示．由题意可知：∠BAD=60°，∠CAD=30°，在Rt△ABD中，tan∠BAD＝BD AD，∴BD＝AD•tan60°＝3AD；在Rt△ACD中，tan∠CAD＝CD AD，∴CD＝AD•tan30°＝3 AD．∴BC＝BD−CD＝3AD-3AD＝200，∴AD＝1003173.2．∴河的宽度为173.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，利用解直角三角形结合BC＝BD−CD＝200，找出关于AD的长的一元一次方程是解题的关键．18.某中学组织七、八、九年级学生参加“州庆60年，梦想红河”作文比赛.该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图. 根据图中提供的信息完成以下问题.（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度，并补全条形统计图；（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，把七年级特等奖作文被选登在校刊上的事件记为A，其它年级特等奖作文被选登在校刊上的事件分别记为B，C，D. 请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.【答案】（1）126；补全条形统计图见解析；（2）1 2【解析】【分析】（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可；（2）用列表法或画树状图法，即可得出答案．【详解】解：（1）总的作文篇数：20÷20%=100，九年级参赛作文篇数对应的圆心角为：35360126100︒⨯=︒，八年级的作文篇数：100-20-35=45，补全条形统计图如图：（2）七年级特等奖作文被选登在校刊上的事件记为A，其它特等奖作文被选登在校刊上的事件分别记为B，C，D.列表：∴共有12种等可能的结果，其中事件A 出现的结果有6种，∴P （A ）=612=12【点睛】此题考查了扇形统计图和条形统计图、列表法或树状图法的应用；从统计图中、扇形图中获取信息、画出树状图或列表是解决问题的关键．19.已知一次函数y 1 = kx − (2k + 1)的图象与 x 轴和 y 轴分别交于 A 、B 两点，A （3，0），一次函数与反比例函数21k y x+=-的图象分别交于 C 、D 两点．（1）求一次函数与反比例函数解析；（2）求△OCD 的面积；（3）直接写出 y 1> y 2时，x 的取值范围．【答案】（1）13y x =-，22y x =-；（2）32；（3）1x <或2x > 【解析】【分析】（1）将点A （3，0）代入y 1 = yy − (2y + 1)即可求一次函数解析式，将k 代入21k y x+=-即可求反比例函数解析式；（2）如图所示作出辅助线，通过一次函数和反比例函数的解析式求出C 、D 的坐标，再由COD COE FOD CHD S S S S S =---矩形OEFH 计算即可；（3）结合图象以及C 、D 的坐标即可得出．【详解】解：（1）将点A （3，0）代入y 1 = yy − (2y + 1)得：3(21)0k k -+=，解得k=1，∴13y x =-，22y x =- （2）如图，连接OC ，OD ，作CE ⊥y 轴于点E ，作DF ⊥x 轴于点F ，CE,DF 交于点H ，∴212COE FOD S S ===，四边形OEFH 为矩形， 由23x x-=-，解得：121,2x x ==， ∴(1,2),(2,1)C D --，∴CE=1，OE=2，OF=2，DF=1，CH=DH=1，∴COD COE FOD CHD S S S S S =---矩形OEFH=1322111122⨯-⨯⨯--= ∴△OCD 的面积为32；（3）由（2）可知(1,2),(2,1)C D --，通过图象可知：若y 1> y 2，则1x <或2x >．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及反比例函数与几何问题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．20.已知 AB 是⊙ O 的直径，点 D 是弧 AB 上一点，AD 的延长线交⊙ O 的切线 BM 于点 C ，点 E 为 BC 的中点；（1）求证：DE 是⊙O的切线；（2）如图2，若DC=4，1tan A2∠=延长OD 交切线BM 于点H，求DH 的值；（3）如图3，若AB=8，点F 是弧AB 的中点，当点D 在弧AB 上运动时，过F 作FG⊥AD于G，连接BG，求BG 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）853DH=；（3）21022【解析】【分析】（1）如图，连接OD，BD，由AB是直径以及BM是切线得出∠ADB=∠CDB=90°，∠ABC=90°，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到∠EDB=∠EBD，进而得到∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°即可；（2）连接BD，通过角的运算得到∠A=∠CBD，进而求出BD、BC、DE、AB的值，再由tan∠DHE=DE OB DH BH=得出BH=2x，在Rt△BOH中运用勾股定理即可解出DH的值；（3）根据FG⊥AD于点G，得出当点D 在弧AB 上运动时，点G在圆N上运动，进而得出当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，再根据已知数据计算即可．【详解】（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵BM是切线，∴∠ABC=90°∵点E是BC的中点，∴DE=12BC BE CE==，∴∠EDB=∠EBD 又∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，即∠ODE=90°，∴OD ⊥DE∴DE 是⊙ O 的切线；（2）连接BD ，∵∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，∴∠A=∠CBD ，∵DC=4，1tan A 2∠=∴1tan 2CD CBD BD ∠==， ∴BD=8，∴2245BD CD +=∴DE=1252BD = ∴AB=85tan BC A =∠， ∴BO=OD=5又∵DE 是切线，∴∠HDE=90°，∴tan ∠DHE=DE OB DH BH=，设DH=x ， 则255x BH=，∴BH=2x ， 在Rt △BOH 中，222OB BH OH +=，即222(45)(2)(45)x x +=+，解得：853x =或x=0（舍去） ∴853DH =（3）如图，连接AF ，BF ，取AF 中点N ，构造圆N ，连接NG ，∵FG ⊥AD 于点G ，∴当点 D 在弧 AB 上运动时，点G 在圆N 上运动，∴当点N 、G 、B 三点共线时，BG 有最小值，∵AB=8，点 F 是弧 AB 的中点，∴∠AFB=90°，AF=BF=2422AB =， ∴NG=NF=1222AF =， BN=2222(42)(22)210BF NF +=+=，∴BG=BN-NG=21022-，【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及了切线的证明，解直角三角形的应用以及动点问题，解题的关键是灵活运用圆的性质以及锐角三角形函数，对第（3）问，难度较大，关键是确定点G 的运用路径，得出B 、G 、N 三点共线时，BG 有最小值．四．填空题（每题 4 分，共 20 分）21.__________个．【答案】13【解析】【分析】的大小，再根据绝对值的性质即可求解.【详解】∵676，±5，±4，±3，±2，±1，0,共13个故填：13.【点睛】此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的估算方法.22.已知y 1，y 2是关于的一元二次方程y 2 − 3y + y = 0的两个实数根，且22112234x x x x -+=，则y =_____； 【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程即可解答．【详解】解：∵y 1， y 2是关于的一元二次方程y 2 − 3y + y = 0的两个实数根，∴123x x +=，12x x a =，∴222112212123()54x x x x x x x x =-++-=即954a -=，解得：1a =，当a=1时，y 2 − 3y +1 = 0有两个实数根，符合题意，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将22112234x x x x -+=进行变形，并熟知一元二次方程根与系数的关系．23.有 6 张卡片，上面分别标有 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字，将它们背面洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为 a ，若数 a 使关于 x 的分式方程2211a x x+=--的解为正数，且使关于 y 的不等式组2132y y y a +⎧->⎪⎨⎪≤⎩的解集为y < −2，则抽到符合条件的 a 的概率为_________；【答案】23 【解析】 【分析】 根据分式方程和不等式组解的情况求出a 的取值范围是24a -≤<，再确定符合条件的a 的值即可求出概率．【详解】解：关于 x 的分式方程2211a x x +=--的解为：122x a =- ∴1202x a =->，解得：4a <， 又∵不等式组2132y y y a +⎧->⎪⎨⎪≤⎩的解集为：y < −2， 不等式2132y y +->的解集为：y < −2， ∴2a ≥-，∴24a -≤<∴0，1，2，3，4，5中符合条件的a 的值有0，1，2，3，∴抽到符合条件的 a 的概率为4263=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了根据分式方程、不等式组解的情况求参数的取值范围，以及概率的求解，解题的关键是根据分式方程、不等式组解的情况求出a 的取值范围．24.如图，正方形 ABCD 中，AD ＝6，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE ，过点 E 作 EF ⊥ ED ，交 AB 于点 F ，连接 DF ，交 AC 于点 G ，将△EFG 沿 EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交 EF 于点 N ，若点 F 是 AB 边的中点，则 △EDM 的面积是_____．【答案】152【解析】【分析】取DF 的中点K ，连接AK ，KE ，GM ，得出点D 、A 、F 、E 四点共圆，进而得出△DEF 是等腰直角三角形，通过已知数据计算出DF ，DE ，EF 的长度，再由相似得出GF ，由折叠的性质得到△GFM 是等腰直角三角形，进而计算出MH ，EH 的长度，由△DEN ∽△MHN 得到EH 的长度，最后由EDM EDN ENM SS S =+即可计算．【详解】解：取DF 的中点K ，连接AK ，KE ，GM ，∵四边形ABCD 是正方形，DE ⊥EF ，∴∠DAF=90°，∠DAC=45°，∴AK=12DF ，EK=12DF ， ∴点D 、A 、F 、E 四点共圆，∴∠DFE=∠DAC=45°（同弧所对的圆周角相等），∴△DEF 是等腰直角三角形，又∵AD=6，点 F 是 AB 边的中点，∴AF=3，=，∴DE=EF=22DF =， 又∵AF ∥DC△AGF ∽△CGD ∴AF GF DC GD =，即12GF GD =，∴13GF DF == 又∵△EFM 是由△EFG 翻折得到，∴GM ⊥EF ，∠EFG=∠EFM=45°，GF=MF∴△GFM 是等腰直角三角形，∴=∴MH=FH=122GM =，∴= 又∵DE ⊥EF ，MH ⊥EF ，∴△DEN ∽△MHN∴DE ENMH HN=，即31023102ENHN==∴331044EN EH==，∴EDM EDN ENMS S S=+，1122DE EN EN MH=⋅+⋅131010310()2224=+⨯=152，故答案为：152．【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．25.如图，反比例函数3(0)y xx=>的图像与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE//AF，交直线y = kx (k < 0)于点E，F，若OE=OF，BG=3GA，则四边形ADEF 的面积为_____；【答案】9【解析】【分析】延长DE交x轴于点G，作DH⊥OA于点H，由OE=OF以及DE∥AF证得△AOF≌△MOE（AAS），从而得到S四边形ADEF= S四边形AOED+ S△MOE= S△AMD，再由反比例函数图象上的点的特征表达出点DH，AM，利用三角形的面积公式即可解答．【详解】解：延长DE交x轴于点G，作DH⊥OA于点H，∵DE∥AF，∴∠OME=∠OAF，在△AOF与△MOE中，∠OAF=∠OME，∠AOF=∠MOE，OF=OE，∴△AOF≌△MOE（AAS），∴S△AOF=S△MOE，OA=OM∴S四边形ADEF= S四边形AOED+ S△MOE= S△AMD，∵yy=3yy，3(0)y xx=>，∴设3(,)(0)G a aa>，则9(,)B aa，∴点D的纵坐标为9a，即DH=9a又∵OA=OM=a，∴AM=2a，∴1192922ADMAM DHaS a=⋅=⨯⨯=，故答案为：9．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，三角形面积公式，证得S四边形ADEF= S四边形AOED+ S△MOE= S△AMD是解题的关键．五．解答题（共30 分）26.某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x 天的成本 y （元/件）与 x （天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售， 第 x 天该产品的销售量 z （件）与 x （天）满足关系式 z ＝x +15．（1）第 25 天，该商家的成本是 元，获得的利润是 元；（2）设第 x 天该商家出售该产品的利润为 w 元．①求 w 与 x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润． （2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式； ②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）；故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++，∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩ ②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元），当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．27.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是 CD 边上一点，连接 AE ，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点G ．（1）求线段 CE 的长；（2）如图 2，M ，N 分别是线段 AG ，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ， 设 DN ＝x ． ①求证四边形 AFGD 菱形；②是否存在这样的点 N ，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由．【答案】（1）CE=3；（2）①见解析；②52x =或2． 【解析】【分析】（1）由翻折可知：AD ＝AF ＝10．DE ＝EF ，设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8−x ．在Rt △ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（2）①由△ADE∽△GCE计算出GC的长度，再证明四边形AFGD是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形的菱形即可证明；②若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，一是当∠MDN=90°时，二是当∠DNM=90°时，分别利用相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可计算得出．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x．在Rt△ABF中，BF6=，∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，在Rt△EFC中，则有：(8−x)2＝x2＋42，∴x＝3，∴CE＝3．（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴△ADE∽△GCE，∴AD DE GC CE=，∵AD=10，CE=3，DE=5，∴1053 GC=，∴GC=6，由（1）可得：CF=4，∴GF=6+4=10，∴四边形AFGD是平行四边形，又∵AD=AF，∴平行四边形AFGD是菱形．②∵∠DMN=∠DAM，∴若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，当∠MDN=90°时，∵AD=GD ，∴∠DAG=∠DGA又∵∠ADE=∠GDM=90°，∴△ADE ≌△GDM （ASA ）∴DM=DE=5，又∵∠DMN=∠DAM ，∠ADE=∠MDN=90°，∴△ADE ∽△MDN ∴AD DE MD DN =，即1055x=， ∴52x =； 当∠DNM=90°时，则∠MDN+∠DMN=90°，又∵∠DMN=∠DAM ，∠DAG=∠DGA ，∴∠DMN=∠DGA ，∴∠MDN+∠DGA=90°，∴∠DMG=90°，∵sin ∠DAE=DE DM AE AD=，∵AE ==10DM =，∴DM=∵∠DMN=∠DAM∴sin ∠DMN=sin ∠DAM ∴DE DNAE DM==解得：x=2， 综上所述：52x =或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线y = −x 2 + bx + c 与直线y = −x + 1 相交于点 A(0，1)和点 B （3， − 2），交 x 轴于点 C ，顶点为点 F ，点 D 是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，若点 D 在直线 AB 上方的抛物线上，求△DAB 的面积最大时点 D 的坐标；（3）如图 2，若点 D 在对称轴左侧的抛物线上，且点 E （1，t ）是射线 CF 上一点，当以 C 、B 、D 为顶点的三角形与△CAE 相似时，求所有满足条件的 t 的值．【答案】（1）y = −y 2 +2y + 1；（2）37(,)24D ；（3）所有满足条件的 t 的值为t=1或t=2或13t =+31t =．【解析】【分析】（1）将点 A(0，1)和点 B （3， − 2）代入抛物线y = −y 2 + yy + y 中，列出方程组即可解答；（2）过点D 作DM ∥y 轴交AB 于点M ，设2(,21)D a a a -++，则(,1)M a a -+，表达出DM ，进而表达出△ABD 的面积，利用二次函数的性质得出最大值及D 点坐标；（3）由题意可知，∠ACE=∠ACO=45°，则△BCD 中必有一个内角为45°，有两种情况：①若∠CBD=45°，得出△BCD 是等腰直角三角形，因此△ACE 也是等腰直角三角形，再对△ACE 进行分类讨论；②若∠CDB=45°，根据圆的性质确定D 1的位置，求出D 1的坐标，再△ACE 与△CD 1B 相似分类讨论．【详解】解：（1）将点 A(0，1)和点 B （3， − 2）代入抛物线y = −y 2 + yy + y 中得：1932c b c =⎧⎨-++=-⎩，解得：21b c =⎧⎨=⎩， ∴y = −y 2 +2y + 1（2）如图所示：过点D 作DM ∥y 轴交AB 于点M ，设2(,21)D a a a -++，则(,1)M a a -+， ∴DM=2221(1)3a a a a a -++--+=-+， ∴2213327(3)3()2228ABD Sa a a =-+⨯=--+， ∵302-<，S △ABD 有最大值， ∴当32a =时，278ABD S =最大； 此时37(,)24D ．（3）∵OA=OC ，CF ∥y 轴，∴∠ACE=∠ACO=45°，∴△BCD 中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD 不可能为45°，∴①若∠CBD=45°，则BD ∥x 轴，∴点D 与点B 关于抛物线的对称轴直线x=1对称，设BD 与直线x=1交于点H ，则H （1，-2）， ∵B （3，-2），∴D （-1，-2）此时△BCD 是等腰直角三角形，因此△ACE 也是等腰直角三角形，（i ）当∠AEC=90°时，得到AE=CE=1，∴E （1,1），得到t=1，（ii ）当∠CAE=90°时，得到：2，∴CE=2，∴E （1,2），得到t=2，②若∠CDB=45°，①中的情况是其中一种，答案同上；以点H 为圆心，HB 为半径作圆，则点B 、C 、D 都在圆H 上，设圆H 与对称轴左侧的抛物线交于另一点D 1，则∠CD 1B=∠CDB=45°（同弧所对的圆周角相等），即D 1也符合题意，设21(,21)D n n n -++(11)n -<<，由HD 1=DH=2，∴222(1)(212)4n n n -+-+++=，整理得：2(1)(3)(22)0n n n n +---=，解得：11n =-（舍去），23n =（舍去），313n =+（舍去），413n =-，∴1(13,1)D --，则CD 1=22(113)12-++=，CB=22，BD 1=22(313)(21)843-++-+=+，（i ）若△ACE ∽△CD 1B ， 则11AC CE CD BD =，即22843=+，解得：113t =+，213t =--（舍去）， （ii ）若△ACE ∽△BD 1C ，则11AC CE BD CD =，即22843t =+，解得：331t =-，413t =-（舍去）， 综上所述：所有满足条件的 t 的值为t=1或t=2或13t =+或31t =-．【点睛】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比较大．另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．。