运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-排队论(圣才出品)

（3）由题意，令到达速度为
人/小时，Wq
=
( −)
60
=
20 ( 20
−)
60
3
，
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解得 10人/小时
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所以，当到达速度增加到 10 人/小时时，装第二台电话机才合理。
（4）顾客在系统中的逗留时间W ，服从参数为 − 的负指数分布。在本题中，逗留
普阿松流的充要条件是：相继到达时间间隔服从相互独立的参数为 的负指数分布。
二、概念题 1．排队论[上海海事大学 2014 研] 答：排队论也称随机服务系统理论，就是为解决排队问题而发展的一门学科，它研究的 内容有下列三部分。①性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、 等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。②最优化问题，又分静态最优和 动态最优，前者指最优设计，后者指现有排队系统的最优运营。③排队系统的统计推断，即 判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。一般的排队系 统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。
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务的时间）之间的关系，如表 12-1： 表 12-1
请分析下面两个问题：
（1）如果公司经理希望职员等待 MIS 维护服务（排队等待和服务等待的平均时间）不
要超过 5 分钟，则该信息中心最少需要聘用多少个服务人员?
时间W ，服从参数为 − = 20 − 6 = 14 的负指数分布。分布函数为 F () =1− e−14 所以打一次电话要逗留 10 分钟以上的概率为： F () = 1− (1− e−141600）=0.097
（5）安装两部电话机后，系统变为 M/M/2 模型
=6, =20, = 0.3,= =0.15
=
Lq
+
四、计算题
1．某理发店只有一个理发员，来理发的顾客到达过程为 posson 流，平均 5 人/小时；
理发时间服从负指数分布，平均需要 10 分钟；店内备有 5 把椅子供顾客等候，多余顾客将
到其他理发店理发。
求：
（1）该理发店忙的概率；
（2）该店内恰有 2 个顾客的概率；
（3）在该店内的平均顾客数；
均时间为 10 分钟，通话时间服从负指数分布，平均数为 3 分钟。
求：
（1）顾客到达电话厅要等待的概率。
（2）等待打电话的平均顾客数。
（3）当一个顾客至少要 3 分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速
度增加到多少时，装第二台电话机才合理的?
（4）打一次电话要逗留 10 分钟以上的概率是多少?（可用指数式表示）
2
P0
=
(0.3)0
0!
+
(0.3)1
1!
1
+
(
0.3)2
2！
1 1− 0.15
=0.74
(c )c
(0.3)2 0.15
Lq
=
c!(1−
)2
P0
=
(1− 0.15)2
0.74 2!
=
0.007
3．案例分析：需要多少个服务人员? 某商科技公司的 MIS 中心处理本公司信息系统的维护服务。公司其他部门职员打电话 到信息中心进行咨询和服务请求，不过如果恰巧所有服务人员都在忙的时候，该职员就必须 等待。该中心每小时平均接受到 40 个服务请求，服务请求的到达服从泊松分布。每个请求 的平均服务时间是 3 分钟，且服从负指数分布。 信息中心服务人员每小时的平均工资是 15 元。公司职员每小时为公司创造的收益是 25 元。（如果该职员在等待或正在接受 MIS 维护服务，则这段时间内该职员不为公司创造任何 收益）。 我们已经通过软件计算出服务中心的服务人员个数与等待接受 MIS 维护服务的平均职 员数（不包括正在接收 MIS 维护服务地职员）以及平均等待时间（不包括接受 MIS 维护服
（4）每位顾客在该店内的平均逗留时间；
（5）等待服务的平均顾客数；
（6）每位顾客平均等待时间；
（7）顾客损失的概率。[北京交通大学 2010 研]
解：该问题属于 M/M/1/N 模型， = 5人 / h, = 6人 / h ， = = 5 ,N=5 6
（1）
P0
=
1− 1− N+1
=
0.2506 ,∴1-P0=0.7494
（5） Lq = Ls − (1− P0) =1.98− 0.75 =1.23人
（6）顾客的平均等待时间是 Wq
=W
−
1
=
0.44*60
−10
= 16.4 min
（7）
P7
=
P0 7
=
0.2506*（5）7 = 6
0.0699 即顾客损失的概率。
注：类似于上海交通大学 2002 研
2．某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达间隔的平
（5）目前情况下，安装第二台电话机后，顾客的平均等待时间是多少? [北京理工大学
2008 研]
解：（1） = 60 = 6 （人/小时）， = 60 = 20 （人/小时）
10
3
顾客到达电话厅要等待的概率为：1−
P0
=1−
6 20
=
0.7
。
（2）
Lq
=
2
( −)
=
66
20(20 −
6)
=
0.13
三、简答题 试写出 M/M/1 排队系统的 Little 公式。[北京交通大学 2010 研]
答：M/M/1 排队系统的 Little 公式为 LS = WS , Lq = Wq
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Ws
= Wq
+
1
, LS
即为理发店忙的概Hale Waihona Puke ；（2）Pn=
P0 n
∴
P2
=
0.2506*(5)2 6
=
0.1740
（3）
Ls
= 1−
−
(N +1) N+1 1− N+1
=
5 − 3.02
= 1.98人
（4） Ws
=
Ls (1−
P0 )
=
0.44h
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第 12 章 排队论
一、判断题 1．假如到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从 负指数分布。（ ）[北京交通大学 2010 研] 【答案】√
【解析】设 N（t）为时间[0，t]内到达系统的顾客数，则 N(t),t 0 为参数为 的