天津市高三数学寒假作业(9)
天津市高三数学寒假作业(8)
第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（题型注释）1.已知幂函数y=f （x ）的图象过（4，2）点，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2.下列符合三段论推理形式的为( ) A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真 B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c C ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c D ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc3.计算=-013sin 43cos 13cos 43sin （ ）A ．23B ．33C ．22D ．214.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，全集R U =，则()U A C B =（ ）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|01}x x x ><-或C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤5.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}2,3,4A =,{}2,5B =,则()U B C A =（ ） A.{}5 B. {}125， ， C. {}12345， ， ， ， D.∅6.已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 12i - B 2i - C 2i + D 12i +7.如果复数)(32R b ibi ∈+-的实部与虚部互为相反数，则b=（ ）A.0B.1C.－1D. ±18.若集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==，且A B A =,则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或-1或0第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题（题型注释）9.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是__________.10.100.25552log log＋＝___________.11.抛物线22xy=的焦点坐标是_______________．12.右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为．13.设函数122,1,()1log,1,x xf xx x-⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则()2f x≤时x的取值范围是________．14.()f x是定义在D上的函数，若存在区间[]m n D⊆，，使函数()f x在[]m n，上的值域恰为[]km kn，，则称函数()f x是k型函数．给出下列说法：①4()3f xx=-不可能是k型函数；②若函数22()1(0)a a xy aa x+-=≠是1型函数，则n m-23③若函数212y x x=-+是3型函数，则40m n=-=，；其中正确的说法为．（填入所有正确说法的序号）评卷人得分三、解答题（题型注释）15.已知复数2,1iz zi-=-是z的共轭复数，则z=（ ）A ．3122i - B ．3122i + C ．1122i - D ．1122i +16.化简f(x)＝cos(6k +13π＋2x)＋cos(6k －13π－2x)＋23sin(π3+2x)(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f(x)的值域和最小正周期．17.记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ， )]2)(1lg[()(x a a x x g ---= ，)1(<a 的定义域为B（1） 求集合A ；（2）（3） 若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分） 设函数4()log (41)x f x ax =++（a ∈R ） （Ⅰ）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求a 的值；（Ⅱ）若不等式()()f x f x mt m +-≥+对任意x ∈R ，[2,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn na b =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知()sin(2)cos(2)63f x x x ππ=++-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及取得最大值时x 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()1f C =，23c =sin 2sin A B =，求△ABC 的面积．试卷答案1.B2.B3.D4.A5.B6.D7.B8.D9.10.211.)81,0(12.0.3 13.[0,)+∞ 14.②③ 15.A16.解析：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f(x)的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T17.解析：（1）A=),1[)1,(+∞⋃--∞ (2)由0)2)(1(>---x a a x 得B=)1,2(+a a 因为A B ⊆，所以 1112-≤+≥a a 或 即221-≤≥a a 或 又1<a 所以，实数a 取值范围是)1,21[]2,(⋃--∞18.（Ⅰ）由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()f x f x =-恒成立，即44log (41)log (41)xxax ax -++=+-，所以444112log log 414x x x ax x -+===-+，所以(21)0a x +=恒成立，则210a +=，故12a =-． ············· 4分（Ⅱ）4444()()log (41)log (41)log (41)log (41)x x x x f x f x ax ax --+-=++++-=+++444log (41)(41)log (244)log (21x x x x --=++=++≥+=．所以1mt m +≤对任意[2,1]t ∈-恒成立，令()h t mt m =+， 由(2)21,(1)1,h m m h m m -=-+≤⎧⎨=+≤⎩解得112m -≤≤，故实数m 的取值范围是1[1,]2-． 12分19.（Ⅰ）当1n =时，111a S ==； 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，经验证，11a =满足上式． 故数列{}n a 的通项公式n a n =． ······················ 4分 （Ⅱ）可知231232222n nn T =++++， 则2341112322222n n nT +=++++， 两式相减，得2311111111122222222n n n n n n n nT T ++-=++++-=--， 所以222n nn T +=-． ··························· 8分 由于11102n n n n T T +++-=>，则n T 单调递增，故112n T T ≥=， 又2222n nn T +=-<， 故n T 的取值范围是1[,2)2． 12分20.（Ⅰ）11()sin(2)cos(2)2cos2cos226322f x x x x x x x ππ=++-=++2cos22sin(2)6x x x π=+=+．····················· 2分 当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+，k ∈Z 时，函数()f x 取得最大值2． ···· 4分（Ⅱ）由()2sin(2)16f C C π=+=，得1sin(2)62C π+=，∵22666C ππππ<+<+，∴5266C ππ+=，解得3C π=． ············ 6分 因为sin 2sin A B =，根据正弦定理，得2a b =， ··············· 8分 由余弦定理，有2222cos c a b ab C =+-，则22222422cos33b b b b π=+-⨯=，解得2b =，4a =， ··························· 10分故△ABC 的面积11sin 42sin 223ABC S ab C π∆==⨯⨯⨯= 12分。
天津小港中学高三数学寒假作业
如有你有帮助，请购买下载，谢谢！A天津小港中学高三数学寒假作业1.已知A={x|y=log 2(x-1)},B={y|y=1(2x},则A B=( )A.(0,+∞)B. (1,+ ∞)C. (0,1)D. φ 2.“ab=4”是“直线 2x+ay-1=0 与直线bx+2y-2=0平行 ”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设有不同直线m 、n 和不同平面α、β,γ.下列四个命题中，①//,//,n αα若m 则m ‖n ②,,m n m n αα⊥⊥若则‖ ③,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ ④,//,,m αββγαγ⊥⊥若则m ‖其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 4.在平面直角坐标系中,O 是原点,点A(2,3),点p(x,y )满足约束条件≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩x+y 3x-y -12x-y 3则OP OA ∙的最小值为( )A. 6B. 7C.8D.23 5.如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，延长BM 交圆O 于点N ，若圆O 的半径为，则MN 的长为（ ） A.4 B. 3 C. 2 D.16．给出下列四个命题：①1134(0,1),log log x x x ∃∈>②131(0,),()log 3x x x ∀∈+∞> ③22,()m m R f x x x ∃∈=+为偶函数④22,()m m R f x x x∃∈=+为奇函数。
其中为真命题的个数有（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 47．双曲线12222=-by a x 的焦距为4，它的一个顶点是抛物线x y 42=的焦点，则双曲线的离心率=e A ．32B ．3C ．2D ．28.已知a>0且a 21,()xf x x a ≠=-,当x (1,1)∈-时均有1()2f x <则实数a 的取值范围是（ ）A.(0，1][2,)2+∞B. 1[,1)(1,4]4C. 1[,1)(1,2]2D. 1(0,[4,)4+∞9.如果a b c >>，且有a ＋b ＋c =0,则 ：A ． a b a c >B ． a c b c >C ． a b c b >D ．222a b c >>10.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >> 11. 函数)1,0(1)3(g lo ≠>-+=a a x y a 的图象恒过点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中m nm n 21,0+>则、的最小值为（ ）A ．7B ． 8C ．9D ．10 12. 已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示. 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00y x f y x 所围成的面积是( )A ．2B ．4C ．5D ．813.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 14．设直线1:60l x my ++=和2:3320l x y -+=，若1l ∥2l ，则m 的值为15.不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ． 16.若把函数cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 三、解答题：17．设2()2cos sin 2()f x x x a a R =++∈． （1）求函数()f x 的最小正周期和单增区间； （2）当[0,]6x π∈时，()f x 的最大值为2，求a 的值．18.在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA a ===，2BC a =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点，且2CF a =． （1）求证：1B F ⊥ 平面ADF ；（2）求三棱锥1D AB F -的体积；（3）试在1AA 上找一点E ，使得//BE 平面ADF ．如有你有帮助，请购买下载，谢谢！19．已知等差函数{}n a的公差d>0，且52,aa满足27,125252==+aaaa，数列{}n b的前n项和为S n，且()*∈-=NnbSnn211（1）求数列{}n a、{}n b的通项公式；（2）设n n nc a b=，求数列{}n c的前n和n T20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x=-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米。
【高中数学】2021年高三数学寒假作业答案
【高中数学】2021年高三数学寒假作业答案高三数学寒假作业答案”，供大家参考！2021年高三数学寒假作业答案回答一、填空题（1） -8.分析：根据正弦值为负，判断角度在第三和第四象限，横坐标为正，判断角度为第四象限角度=（2）（3）。
解析：或(舍)，易得=;另可用配凑法。
（4） .分析：如果杜恒持有，那么，从（）可以看出，所以，代入，得，（5） 6分析：从问题的含义可知，它是函数周期的正整数倍，因此的最小值等于6(6)(7)(8)2解析：(9)(10)。
解析：由得，即，∴，∵，故(11)。
解析：由图可知：，由图知：(12)。
解析：设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△abc的面积为.(13)(14)。
解析：由正弦定理得,又,，其中，是第一象限角。
因为它是第一象限角，所以它有最大值。
15.解：(1)因为,所以………………6分（2）因为它是一个等边三角形，所以……………………10分同样，点的坐标是。
14分钟16.解：(1)∵=.-------------2分∵∴，∴函数的最大值和最小值分别为1，—1.---------------4分（2）所以，∵∴或∴-----------------------6分顺便过来□ -------------------------------- 8分∴------------------------------------10分∴.--------------------------------- 13分17.解：(1)由正弦定理得因为所以(2)由(i)知于是取最大值2综上所述，的最大值为2，此时18.解：(1)由正弦定理得所以=,也就是说，有，也就是说，so=2(2)由得，∵，∴∴，又得19.解:(1)…………2分...... 5分因为，所以…………6分（2）从（I）中可以看出，从正弦函数图中可以看出，此时获得了最大值，所以，。
天津市高一数学寒假作业(9)
天津市2013-2014学年高一寒假作业（9）数学 Word 版含答案第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、选择题（题型注释）1.已知()f x 是R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()lg(3)f x x x =--，那么(1)f 的值为（ ） A ．0B ．lg 3C ．lg 3-D ．lg 4-2.若4sin ,sin cos 1,sin 25θθθθ=->则=（ ） A ．2425- B ．1225- C ． 45- D ．24253.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 （ ）A 、sin()6y x π=+B 、sin()6y x π=- C 、sin(2)3y x π=+ D 、sin(2)3y x π=-4.若直线220.(0,0)ax by a b -+=>>被圆22(1)(2)4x y ++-=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.方程| x |+| y |=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是（ ）A ．2B ．1C ． 4D ． 26. 320x y ++=的倾斜角为（ ）A ．150oB ．120oC ．60oD ．30o7.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 （ ） A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-8.若0a >，且1a ≠，0x >，0y >，则下列式子正确的个数①log log log ()a a a x y x y ⋅=+ ②ln(ln )0e = ③22log log a a x x = ④()x y x ya a +=A.0个B.1个C.2个D.3个第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题（题型注释）9.已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+= 。
天津市高三数学寒假作业(3)
第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（题型注释）1.定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，已知}4,3,1{},3,2{==B A 。
则=-B A （ ） A. {1,4} B. {2} C. {1,2} D. {1,2,3}2.复数Z 满足,12iiZ --=则Z 等于 （ ） A.i 31+ B.i -3 C.i 2123- D.i 2123+3.设函数()ϕω+=x A x f sin )((0,0,)22A ππωϕ≠>-<<的图像关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则 （ ） A.)(x f 的图象过点1(0,)2B. )(x f 在2[,]123ππ上是减函数 C. )(x f 的一个对称中心是5(,0)12πD. )(x f 的最大值是44.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )(A)3 (B) 43 (C) 12(D)－25.下列五个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08(4)．若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. (5) 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.56.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种. A.150 B.300 C.600 D.9007.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2+)=-()f x f x ，且当[0,1]x ∈时在2()1f x x =-+，若2[()]()30a f x bf x -+=在[1,5]-上有5个根(1,2,3,4,5)i x i =，则12345x x x x x ++++的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题（题型注释）9.将直线1l ：30x y +-=绕着点(1,2)P 按逆时针方向旋转45︒后得到直线2l ，则2l 的方程为 ▲ ．10.执行如图所示的程序框图，输出的S = ▲ ．11.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是 ▲ ．12.若1420xx +-=，则x = ▲ ．13.如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 .14.若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 . 评卷人 得分三、解答题（题型注释）15.已知函数)4cos()(π-=x x f .(1)若1027)(=αf ，求α2sin 的值； （2）设)2()()(π+⋅=x f x f x g ，求函数)(x g 在区间]3,6[ππ-上的最大值和最小值。
天津市静海县第一中学高三数学下学期开学考试(寒假作
静海一中2015-2016第一学期高三数学（理）寒假作业检测试卷生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（135分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
知 识 技 能学习能力 习惯养成 总分内容 函数数列 三角立体几何解析几何转化化归推理证明卷面整洁分数 5020202040103-5分 一、选择题（每小题5分，共40分）1.已知复数1z i =-，则21z z =- （ ）A. 2B. －2C. 2iD. －2i2.设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x xB ,03, 则A ∩B= （ ） A ．]2,3(-- B ．]25,0[]2,3(⋃--C ．),25[]3,(+∞⋃--∞D ．),25[)3,(+∞⋃--∞ 3. 在5)(xa x +二项展开式中,第4项的系数为80,则a 的值为 （ ）A ．-2B ． -2或2C ．2D ．22-或224.如图，是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为（ ） A.1321B.2113 C. 813 D. 1385.已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221,(0)x y a a-=>交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( ) A 36 C ．2 D ．3 6．下列说法错误．．的是( ) A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若1x ≠则2320x x -+≠”B ．命题"01,:"2<++∈∃x x R x p 使得，则"01,:"2≥++∈∀⌝x x R x p 均有C ．若“q p 且” 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题D ．若0,a a b a c ≠⋅=⋅r r r r r r 则“”是“c b =”的充要条件7.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称D ．关于直线6π=x 对称8．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围 （ ）A ．(-∞，-2]U (0，l]B ．[-2，0) U [l ，+∞)C ．[-2，l]D ．[-2，0)U (0，l) 二、填空题（共30分）9. 若关于x 的方程2||4x kx x =+有四个不同的实数解, 则k 的取值范围为_____________.10.如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则 该几何体的体积为____________.11.在△ABC 中，边 AC=13，AB=5，cosA=6513，过A 作P BC AP 于⊥，AC AB AP μλ+=，则________=λμ.12. （1） 设0,0x y >>，若2是x 2与y4的等比中项，则222y x +的最小值为 .（2）1,0,=+>n m n m ,求1222+++n n m m 的最小值 . （3）设,0,2>=+b b a 则ba a ||||21+的最小值 .. (4) 根据以上小题的解答，总结说明含条件等式的求最值问题的解决策略（写出两个）①_________________________ ②______________________三、解答题（本大题共5题，共65分） 13.( 12分）已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x b x x a ==设函数23()||.2f x a b b =⋅++r r r（1）当[,]62x ππ∈,求函数)(x f 的值域； （2）当[,]62x ππ∈时，若)(x f =8, 求函数()12f x π-的值. 14.( 13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.15.( 13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//BC AD ，CD ⊥平面PAD ，点,O E 分别是,AD PC 的中点，已知PA PD =，222PO AD BC CD ====. （1）求证：AB DE ⊥；（2）求二面角A PC O --的余弦值；（3）点F 为PC 上一点，若直线DF 与平面POC 所成角的正弦值为24，求DF 的长．16.( 13分）已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，其下焦点1F 与抛物线y x 42-=的焦点重合，离心率22=e ，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点， （1）求椭圆的方程；（2）求过点O 、1F （其中O 为坐标原点），且与直线ca y 2-=（其中c 为椭圆半焦距）相切的圆的方程；（3）求22F A F B ⋅u u u u r u u u u r =45时，直线l 的方程，并求当斜率大于0时的直线l 被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长.17.( 14分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220,()n n x x b n N *-+=∈的两根，且11a =（1）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）若0n n b mS ->对任意的n N *∈都成立，求m 的取值范围.（4）数列中不等式恒成立问题，一般要转化为最值问题。
高三数学寒假作业专题09数列中求和问题(背)
高三数学寒假作业专题09
数列中求和问题（背）
1.公式法和分组求和法
(1)公式法
直接利用等差数列，等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
1
1
()1
(1)
22
n
n
n a a
S na n n d
+
==+-
②等比数列的前n项和公式：
1
11
,1
(1)
,1 11
n
n n
na q
S a a q a q
q
q q
=
⎧
⎪
=--
⎨
=≠⎪--
⎩
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或渴求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
倒序相加法与并向求合法
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前==项和即可用此法来求，如等比数列的前==项和公式就是用此法推导的.
三个公式
（1）
111 (1)1 n n n n
=-
++
（2）
1111
() (21)(21)22121 n n n n
=-
-+-+
（3）
1
1
1
n n n n
=+-
++。
2023-2024天津一中寒假作业答案
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假作业（一）答案，则(){U2,3A B =−221x x >⇔>，则命题，且p q ，，而()f x −=πππ22π,62x k k ω++∈πππ,Z 6k x k ωω+∈， ，可得ππ36x ωω−， ππ,64⎤⎥⎦上单调递增，π6π4ωω−，23ω<． 正确． 直线斜率存在，设轴上方时，由121265AF F BF F SSc +=21M F M ⊥，故△，所以045x c =±．22OM AB b k a =．34OM =, 3143OM ABk =⨯5=，所以34OM ABk =−⨯M 在x 轴下方时，同理可求得综上所述e =D17r r T C +=因此展开式中12．(4x −由题意得，圆的半径在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为33由题意，设[,0,1AP k AE k =∈则()112BP BA AP BA k AE BA k DE DA k BA k BC ⎛⎫=+=+=+−=−+ ⎪⎝⎭，所以12123k BA k BC mBA BC ⎛⎫−+=+ ⎪⎝⎭，所以11223k m k ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以23m =；所以2233BP BA BC =+， 由ABCD 的面积为23，得到32BC BA ⋅⋅=4BC BA ⋅=，所以222244421643||||499933BP BC BA BC BA BC BC=++⋅=++≥，当且仅当2BC BA ==时，等号成立，BP的最小值为）2cosc bB−=由正弦定理，得2sin2sin cosC Acos sinA B=ABCS=（1）证明：连接//BF PO⊂2⎝所以(0,2,0BC =，(1,0,1BF =−设平面BCF 的法向量(),,n x y z =00n BC n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，000z +=，解得又1,2DE ⎛=− ⎝设直线DE 与平面所以sin ,n DE θ==与平面BCF 所成角的正弦值2）(1,2,0AC =，0,1,AP ⎛= ⎝，1,0,12AE ⎛= ⎝的法向量为(),,n x y z =，00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2001002x y y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令y =−2z =，x 所以平面APC 的法向量(2,1,2n =−所以222cos 32nm +=，坐标原点30,2⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．13n λ+⎫⎪⎭，(1382n λ+−恒成立. )138n n +=−()131n n f ++−2740λ.1 1=， 有两个极值点.mx在(0,+∞1ln x mx+.在（0，1）上单调递增，在)+∞上单调递减处取得最大值.h1m.天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假作业（二）答案A C B=A C=，∴){1,2,3,4}{1}−<，得51|4x<；解不等式x x=<<.x x−<<{|25}|35}充分性：因为集合A不是集合B的子集，故充分性不成立；B A成立，故必要性成立；x可得(fx所以函数为偶函数，排除如图，ABC 是圆锥轴截面，外接圆设球半径为R ，则，2BO BD =928==7．B如图，记抛物线的准线与x 轴交于点D ， 由题知，2212b a+=，解得3b a =所以3AOD π∠=，因为2p OD =，所以3tan 32pBD OD π=⋅=AOBS=故选：B8．C由图像可得函数sin(y A =2ππ()636261C 12rrrr r r x x −−⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，464260−=因为ABO 是等于直角三角形，所以圆心（343(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==−==因为5162AM AB AD =+，所以4351(,)(1,3)(362m =+解得13m =，所以1487||993AM =+=又13(,)33MN n =−−所以1()1336AN MN n n ⋅=−−=因为11n −≤≤，所以当6n =时，AN MN ⋅有最小值1n =−时，AN MN ⋅有最大值，所以AN MN ⋅的取值范围为13⎤⎥⎦故答案为：73，371,363⎡⎤−⎢⎥⎣⎦0Cπ<<（2）（ⅰ）因为由余弦定理得（ⅱ）由sinABC A B C中，三棱柱111CD AB= B90，四边形为原点建立空间直角坐标系1(0,0,2)CC ∴=，1(1,0,A D =，11(0,1,0)AC =设平面1DA C 的法向量为(),,n x y z =，则1110,{0.n A D n AC ⋅=⋅=即200z −==，令1z =，则0y =()2,0,1n ∴= 11n 2sin 25nCC CC θ⋅∴==⨯⋅直线1CC 与平面11DA C 所成角的正弦值为5(,1,0)F λ，1−≤，则1(,0,C F λ=1AC F 的法向量为，则111=0{0AC m C F m ⋅⋅=， 即令11x =，则1y =1,0,2m λ⎛= ⎝由（2）知：平面的法向量为()2,0,1n =垂直，则0n m ⋅= ，解得，11DA C 与平面1AC )，(c,0)F ，(,BA a =−，(,BF c =−则BA BF ac ⋅=−， 椭圆C 的标准方程为2）由题意A 所以(0,2)M k ，设2113211321222k n n c −−−++=+++①， 2121232122n n n n −+−−+++②， 2132121111222141222214n k n n n −−+−−=+++−=−21586324664n nn n −+−=⋅⋅，， 2n c ++22622464(2)222n n −+++−，22111105944nk n n k n c −−=++=+∑，1651844n n n n−++⨯天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假作业（三）答案所以U{1,3,5} B=U{5}A B=，D解不等式32x x−>2,0)(2,)−+∞13x>，即4)(2,)−+∞，2,0)(2,)+∞4)(2,)+∞，4)(2,)+∞也推不出2,0)(2,)+∞，>”是“1x+的既不充分也不必要条件，由频率分布直方图知低于(0.0050.01+45，1h ，Rt ORC 中，由勾股定理可得，214h ，解得152r h =，于是14=,1214h h ==．关于x 的方程22()()0f x af x a a −+−=有四个不等实根令()t f x =，()22=−+−g t t at a a则①0=t ，1t =所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=−=⎪⇒=⎨=−+−=⎪⎩②()0,1t ∈，()(),01,∈−∞⋃+∞t2363由题意得2=，CF FDCE EB=，2F分别是以BC，DC的一个三等分点，AD BC=，AB DC=，设=EM k EF ，则11()33AM AB BE EM AB BC k EF AB BC k EC CF =++=++=+++122212()(1)()333333AB BC k BC DC k AB k AD =++−=−++，又5(R)6AM xAB AD x =+∈，所以125336k +=，解得34k =，所以2311342x =−⨯=；设DN xDB =，[0x ∈，，22cos60AB AD ⋅=⨯所以()(1)AN AD DN AD xDB AD x AB AD xAB x AD =+=+=+−=+−，1511(1)()()()2626MN AN AM xAB x AD AB AD x AB x AD =−=+−−+=−+−，所以11[(1)][()()]26AN MN xAB x AD x AB x AD ⋅=+−⋅−+−221111()[()(1)()](1)()2626x x AB x x x x AB AD x x AD =−+−+−−⋅+−−2210153744()331236x x x =−−=−−， [0，1]，所以37[36AN MN ⋅∈−，1]3， 137，1]3． 由1cos ,4A =−则()0,0,0A 、33,,022B ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭、(C 1ME ⎛=+ ⎝，(2,0,0=AD //ME AD ∴，ME ∴又EM ⊄平面，AD ⊂平面PAD ，//EM ∴平面（2）解：设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，32BC ⎛= ⎝，(0,CP =−则322m BC x m CP y ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=−⎩1，可得(1,3,3m =−−易知平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =， 所以，321cos ,71m n m n m n⋅<>==−=−⨯⋅， PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为）解：设(2,0,PF PD λλ==()()(1,1,22,0,EF EP PF λ=+=−−+，(0,2,0AC =由题意可得()2cos ,22EF AC EF AC EF ACλ⋅<>===⋅−整理可得22310λλ−+=，01λ<<，解得21AF =45，则2AF =倍，点(2，1)在椭圆，所以椭圆C 的方程为1212k k ++所以12·OP OQ x x y =+OP OQ ⊥，即∠②由①可得12x x +=−21?(PQ k =+1a ． a e ，则由x e ；由0f <得，11x e<． 所以()min f x =，满足条件； a e <<，则由11x e a<或1x e ；由()0f x '<得，()min x min =1f⎧⎛，所以2e <．)0x ．1[,]e e上单调递增，，()g x =(1)ln a x +天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假作业（四）答案由题意结合补集的定义可知：{U 2,B=−(){U 1,1A B=−<,故“2x<2”不是“2x>能推出2x<，322232x k ππππ++，得71212x k ππ+()f x 的解析式可知对称中心的纵坐标一定是()2k k Z ππ=+∈，解得()2k k Z π∈，当D ，需将()f x 图象向右平移个单位才能得到10．5()()228238122323i i i ii +++==+−+,8 123i i +=+−11．240依题意可得，5332x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为由4AB EB =得EB 60︒，∴∠BEC =90°150︒，∴∠DCF 上，故可设()(123AM t AD t AC =−+=∴)()21,42EM AM AE t =−=−, ∴())222·122162816AM EM t t t t t =−+=−+, 78t =时取得最小值24162815164⨯−=⨯,．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）17−.Ⅰ）∵(sin A −则(0,0,0),(4,0,0),(0,8,0),(0,0,4),A B C D 证明：(0,4,0),(4,0,4)DE DB ==−.设(,,)n x y z =00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即40440y x z =⎧⎨−=⎩1z =，可得(1,0,1)n = 又(2,4,2)MN =−，可得0MN n ⋅=.因为MN ⊄平面， 所以//MN 平面Ⅱ）解：易知1(1,0,0)n =设2(,,)n x y z =为平面EMB 2200n EM n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，因为(0,4,2)EM =−−，(4,0,MB =，所以4242y z x z −−⎧⎨−=⎩不妨设2z =，可得2(1,1,2)n =− 因此有1212126cos ,6n n n n n n ⋅==，1230,6n n =所以，二面角C EM −）依题意，设AH则(0,0,)H h ，进而可得(2,4,)NH h =−−，(4,4,4)BE =−由已知，得cos ,NH BE NH BE NH BE ⋅〈〉=221160h −+=， 16，或1h =. 的长为165或PMNS=431)()21242n n c c c c −++++++()11122(1)n n n a b a b a b −++⋅⋅⋅+−A22n +(1)(2n n ⎛−++ +⎝在区间,2上单调递增， 在区间,2上有一个零点时，设()(2cos x h x ϕ'=.0>，所以()ϕx π⎫，02πϕπ⎛⎫=> ⎪⎝⎭π⎫∴()(0)0x ϕϕ≥= ∴1x e x ≥+， ∵ln x x R +∈∴ln ln 1x x e x x +≥++ ， ∴ln 1x xe x x ≥++， 即证ln 10x x x xe +−≤+ ∴原命题得证天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假作业（五）答案1．B 由201x B xx ⎧⎫−=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,−∞−⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，2．A 由于203221−<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.3．A构造函数()22f x x ax =−−，对[]1,1x ∀∈−，()0f x <恒成立，则()()110110f a f a ⎧−=−<⎪⎨=−−<⎪⎩，解得11a −<<，()1,11,12⎛⎫−− ⎪⎝⎭，因此，p 是q 的充分但不必要条件，故选：A.4．C 如图：过圆心C 作CE l ⊥交于E ， 过E 作圆C 的切线交圆于F 、G ，FEG ∠是圆心两点与l 上一点形成最大的角，只要90FEG ∠≥︒满足条件，即45FEC ∠≥︒，CF =EF ≤2EC ≤，即625ad +=≤，610a +≤，164a −≤≤．5．B由题意可得：2())sin 2sin 12cos 22sin(2)26f x x x x x x x πππ⎛⎫=−++−=−=− ⎪⎝⎭，将函数()f x 图像向左平移ϕ个单位后，得到2sin(22)6y x πϕ=−+，又平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以22,36k k Z ππϕπ⨯−+=∈，因此,42k k Z ππϕ=−+∈，又因为0ϕ>，所以0,42k k Z ππ−+>∈，即1,2k k Z >∈， 当2k =时，34πϕ=.6．A抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为x 1=−，双曲线x 22ym−=1的一条渐近线方程为y x ，不妨设直线AB 为y x 1−），设A （x 0，y 0），则|AF |＝x 013+=，∴x 0＝2，又∵2004y x =且|AF |＞|BF |，∴y 0>0，∴y 0＝=，代入y （x 1−）， 解得m ＝8， 7．C1133n n n n n S S a a a ++=++⇒−=⇒{}n a 为等差数列，公差为3，所以由4523a a +=得118127231,8873922a d a S +=⇒==+⨯⨯⨯=，选C.8．D从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有3620C =种方法，从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法. 9．B详解：(())10f f x a −−=，即(())1f f x a −=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =−或0x =，从而得到()2f x a −=−和()0f x a −=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==−共有三个根，当0x ≥时，()11x xf x e=+>，21'()x x xx e xe xf x e e−−==，从而可以确定函数()f x 在(,1)−∞−上是减函数，在(1,1)−上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e−==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e −<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e −=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a −=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <−≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a ea e ⎧−=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e<<+或23a <≤或13a e =+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3ee ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，故选B. 10()()()()51546231112i i i iz i i i i ++++====+−−+ 23z i ∴=+==.11．253π 如图：设1O 和2O 分别是上下底面等边三角形的中心，由题意可知12O O 连线的中点O 就是三棱柱外接球的球心，连接2,OA OO ，ABC ∆是等边三角形，且2AB =，23AO ∴=，22OO =22222512R AO ∴==+=⎝⎭⎝⎭，∴球O 的表面积22543S R ππ==.故答案为：253π 12．192921115212m n n n m n m m m ⎛⎫+=+⨯+−≥= ⎪+⎝⎭+⨯， 当且仅当92112nn m m=⨯++⨯即1nm=时等号成立.13．(,1)−∞设()())2019220192019log x xg x f x x −=−=−+ ()())2019220192019log x x g x f x x −−=−−=−+ ，()()0g x g x +−= ，∴函数()()2g x f x =−是奇函数，且()())2019220192019log x xg x f x x −=−=−+在()0,∞+单调递增，()00g =，()()2g x f x ∴=−在R 上是单调递增函数，且是奇函数。
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第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题（题型注释）1.cos 300°= ( ）A．-32B．-12C．12D．322.下列关于零向量的说法不正确的是( )A．零向量是没有方向的向量B．零向量的方向是任意的C．零向量与任一向量共线D．零向量只能与零向量相等3.计算1-2sin222.5°的结果等于 ( ）A．12B．22C．33D．324.若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于（）A.1 B． 3 C．2 D．45.若变量x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+12yxyx，则yxz+=2的最大值、最小值分别为（）A.4，2B. 4，3C.3，2D.2，06.空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A.2π+B. 4π+C.2π+D. 4π+7.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则⋅的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 88.若直线()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为( )32B.3C.3D.13第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题（题型注释）9.在平面直角坐标系中，若点(1,1)A ，(2,4)B ，(1,3)C -，则||AB AC -=________．10.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是_____.11.已知,i j 是互相垂直的单位向量,设43,34a i j b i j =+=-，则a b ⋅=________。
12.已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.13.数列{}n a 满足nnn a a a a 21,111+==+，则8a = ▲ .14.已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 . 评卷人 得分三、解答题（题型注释）15.（本小题满分12分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．16.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD//FE ，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF ，AF=FE=AB=12AD =2，点G 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：EG//平面ABF ； （Ⅱ）求三棱锥B-AEG 的体积；（Ⅲ）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．17.（12分）已知ABC ∆的角A 、B 、C ，所对的边分别是a 、b 、c ，且3π=C ，设向量m (a,b),n (sin B,sin A),p=b-2,a-2)==（.（1）若m //n ，求B ；（2）若ABC m p,S 3∆⊥= c.CB AGD EF18.（本小题满分12分）已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12,且椭圆经过点，(I)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B 满足PA ·54PB =,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.19.（本小题满分12分）已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数. (Ⅰ) 求k 的值;(Ⅱ) 若方程)2(log )(4a a x f x -⋅=有且只有一个根, 求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a ＋3|的值域．试卷答案1.C2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.A9.10 10.53π 11.12.513.14.815.（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=．················· 3分 （Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1,2,3，则12523751(1)357C C P C ξ====，215237204(2)357C C P C ξ====，3537102(3)357C P C ξ====． 所以，ξ的分布列为所以，142151237777E ξ=⨯+⨯+⨯=．12分16.ξ 1 2 3 P174727（I ）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM ． ∵ G 为对角线AC 的中点， ∴ GM ∥AD ，且GM=12 AD ，又∵ FE ∥12 AD ，∴ GM ∥FE 且GM=FE ．∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM ． 又∵ EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴ EG ∥平面ABF ．…………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）解：作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED=AD ， 得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E-ABG 的高． ∵ 在△AEF 中，AF=FE ，∠AFE=60º， ∴ △AEF 是正三角形． ∴ ∠AEF=60º， 由EF//AD 知∠EAD=60º， ∴ EN=AE ∙sin60º． ∴ 三棱锥B-AEG 的体积为11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --∆==⋅=⨯⨯⨯=．……………………8分 （Ⅲ）解：平面BAE ⊥平面DCE ．证明如下： ∵ 四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥AE ．∵ 四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且60AFE ∠=°， ∴ =120FAD ∠°．又在△AED 中，EA=2，AD=4，60EAD ∠=°， 由余弦定理，得ED=． ∴ EA 2+ED 2=AD 2，∴ ED ⊥AE ． 又∵ ED ∩CD=D ， ∴ AE ⊥平面DCE ， 又AE ⊂面BAE ，∴ 平面BAE ⊥平面DCE ． …………………………………………………12分 17.（1）B b A a sin sin ,//=∴ …………2分 由正弦定理得b a b a ==即22………4分又3π=c3π=∆∴B ABC 为等边三角形………4分由题意可知0)2()2(,0.=-+-=a b b a 即ab b a =+∴………①…………8分由正弦定理和①②得,ab c .sin .213=23sin ,3=∴=C C π4=∴ab ………②…………10分2412163)(2222=∴=-=-+=-+=∴c ab b a ab b a c ……………12分18.(1)设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>,由题意得b =由12c a =得2,1a c == 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)若存在过点P(2,1)的直线l满足条件,则l的斜率存在 .19.20.∵二次函数g (a)在3[-1,]2上单调递减，∴3()()(1)2g g a g≤≤-，即－194≤g(a)≤4，∴g (a)的值域为19[,4]4-.。