2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(有答案解析)
一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
1. 若 x、y 满足
，则目标函数 f=x+2y 的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 已知命题 α：“双曲线的方程为 x2-y2=a2（a＞0）”和命题 β：“双曲线的两条渐近
线夹角为 ”，则 α 是 β 的（ ）
19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩 形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的 三棱柱． （1）某堑堵的三视图，如图 1，网格中的每个小正方形的边长为 1，求该堑堵的体 积； （2）在堑堵 ABC-A1B1C1 中，如图 2，AC⊥BC，若 A1A=AB=2，当阳马 B-AA1C1C
，则 cosC 的最小
值为______． 16. 定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数 f（x）满足：①f（1）=1；②|f（x+1）-f
（x）|=1（x=1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不 同函数 f（x）的个数为______． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分） 17. 已知函数 f（x）=（1+tanx）•sin2x． （1）求 f（x）的定义域； （2）求函数 F（x）=f（x）-2 在区间（0，π）内的零点．
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的体积最大时，求二面角 C-A1B-C1 的大小．
20. 已知椭圆
的左右两焦点分别为 F1、F2．
（1）若矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上，点 C、D 均在 Ω 上，求该矩形绕 y 轴旋转一 周所得圆柱侧面积 S 的取值范围； （2）设斜率为 k 的直线 l 与 Ω 交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点为 M（1，m）（m
m 的值为______． 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在
平面上给定两点 A（-a，0），B（a，0），动点 P 满足
（其中 a 和 λ 是正常
数，且 λ≠1），则 P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半 径为______．
15. 若△ABC 的内角 A、B、C，其中 G 为△ABC 的重心，且
则双曲线为等轴双曲线，则双曲线的渐近线为 y=±x，双曲线渐近线的夹角为 ，即充分
性成立，
双曲线 y2-x2=1 的渐近线为 y=±x，满足双曲线渐近线的夹角为 ，但双曲线的方程为
x2-y2=a2（a＞0）不成立，即必要性不成立， 即 α 是 β 的充分不必要条件， 故选：A． 根据等轴双曲线渐近线的夹角关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件判断，结合等轴双曲线的渐近线的夹角关系是解决本 题的关键．
故 p（A）= ．
本题也可用组合数计算．p（A）= = ．
故填： ．
本题可以列举出从不超过 13 的素数中取两个的所有和的情况，以及和为偶数的情况， 代入概率公式即可． 本题考查了古典概型的概率计算，得到事件 A 包含的基本事件个数和基本事件的总数是 计算的关键，属于基础题．
13.答案：-1
解析：解：根据题意，函数
3.答案：A
解析：解：依题意，A1= ，当 n≥2 时，
，
所以{An}是以 为首项，以 为公比的等比数列，有因为公比不为 1，
所以
=
，
所以： Sn=
=．
故选：A．
A1= ，当 n≥2 时，
，故数列{An}是等比数列，求其前 n 项和的
极限即可． 本题考查了等比数列的定义，前 n 项和公式，数列极限等知识，属于基础题．
9.答案：5
解析：解：由（a+bi）2=a2-b2+2abi=3+4i，
得
，解得
或
．
∴a2+b2=5． 故答案为：5． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案 可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
10.答案：-2
解析：解：由互为反函数的函数定义域值域互换知，y=-1+loga（x+3）=-1，得 x+3=1， x=-2． 故答案为：x=-2． 由题意知 y=-1+loga（x+3）=-1，得 x=-2 即为所求． 本题考查反函数性质属于简单题．
11.答案：
解析：解：∵函数 ∵x∈[-1，1]，
=arcsinx+2x，
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∴函数
的值域为
．
故答案为：
．
由二阶行列式展开式先展开二阶行列式，再由反正弦弦数的性质能求出函数的值域． 本题考查函数的值域的求法，考查二阶行列式展开式、反正弦弦数的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题．
16.答案：155
解析：解：经分析，f（x）的取值的最大值为 x，最小值为 2-x，并且成以 2 为公差的等 差数列， 故 f（6）的取值为 6，4，2，0，-2，-4． f（12）的取值为 12，10，8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10， 所以能使 f（x）中的 f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12） 的取值只有两种情况： ①f（1）=1、f（6）=2、f（12）=4；②f（1）=1、f（6）=-2、f（12）=4． |f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…，11），f（x+1）=f（x）+1，或者 f（x+1）=f（x）-1， 即得到后项时，把前项加 1 或者把前项减 1． （1）当 f（1）=1、f（6）=2、f（12）=4 时；将要构造满足条件的等比数列分为两步， 第一步：从 f（1）变化到 f（6），第二步：从 f（6）变化的 f（12）．
18. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间 间隔 t（单位：分钟）满足：2≤t≤20，t∈N，经测算，地铁载客量 p（t）与发车时间
间隔 t 满足
，其中 t∈N．
（1）请你说明 p（5）的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为
（元），问当发车时间间隔为
多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
3. 对于正三角形 T，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样
的过程称为一次“镂空操作“，设 T 是一个边长为 1 的正三角形，第一次“镂空操
作”后得到图 1，对剩下的 3 个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图 2，
解得 k= ．
故 f（x）= ，则 f（9）=3， 故答案为：3． 求出幂函数的解析式，从而求出 f（9）的值即可． 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
8.答案：4
解析：解：（1+3x）n 的二项展开式中，
x2 项的系数是 •32=54，
化简得 n2-n-12=0， 解得 n=4 或 n=-3（不合题意，舍去）， ∴n=4． 故答案为：4． 根据二项展开式定理求得 x2 项的系数， 列方程求得 n 的值． 本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．
对剩下的小三角形重复进行上述操作，设 An 是第 n 次挖去的小三角形面积之和（如
A1 是第 1 次挖去的中间小三角形面积，A2 是第 2 次挖去的三个小三角形面积之和），
Sn 是前 n 次挖去的所有三角形的面积之和，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.ห้องสมุดไป่ตู้
4. 已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且
解析：解：由题意，可将题中方程组转化为下面的形式： ，
∴方程组的增广矩阵为
，
故答案为：
．
本题可以先将方程组转化成常数在等于号右边的形式，然后即可根据增广矩阵的定义写
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出这个方程组的增广矩阵． 本题主要考查增广矩阵的定义，属基础题．
7.答案：3
解析：解：∵幂函数 f（x）=xk 的图象经过点（4，2）， ∴4k=2；
本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．
15.答案：
解析：解：因为 G 为△ABC 的重心，所以
；
，
因为
，所以
，
即
，整理得
，
所以
，
所以
，
故答案为 ．
将向量
分表表示
，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．
本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度．
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4.答案：D
解析：解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
．∴
．
又∵a2=b2+c2-2bccosA 且
．
又∵
．
∴
．∴
．
故选：D． 利用平面向量基本定理，向量的线性运算可求出 x，y 与 a，b，c 的数量关系； 再利用整体思想及基本不等式就能求出 x+y 的最大值． 本题考查了向量的线性运算，基本不等式求最值，注意整体代换的运用．
＞0），求证：
；
（3）过 Ω 上一动点 E（x0，y0）作直线
，其中 y0≠0，过 E 作直线 l
的垂线交 x 轴于点 R，问是否存在实数 λ，使得|EF1|•|RF2|=λ|EF2|•|RF1|恒成立，若 存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．
21. 已知数列{an}满足：a1=1，
2020 杨浦 高三二模
2020 杨浦高三二模一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（3分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5，7}，则A∩B＝．2．（3分）行列式的值为．3．（3分）函数y＝3cos2x+1的最小正周期为．4．（3分）设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．5．（3分）若{a n}是无穷等比数列，首项a1＝，公比q＝，则{a n}各项的和S＝．6．（3分）在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为．（结果用最简分数表示）7．（3分）实数x，y满足约束条件，目标函数f＝x+y的最大值为．8．（3分）已知曲线C1的参数方程为（t是参数），曲线C2的参数方程为（θ是参数），则C1和C2的两个交点之间的距离为．9．（3分）数列{a n}满足a1＝1，且a n+a n+1＝3n+2对任意n∈N*均成立，则a2020＝．10．（3分）设n∈N*，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n＝．11．（3分）设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若（•）：（•）：（•）＝1：1：2，则的值为．12．（3分）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（3分）不等式≤0的解集为（）A．[1，2]B．[1，2）C．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）14．（3分）设z是复数，则“z是虚数”是“z3是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（3分）设F1，F2是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为（）A．逐渐变大B．逐渐变小C．先变大后变小D．先变小后变大16．（3分）设{a n}是2020项的实数数列，{a n}中的每一项都不为零，{a n}中任意连续11项a n，a n+1，…，a n+10的乘积是定值（n＝1，2，3，…2020），命题：①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）A．①和②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．②是真命题，①是假命题D．①②都是假命题三. 解答题（本大题共4题，每题5分，共20分）17．如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知OA＝OM＝2．（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM与AP所成角的大小．18．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7．（1）若B＝，求c；（2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{I n}，{I n}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一；策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足I n+1＝1.02I n﹣0.20；策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足I n+1＝1.08I n﹣0.46；（1）设第一周的虫害指数I1∈[1，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？20．已知双曲线H：x2﹣，经过点D（2，0）的直线l与该双曲线交于M、N两点．（1）若l与x轴垂直，且|MN|＝6，求b的值；（2）b＝，且M、N的横坐标之和为﹣4，证明：∠MON＝90°；（3）设直线l与y轴交于点E，，求证：λ+μ为定值21．f（x）＝2x+m+mx+1，其中m是实常数．（1）若f，求m的取值范围；（2）若m＞0，求证：函数f（x）的零点有且仅有一个；（3）若m＞0，设函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若a1，a2，a3，a4是公差d＞0的等差数列且均在函数f（x）的值域中，求证：f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．参考答案一、填空题1．{1，3}；2．10；3．π；4．2﹣i；5．；6．；7．；8．；9．3031；10．10；11．；12．y＝；二、选择题13．B；14．B；15．B；16．D；三、解答题17.解：（1）如图所示，连接OP，则OP⊥底面OAB．点M是母线BP的中点，∴PB＝2OM＝4．∴OP＝＝＝2．∴该圆锥的体积V＝×π×22×2＝．（2）连接AB，取AB的中点D，连接OD，DM．△P AB中，DM∥P A，DM＝AP＝2．∴∠OMD为异面直线OM与AP所成角或其补角．在等腰直角三角形OAB中，OD＝AB＝．在△OMD中，由余弦定理可得：cos∠OMD＝＝，∴异面直线OM与AP所成角的大小∠OMD＝arccos．18.解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B＝，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即49＝25+c2﹣2×5×c×cos，整理得c2﹣5c﹣24＝0，解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去），所以c＝8；（2）如图所示，点M是边AB的中点，CM＝3，＝（+），所以＝（+2•+），即9＝×（49+2×7×5×cos∠ACB+25），解得cos∠ACB＝﹣，所以sin∠ACB＝＝，△ABC的面积S△ABC＝CA•CB•sin∠ACB＝×7×5×＝6．故答案为：6．19.解：（1）策略A：因为I n+1＝1.02I n﹣0.20，策略B：因为I n+1＝1.08I n﹣0.46当1.02I1﹣0.02＝1.08I1﹣0.46，可得I1＝，当I1＝时，两者相等，当I1∈[1，]时，策略B的I2更小；当I1∈（，8]时，策略A的I2更小；（Ⅱ）I1＝3时，选择策略B，当I n＝0，时则﹣＝（3﹣）•1.08n﹣1，可得＝1.08n﹣1，所以n＝+1≈9所以虫害的危机最快在第9周解除．20.（1）解：由题意可得直线l的方程为x＝2，代入双曲线的方程可得4﹣＝1，解得y＝±b，可设M（2，﹣b），N（2，b），即有|MN|＝2b＝6，解得b＝；（2）证明：由b＝，可得双曲线的方程为x2﹣＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立双曲线的方程可得（2﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，由x1+x2＝﹣4，即﹣＝﹣4，解得k＝±1，此时x1x2＝﹣6，则•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2），＝2x1x2﹣2（x1+x2）+4＝2×（﹣6）﹣2×（﹣4）+4＝0，可得⊥，即有∠MON＝90°；（3）证明：由题意可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），可得E（0，﹣2k），又点D（2，0），且设M（x1，y1），N（x2，y2），由＝λ，可得（x1，y1+2k）＝λ（2﹣x1，﹣y1），即x1＝λ（2﹣x1），y1+2k＝λ（﹣y1），可得x1＝，y1＝﹣，由M在双曲线上，可得x12﹣＝1，即有（）2﹣＝1，化简可得3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，由＝μ，可得（x2，y2+2k）＝μ（2﹣x2，﹣y2），同理可得3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0，故λ、μ为方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的两个实根，可得λ+μ＝＝为定值．21.解：（1）依题意，，即，∴，显然m＞0，则m2﹣4m+1＞0，解得或，∴实数m的取值范围为；（2）证明：当m＞0时，易知函数f（x）在R上单调递增，又当x→﹣∞时，2x+m→0，则f（x）一定会取得负值，而f（0）＝2m+1＞0，则由零点存在性定理可知，函数f（x）的零点有且仅有一个，且零点小于零；（3）证明：由（2）知，f（x）在R上单调递增，任取x1＜x2，则＝，∴，可知，函数f（x）是类似于下图所示增长形式的函数图象，由题有，a1+a4＝a2+a3，且公差d＞0，则其在图象上可取如图所示符合条件的任意四点，且对应点A的横坐标，对应点B的横坐标，显然有，，即f﹣1（a1）+f﹣1（a4）＜f﹣1（a2）+f﹣1（a3）．。
2019-2020学年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)(有答案)
上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题函数「（工）=运2的定义域是X - 1- 1-^2+3+* -4nIlin---- , : nfg n +14 .若向量W ，尼满足|al=lt lb |=2且二与石的夹角为彳，则|W+E 1=.I5 .若复数z 1=3+4i , z 2=1 - 2i ,其中i 是虚数单位，则复数 —~—十1］的虚部为 _________1 2 6 .在（工一的展开式中，常数项是 .（用数字作答）7 .已知△ ABC 的内角A B C 所对应边的长度分别为8 .已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足： a i a y =4,则数列｛log 2a n ｝的前7项之和为 9 .在极坐标系中曲线 C: p=2cos 。
上的点到（1,兀）距离的最大值为10 .袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为 1至5,从袋中随机抽取 3只，若以E 表示取到球中的最大号码，则E 的数学期望是.211 .已知双曲线 宣一二1的右焦点为F,过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点巳* 4 1- t …一一 r IllJM 在直线PF 上，且满足OM ，FF=0,则 一 = ___________ .llP^I12 .现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）13 .若关于x 的方程（4x+j~） - |5x - -|=m 在（0, +°0）内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为 14 .课本中介绍了应用祖咂原理推导棱锥体积公式的做法.祖附I 原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖咂原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个 以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖附I 原理（图1）,即2.已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组的解为3. 计算 a 、 b 、 c,若,则角C 的大小是可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为r 2 2三-+匚二1将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2）,其体积等于_______ . q 2515.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0, +8）上递增的是（）、选择题A. y=2|x|B. y=lnxC. 可D. y=x416.已知直线l的倾斜角为“，斜率为k,则“ @＜匚"”是“ k＜收的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件17.设x, y, z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A.」斗丹B ^/^-五百477运-«C.匠一田+——>2D. |x - y| w |x — z|+|y - z| z -r18.已知命题：“若a, b为异面直线，平面a过直线a且与直线b平行，则直线b与平面a的距离等于异面直线a, b之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a, b为异面直线，且它们之间的距离为d,则空间中与a, b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A. 0条B. 1条C.多于1条，但为有限条D.无数多条三、解答题19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC- A1B1G中，4, D是棱AA上的动点.(1)证明：DCLBC;（2）求三棱锥C- BDC的体积.20 .某菜农有两段总长度为 20米的篱笆PA 及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM ON 围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB (假设OM ON 这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10 (米)，ZA0P=Z ,/ OAP=/ OBP 设/ OAP=,四边形 OAPBB 勺面积为S. (1)将S 表示为0的函数，并写出自变量 0的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应0的值.21 .已知函数 f(K)=aK+log 2(2X+1),其中 aC R.(1)根据a 的不同取值，讨论f (x)的奇偶性，并说明理由；(2)已知a>0,函数f (x)的反函数为 ｛1(x),若函数y=f (x) +｛1 (x)在区间［1 , 2］上的最小值为 1+log 23,求函数f (x)在区间［1 , 2］上的最大值.2222 .已知椭圆cJ+yiOAb)。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020-2021学年上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析A
上海市第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知()21xf x =-，则1(3)f-= ▲ ．2．已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ▲ ．3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ．4．直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ．5．若()1(2),3nnn x x axbx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ▲ ．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．7．若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．10．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF则b 的最大值为 ▲ ．11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q为小圆上的点，则PA PQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ ．12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r、夹角的取值范围为A ，12l l 、所成角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14． 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x=的图像上，则 (A) 12t =，s 的最小值为6π (B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π(D) 2t =，s 的最小值为12π 15．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：(1) 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； (3) 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； (4) 若函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA ，M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．(1) 若C A BM 1⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．B18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．(1)若()4()3f x g x =+，求x 的值；(2)若存在[]0,4x ∈，使不等式3)2()(≥--+x g x a f 成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？AB CPQ D20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆)0()5(222>=+-r r y x相切于点M ，且M 为线段AB 中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（直接写出结论）．21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++L ，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由； (2) 若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式；(3) 令21*112122,n n n nT T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．（参考答案）一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分 1． 2 2．{1,0}- 3．1 4．10x y +-= 5．16 6． 7． 1[,1]2- 8．9 9．29 1011．[3-+ 12．1009二、选择题 （每小题5分，共20分）13． C 14．A 15. B 16．B三．解答题（共78分）17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h 解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 5n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sin 5arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11AM A B ==所以111sin5A MA BMA B∠===……………………12分所以1A BM∠=所以直线1BA与平面ABM所成的角为sin5arc………………14分18．[解]（1）由()4()3f xg x=+得2423x x-=⋅+……………………2分223240x x⇒-⋅-=所以21x=-（舍）或24x=，……………………4分所以2x=……………………6分（2）由()(2)3f a xg x+--≥得2223a x x+-≥……………………8分2223a x x+≥+2232a x x-⇒≥+⋅……………………10分而232x x-+⋅≥，当且仅当[]4232,log30,4x x x-=⋅=∈即时取等号…12分所以2a≥211log32a≥+．………………………………14分19．[解]（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得8004001200000x y+=，即23000x y+=，………………………………2分1sin1202ABCS x y∆=⋅⋅o yx⋅⋅=43…………………………4分yx⋅⋅=28322283⎪⎭⎫⎝⎛+≤yx=2m当且仅当yx=2，即750,1500x y==时等号成立，所以当ABC△的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m==．由2133AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r…………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r22919494+⋅+=…………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)22a a ±………2分所以214,22a a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q ()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]：（1）由0n a n =>，可知数列{}n T 为递增数列，……………………………2分 计算得1719382017T =<，1822802017T =>，所以不存在*k N ∈，使得2017k T =； ………………………4分（2）由61n n T =-，可以得到当*2,n n N ≥∈时，1111(61)(61)56n n n n n n n a a T T --+-=-=---=⋅， ……………………6分又因为1215a a T ==，所以1*156,n n n a a n N -+=⋅∈， 进而得到*1256,n n n a a n N ++=⋅∈，两式相除得*26,n na n N a +=∈， 所以数列21{}k a -，2{}k a 均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由13a =，得253a =， 所以1*22*23621,562,3n n n n k k N a n k k N --⎧⋅=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩；………… …………10分（3）证明：由题意12123122b T T a a a a =-=-，当*2,n n N ≥∈时，111212n n n n n n n n b T T T a a a a +-+++=+-=-，因此，对任意*n N ∈，都有121n n n n n b a a a a +++=-． …………12分必要性(⇒)：若{}n a 为等差数列，不妨设n a bn c =+，其中,b c 为常数， 显然213243a a a a a a -=-=-，由于121n n n n n b a a a a +++=-=2212()222n n n a a a b n b bc ++-=++， 所以对于*n N ∈，212n n b b b +-=为常数，故{}n b 为等差数列； …………14分 充分性(⇐)：由于{}n a 的前4项为等差数列，不妨设公差为d当3(1)n k k ≤+=时，有4131213,2,a a d a a d a a d =+=+=+成立。
上海市杨浦区2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是双曲线的焦点，是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，是椭圆与双曲线的一个公共点，设，则（ ）A．B．C．D ．且且2.已知点为的外心，的边长为2，则（ ）A．B ．1C ．2D ．43. 已知椭圆的上顶点为A ，离心率为e ，若在C 上存在点P ，使得，则的最小值是（ ）A．B．C．D．4. 在四边形ABCD中，，且满足，则（ ）A ．2B．C．D．5. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6. 设全集，，，则A．B．C．D．7. 设有下面四个命题，其中的真命题为A ．若复数，则B ．若复数满足，则或C ．若复数满足，则D ．若复数满足，则8.已知向量满足，且，则向量在向量上的向量为（ ）A ．1B ．-1C．D．9. 袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A =“第一次抽到的是白球”，事件B =“第二次抽到的是白球”，则（ ）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 相互独立C．D．10.已知点分别是直线和圆上的动点，则（ ）A．点到直线的最大距离为7B ．当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1C ．若直线与圆相切，则的值为D ．若直线与被圆截得的弦长为，则的值为11. 下列命题是假命题的有（ ）A ．回归方程至少经过点中的一个B ．若变量y 和x 之间的相关系数，则变量y 和x 之间的负相关性很强C ．在回归分析中，决定系数为0.80的模型比决定系数为0.98的模型拟合的效果要好D ．在回归方程中，变量时，变量y 的值一定是﹣7上海市杨浦区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题12.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A 为塔顶，B 为塔底)的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C 与D (B ，C ，D 不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（）A．B．C．D．13. 的展开式中的常数项为___________.14. 在R上定义运算，则满足的实数x 的取值范围是____________15.已知函数，若在内无零点，则的取值范围是________.16.已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.17. 产品的总成本与原料成本､运费及存储保管所需费用（简称仓储费）有密切关系.某企业上半年分数次共购进吨生产原料，且每次均购进原料吨（）.据前期测算分析，运费为每次2万元，总仓储费为万元.设该企业上半年的运费与总仓储费之和为.(1)求关于的表达式；(2)每次购进多少吨原料，可以使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小？最小为多少万元？18. 如图，直角中，，，分别是边的中点，沿将折起至，且.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面平面．19. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且， ．在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求的面积S；(2)求角A的平分线的长．20. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求；（2）若，求b的取值范围．21. 已知函数在上单调递减.（1）求实数的取值范围；（2）若存在非零实数，满足，，依次成等差数列.求证：.。
2019-2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(文科)(有答案)
上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{an }的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为______．9．已知变量x，y满足，则2x+3y的最大值为______．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a ∈R ．（1）当a=﹣时，求证：函数f （x ）是偶函数；（2）已知a ＞0，函数f （x ）的反函数为f ﹣1（x ），若函数y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上的最小值为1+log 23，求函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值． 22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a= 2 ．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算= ．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a 2+b 2﹣c 2=ab ，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C 的大小． 【解答】解：∵△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，，∴a 2﹣c 2=﹣b 2+ab ，即a 2+b 2﹣c 2=ab ， ∴cosC===， ∵C 是△ABC 的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足：a 1a 7=4，则数列{log 2a n }的前7项之和为 7 ． 【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解答】解：由等比数列的性质可得：a 1a 7=a 2a 6=a 3a 5=4=4，∴数列{log 2a n }的前7项和=log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 7=log 2（a 1a 2…a 7）=log 227=7， 故答案为：7．9．已知变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为 14 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，4），令z=2x+3y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×4=14．故答案为：14．10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是6．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出底面正六边形对边之间的距离即为左视图矩形的底边长，左视图矩形的高为棱柱的侧棱长．【解答】解：设正六棱柱的底面为六边形ABCDEF，连结AC，则AB=AC=2，∠ABC=120°，∴AC=2．∴正六棱柱侧视图的面积为2×3=6．故答案为6．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54 ．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为（6，10）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，∵方程，∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；∵x+≥6；∴当m＜6时，方程x+=m无解；当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；当m=10时，方程x+=m的解为1，9；当x＜1时，4x﹣＜0，∵方程，∴5x++4x﹣=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．故答案为：（6，10）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】取与n条平行线垂直的平面α，则n条直线在平面α内的投影为n个点，将直线问题转化为平面内的点的问题解决．【解答】解：取平面α，使得两两平行的n条直线与平面α垂直，则n条直线在平面α内的投影为n个点，且这n个点之间的距离两两相等．∴n的最大值为3．此时n个投影点组成一个正三角形．故选：B．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC 1A 1，进一步得到BC ⊥DC 1；（2）利用等积法，把三棱锥C ﹣BDC 1的体积转化为三棱锥B ﹣CDC 1的体积求解． 【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥底面ABC ，又CC 1⊂面ACC 1A 1，∴面ACC 1A 1⊥底面ABC ，而面ACC 1A 1∩底面ABC=AC ， 由△ABC 为Rt △，且AC=BC ，得BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴BC ⊥DC 1；（2）解：由（1）知，BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵，∴AA 1=2， 则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP ．设∠OAP=θ，四边形OAPB 的面积为S ． （1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．1+log2【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣时，，定义域为R，====f（x），∴函数f （x ）是偶函数．（2）∵函数f （x ）与f ﹣1（x ）单调性相同， ∴当a ＞0时，函数f （x ）为增函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）在区间[1，2]上为增函数，则函数的最小值为当x=1时，y=f （1）+f ﹣1（1）=1+log 23， 即a+log 23+f ﹣1（1）=1+log 23，则f ﹣1（1）=1﹣a ， 即f （1﹣a ）=1，则a （1﹣a ）+log 2（21﹣a +1）=1， 得a=1，此时f （x ）=x+log 2（2x +1）在[1，2]上是增函数， 则函数的最大值为f （2）=2+log 2（22+1）=2+log 25．22．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=2，，且对一切n ∈N *，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n ； （3）设，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）数列{a n }满足：a 1=2，，变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．可得b 1=2．当n ≥2时，b n ==2n ．利用等比数列的前n 项和公式可得S n ． （3）由c n =﹣=﹣．利用等比数列的前n 项和公式、“裂项求和”方法可得数列{c n }的前n 项和为T n ．再利用其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：数列{a n }满足：a 1=2，，∴﹣=1，∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n ﹣1）=n+1，∴a n =n （n+1）．（2）解：数列{b n }满足：对一切n ∈N *，均有．∴b 1==2．当n ≥2时，b n ====2n ．（n=1时也成立）．∴数列{b n }的前n 项和S n ==2n+1﹣2．（3）解：，c n ==﹣=﹣．∴数列{c n }的前n 项和为T n =﹣=﹣．T n+1﹣T n =﹣=﹣=，可知：n=1，2，3时，T n+1＞T n ； n ≥4时，T n+1＜T n ．∴T 1＜T 2＜T 3＜T 4＞T 5＞T 6…， ∴T 4为最大值．∴取正整数k=4，使得对任意n ∈N *，均有T 4≥T n ．23．已知椭圆C ：的焦距为，且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且在椭圆C 上存在点M ，使得：（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2），设M （x m ，y m ），求出，=﹣，由点M 在椭圆C 上，能求出直线l 的方程．（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3），使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：的焦距为，∴c=，∵右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a 2=b 2+c 2=4， ∴椭圆C 的方程为．（2）设直线l ：x=t ，（﹣2＜t ＜2），则A （t ，y 1），B （t ，y 2）， 其中y 1，y 2满足：，y 1+y 2=0，设M （x m ，y m ）， ∵（其中O 为坐标原点），∴，=﹣，∵点M 在椭圆C 上，∴，∴49t 2+4﹣t 2=100，∴t=， ∴直线l 的方程为x=或x=﹣． 证明：（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），R （x 3，y 3）， 使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ，∵直线PQ 具有性质H ，∴在椭圆C 上存在点M ，使得：，设M （x m ，y m ），则，y m =，∵点M 在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理： =0，②，，③1）若x 1，x 2，x 3中至少一个为0，不妨设x 1=0，则y 1≠0，由①③得y 2=y 3=0，即Q ，R 为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾． 2）若x 1，x 2，x 3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．。
上海市杨浦区2020届高三下学期第二次模拟数学试题及答案
②不存在满足条件的数列，使得其中恰有 550 个 1；
的真假情况为（ ）
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题 ②是假命题
C. ②是真命题，①是假命题
D. ①②都是假命题
三、解答题
17. 如图，线段 OA 和 OB 是以 P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点 M 是母线 BP 的中点， 已知 OA=OM=2.
18.（1）8
（2） 6 6
19.（1）当
I1
1, 133
时，使用策略
B
更小；当
I1
=
13 3
时，两种策略一样；当
I1
13 3
, 8
时，使用策略
A
更小 （2）9
20.（1） 3
21.（1） 0 m 2 − 3 或 m 2 + 3
第5页
( ) ( ) ( ) 11. 设 a,b,c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若 a b : b c : c a = 1:1: 2 ，则 a b 的值为
____________
12. 已知抛物线 1 与 2 的焦点均为点 F(2,1)，准线方程分别为 x = 0 与 5x +12y = 0 ，设两抛物线交于 A、
B 两点，则直线 AB 的方程为____________
二、选择题 13. 不等式 x −1 0 的解集为（ ）
x−2
A. 1, 2
B. 1, 2)
C. (−,12, +)
第1页
D. (−,1) (2, +)
14. 设 z 是复数，则“z 是虚数”是“ z3 是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
2020届上海市杨浦区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(加精)
上海市杨浦区高三二模数学试题一、填空题1、行列式987654321中，元素5的代数余子式 2、设实数()()0,()cos sin f x x x ωωω>=+若函数的最小正周期为=ωπ，则 3、已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为4、设向量()()t ,6,3,2==，若与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围5、集合{}2,3,1aA =，集合{}2,1++=a aB a A A B 则实数若,=⋃＝6、设21221-032,z z z z z z 的两根，则是方程=++=7、设()R x f 是定义在上的奇函数，当()023,x x f x >=-时，则不等式()5f x <-的解集是8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+020212y x y x y x ，则y x z -=的最小值为9、小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立的进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为10、设）的坐标（上的动点，点是椭圆0,2-)0(142222F a a y a x A >=-+，若满足A AF 的点10=有且仅有两个，则实数a 的取值范围为11、已知()=++>>b abb a b a 取得最小值时，当14,0,0212、设函数()1,22≤+-+=y x a a x x x f 在圆盘在实数范围内变化时，当α内，且不在任一()x f α的图像上的点的全体组成的图形面积二、选择题13、”的是纯虚数”是““且设R z z z C z ∈≠∈2,0 （ ） A 、充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要条件 D 、即非充分又非必要14、设等差数列{}n a 的公差为0,≠d d ，若{}n a 的前10项和大于其前21项和，则（ ） A 、0<d B 、0>d C 、016<a D 、016>aABCD1C 1B 1A 1PQ 15、如图，S N C O S N 和是经过直径的两个端点，圆是球1,点的大圆，32C C 和圆圆分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆。
上海市杨浦区2020-2021年高三数学二模试卷含答案
- - - 1 -ABCD A 1B 1C 1D 1杨浦区2020学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2021.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 已知复数z 满足2i z =-（i 为虚数单位），则z z ⋅=___________． 2．已知函数()f x =1()f x - ，则1(3)f -= ___________．3．在行列式137252124D =-中，元素3的代数余子式的值为__________．4．在8(x 的二项展开式中，6x 项的系数是___________．5．已知,x y 满足:102040x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为___________.6．方程()()55log 4111log 23x x --=-的解为=x ___________．7．已知一组数据,3,2,6a -的中位数为4，则其总体方差为___________．8．已知函数()()|21|f x g x x =+-为奇函数，若(1)7g -=，则(1)g =___________． 9．直线l ：(2)210n x y n +-+-=（*n ∈N ）被圆C ：22(1)16x y -+=所截得的弦长为n d ，则lim n n d →+∞=___________．10．非空集合A 中所有元素乘积记为()T A . 已知集合{1,4,57,8}M =, ，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A ，则()T A 为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11.函数()sin()(0)f x x x ωωω=>，若有且仅有一个实数m 满足：①02m π≤≤；②x m =是函数图像的对称轴，则ω的取值范围- - - 2 -是 ．12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ACC A 上一动点，且满足10D P CP ⋅=，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13．若 ,R m n ∈，i 是虚数单位,则 “m n =”是“()() i m n m n -++为纯虚数 ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{}n a 是无穷等比数列，若120a a <<，则数列{}n a 的前n 项和n S （ ） A ．无最大值，有最小值B ．有最大值，有最小值C ．有最大值，无最小值D ．无最大值，无最小值 15．在四边形ABCD中，AB DC ==，且满足||||||ABADAC AB AD AC +=，则||AC = （ ） A ．2 B ．6CD ． 16．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若 ,x y D ，则()()f x A f y ∈；（2）若 ,x y D ，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是 （ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得2021()2020f x =； ④对任意x D ∈，都有2()f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③- - - 3 -C 1B 1A 1C B ADD三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥D 是棱AB 的中点 .（1）求证：直线BC 与直线1DC 为异面直线；（2）求直线1DC 与平面1A BC 所成角的大小.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知()221x f x ax x =++，（a 为实常数）（1）当1a =时，求不等式()1()f x f x x+<的解集；（2）若函数()f x 在()0,+∞中有零点，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，,,A B C 三地在以O 为圆心的圆形区域边界上，30AB =公里，10AC =公里，60BAC ∠=︒， D 是圆形区域外一景点，90DBC ∠=︒（1）O 、A 相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A 处出发，以每小时50处，需要多少- - - 4 -小时？（精确到小数点后两位）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆222:(1)16C x y -+=交于 , A B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程2224, (1)16, AAy x x x x y x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，P 是曲线Γ上一动点.（1）若P 在抛物线上且满足||3PF =，求直线PF 的斜率；（2）(,0)T m 是x 轴上一定点. 若动点P 在Γ上满足A x x ≤的范围内运动时，||PT AT ≤恒成立，求m 的取值范围；（3）Q 是曲线Γ上另一动点，且满足FP FQ ⊥，若PFQ ∆的面积为4 ，求线段PQ 的长.- - - 5 -21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件： ① {0,1,2},n a n ∈∈*N ；② 1111(1)||,24n n n n n b a a n b *++=-⋅-∈N . 记数列{}n b 的前n 项积为n T.（1）若112341 ,0 , 2 ,1a b a a a =====，求4T ；（2）是否存在1234,,,a a a a ，使得1234,,,b b b b 成等差数列？若存在，请写出一组1234,,,a a a a ;若不存在，请说明理由； （3）若11b =，求2021T 的最大值.评分参考一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市十三校2020年联考高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x|μ（x+log2x）＞m}，B=（，2），若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n）（n∈N+）上的值域为M n，集合M n中的元素个数为a n，求证：；（3）设g（x）=x+a，h（x）=，若对于x1，x2（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），求实数a的取值范围．2020年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x=2．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【分析】根据二次项展开式的通项公式，写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=（2x）6﹣r=26﹣r x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为：23=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【分析】先根据椭圆的焦点位置，求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A={x||x﹣3|＜2}，集合B={x|}，则A∩B=[4，5）．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B=[4，5），故答案为：[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【分析】由A的度数，求出sinA的值，设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】化简a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．8．已知直角坐标系中，曲线C参数方程为（0≤α≤2π），现以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ．【分析】求出C的直角坐标系方程，然后根据极坐标方程进行转化即可．【解答】解：，曲线C的标准方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y+4=4，则x2+y2﹣4y=0，则ρ2﹣4ρsinθ=0即ρ=4sinθ，故答案为：ρ=4sinθ【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的转化，根据相应的转化公式是解决本题的关键．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面BDE 的距离为．【分析】连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE，证明C1O即为所求．【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，连接OE，作C1F⊥OE．∵BD⊥平面A1C1CA，BD⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面A1C1CA，∵平面BDE∩平面A1C1CA=OE，C1F⊥OE，∴C1F⊥平面BDE．△C1OE中，C1E=3，C1O=，EO=，∴C1O2+EO2=C1E2，∴C1O⊥OE，即O，F重合，∴点C1到平面BDE的距离为．故答案为：．【点评】本题考查点C1到平面BDE的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．函数f（x）=（）x+x﹣5的零点为x1、x2，函数g（x）=log x+x﹣5的零点为x3、x4，则x1+x2+x3+x4的值为10．【分析】由函数与方程的关系转化为图象的交点问题，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称的性质进行转化求解．【解答】解：由f（x）=（）x+x﹣5=0得（）x=5﹣x，由g（x）=log x+x﹣5的得log x=5﹣x，分别作出函数y=（）x，y=5﹣x和y=log x的图象，∵y=（）x和y=log x的图象关于y=x对称，则（）x=5﹣x，与log x=5﹣x的根关于y=x对称，由得，即两直线的交点坐标为（，），则=，=，即x1+x3=5，x2+x4=5，则x1+x2+x3+x4=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查函数与零点的应用，结合指数函数和对数函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．对于数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S5的最大值为a，最小值为b，则a﹣b=16．【分析】由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5，a=1+2+4+8+16，计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：由a1=1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S5的最大值a=1+2+4+8+16=31，最小值为b=1+2+3+4+5=15．则a﹣b=16．故答案为：16．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf （x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3] ．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象并对x 分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）=0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键，考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正四面体A1A2A3A4，点A5，A6，A7，A8，A9，A10分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积的不同数值的个数为9．【分析】设出已知正四面体的棱长，求出四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长，每一对相对棱的中点连线得长，然后分别求i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值，同理求得i=2，j自1取到10，所得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，所得数量积的不同数值，比较结果后得答案．【解答】解：∵四面体A1A2A3A4是正四面体，∴四面体的所有棱长相等，设为a，四个面上的每一个顶点与对边中点的连线长均为，每一对相对棱的中点连线相等均为．当i=1，j自1取到10，所得数量积的不同数值有：=a2，，，，，，，，．当i=2，j自1取到10时，依次求得数量积的不同数值，…i=10，j自1取到10，依次求得数量积的不同数值，比较结果后得数量积的不同数值有，0，共9个．故答案为：9．【点评】本题考查向量在几何体中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．14．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），D=[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=[0，π]，f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（）A．是必然事件B．M∪N是必然事件C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件【分析】有M、N是互斥事件，作出相应的示意图，即可得．【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图：，无论哪种情况，是必然事件．故选A．【点评】本题考查借助示意图判断事件间的关系，考查互斥事件的定义，属于基础题17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【分析】求出圆锥的侧面积即为答案．【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V==，∴r=10cm．∴圆锥形容器的侧面积S==100cm2≈444.3cm2．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积，体积计算，属于基础题．20．已知复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）若z1z2为实数，求sec2θ的值；（2）若复数z1，z2对应的向量分别是，，存在θ使等式（λ﹣）（﹣λ）=0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可．（2）化简复数z1，z2对应的向量分别是，，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[，]．（1）z1z2=2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1z2为实数，可得4sinθcosθ﹣=0，sin2θ=，解得θ=．sec2θ==﹣2．（2）复数z1=2sinθ﹣i，z2=1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，，=（2sinθ，﹣），=（1，2cosθ），（λ﹣）（﹣λ）=0，∵2+2=（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2=8，=（2sinθ，﹣）（1，2cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，∴（λ﹣）（﹣λ）=λ（2+2）﹣（1+λ2）=8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）=0，化为sin（θ﹣）=，∵θ∈[，]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．【点评】熟练掌握z1z2∈R⇔虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键21．已知{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m=2020？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）可求得d==3，{b n﹣a n}是等比数列，公比q=2，从而求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）化简c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，从而分类讨论以确定数列{c n}的前n项和S n，可求得S n=，从而讨论即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1=3，a4=12，∴d==3，∴a n=3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1=4﹣3=1，b4﹣a4=20﹣12=8，∴q=2，∴b n﹣a n=12n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1；（2）c n=b n cosnπ=（3n+2n﹣1）cosnπ，故①当n为奇数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）=3×﹣3n+ [（﹣2）n﹣1]=﹣（n+1）+ [（﹣2）n﹣1]=﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n=﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）=（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）=3×+ [（﹣2）n﹣1]=n+（2n﹣1），综上所述，S n=，若S m=2020，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）=2020，故（2m﹣1）=2020﹣m，而（214﹣1）＞2020，（212﹣1）＜2020﹣×12，故m值不存在．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列前n项和的求法及分类讨论的思想应用．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）=2 （3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=（其中x c为点C的横坐际）．【分析】（1）求得特征直线的斜率，哟哟点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，可得点G的“特征直线”的斜率为2，求得G的坐标，解方程可得较大的根，进而得到证明；（3）设C（m，n），D（s，t），求得直线l1、l2的方程，求得交点M，解方程可得两根，再由向量共线的坐标表示，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即为y=x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y=±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4=2（x﹣4），即为y=2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b=2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b=0的根为x=，即有较大的根为===2，可得r（a，b）=2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n=mx，l2：y+t=sx，联立方程，由n=m2，t=s2，解得x=（m+s），y=ms，即有a=（m+s），b=ms，则方程x2﹣ax+b=0的根为x1=m，x2=s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b=ma﹣m2=ms，则=λ（λ≥0），即（m+s）﹣m=λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）=；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查抛物线的切线的方程的求法和运用，考查向量共线的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．（1）设A={x |μ（x +log 2x ）＞m }，B=（，2），若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围； （2）设g （x ）=μ（x μ（x ）），g （x ）在区间（0，n ）（n ∈N +）上的值域为M n ，集合M n 中的元素个数为a n ，求证： ；（3）设g （x ）=x +a ，h （x ）=，若对于x 1，x 2（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据μ（x ）的定义，A ∩B ≠∅，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，可得m ＜3；（2）由g （x ）=μ（x μ（x ）），依次求出数列{a n }的前5项，再归纳出a n =a n ﹣1+n ，利用累加法求出a n ，运用数列的极限的计算公式，即可得证；（3）对于x 1，x 2∈（2，4]，都有g （x 1）＞h （x 2），即有g （x 1）＞h （x 2）max ，由二次函数的最值和正弦函数的值域，可得g （x ）的最大值为4，讨论x ∈（2，3]，当x ∈（3，4]，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得a 的范围．【解答】解：（1）由题意可得x ＞0，且x +log 2x 在（，2）递增，即有﹣1＜x +log 2x ＜3，可得μ（x +log 2x ）的最大值为3，由A ∩B ≠∅，可得m ＜μ（x +log 2x ）的最大值，即有m ＜3，即m 的范围是（﹣∞，3）；（2）证明：由题意易知：当n=1时，x ∈（0，1]，所以μ（x ）=1，所以μ（x μ（x ））=1，所以M 1={1}，a 1=1；当n=2时，x ∈（1，2]，所以μ（x ）=2，所以μ（x μ（x ））∈（2，4]，所以M 2={1，3，4}，a 2=3；当n=3时，x ∈（2，3]，所以μ（x ）=3，所以μ（x μ（x ））=μ（3x ）∈（6，9]， 所以M 3={1，3，4，7，8，9}，a 3=6；当n=4时，因为x ∈（3，4]，所以μ（x ）=4，所以μ（x μ（x ））=μ（4x ）}∈（12，16]，所以M 4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a 4=10；当n=5时，因为x ∈（4，5]，所以μ（x ）=5，所以μ（x μ（x ））=μ（5x ）∈（20，25]， 所以M 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a 5=15， 由此类推：a n =a n ﹣1+n ，所以a n ﹣a n ﹣1=n ，=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得a n=，可得===；（3）对于x1，x2∈（2，4]，都有g（x1）＞h（x2），即有g（x1）＞h（x2）max，由g（x）=，当x=时，x2﹣5x+7取得最小值，sinπx+2取得最大值1+2=3，即有g（x）取得最大值4．当x∈（2，3]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有3a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得最大值9，可得3a＞9，即为a＞3：当x∈（3，4]，有μ（x）=3，可得x+﹣2＞4，即有4a＞x（6﹣x），当x=3时，x（6﹣x）取得9，可得4a＞9，即为a＞．综上可得a＞3．【点评】本题考查新定义的理解和应用，归纳推理，累加法求数列的通项公式，以及不等式恒成立问题的解法，难度较大．。