(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形辅助线添加方法
全等三角形辅助线添加方法全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
要证明两个三角形全等，我们通常使用SAS（两边和夹角），ASA（两角和边），SSS（三边）等条件来进行证明。
为了证明这些条件，我们可以添加一些辅助线来简化问题。
以下是几种常见的全等三角形辅助线添加方法：1.中位线法中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点及对边中点来添加中位线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个平行四边形，从而简化了证明过程。
2.高线法高线是从一个顶点垂直于对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条高线，从而将一个三角形分解成两个直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
3.角平分线法角平分线是从一个角的顶点分别平分两个相邻边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点和相邻边的角平分线来添加辅助线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个高度相等的直角三角形。
4.旁切线法旁切线是从一个角的顶点切线到对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条旁切线，从而将一个三角形分解成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
5.等腰三角形法等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
在证明两个三角形全等时，如果我们发现其中一个三角形是等腰三角形，可以添加一条辅助线，将该等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
通过添加这些辅助线，我们可以改变问题的形式，简化证明过程，并帮助我们找到更多的全等条件。
但是需要注意的是，辅助线的添加要符合几何图形的性质，不能改变原有图形的形状和大小。
总之，在证明两个三角形全等时，辅助线的添加是一个常用的方法，可以帮助我们简化证明过程，找到更多的全等条件，提高证明的效率和准确性。
需要根据具体问题来选择合适的辅助线添加方法，灵活运用几何定理和性质来进行证明。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法要向一个全等三角形添加辅助线，只需在三角形内或外画直线，以切割或连接三角形的一些部分。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和属性。
接下来，我将介绍几种常见的方法来添加辅助线。
1.三角形中线：连接每个顶点与对边中点的线段。
这条线段将三角形划分为两个全等的三角形。
它们的边长相等，角度相等。
2.三角形的角平分线：从每个顶点作出形成该顶点角的两个邻边的角平分线。
这些角平分线会相交于三角形内部的一点，该点是三角形内角平分线的交点。
3.三角形的高线：从每个顶点作出与对边垂直相交的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条高线，它们的长度相等，且垂直于对边。
4.三角形的中线：从每个顶点作出与对边平行的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条中线，它们的长度相等，且平行于对边。
5.三角形的中心：连接三角形的三个顶点与重心的线段。
重心是三角形内部所有高线的交点。
三角形的重心被定义为三边中点的连线的交点，其坐标为三个顶点的坐标之和的1/3这些辅助线有助于我们更好地理解和分析全等三角形的特性和属性。
它们可以帮助我们推导出一些重要的结论和公式，还可以用于证明和解决三角形的相关问题。
例如，通过添加辅助线可以证明全等三角形的性质：全等三角形的对应边长相等，对应角度相等，对应角内的三角形也全等。
此外，辅助线还可以帮助我们解决一些基于全等三角形的问题。
比如，如果两个三角形的一对对应边长和一对对应角度都相等，我们可以利用辅助线来证明它们是全等三角形。
因此，通过添加辅助线，我们可以更好地理解和分析全等三角形的性质和问题。
在解决相关问题时，辅助线可以作为重要的工具来简化问题和得出正确的答案。
全等三角形画辅助线的方法
全等三角形画辅助线的方法以全等三角形画辅助线的方法为标题，写一篇文章。
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在几何学中，我们可以使用一些方法来画辅助线，以帮助我们证明两个三角形是全等的。
本文将介绍几种常见的辅助线方法。
一、SAS判据法SAS（边角边）判据法是全等三角形的一个常见判定方法。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以先根据已知条件画出两个已知边长相等的线段，然后再连接这两个线段的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
为此，我们可以通过画出这两个三角形的高线，并证明它们相等，从而得出这两个三角形全等的结论。
二、ASA判据法ASA（角边角）判据法也是全等三角形的一个常见判定方法。
当两个三角形的一个角和两个边分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以先根据已知条件画出两个已知角度相等的角，然后再连接这两个角的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
为此，我们可以通过画出这两个三角形的高线，并证明它们相等，从而得出这两个三角形全等的结论。
三、SSS判据法SSS（边边边）判据法是全等三角形的另一种常见判定方法。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以根据已知条件直接画出两个已知边长相等的线段，然后再连接这两个线段的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
为此，我们可以通过证明这两个三角形的内角相等，从而得出它们全等的结论。
四、AAS判据法AAS（角角边）判据法是全等三角形的另一种常见判定方法。
当两个三角形的两个角和一条边分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以根据已知条件画出两个已知角度相等的角，然后再连接这两个角的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
构造全等三角形添加辅助线的方法
构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。
添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。
本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。
一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。
原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。
二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。
原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。
三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。
原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。
四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。
原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。
具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。
b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。
c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。
b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。
c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。
3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。
b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。
c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。
4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。
a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。
b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。
c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。
d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。
通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。
在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。
三角形全等证明,10道考试真题,6种常用辅助线添加的方法和技巧.doc
三角形全等证明，10道考试真题，6种常用辅助线添加的方法和技巧以下六种常用的辅助线添加方法和技巧。
相互学习，一起进步。
方法一、双垂直构造三角形全等。
遇见角平分线，角平分线上的点向角两边做垂直，必出三角形全等。
例题1，是最基础，最简单的题型。
有些，需要我们证明角平分线的时候，同样可以向角两边做垂直，那么只要两个垂线段相等，到角两边距离相等的点在角平分线上。
例题2，过点P做MN平行BC，则出现在AB边和CD 边上，双垂直。
根据题意，证明三角形QNP全等于三角形PMB，结论得证。
方法二，倍长中线。
三角形中，遇见中点，很容易想到倍长中线。
例题3，倍长中线后，得出三角形ACE全等于三角形ACM。
例题4，延长AD至E，使DE=AD。
得出三角形ADC全等于三角形EDB。
第2小题，根据三角形的三边关系，等量代换，即可求出AD的取值范围。
方法三、截长补短法。
求证两个线段和等于一个线段的时候，很容易想到截长补短的辅助线添加方法。
截长补短法，包括了截长法和补短法，两种方法。
一般来说，一道题，既可以用截长法，也可以用补短法。
例题6、解析中用了延长AD至M，使MD=FD。
请认真看解答过程。
再请按照图3的辅助线，自行练习推理，举一反三，得出结论。
方法四、平行线发或者平移法。
解题方法1，过点O做OD平行BC。
还有两个方法，请自行推理，如图3和图4.方法五，旋转法。
把一个三角形，经过旋转，旋转后必出三角形全等，得出结论。
例8和例9，其实也就是，最近经典的半角模型。
之前也专门讲过，这个几何模型。
请认真参考，这个两个例题。
从中总结规律和解题方法。
方法六、翻折法，或者叫对称法。
例题10，看起来很难，当你认真看完解题过程，肯定会有所收获。
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教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形
例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，
∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，
∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形
例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，
∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，
∴△ABM≌△CAF（ASA）。
∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。
∵AM＝CM，∴CF＝CM。
∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，
∴△MCD≌△FCD（SAS）。
所以∠F＝∠DMC。
∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。
求证：AB＞AC。
证明：把△ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE＝DC，连接AE。
如图10。
∴△ADC≌△ADE（SAS）。
AC＝AE，∠C＝∠AED。
∵∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B。
从而AB＞AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6. 如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。
求证：PA＝PB＋DQ。
证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABM，即：延长CB到M，使BM＝DQ，连接AM。
如图12。
∴△ABM≌△ADQ（SAS）。
∴∠4＝∠2＝∠1，∠M＝∠AQD。
∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠MAP。
∴∠M＝∠MAP。
∴PA＝PM＝PB＋BM＝PB＋DQ（因BM＝DQ）。
【课堂练习】
1、如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
2、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.F为CD中点求证：CD=2CE
3、如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB＝AC＋CD．
4、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
5、已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
6、如图，已知C为线段AB上的一点，∆ACM和∆CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。
求证：∆CEF是等边三角形。
A
B C
D
A B
C
M
N
E
F
1
2
7、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF
8、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．
求证： CG AE ；
9、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．
求证：BD ＝CG ．
A E
B M C
F
10、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
11、
已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
12、 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
13、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.
F
E
D
C
B A A
B C D E
F 2 1
E
D F C
B
A
补充：
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等
变换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三
角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某
条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
1、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
3、 C
E
D
G F C
B A
个性化教案。