(完整word版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档
A 、等差数列知识点及经典例题
一、数列
由n a 与n S 的关系求n a
由n S 求n a 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段
函数的形式表示为1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=?=?-≥?。
〖例〗根据下列条件,确定数列{}n a 的通项公式。
分析:(1)可用构造等比数列法求解; (2)可转化后利用累乘法求解;
(3)将无理问题有理化,而后利用n a 与n S 的关系求解。
解答:(1)
(2)
……
累乘可得,
故
(3)
二、等差数列及其前n 项和 (一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,1()(2)n n a a d n --=≥常数,第二种是利用等差中项,即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数,即n a =An+B,则{n a }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{n a }的前n 项和n S 是2
n S An Bn =+的形式(A ,B 是常数),则{n a }是等
差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足111120(2),2
n n n n S S S S n a ---+=≥=g (1)求证:{
1
n
S }是等差数列; (2)求n a 的表达式。
分析:(1)1120n n n n S S S S ---+=g →
1n S 与1
1n S -的关系→结论; (2)由
1
n
S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答:(1)等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0,即1n S -11n S -=2(n ≥2).∴{1n S }是以11S =1
1a =2
为首项,以2为公差的等差数列。
(2)由(1)知
1n S =11S +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =1
2n
,当n ≥2时,n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。又∵112a =,不适合上式,故1
(1)
2
1(2)
2(1)
n n a n n n ?=??=?
?≥-??。
【例】已知数列{a n }的各项均为正数,a 1=1.其前n 项和S n 满足2S n =2pa 2n +a n -p (p ∈R),则{a n }的通项公式为________.
∵a 1=1,∴2a 1=2pa 21+a 1-p ,
即2=2p +1-p ,得p =1.
于是2S n =2a 2n +a n -1.
当n ≥2时,有2S n -1=2a 2n -1+a n -1-1,两式相减,得2a n =2a 2n -2a 2
n -1+a n -a n -1,整理,得2(a n +a n -1)·
(a n -a n -1-1
2
)=0.
又∵a n >0,∴a n -a n -1=12,于是{a n }是等差数列,故a n =1+(n -1)·12=n +1
2
.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式n a =1a +(n-1)d 及前n 项和公式11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+,共涉及五个量1a ,n a ,d,n, n S ,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而1a 和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
注:因为
11(1)222
n S d d d
n a a n n =+-=+-,故数列{n S n }是等差数列。
〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3,通项2(,,)n n x p nq n N p q *
=+∈为常数,且1x ,4x ,5x 成等差数
列。求:
(1),p q 的值;
(2)数列{n x }的前n 项和n S 的公式。
分析:(1)由
1
x=3与
1
x,4x,5x成等差数列列出方程组即可求出,p q;(2)通过n x利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由
1
x=3得23
p q
+=……………………………………①
又45
45154
24,25,2
x p q x p q x x x
=+=++=
且,得55
32528
p q p q
++=+…………………②由①②联立得1,1
p q
==。
(2)由(1)得,n
x n
n
+
=2
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:略
典型例题
1.等差数列{}n a中, 若100
,
25
2
=
=
n
n
S
S,则=
n
S
3
225;
2.(厦门)在等差数列{}n a中,284
a a
+=,则其前9项的和S9等于( A )
A.18 B 27 C 36 D 9
3、(全国卷Ⅰ理)设等差数列{}n a的前n项和为n S,若972
S=,则
249
a a a
++= 24
4、等差数列{a n} 的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( C )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列{}
n
a和{}
n
b的前n项和分别为A
n
和
n
B,且
745
3
n
n
A n
B n
+
=
+
,则使得n
n
a
b
为整数的正整数n的个数是( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
6、在数列{a n}中,若a1=1,a n+1=2a n+3(n≥1),则该数列的通项a n=________.
由a n+1=2a n+3,则有a n+1+3=2(a n+3),
即
a n +1+3
a n +3
=2. 所以数列{a n +3}是以a 1+3为首项、公比为2的等比数列,即a n +3=4·2n -1=2n +1,所以a n =2n +
1-3.
7、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为1
4
的等差数列,则|m -n |的值等于________.
如图所示,易知抛物线y =x 2-2x +m 与y =x 2-2x +n 有相同的对称轴x =1,它们与x 轴的四个交点依
次为A 、B 、C 、D .
因为x A =14,则x D =7
4.
又|AB |=|BC |=|CD |,所以x B =34,x C =5
4
.
故|m -n |=|14×74-34×54|=1
2
.
8、在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
设公差为d ,则11(-3+4d )=5(-3+7d )-13, ∴d =59
.
∴数列{a n }为递增数列.
令a n ≤0,∴-3+(n -1)·59≤0,∴n ≤32
5
,
∵n ∈N *.
∴前6项均为负值,∴S n 的最小值为S 6=-29
3
.
6.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且满足
73
3n n S n T n +=
+,则88
a b = 6 .
7.(北京卷)(16)(本小题共13分)
已知{}n a 为等差数列,且36a =-,60a =。 (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求{}n b 的前n 项和公式 解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差d 。 因为366,0a a =-= 所以1126
50
a d a d +=-??
+=? 解得110,2a d =-=
所以10(1)2212n a n n =-+-?=- (Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-
所以824q -=- 即q =3
所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-=
=-- ★等差数列的最值:
若{}n a 是等差数列,求前n 项和的最值时,
(1)若a 1>0,d>0,且满足1
0n n a a +≥??≤?,前n 项和n S 最大;
(2)若a 1<0,d>0,且满足10
n n a a +≤??
≥?,前n 项和n S 最小;
(3)除上面方法外,还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意n N *
∈。 〖例〗已知数列{}n a 是等差数列。
(1)若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 (2)若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求
解答:设首项为1a ,公差为d , (1)由,m n a n a m ==,1n m
d m n
-=
=-- ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++-=+?-=
(2)由已知可得11
(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d -?
=+???-?=+??解得221.2()n m mn m n a mn m n d mn ?++--=???-+?=??
1()(1)
()()2
m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++
=-+
【例】已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =1
log 3a n ·log 3a n +1
,前n 项和为T n ,求证:对于任意的正整数n ,总有T n <1.
(1)解 ①当n =1时,由2S n =3a n -3得,2a 1=3a 1-3, ∴a 1=3.
②当n ≥2时,由2S n =3a n -3得, 2S n -1=3a n -1-3.
两式相减得:2(S n -S n -1)=3a n -3a n -1,即2a n =3a n -3a n -1, ∴a n =3a n -1,又∵a 1=3≠0,∴{a n }是等比数列,∴a n =3n . 验证:当n =1时,a 1=3也适合a n =3n . ∴{a n }的通项公式为a n =3n .
(2)证明 ∵b n =1log 3a n ·log 3a n +1=1
log 33n
·log 33n +1
=1(n +1)n =1n -1n +1, ∴T n =b 1+b 2+…+b n
=(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)
=1-1
n +1
<1.
等差数列习题
1. 设{a n }为等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,S 7=7,S 15=75,已知T n 为数列{S n
n
}的前n 项数,求T n . 2.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,12,633==S a . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求
n
S S S 11121+++Λ. 12.解:设数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+1
2
n (n -1)d .
∵S 7=7,S 15=75,∴???7a 1+21d =7 15a 1+105d =75, ∴???a 1=-2d =1
∴S n n =a 1+12 ·(n -1)d =-2+1
2
·(n -1) ∴
S n +1n +1 -S n n =12 ∴数列{S n n }是等差数列,其首项为-2,公差为1
2
, ∴T n =n ·(-2)+
n (n -1)
2
·12 =14 n 2-9
4
n .
14.解:(1)设数列{}n a 的公差为d,由题意得方程组???
??=?+=+1222
336
211d a d a ,解得 ??
?==2
2
1d a ,∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=,即n a n 2=. (2)∵n a n 2=,∴)1(2
)
(1+=+=
n n a a n S n n . ∴
n S S S 11121+++Λ)
1(1321211+++?+?=n n Λ 1
1
1)111(
)3121()2111(+-
=+-++-+-=n n n Λ. B 、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n 项和 (一)等比数列的判定 判定方法有: (1)定义法:若
11
()()n n n n a a
q q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2,则{}n a 是等比数列; (2)中项公式法:若数列{}n a 中,2120()n n n n a a a a n N *
++≠=∈g 且,则数列{}n a 是等比数列; (3)通项公式法:若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *
=∈均为不为的常数,,则数列{}n a 是
等比数列;
(4)前n 项和公式法:若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠g
为常数且,则数列{}n a 是等比数列;
注:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定;(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列{}n a 中,112,431,n n a a a n n N +==-+∈*。 (1) 证明数列{}n a n -是等比数列; (2) 求数列{}n a 的前n 项和n S ;
(3) 证明不等式14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。
解答:(1)由题设1431,n n a a n +=-+得1(1)4(),n n a n a n n N *
+-+=-∈。又111,a -=所以数列{}
n a n -是首项为1,且公比为4的等比数列。
(2)由(1)可知14n n a n --=,于是数列{}n a 的通项公式为1
4n n a n -=+。所以数列{}n a 的前n 项和
141(1)32
n n n n S +-+=+。
(3)对任意的n N *∈,
12141(1)(2)41(1)144[](34)032322n n n n n n n n S S n n ++-++-+-=+-+=-+-≤,所以不等式
14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。
(二)等比数列的的运算
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量1a ,n ,q ,n a ,n S ,显然,“知三求二”,通常列方程(组)求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
注:在使用等比数列的前n 项和公式时,应根据公比q 的情况进行分类讨论,切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。
〖例〗设数列{}n b 的前n 项和为n S ,且n b =2-2n S ;数列{}n a 为等差数列,且6714,20a a ==。 (1) 求数列{}n b 的通项公式;
(2) 若()n n n c a b n N *=∈g
,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求证:7
2
n T <。【放缩法】 解答:(1)由n b =2-2n S ,得1122b S =-,又1S =1b ,所以1b =
2
3
,由n b =2-2n S ……………………① 得1122n n b S ++=-……………………………………………………②
②-①得112n n n b b b ++-=-,∴,∴{}n b 是以
23为首项,以1
3
为公比的等比数列,所以n b =
23·1
()3
n 。 (2)∵{}n a 为等差数列,∴75
375
a a d -=
=-,∴从而
∴231
1112[25()8()(31)()]3333
n n T n =++++-g g g L g ………………………………③ ∴23411111112[2()5()8()(34)()(31)()]333333
n n n T n n +=++++-+-g g g L …………………④ ③-④得
=
∴
∴
(三)等比数列性质的应用 ★在等比数列中常用的性质主要有: (1)对于任意的正整数
若
,则特别地,若
;
(2)对于任意正整数
有
;
(3)若数列{}n a 是等比数列,则{}{
}{}2
1(0),,n n n n ca c a a a ??≠????
也是等比数列,若{}n b 是等比数列,
则{}n n a b g 也是等比数列;
(4)数列仍成等比数列;
(5)数列是等比数列(q≠-1);
★(6)等比数列的单调性
注:等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。
1.(全国卷2理数)(4).如果等差数列{}n a中,34512
a a a
++=,那么
127
...
a a a
+++=
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】17
345441274
7()
312,4,728
2
a a
a a a a a a a a a
+
++===∴+++===
L
2.(辽宁理数)(6)设{a n}是有正数组成的等比数列,n
S
为其前n项和。已知a2a4=1, 3
7
S=
,则5
S=(A)
15
2 (B)
31
4 (C)
33
4 (D)
17
2
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
【解析】由a2a4=1可得
24
1
1
a q=
,因此
12
1
a
q
=
,又因为
2
31
(1)7
S a q q
=++=
,联力两式有
11
(3)(2)0
q q
+-=
,所以q=
1
2,所以
5
5
1
4(1)31
2
14
1
2
S
--
==
-
,
3.(辽宁卷)(14)设
n
S为等差数列{}
n
a的前n项和,若
36
324
S S
==
,,则
9
a= 15 。解:
31
61
32
33
2
65
624
2
S a d
S a d
?
?
=+=
??
?
?
?=+=
??
,解得1
1
2
a
d
=-
?
?
=
?
,
91
815.
a a d
∴=+=
4. (天津卷)(15)设{a n }
是等比数列,公比q =S n 为{a n }的前n 项和。记
*21
17,.n n
n n S S T n N a +-=
∈设
n T 为数列{
n
T }的最大项,则
n = 。
【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题。
22n n n n n T ==
17]n =
+-
因为
n +
≧8
,当且仅当n =4,即n=4时取等号,所以当n 0=4时T n 有最大值。
5. (上海卷)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈
(1)证明:{}1n a -是等比数列;
(2)求数列
{}n S 的通项公式,并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .
解析:(1) 当n =1时,a 1=-14;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1,所以15
1(1)
6n n a a --=-,
又a 1-1=-15≠0,所以数列{a n -1}是等比数列; (2) 由(1)知:1
51156n n a -??
-=-? ?
??,得
1
51156n n a -??
=-? ?
??,从而
1
57590
6n n S n -??
=?+- ?
??(n ∈N *);
由S n +1>S n ,得1
52
65n -??
<
?
??
,562log 114.9
25n >+≈,最小正整数n =15.
【其他考点题】
1、设{a n }(n ∈N *
)是等差数列,S n 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论错误的是(C )
A.d <0
B.a 7=0
C.S 9>S 5
D.S 6与
S 7均为S n 的最大值
解析:由S 50,又S 6=S 7,∴a 1+a 2+…+a 6=a 1+a 2+…+a 6+a 7,∴a 7=0,由
S 7>S 8,得a 8<0,而C 选项S 9>S 5,即a 6+a 7+a 8+a 9>0?2(a 7+a 8)>0,由题设a 7=0,a 8<0,显然C 选项是错误的。
2、lim
n →∞2123n
n
++++L =(C ) (A) 2 (B) 4 (C) 2
1
(D)0
3、已知a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列,且xy ≠0,那么y
c
x a +的值为(B )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4
4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn n q p q R n N =-+∈∈
(Ⅰ)求q 的值;
(Ⅱ)若a 1与a 5的等差中项为18,b n 满足22log n n
a b =,求数列的{b n }前n 项和。
(Ⅰ)解法一:当1n =时,
112a S p q
==-+,
当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.
{}
n a Q 是等差数列, 222p q p p ∴-+=--, 0q ∴=············4分
解法二:当1n =时,
112a S p q
==-+,
当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--.
当3n ≥时,
1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p
--=------=.
22232a p q p p q
=-++=-+.
又
222232
a p p p =?--=-,
所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分
(Ⅱ)解:15
32a a a +=
Q ,318a ∴=.
又362a p p =--, 6218p p ∴--=, 4p ∴= 86
n a n ∴=-············8分 又
22log n n
a b =得
43
2n n b -=.
12b ∴=,4(1)1
41432216
2n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列。
所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2(161)11615n n
n T -==--.
2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②
等比数列经典例题
一、等比数列选择题 1.已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,10.2b =,1112 3 3n n n a b a ++=+,11344 n n n b a b +=+,则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为( ) A .5 B .7 C .9 D .11 2.在等比数列{}n a 中,132a =,44a =.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T ( ) A .有最大项,有最小项 B .有最大项,无最小项 C .无最大项,有最小项 D .无最大项,无最小项 3.在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为( ) A .2± B .2 C .3± D .3 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若11 0,,22 n n a a S >=<,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是( ) A .30,4 ?? ?? ? B .20,3 ?? ?? ? C .30,4?? ??? D .20,3?? ??? 5.等比数列{}n a 的各项均为正数,且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++= ( ) A .3 B .505 C .1010 D .2020 6.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第六天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂. A .55989 B .46656 C .216 D .36 7.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”.注:“倍加增”意为“从塔顶到塔底,相比于上一层,每一层灯的盏数成倍增加”,则该塔正中间一层的灯的盏数为( ) A .3 B .12 C .24 D .48 8.已知等比数列{}n a 的前5项积为32,112a <<,则35 124 a a a + +的取值范围为( )
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中, (1) 已知81248,168S S ==,求1,a 和d (2) 已知6510,5a S ==,求8a 和8S 变式训练: 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知 102030,50a a ==. (1)求通项公式{}n a ; (2)若242n S =,求n . 热点考向二:等差数列的判定与证明. 例2:在数列{}n a 中,11a =,1114n n a a +=- ,221 n n b a = -,其中* .n N ∈ (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (2)求证:在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈,都有 1n n a a +>. (3 )设n b n c =,试问数列{n c }中是否存在三项,使它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由. 跟踪训练:已知数列{n a }中,13 5 a = ,数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈,数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- (1)求证数列{n b }是等差数列; (2)求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三:等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若120a =,并且1015S S =,求当n 取何值时,n S 最大,并求出最大值; (2)若10a <,912S S =,则该数列前多少项的和最小? 跟踪训练3:设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知 .0,0,1213123<>=S S a (I )求公差d 的取值范围; (II )指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点列(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =3 a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得 T n
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项,如果把第二项加上4所得三个数成等差数列,如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列,求原来的三个数。 解:等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入(1) 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中,3931-=a ,76832-=+a a ,}{n b 是等比数列,)1,0(∈q ,21=b ,}{n b 所有项和为20,求: (1)求n n b a , (2)解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解:(1)∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差,}{n b 等比,011>=b a ,022>=b a ,21a a ≠,求证:)3(≥
(完整版)等比数列经典例题范文
1.(2009安徽卷文)已知为等差数列,,则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数,所以,故,选B 3.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n 项和,已知,,则等于( ) A .13 B .35 C .49 D . 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d =2,a n =11, S n =35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7, S 15=75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45 n +3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10=4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23+a28+2a3a8=9,且a n<0,则S10为() A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9, S6=36.则a7+a8+a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是() A.3 B.-3 C.-2 D.-1 10、设{a n}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+…+a99=______. 11、在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时,S n na i n ⑵当q 1时,5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项:a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式:a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * , q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0,首项:a 1;公比:q 推广:a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项: (1)如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项,即: A 2 ab 或 A ab 注意:同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个( (2)数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义:对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q (q 为常数,a n 0) {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义:若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ {a“}为等比数列a n 1 7、等比数列的性质: (2) 对任何m,n N*,在等比数列{a n}中,有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*),则a. a m a s a t。特别的,当m n 2k 时,得 2 a n a m a k注:3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式
等比数列的概念与性质练习题
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =22 5a ,2a =1,则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( ) A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 (A )15 (B )12 (C )-12 D )-15 4.在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 5..若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为 A .2 B .4 C .8 D .16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,则a = A .4 B .2 C .-2 D .-4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则162log a =( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中,5,6144117=+=?a a a a ,则 =10 20 a a ( ) A. 32 B.23 C. 32或23 D. -32或-23 9.等比数列{}n a 中,已知121264a a a =,则46a a 的值为( ) A .16 B .24 C .48 D .128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列,其中1a =2,5a =8,则3a 的值为( ) A. -4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数,且5647a a a a +=18,则3132310log log log a a a ++ += A .12 B .10 C .8 D .2+3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ,最大值为n b ,则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列,且0,>=++m m c b a ,则b 的取值范围是( ) A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 . 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列,1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列,则 =+2 2 1b a a ______.
数列教案、考点、经典例题_练习
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程,不积跬步无以至千里,不积小流无以 成江海,在学习中一定要持之以恒,相信自己,你一定可以获得成功! 高中数学 一、定义 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) 2.等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a -1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义:若a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项 看来,73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1:在等差数列{}n a 中,若m+n=p+q ,则,q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二.例题讲解。 一.基本问题 例1:在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明:
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例 题-(精华版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义:()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式: ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项: (1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab = 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式: (1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的n ,都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数,为等比数列 (2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质: (2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。
人教课标版高中数学必修5典型例题剖析:等差数列的通项与求和
等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n .
新课标高考数学题型全归纳:等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1.数列的定义 顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的. 数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的函数.2.等差数列的定义 顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列. 这个定义的要点有两个:一是“从第2项起”,二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”.这两个要点,刻画了等差数列的本质. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是:a n= a1+(n-1)d .① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将a n看作关于变量n的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具. 从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系. 4.等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a,A,b成等差数列.其数学表示是: 2b a A + =,或2 A=a+b. 显然A是a和b的算术平均值. 2 A=a+b(或 2b a A + =)是判断三数a,A,b成等差数列 的一个依据,并且,2 A=a+b(或 2b a A + =)是a,A,b成等差数列的充要条件.由此得,等差数列中从第2项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 值得指出的是,虽然用2A=a+b(或 2b a A + =)可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项,但两者的意义是不一样的,因为等差数列a,A,b与等差数列b,A,a不是同一个数列. 5.等差数列前n项的和
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义:()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式: ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项: (1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab = 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式: (1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的n ,都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数,为等比数列 (2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质: (2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1,3,5,7,10,13,16……5,8,11,14,17,20…… 1,5,9,13,17,21,23…90,80,70,60,50,……20,10 二、求等差数列3,8,13,18,……的第30项是多少 三、求等差数列8,14,20,26,……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6,9,12,15,……中第99项是几 4、求等差数列46,52,58……172共有多少项 5、求等差数列245,238,231,224,……中,105是第几项 6、求等差数列0,4,8,12,……中,第31项是几在这个数列中,2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数,最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8,第3项是13,这1个等差数列的第10项是多少 1、计算:100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会,见面的时候如果每人都和其他同学握手一次,那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )
高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和
【例1】 设等比数列的首项为a(a >0),公比为q(q >0),前n 项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n 项和为6560,求a 和q . 解 由S n =80,S 2n =6560,故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????????=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a >0,q >1,等比数列为递增数列,故前n 项中最大项为a n . ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q -1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 【例2】求证:对于等比数列,有++.S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1 S 2n =S n +(a 1q n +a 1q n+1+…+a 1q 2n-1) =S n +q n (a 1+a 1q +…+a 1q n-1) =S n +q n S n =S n (1+q n ) 类似地,可得S 3n =S n (1+q n +q 2n ) ∴++++S +S =S [S (1q )] =S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n +++++++∴++ 说明 本题直接运用前n 项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地
处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析 设等比数列为{a n },公比为q ,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q 2,首项分别为a 1,a 1q . 解 设项数为2n(n ∈N*),因为a 1=1,由已知可得q ≠1. ∴① ② a q q a q q q n n 122 1221111() ()----???????=85=170 ① ②得:把代入① 得 ∴q =2q =2=85 4=256 n =4 n 14 14 --n 即公比为2,项数为8. 说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时,对公比q 要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的. 【例4】 选择题:在等比数列{a n }中,已知对任意正整数n ,有S n =2n -,则++…+等于1a a a 1222n 2 [ ] A (21) B (21) C 21 D (41) n 2n 2 n n .-.-.-.-1 3 13 解 D . ∵a 1=S 1=1,a n =S n -S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1
等比数列经典例题透析
等比数列经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式 例1.等比数列{}n a 中,1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组,解出1a 和q ,可得11a ;或注意到下标1937+=+,可以利用性质可求出 3a 、7a ,再求11a . 总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零). 举一反三: 【变式1】{a n }为等比数列,a 1=3,a 9=768,求a 6。 【变式2】{a n }为等比数列,a n >0,且a 1a 89=16,求a 44a 45a 46的值。 【变式3】已知等比数列{}n a ,若1237a a a ++=,1238a a a =,求n a 。 类型二:等比数列的前n 项和公式 例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q. 解析:若q=1,则有S 3=3a 1,S 6=6a 1,S 9=9a 1. 因a 1≠0,得S 3+S 6≠2S 9,显然q=1与题设矛盾,故q ≠1. 由3692S S S +=得,369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---, 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0, 由q ≠0,得2q 6-q 3-1=0,从而(2q 3+1)(q 3-1)=0, 因q 3 ≠1,故3 1 2 q =-,所以342q =-。 举一反三: 【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。 【变式2】已知:{a n }为等比数列,a 1a 2a 3=27,S 3=13,求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -?=,126n S =,求n 和 类型三:等比数列的性质 例3. 等比数列{}n a 中,若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三: 【变式1】正项等比数列{}n a 中,若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.
等差数列典型例题及分析
第四章 数列 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.正解:(1)a n =3n -2; (2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n -1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解: ①当1=n 时,1 11==S a 当2≥n 时,3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合,∴34-=n a n ②当1=n 时,3 11==S a 当2≥n 时,n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。 正解:由题意:??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 =120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25-5n ,求数列{}||n a 的前n 项和; 正解: ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前n 项和的公式吗? [例7]已知:n n a -+=12lg 1024 (3010.02lg =)+∈N n (1) 问前多少项之和为
等差等比数列练习题及答案
等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ( ) A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =,8010042=+++a a a ,那么=100S A .80 B .120 C .135 D .160. 4、已知等差数列{}n a 中,6012952=+++a a a a ,那么=13S A .390 B .195 C .180 D .120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为( ) A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中,62-=a ,68=a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为,且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ,则前n 个奇数项的和为( ) A .)1(32+-n n B .)34(2-n n C .2 3n - D . 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为( ) A .6 B .8 C .10 D .12 二.填空题 1、等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s = . 2、等差数列{}n a 中,若2 32n S n n =+,则公差d = . 3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是