2020-wfx-第4章 蛮力法-3-递归在蛮力法中的应用
算法设计与分析-第3章-蛮力法
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
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算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
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第3章 蛮力法
3.1 蛮力法的设计思想 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法 3.7 实验项目——串匹配问题
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3.1 蛮力法的设计思想
蛮力法的设计思想：直接基于问题的描述。 例：计算an
52 37 65 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行
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对于一个具有n个元素的集合，其子集 数量是2n，所以，不论生成子集的算法 效率有多高，蛮力法都会导致一个Ω(2n) 的算法。
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3.4.4 任务分配问题
假设有n个任务需要分配给n个人执行， 每个任务只分配给一个人，每个人只分配一 个任务，且第j个任务分配给第i个人的成本 是C[i, j]（1≤i , j≤n），任务分配问题要求 找出总成本最小的分配方案。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个 物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重 量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价 值，然后在他们中找到价值最大的子集。
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10
蛮力法
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
第4章 蛮力法
//t的字符比较完毕
return i-j;
//t是s的子串,返回位置
else
//t不是s的子串
return -1;
//返回-1
}
【例4.5】有两个字符串s和t，设计一个算法求t在s中出 现的次数。例如，s="abababa"，t="aba"，则t在s中出现2 次。
解：采用BF算法思路。用num×1000+b×100+c×10+d n=a×1000+b×100+e×10+d s=e×10000+d×1000+c×100+a×10+d
则有：m+n==s
void fun()
{ int a,b,c,d,e,m,n,s;
continue是结束本次循环
for (a=1;a<=9;a++)
for (m=2;m<=1000;m++) { 求出m的所有因子之和s;
if (m==s) 输出s; }
对应的程序如下：
void main() { int m,i,s;
for (m=2;m<=1000;m++) { s=0;
for (i=1;i<=m/2;i++) if (m%i==0) s+=i; //i是m的一个因子
} return maxSum; }
maxSubSum1(a,n)算法中用了三重循环，所以有：
n1 n1
T(n)=
j
n1
1
n1 ( j i 1) 1 n1 (n i)(n i 1)
2. 搜索所有的路径：这类问题中不同的路径对应不同的解。 3. 直接计算：按照基于问题的描述和所涉及的概念定义，
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
蛮力算法
17
main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
3
【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
实验项目1：蛮力法与分治法应用
实验项目1：蛮力法与分治法应用1、目的与要求：实验目的：了解蛮力法和分治法的基本思想，学会运用蛮力法和分治法解决实际系统设计应用中碰到的问题。
实验要求：用蛮力法实现选择、冒泡排序，或旅行商问题、背包问题等问题（任选其中之一）。
用分治法实现合并排序或快速排序。
要求写出算法的伪代码描述，并编写程序实现之，相关算法放在函数内实现，主程序给出测试用例，要设计足够多的相关测试用例，验证程序的正确性。
注意观察程序执行结果和运行的时间。
实验报告要求给出问题定义及算法的伪代码描述，程序设计的代码，算法的测试用例及结果，并分析算法的时间效率，回答指导书中的思考题。
2、实验内容：（2）用分治法实现快速排序、合并排序算法。
本实验主要是用分治法实现合并排序，快速排序程序等。
合并排序算法描述：MergeSort ( A[0...p-1] )// input 待排序数组A[0..n-1]// output 非降序排列的数组A[0..n-1]if ( n>1 ) {//至少有2个元素Copy A[0.. n/2-1 ] to B[0.. n/2-1 ];Copy A[n/2..n-1 ] to C[0.. n/2-1 ];MergeSort ( B[0.. n/2-1 ] );MergeSort (C[0.. n/2-1 ]t);Merge (B, C, A); //复制回数组a快速排序算法描述：QuickSort ( A[1.. r ] ){if (l<r) s=Partition( A[l,r] ); // s 是分裂位置QuickSort ( A[l..s-1] ); //对左半段排序QuickSort ( A[s+1,r); //对右半段排序}Partition ( A[l..r] ){p=A[[l] ;i = l; j = r + 1;repeatedrepeated i=i+1; until A[i]> p // 将>= x的元素交换到左边区域repeated i=i+1; until A[i]> p // <= x的元素交换到右边区域Swap( A[i], A[j] )Until i>jSwap( A[i] = a[j] );Swap( A[l], A[j] )return j;要求先给出算法的伪代码，然后用C++或其他程序设计语言编写程序实现之，并设计相关的测试用例，验证程序的正确性。
第3章 蛮力法
结果： 结果： 1. 冒泡排序算法效率属于 Θ( n 2 ) 类型；(与选择排序一样 类型； 与选择排序一样 与选择排序一样) 2. 键值交换次数在最坏情况下（输入降序列表，每次比较后均要交换） 键值交换次数在最坏情况下（输入降序列表，每次比较后均要交换） 这比选择排序差。因此， 和键值比较次数一样即均为 Θ( n2 ) ，这比选择排序差。因此，该算法 在简单排序问题上不是一个好的选择。 在简单排序问题上不是一个好的选择。“如果不是因为它有一个好记 的名字，我们很可能对它不会有任何的了解” 的名字，我们很可能对它不会有任何的了解”。
蛮力算法策略： 滑动匹配 滑动匹配) 蛮力算法策略：(滑动匹配 模式在文本上从左向右滑动一个字符，比较对应字符（从左到右）， 模式在文本上从左向右滑动一个字符，比较对应字符（从左到右）， 个字符都已匹配，算法停止。否则，继续滑动、比较。 若全部 m 个字符都已匹配，算法停止。否则，继续滑动、比较。 注意： (n注意：最后一轮比较的起始位置在 (n-m) 处：(n-1)-(n-m)+1=m
p0 ... p j ... pm −1 ⇒
b
b
b
t n− m ... t n−1 1 24 4 3
m个
11
字符串匹配 (String Matching) 的蛮力算法 BruteForceStringMatch(T [0...n − 1], P[0...m − 1]) { for ( i ← 0) to ( n − m ) do // 模式P滑动循环 { // while结束时j < m : 进入下一轮 i 循环 j ← 0; // 每次比较从P[0]开始 while ( j < m ) and ( P[ j ] = T [i + j ]) do { j ← j + 1; } // 比较下一个字符 if ( j = m ) return ( i ); // 考虑while结束时 j 值 return } return ( −1); // 滑动到文本尾,没找到匹配 } // 可用限位:模式添加到文本最后。去掉j < m
蛮力法,动态规划法,贪心法求解背包问题
算法设计与分析实验名称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求0/1背包问题作者姓名：xxxxxxxxx完成日期：2013年9月22日星期日组的编号：28目录第一章：简介 (1)第二章：算法规范 (2)数据结构 (2)伪代码 (3)第三章：算法测试 (4)蛮力法 (4)动态规划 (5)贪心法 (5)第四章：分析讨论 (6)算法分析 (6)时间复杂度分析 (16)附录 (17)声明 (17)第一章：简介问题的描述：0/1背包问题是给定n 个重量为{w 1, w 2, … ,wn }、价值为{v 1, v 2, … ,vn }的物品和一个容量为C 的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。
在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi 表示物品i 装入背包的情况，则当xi =0时，表示物品i 没有被装入背包，xi =1时，表示物品i 被装入背包。
根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X =(x 1, x 2, …, xn )。
背包的数据结构的设计： typedef struct object {int n;//物品的编号 int w;//物品的重量∑=ni ii x v 1max （式2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=)1(}1,0{1n i x C x w i n i i i （式1）int v;//物品的价值}wup;wup wp[N];//物品的数组，N为物品的个数int c;//背包的总重量第二章:算法规范数据结构：0/1背包问题是给定n个重量为{w1, w2, … ,wn}、价值为{v1, v2, … ,vn}的物品和一个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中，在0/1背包问题中，物品i 或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的情况，则当xi=0时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i被装入背包。
算法设计与分析-第四章1-常用算法策略迭代蛮力分治PPT课件
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数学建模：y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，……。
算法1：
main( ) { int i,a=1,b=1;
print(a,b); for(i=1;i＜=10;i++)
{ c=a+b; print (c); a=b; b=c；
} }
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5
算法2：
表4-1 递推迭代表达式
12 3
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21
【例2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如图 4-5所示。首先, 选择一个接近函数f(x)零点的x0, 计算相应的f(x0)和 切线斜率f‘(x0)（这里f ’表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点 (x0,f (x0))且斜率为f ‘(x0)的直线方程为：
{a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1];
for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”);
} }
.
13
【例3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为500加仑， 耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在 沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在 什么地方建油库，以及各处的贮油量。
问题分析：题目中要求用一个一维数组即完成。 1 4 6 4 1
数组空间一定是由下标从小到大利用的，这 ……………
样其实杨辉三角形是按下图4-2形式存储的。 图4-1 杨辉三角形
若求n层，则数组最多存储n个数据。
算法设计：
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行
蛮力法
2 其它范例
蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略， 蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略，用 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态， 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态，来找出问 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。
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1 枚举法
枚举法（ 穷举法） 是蛮力策略的一种表现形式， 枚举法 （ 穷举法 ） 是蛮力策略的一种表现形式 ， 根据问题 中条件将可能情况一一列举出来， 逐一尝试从中找出满足 中条件将可能情况一一列举出来 ， 问题条件的解。 但有时一一列举出的情况数目很大， 问题条件的解 。 但有时一一列举出的情况数目很大 ， 则需 要进一步考虑， 排除一些明显不合理的情况， 要进一步考虑 ， 排除一些明显不合理的情况 ， 尽可能减少 问题可能解的列举数目。 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件， 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。 用逻辑表达式表示。
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main（） （） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); ， ” ， ， } }