2021届高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题6 第3讲 导数的简单应用与定积分(理科)
基本初等函数 f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝logax(a>0，a≠1)
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导函数 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝xln1 a
第二部分 专题六 函数与导数
高考二轮总复习 • 数学
xdx＝23x2
|m0 ＝23m2
解得 m＝49.
第二部分 专题六 函数与导数
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考点二 利用导数研究函数的单调性
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导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区 间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
第二部分 专题六 函数与导数
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当 a＝－1 时，函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a＜0 时，函数 f(x)在区间(0,1)，－1a，＋∞上单调递减，在 区间1，－1a上单调递增； 当 a＜－1 时，函数 f(x)在区间0，－1a，(1，＋∞)上单调递减，在区 间－a1，1上单调递增．
第二部分 专题六 函数与导数
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②当 a＝－1 时，1＝－1a，f′(x)＝－xx－2 12≤0， 所以函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；
③当－1＜a＜0 时，1＜－a1，令 f′(x)＞0，则 1＜x＜－a1， 令 f′(x)＜0，则 0＜x＜1 或 x＞－1a， 所以函数 f(x)在区间(0,1)和－1a，＋∞上单调递减，在区间1，－1a 上单调递增；
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex. 令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2． 当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增； 当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减． 所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2， 所以a<－2－2ln 2．
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2．(1)(2019·大庆二模)已知函数 f(x)＝－ln x＋12x2＋5，则其单调递增 区间为_(1_，__＋__∞__)___.
线 x＝14所围成封闭图形的面积为
(A )
A．312
B．116
C．18
D．14
(3)(2020·九师联盟质量检测)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，则曲线 y＝f(x)
在点(0，f(0))处的切线方程为__3_x_－__y_＋__1_＝__0__.
第二部分 专题六 函数与导数
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考向 1 讨论函数的单调性 典例2 (2019·长沙二模)已知函数 f(x)＝1x＋(1－a)ln x＋ax(a
∈R)．试讨论 f(x)的单调性．
第二部分 专题六 函数与导数
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【解析】 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x12＋1－x a＋a＝ax2＋1x－2 ax－1＝x－1x2ax＋1. 当 a＝0 时，f′(x)＝x－x21， 令 f′(x)＞0，则 x＞1， 令 f′(x)＜0，则 0＜x＜1， 所以函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减， 在区间(1，＋∞)上单调递增．
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第二部分 专题六 函数与导数
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当 a≠0 时，f′(x)＝ax－1x2x＋1a， ①当 a＞0 时，x＋a1＞0，令 f′(x)＞0， 则 x＞1，令 f′(x)＜0，则 0＜x＜1， 所以函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减， 在区间(1，＋∞)上单调递增；
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第二部分 专题六 函数与导数
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已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0恒成立”． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b) 上有解．
(3)由题意得：f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， ∴f′(0)＝3，又f(0)＝1， ∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为：y－1＝3(x－0)， 即3x－y＋1＝0．
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第二部分 专题六 函数与导数
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1．求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求 得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
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2．利用定积分求平面图形的面积 正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积 函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分 值．
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1．(1)(2020·四川省成都七中模拟)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过
第二部分 专题六 函数与导数
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④当 a＜－1 时，1＞－1a，令 f′(x)＞0， 则－1a＜x＜1，令 f′(x)＜0，则 0＜x＜－1a或 x＞1， 所以函数 f(x)在区间0，－1a和(1，＋∞)上单调递减，在区间－1a，1 上单调递增． 综上，当 a≥0 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋ ∞)上单调递增；
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【解析】 (1)函数 f(x)＝xln x 的导数为 f′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，则 n＝mln m，可得切线的斜率为 k＝1＋ln m，
所以 1＋ln m＝n＋m e＝mlnmm＋e，解得 m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选 B．
3
3
(2)由积分的几何意义可得，m2＝m 0
域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围 是___1_，__32_
(2)(2019·安庆二模)若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区 间，则实数a的取值范围为___(_－__∞__，__－__2_－__2_ln__2_)_.
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2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝sin x f(x)＝ex
f(x)＝ln x
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导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝cos x f′(x)＝ex f′(x)＝1x
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点(0，－e)，且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的斜率为
( B)
A．－2
B．2
C．－e
D．e
(2)(2020·辽宁省沈阳市实验中学月考)若曲线 y＝ x与直线 x＝m，y 4
＝0 所围成封闭图形的面积为 m2，则正实数 m＝__9___.
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(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的 判别式进行分类讨论．
注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要 忽视了定义域的限制．
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考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围) 典例3 (1)(2020·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、 极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏 下，有时综合在解答题中．
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(理科)
年份 卷别 Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 6
21(1)
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考查角度 导数的几何意义
导数的几何意义的应用
分值 5
6
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年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
求切线方程，利用导数研究函数的单 13、20
调性
利用导数讨论函数的单调性及公切线 20 问题
导数的几何意义的应用，利用导数讨 6、20
论函数的单调性及最值问题
分值 17 12 17
第二部分 专题六 函数与导数
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求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情 况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的 讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大 小进行分类讨论．
f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝logax(a>0，a≠1)
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导函数 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝xln1 a
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解得 m＝49.
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考点二 利用导数研究函数的单调性
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导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区 间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
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当 a＝－1 时，函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a＜0 时，函数 f(x)在区间(0,1)，－1a，＋∞上单调递减，在 区间1，－1a上单调递增； 当 a＜－1 时，函数 f(x)在区间0，－1a，(1，＋∞)上单调递减，在区 间－a1，1上单调递增．
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②当 a＝－1 时，1＝－1a，f′(x)＝－xx－2 12≤0， 所以函数 f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；
③当－1＜a＜0 时，1＜－a1，令 f′(x)＞0，则 1＜x＜－a1， 令 f′(x)＜0，则 0＜x＜1 或 x＞－1a， 所以函数 f(x)在区间(0,1)和－1a，＋∞上单调递减，在区间1，－1a 上单调递增；
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex. 令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2． 当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增； 当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减． 所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2， 所以a<－2－2ln 2．
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2．(1)(2019·大庆二模)已知函数 f(x)＝－ln x＋12x2＋5，则其单调递增 区间为_(1_，__＋__∞__)___.
线 x＝14所围成封闭图形的面积为
(A )
A．312
B．116
C．18
D．14
(3)(2020·九师联盟质量检测)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，则曲线 y＝f(x)
在点(0，f(0))处的切线方程为__3_x_－__y_＋__1_＝__0__.
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考向 1 讨论函数的单调性 典例2 (2019·长沙二模)已知函数 f(x)＝1x＋(1－a)ln x＋ax(a
∈R)．试讨论 f(x)的单调性．
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【解析】 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x12＋1－x a＋a＝ax2＋1x－2 ax－1＝x－1x2ax＋1. 当 a＝0 时，f′(x)＝x－x21， 令 f′(x)＞0，则 x＞1， 令 f′(x)＜0，则 0＜x＜1， 所以函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减， 在区间(1，＋∞)上单调递增．
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当 a≠0 时，f′(x)＝ax－1x2x＋1a， ①当 a＞0 时，x＋a1＞0，令 f′(x)＞0， 则 x＞1，令 f′(x)＜0，则 0＜x＜1， 所以函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减， 在区间(1，＋∞)上单调递增；
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已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0恒成立”． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b) 上有解．
(3)由题意得：f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， ∴f′(0)＝3，又f(0)＝1， ∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为：y－1＝3(x－0)， 即3x－y＋1＝0．
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1．求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求 得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
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2．利用定积分求平面图形的面积 正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积 函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分 值．
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1．(1)(2020·四川省成都七中模拟)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过
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④当 a＜－1 时，1＞－1a，令 f′(x)＞0， 则－1a＜x＜1，令 f′(x)＜0，则 0＜x＜－1a或 x＞1， 所以函数 f(x)在区间0，－1a和(1，＋∞)上单调递减，在区间－1a，1 上单调递增． 综上，当 a≥0 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋ ∞)上单调递增；
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【解析】 (1)函数 f(x)＝xln x 的导数为 f′(x)＝ln x＋1，
设切点为(m，n)，则 n＝mln m，可得切线的斜率为 k＝1＋ln m，
所以 1＋ln m＝n＋m e＝mlnmm＋e，解得 m＝e，k＝1＋ln e＝2，故选 B．
3
3
(2)由积分的几何意义可得，m2＝m 0
域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围 是___1_，__32_
(2)(2019·安庆二模)若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递增区 间，则实数a的取值范围为___(_－__∞__，__－__2_－__2_ln__2_)_.
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2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝sin x f(x)＝ex
f(x)＝ln x
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导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝cos x f′(x)＝ex f′(x)＝1x
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点(0，－e)，且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的斜率为
( B)
A．－2
B．2
C．－e
D．e
(2)(2020·辽宁省沈阳市实验中学月考)若曲线 y＝ x与直线 x＝m，y 4
＝0 所围成封闭图形的面积为 m2，则正实数 m＝__9___.
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(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的 判别式进行分类讨论．
注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要 忽视了定义域的限制．
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考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围) 典例3 (1)(2020·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、 极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏 下，有时综合在解答题中．
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(理科)
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题号 6
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考查角度 导数的几何意义
导数的几何意义的应用
分值 5
6
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题号
考查角度
求切线方程，利用导数研究函数的单 13、20
调性
利用导数讨论函数的单调性及公切线 20 问题
导数的几何意义的应用，利用导数讨 6、20
论函数的单调性及最值问题
分值 17 12 17
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求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情 况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的 讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大 小进行分类讨论．
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模块二讲重点 导数公开课PPT全文课件导数小题-2021届高考数学二轮复习PPT全文课件(新高考版)
由函数 f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得 f′(x) ≥0(或 f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是 f′(x)>0(或<0)恒成立， “＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．
模 块 二 讲 重 点 导 数 公开课 PPT全 文课件 导数小 题-202 1届高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件 （新高 考版） 【完美 课件】
(3)利用导数比较大小或解不等式的常见技巧： 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式 的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性 比较大小或解不等式． (4)讨论含参数函数的单调性： ①确定函数定义域； ②求f′(x)，并整理分解因式(如果能分解因式)； ③优先考虑特殊情况：即参数取哪些值时f′(x)≥0或f′ (x)≤0恒成立，从而得到相应的单调性；
模 块 二 讲 重 点 导 数 公开课 PPT全 文课件 导数小 题-202 1届高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件 （新高 考版） 【完美 课件】
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路： ①由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整舍去；若只有 在个别处有f′(x)＝0，则参数可取此值．
【评说】 切线问题，如果不知道切点，一般先设切点， 利用条件得到关于切点横坐标的方程．
(5)(2019·石家庄教学质检)将函数y＝ex(e为自然对数的底数)
的图像绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x轴相切，则角θ
满足的条件是( B ) A．esinθ＝cosθ
B．sinθ＝ecosθ
模 块 二 讲 重 点 导 数 公开课 PPT全 文课件 导数小 题-202 1届高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件 （新高 考版） 【完美 课件】
(3)利用导数比较大小或解不等式的常见技巧： 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式 的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性 比较大小或解不等式． (4)讨论含参数函数的单调性： ①确定函数定义域； ②求f′(x)，并整理分解因式(如果能分解因式)； ③优先考虑特殊情况：即参数取哪些值时f′(x)≥0或f′ (x)≤0恒成立，从而得到相应的单调性；
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(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路： ①由函数在区间[a，b]上单调递增(或递减)可知f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整舍去；若只有 在个别处有f′(x)＝0，则参数可取此值．
【评说】 切线问题，如果不知道切点，一般先设切点， 利用条件得到关于切点横坐标的方程．
(5)(2019·石家庄教学质检)将函数y＝ex(e为自然对数的底数)
的图像绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x轴相切，则角θ
满足的条件是( B ) A．esinθ＝cosθ
B．sinθ＝ecosθ
2021届人教A版高三文科数学第二轮复习课件 模块三 专题六 函数与导数 第三讲 导数的简单应用
考 真 题 体
故此时函数 f(x)在1－
21a－4a2，1＋
21a－4a2上递增，
验
第21页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （文）
核 心
在0，1－
21a－4a2和1＋
21a－4a2，＋∞上递减，
考 点 突
综上，0<a<21时，
破
名
函数 f(x)在1－
21a－4a2，1＋
21a－4a2上递增，
核 心
角度 1：求函数的单调区间及参数的取值范围
考
点 突 破
【例 1】 (1)(2020·河北九校联考)函数 y＝x＋3x＋2lnx 的单调递减区间是( B )
名
师
A．(－3,1)
B．(0,1)
微 课
C．(－1,3)
D．(0,3)
高
导 学
考
真
题
体
验
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与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （文）
高
导 学
考 真
(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程
题 体
设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，
验
列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程．
第15页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （文）
考点二 利用导数研究函数的单调性
考点一 导数的几何意义
核 心
1．导数公式
考
点 突
(1)(sinx)′＝cosx；
破
(2)(cosx)′＝－sinx；
名 师
(3)(ax)′＝axlna(a>0)；
高考数学统考第二轮专题复习 第3讲 导数的应用课件 理
(D ) A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
真知真题扫描
3.[2018·全国卷Ⅲ] 曲线y=(ax+1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为'=(ax+1+a)ex,由曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜 率为-2可得(1+a)e0=-2,解得a=-3.
T2020的坐标是 ( A )
A.(2019,e2018)
B.(2019,e2019) C.(2020,e2019) D.(2020,e2020)
教师备用例题
例8 [配例1使用] 过点P(-1,0)作曲线C:y=ex-1(其中e为自然对数的底数)的切
线,切点为T1,设T1在x轴上的射影是点H1,过点H1再作曲线C的切线,切点为T2,
设T2在x轴上的射影是点H2,依次下去,得到第n+1(n∈N*)个切点Tn+1,则点
T2020的坐标是 ( A )
A.(2019,e2018)
B.(2019,e2019) C.(2020,e2019) D.(2020,e2020)
2021届高考数学统考第二轮专题复习 第3讲 导数的 应用课件 理-2021届高考数学统考第二轮专题复习
成立; (2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分
离变量法求解参数的范围; (3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区
间上大于零或小于零有解.
考点考法探究
2.原函数的单调性转化为导函数在给定区间上正负问题的处理方法: (1)参变分离; (2)导函数的根与区间端点直接比较.
[解析] 由题得函数f(x)的导函数f'(x)=4x3-6x2,则函数f(x)的图像在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率为f'(1)=-2,又f(1)=-1,∴所求切线方程为y+1=-2(x-1),即y=
2021届艺考生高考数学二轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用(12课时)
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域 (1)在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫 做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的 集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一 致，则这两个函数为相等函数．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ x2 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
解析：A [A 中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)． B 中，f(x)＝|x|，g(x)＝x (x≥0)， ∴两函数的定义域不同． C 中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1， ∴两函数的定义域不同． D 中，f(x)＝ x＋1· x－1(x＋1≥0 且 x－1≥0)，f(x)的定义域为 {x|x≥1}， g(x)＝ x2－1(x2－1≥0)， g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选 A.]
对应关系 f： 中的 任意 一个数 x， 中的 任意 一个元素
A→B 在集合 B 中都有
x，在集合 B 中都有
唯一确定 的数 f(x)和它 唯一确定 的元素 y 与之
对应
对应
名称
称 f： A→B 为从集合 称 f：A→B 为从集合 A A 到集合 B 的一个函数 到集合 B 的一个映射
记法
函数 y＝f(x)，x∈A
解析：由 f(1)＝f(2)＝0，得1222＋＋p2＋p＋q＝q＝0，0， 所以pq＝＝－2. 3， 所 以 f(x)＝x2－3x＋2，所以 f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3导数的简单应用课件理
答案：y＝0 或 9x＋4y＝0
考点 2 利用导数研究函数的单调性
1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解 (或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可．
2．若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．
例 2(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
1．(2017·山西临汾五校三联)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时， f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为( )
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设 x>0，则－x<0， ∵f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2. ∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2. ∴f′(1)＝2， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x－3.故选 B. 答案：B
(2)∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∴k＝f′(0)＝1＝－m1 ，∴m＝－1. (3)由导数的几何意义，知 k＝y′＝ex＋e－x－3≥2 ex·e－x－3＝ －1， 当且仅当 x＝0 时等号成立． 即 tanα≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x≤12，tanα＝k<0， 所以 α 的最小值是34π.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．
考点 2 利用导数研究函数的单调性
1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解 (或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可．
2．若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．
例 2(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－43a－2.
1．(2017·山西临汾五校三联)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时， f(x)＝xln(－x)＋x＋2，则曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程为( )
A．y＝2x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
解析：设 x>0，则－x<0， ∵f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝xln(－x)＋x＋2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－xlnx－x＋2)＝xlnx＋x－2. ∴f(1)＝－1，f′(x)＝lnx＋2. ∴f′(1)＝2， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程是 y＝2x－3.故选 B. 答案：B
(2)∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，
∴k＝f′(0)＝1＝－m1 ，∴m＝－1. (3)由导数的几何意义，知 k＝y′＝ex＋e－x－3≥2 ex·e－x－3＝ －1， 当且仅当 x＝0 时等号成立． 即 tanα≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x≤12，tanα＝k<0， 所以 α 的最小值是34π.
2．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝x3＋3x2 的图象的切线，则切线方 程为________________．
高考理科数学二轮复习新课标通用课件专题六导数的简单应用
边际利润
导数还可以表示当销售量增加一个 单位时，利润的变化率，即边际利 润。通过求导可以找到最大利润的 销售量。
物理问题中速度加速度计算
01
02
03
速度
位移关于时间的导数就是 速度。通过求导可以求得 物体在任意时刻的瞬时速 度。
加速度
速度关于时间的导数就是 加速度。通过求导可以求 得物体在任意时刻的瞬时 加速度。
利用单调性证明不等式
导数与函数单调性的关系
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的方向。
典型例题解析
结合具体例题，展示如何利用导数判断函数单调性，进而证明不等 式。
注意事项
在证明过程中，要注意导数的计算、函数单调性的判断以及不等式 的变形等技巧。
利用凹凸性证明不等式
导数与函数凹凸性的关系
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，从而确定不等式的形状。
注意事项
在构造函数时，要注意函数的定义域、值域以及导数的计算等细节问 题。同时，还要善于运用已知的不等式和数学归纳法等数学方法。
06 实际生活中导数 应用举例
经济领域中边际分析
边际成本
导数可以表示当生产量增加一个 单位时，成本的变化率，即边际 成本。通过求导可以找到最低成
本的生产量。
边际收益
导数也可以表示当销售量增加一个 单位时，收益的变化率，即边际收 益。通过求导可以找到最大收益的 销售量。
判断拐点和凹凸性的方法
通过求解二阶导数等于0的点，并结合三阶导数测试来判 断拐点的类型（上凹、下凹或不是拐点）。然后分析二阶 导数的正负来判断函数的凹凸性。
03 曲线形态与导数 关系
曲线切线方程求解
1 2
确定切点
在曲线上选择一点作为切点，记其坐标为$(x_0, y_0)$。
导数还可以表示当销售量增加一个 单位时，利润的变化率，即边际利 润。通过求导可以找到最大利润的 销售量。
物理问题中速度加速度计算
01
02
03
速度
位移关于时间的导数就是 速度。通过求导可以求得 物体在任意时刻的瞬时速 度。
加速度
速度关于时间的导数就是 加速度。通过求导可以求 得物体在任意时刻的瞬时 加速度。
利用单调性证明不等式
导数与函数单调性的关系
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的方向。
典型例题解析
结合具体例题，展示如何利用导数判断函数单调性，进而证明不等 式。
注意事项
在证明过程中，要注意导数的计算、函数单调性的判断以及不等式 的变形等技巧。
利用凹凸性证明不等式
导数与函数凹凸性的关系
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，从而确定不等式的形状。
注意事项
在构造函数时，要注意函数的定义域、值域以及导数的计算等细节问 题。同时，还要善于运用已知的不等式和数学归纳法等数学方法。
06 实际生活中导数 应用举例
经济领域中边际分析
边际成本
导数可以表示当生产量增加一个 单位时，成本的变化率，即边际 成本。通过求导可以找到最低成
本的生产量。
边际收益
导数也可以表示当销售量增加一个 单位时，收益的变化率，即边际收 益。通过求导可以找到最大收益的 销售量。
判断拐点和凹凸性的方法
通过求解二阶导数等于0的点，并结合三阶导数测试来判 断拐点的类型（上凹、下凹或不是拐点）。然后分析二阶 导数的正负来判断函数的凹凸性。
03 曲线形态与导数 关系
曲线切线方程求解
1 2
确定切点
在曲线上选择一点作为切点，记其坐标为$(x_0, y_0)$。
高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题二 第3讲 导数及其应用(共27张PPT)
ln������ C:y= ������ 在点(1,0)处的切线.
(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
解:(1)设 f(x)= ,则 f'(x)= 2 .所以 f'(1)=1.所以 L 的方程为 ������ ������ y=x-1. (2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价 于 g(x)>0(∀x>0,x≠1). g(x)满足 g(1)=0,且 g'(x)=1-f'(x)=
热点一 导数的几何意义 1 4 【例 1】已知曲线 y=3x3+3.
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程.
解:(1)所求切线的斜率为 y'|x=2=22=4,故所求的曲线的切线方程 为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.
3 (2)设曲线 y=3x3+3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A ������0 , 3 ������0 +3 , 2 则切线的斜率为 k=y'|������ =������ = ������0 ,切线方程为 y0
������ 2 -1+ln ������ ������ 2 ln ������ 1-ln ������
.
当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0, 所以 g'(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0, 所以 g'(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
导数及其应用课件新人教版
所以当 0<x<4a2 时 h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减；
当 x>4a2 时，h′(x)>0，h(x)在(0,4a2)上递增．
所以 x＝4a2 是 h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极
小值点，从而也是 h(x)的最小值点．
所以 φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2.
│ 要点热点探究
│ 要点热点探究
下面用反证法证明 假设 f′(x1)＝f′(x2)，由于曲线 y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2)) 处的切线都过点(0,2)，
23x13－a2x21＋1＝0，1 则下列等式成立23x32－a2x22＋1＝0，2
x21－ax1＝x22－ax2，3
│ 主干知识整合
2．导数的四则运算法则 (1)(u±v)′＝u′±v′； (2)(uv)′＝u′v＋uv′； (3)uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)．
│ 主干知识整合
三、导数的应用 1．利用导数求曲线的切线． 2．利用导数判断函数的单调性： (1) 导 数 与 单 调 性 的 关 系 ： 在 某 个 区 间 内 ， 如 果 f′(x)>0(f′(x)<0)，那么函数 f(x)在这个区间内单调递增 (减)；如果 f′(x)＝0，那么函数在这个区间内是常数函数； 如 果 f(x) 在 某 个 区 间 内 是 增 ( 减 ) 函 数 ， 则 导 数 f′(x)≥0(f′(x)≤0)． (2)求 单 调 区 间 的 一 般 步 骤 ： ① 确 定 定 义 域 ， ② 求 f′(x)，③解不等式 f′(x)>0 得函数的递增区间；解不等 式 f′(x)<0 得函数的递减区间．
│ 主干知识整合
〖2021年人教版〗《3.2 导数的应用》完整版教学课件PPT
答案 解析
A在0，＋∞上递增
B在0，＋∞上递减
C在0， 上1 递增 e
D在0， 上递减
1 e
因为函数f＝n ，定义域为0，＋∞，
所以f′＝n ＋1>0，
当 f′(x)>0 时，解得 x>1e， 即函数的单调递增区间为(1e，＋∞)；
当 f′(x)<0 时，解得 0<x<1e， 即函数的单调递减区间为(0，1e)，故选 D.
题型二 含参数的函数的单调性 例2 已知函数f＝ne＋1－aa>0 1若函数＝f的导函数是奇函数，求a的值； 解答 函数f的定义域为R 由已知得 f′(x)＝ex＋ex 1－a. ∵函数＝f的导函数是奇函数， ∴f′－＝－f′， 即e－ex－＋x 1－a＝－ex＋ex 1＋a，解得 a＝12.
2求函数＝f的单调区间
；若函数f在[a，b]上单调递减,则 为函数的最f大a 值，___
fb
为函数的最小值
3设函数f在[a，b]上连续，在a，b内可导，求f在[a，b]上的最大值和最
小值的步骤如下： ①求函数＝f在a，b内的 ； 极值
②将函数＝f的各 与 处极的值函数端值点fa，fb比较，其中最大的一个为最大值
，最小的一个为最小值
题型一 不含参数的函数的单调性
例1 1函数＝ 2－1 n 的单调递减区间为 2
A－1,1
B0,1
C1，＋∞
D0，＋∞
答案 解析
y＝12x2－ln x，y′＝x－1x＝x2－x 1＝x－1xx＋1(x>0).
令′<0，得0<<1，∴单调递减区间为0,1
2已知定义在区间－π，π上的函数f＝in ＋co ，则f的单调
2021届高考数学【新课改版】二轮专题六函数与导数第3讲 导数的几何意义及简单应用课件
∴当t变化时，S′(t)与S(t)的变化情况如表：
t
(0，2)
2
S′(t)
－
0
S(t)
极小值
(2，＋∞) ＋
∴S(t)min＝S(2)＝32.
返回
解题方略
利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程 根的左右函数值的符号； (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0 根的大小或存在情况来求解； (3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础 上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较 得到函数的最值．
返回
[跟踪训练]
1．(2020·昆明市三诊一模)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)
的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是
()
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解析：法一：因为在(－3，－1)和(0，1)上f′(x)＞0，在(－1， 0)和(1，3)上f′(x)＜0，所以函数y＝f(x)在(－3，－1)，(0，1) 上单调递增，在(－1，0)，(1，3)上单调递减，观察各选项 知，只有D符合题意，故选D. 法二：由题图知，y＝f′(x)在x＝－1的左侧大于0、右侧小于 0，所以函数y＝f(x)在x＝－1处取得极大值，观察各选项知， 只有D符合题意，故选D. 答案：D
返回
解题方略
由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数范围问 题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变 分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到； (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′ (x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性 问题转化成不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先 求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出 参数的取值范围； (4)若已知f(x)在区间D上不单调，则f(x)在D上有极值点，且极 值点不是D的端点．