高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件1 新人教A版选修1-1.ppt
所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a.
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
14
由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
13
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0 )叫 做 椭 圆 的 标 准 方 程 ，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
18
【总结提升】
思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？ （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动
时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P 的坐标为（x0,y0）,则
y
．P ．M
x
x0, y
y0 2
,
相关点法
因为点P（x0,y0）在圆
2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程
1
2
3
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. （重点、难点）
5
实验操作
(1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距 离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.
解：设椭圆的标准方程为 m x 2 n y 2 1 (m 0 ,n 0 ,m n ),
则有
(
3 2
)2
m
(
5 2
)2
n
1，
( 3)2 m ( 5)2 n 1，
解得
m
1 6
,n
1. 10
所以，所求椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 . 6 10
23
例2 如图，在圆 x 2 y 2 4 上任取一点P，过点P
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
21
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a 2 b2 1 (a b 0).
又∵焦点的坐标为 (2, 0), (2, 0)，
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ),
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
x2
y2
a2 a2 c2 1.
16
请看图片：你能从图中找出表示a,c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b 2 a 2 - c 2 (a b 0),
椭圆 线段 不存在
在知道了椭圆的 定义及一些基本 的性质之后，我 们怎样用方程来 表示呢？
10
探究点2 椭圆的标准方程 思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点 （2）写出点集 （3）列出方程 （4）化简方程 （5）检验
结合椭圆的 定义你能求 出椭圆的方 程吗？
11
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 建立坐标系的原则是：对称，简洁
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到方案二椭圆的方程
为 y2 a2ຫໍສະໝຸດ x2 b21(ab
0).
17
1.我 们 把 形 如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也 把 形 如
a2 b2 4. ①
又
由
已
知
(
5 2
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1， ②
联立①②, 解 得 a 2 1 0， b 2 6
因此, 所求椭圆的标准方程为:
x2 y2 1.
10 6
22
【变式练习】
已知椭圆经过两点 ( 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ，求椭圆的 22
标准方程.
注意这种设法适用的情况
19
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点
53 ( , )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0).
待定 系数 法
由椭圆的定义知
2a
5 (
2)2
(
3 )2
5 (
2)2
(
3 )2
2
10
2
2
2
2
20
所以 a 1 0 .
6
探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？
7
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎 样的大小关系？
结合实验及上面的 问题，你能给椭圆 下一个定义吗？
移项，再平方
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2,
a2cxa(xc)2y2,
15
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
8
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
9
【总结提升】
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的 焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的 和等于正常数2a (2a>2c)，则F1，F2 的坐标分别是(c,0)、(c,0).
y M
F1 O F2 x
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由椭圆的定义得 |M F1||M F2|2a.
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
y F1 O
M F2 x
y
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
12
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和 F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0). 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.
13
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0 )叫 做 椭 圆 的 标 准 方 程 ，
y
它表示焦点在y轴上的椭圆.
F2 M
ox
F1
18
【总结提升】
思考：椭圆的标准方程有哪些特征呢？ （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动
时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P 的坐标为（x0,y0）,则
y
．P ．M
x
x0, y
y0 2
,
相关点法
因为点P（x0,y0）在圆
2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程
1
2
3
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. （重点、难点）
5
实验操作
(1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距 离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.
解：设椭圆的标准方程为 m x 2 n y 2 1 (m 0 ,n 0 ,m n ),
则有
(
3 2
)2
m
(
5 2
)2
n
1，
( 3)2 m ( 5)2 n 1，
解得
m
1 6
,n
1. 10
所以，所求椭圆的标准方程为 x 2 y 2 1 . 6 10
23
例2 如图，在圆 x 2 y 2 4 上任取一点P，过点P
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
21
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a 2 b2 1 (a b 0).
又∵焦点的坐标为 (2, 0), (2, 0)，
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ),
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
x2
y2
a2 a2 c2 1.
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请看图片：你能从图中找出表示a,c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b 2 a 2 - c 2 (a b 0),
椭圆 线段 不存在
在知道了椭圆的 定义及一些基本 的性质之后，我 们怎样用方程来 表示呢？
10
探究点2 椭圆的标准方程 思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点 （2）写出点集 （3）列出方程 （4）化简方程 （5）检验
结合椭圆的 定义你能求 出椭圆的方 程吗？
11
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ 建立坐标系的原则是：对称，简洁
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到方案二椭圆的方程
为 y2 a2ຫໍສະໝຸດ x2 b21(ab
0).
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1.我 们 把 形 如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也 把 形 如
a2 b2 4. ①
又
由
已
知
(
5 2
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1， ②
联立①②, 解 得 a 2 1 0， b 2 6
因此, 所求椭圆的标准方程为:
x2 y2 1.
10 6
22
【变式练习】
已知椭圆经过两点 ( 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ，求椭圆的 22
标准方程.
注意这种设法适用的情况
19
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0),
并且经过点
53 ( , )
.求它的标准方程.
22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0).
待定 系数 法
由椭圆的定义知
2a
5 (
2)2
(
3 )2
5 (
2)2
(
3 )2
2
10
2
2
2
2
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所以 a 1 0 .
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探究点1 椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题： 1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？
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3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离有怎 样的大小关系？
结合实验及上面的 问题，你能给椭圆 下一个定义吗？
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《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教B版选修11
焦距.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
类型一：椭圆定义
【典例1】(1)椭圆 x2 y2 1 上一点M到一个焦点距离为4，则M到另 25 16
一个焦点距离为 ( )
A.4
B.6
C.8
D.2
(2)已知定点A(0，-1)，点B在圆F：x2+(y-1)2=16上运动，F为圆心，
线段AB垂直平分线交BF于P.则点P轨迹是__________.
20/62
2.对椭圆标准方程两点说明 (1)标准含义: 所谓“标准”,就是椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上. (2)用待定系数法求标准方程时注意点: 应从“定位”与“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦 点所在坐标轴,从而确定椭圆方程类型;其次是“定量”,即利用条件 确定方程中a,b值.
21/62
所以所求椭圆标准方程为 y2 x2 ＝1． 169 144
19/62
【归纳总结】 1.对椭圆定义了解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点M有 |MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|;不然,若2a=|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若 2a<|F1F2|,则轨迹不存在.
得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6.
(2)由题意得|PA|=|PB|.
所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2，
所以动点P轨迹是以A，F为焦点椭圆.
答案：以A，F为焦点椭圆
24/62
【规律总结】椭圆定义双向利用 (1)判断：符合定义中到两定点距离之和为常数(大于两定点距离)这 一条件点轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上点一定满足定义中条件即到两定点距离之和为2a. 提醒：在判断点轨迹时，易出现只注意到距离之和为常数，而忽略此 常数要大于两定点距离条件作犯错误判断.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程-1公开课PPT课件
(0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系
b2＝________
【答案】 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) a2－c2
求椭圆的标准方程
[小组合作型]
写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1).
25＝100－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|＝25.
∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin
60°＝12×25×
23＝254
3 .
1．椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形， 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义．
2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用 S＝12absin C，把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及 余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
[再练一题] 1．求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和 为 26.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝ 1(a>b>0)．
[再练一题] 2.已知椭圆的方程为x42＋y32＝1，椭圆上有一点 P 满足∠PF1F2＝90°(如图 2-1-1)．求△PF1F2 的面积．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
2.1.1椭圆及其标准方程课件人教新课标2
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
[解析] (1)椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)．
[解析] (1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝4,2a＝ 10，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)解法一：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ 4－02＋3 2＋22 ＋ 4－02＋3 2－22＝12， 所以 a＝6. 又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝32. ∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
第二章
2.1 椭圆
椭圆及其标准方程
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程.
①
因为点( 3，－ 5)在椭圆上，
所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.
将①式代入②，得b2＋5 16＋b32＝1， 解得 b2＝4(b2＝－12 舍去)． 由①得 a2＝4＋16＝20. 因此，所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教B版选修1-1
例2：已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且椭圆经过点P（2,0）
求椭圆的标准方程。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，x2 y2 所以设椭圆的标准方程是 a2 + b2
=1
(a > b > 0)
待定系数法
又因为焦距是2，所以2c=2，即c=1
所以 a2 - b2 = c2 = 1
因为椭圆经过点P（2,0）
由题可知，焦点在x轴上，
因此焦点为 F1(-6,0), F2 (6,0) 焦距为12
K12课件
12
强化训练
1.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。
1） x 2 25
+
y2 16
= 1 答:在 x 轴上，(-3,0)和(3,0）
2） x 2 + y 2 = 1 答:在 y 轴上，(0,-5)和(0,5） 144 169
14
2.椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准 方程。
3.两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2） 并且椭圆经过点（-3/2，5/2）,求椭圆的方程。
K12课件
15
2、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ,求椭圆的标准方程。
4
椭圆的定义： 焦点
2a
平面上与两个定点F1，F2距离之和是常数
（大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。
焦距 2c
K12课件
5
• (1)改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图形 还是椭圆吗？
(2)绳长能小于两图钉之间的距离吗？
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余 弦
定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°, 256
即144=(|PF1|+|PF23|)2-3|PF1|·|PF2|.
所以|SPFF1P1F2|·1|2PF2|= , 所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°=
②-①,得(2+ 3)|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|=75(2- 3),
所以
S
=
F1PF2
|P1F1|·|PF2|·sin 30°= 2
(2-75 ). 4
3
39/66
2.将典例中椭圆方程改为“ 不变,求△F1PF2面积.
x2 ＋ y=21”,其余条件 100 64
40/66
M N =1.
1， 1. 4
4
31/66
类型二 椭圆定义及应用
【典例】(·潍坊高二检测)设P是椭圆
x2 ＋=1y2 25 75
4 上一点,F1,F2是椭圆焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2
面积.
32/66
【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|大小吗? 提醒:(1)依据椭圆定义即可写出.
43/66
【赔偿训练】如图所表示,已知椭圆方程为 x2 ＋y2 =1,若点P是椭圆上第二象限内点,且∠PF1F2=4120°3 , 求△PF1F2面积.
44/66
【解题指南】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边 长. 【解析】由已知a=2,b= 3 ,所以c= a2 b2＝=41,3 |F1F2|=2c=2,
高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件 《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交 椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆 的定义求△ABF1的周长？
【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝ ＝22xy＋ ，5， 代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1， 所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆 的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．