平行四边形的性质(1)
平行四边形的性质及判定
平行四边形1.平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.1.平行四边形的性质一.填空题.1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.FED CBA图4.1-12.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A图4.1-2二.选择题.7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直三. 解答题12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.ODCBA图4.1-313. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.GFEDCBA图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.F E DCBA图4.1-5五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?H GFEDCBA图4.1-616. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?请说明理由.DCB A图4.1-72. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.HGFED CBA图4.2-1GFEDCB A图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形.F EDCB A图4.2-3F E DCBA图4.2-4二. 选择题6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线 三. 解答题11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.OMNDCBA图4.2-512. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?NMDCBA图4.2-6 四. 应用题13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?NMQP DCBA图4.2-714. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G FE D CBA图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.DCBA图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?图4.2-103.平行四边形性质和判定综合。
平行四边形的性质(1)
D
B
C
3.如图， 求各边的长.
ABCD的周长是36，AD-AB=2，
A
D
B
C
4.如图，在 ABCD中, ∠A+ ∠C= 280°. 求其他两个内角的度数.
A
D
B
C
C′ 5.如图，A′B′∥BA， B′C′∥CB, C′A′∥AC. 1).图中有_____个平行四边形， 它们分别是__________________; B
B C D A
（3）在 ABCD中, ∠A: ∠B:∠C :∠D 的 值可以是( D ) A . 1:2:3:4 B. 1:2:2:1 C. 1:1:2:2 D. 2:1:2:1
例1
如图，小明用一根36m长的绳子 围成了一个平行四边形的场地，其中 AB边长为8m，其他三条边的长各是 多少？
A
5cm
B
C
小结 本节课你学到了什么？
作
业
必做： 课本P90—习题19.1第1、2、7； 导航P38—39第4题 选做： 导航P39第5题
检测：
1.在 ABCD中,已知两邻角的比 ∠A:∠B=5:4,求∠C ,∠D的度数.
A
D
B
C
你能从图片中找出哪些特殊的四边形？
1.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉 叠放在一起，重合部分构成什么图形？为什 么？
D
C
A
B
2.（1）如图，在 ABCD中, AB=5，BC=3， 16 ； 则它的周长是______ （2）如图，在 ABCD中, 若∠A=45°， ° 则∠C的度数为______ ___. 45° ， ∠B的度数为135
A
段有_______________; 与AB相等的线段有_______________; 与BC相等的线段有_______________.
平行四边形的性质(含说课)
①有哪些相等的线段？
②有哪些相等的角？
③你是如何得到的？
④与同伴交流。
A
D
1
B
222222 22222
C
将平行四边形绕一个顶点旋转180°， 你能平移旋转后的图形，使它与原图 形重合吗？
对边之间、对角之间 分别有什么关系？由 此你能得到什么结论？
活动（3）
任意一个平行四边形，是否都可以
另外本节课是在学生掌握了平移、旋转 知识的基础上探究平行四边形的性质，能使 学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、 交流等数学活动，对于培养学生的合情推理 能力、发散思维能力以及探索、体验数学思 维规律等方面起着重要的作用。
二、教学目标分析
1、知识与技能：
经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，理解 并掌握平行四边形的相关概念和性质，并能初步应
另外，学生运用平行四边形的概念和性 质解决问题相对容易，但是解题过程中的说 理或对发现的结论进行说理和简单推理时， 由于年龄特征，个别学生感到困难，容易将 图形的特征和识别颠倒用，也不能做到步步 有据。在今后学习特殊的平行四边形时还要 继续将直观与推理进一步融合，还要设计一 些活动鼓励学生多表达、多交流，有意识训 练他们的语言表达能力，使其逐步掌握简单 推理。
四、本节课的教法特点以及预期效果分析
本节课教学方法：探索归纳法 （1）由教材内容的特点确立动手操作、合作交流的教学主
线。 这节课我重点通过三个动手实践活动来引导学生探索平行四 边形概念和性质。“活动一”通过让学生剪三角形拼四边形 得到平行四边形的概念；“活动二”和“活动三”以4人一 个小组，通过“观察、直观操作、折叠、平移、旋转”一系 列动手操作与讨论活动探索出平行四边形对角相等、对边相 等的性质。三个活动中学生一起经历了直观操作→发现结论 →交流方法的全过程。通过三个活动，进一步加深学生对平 行四边形的理解，以及对识图、图形变换等操作技能的掌握 ，丰富数学活动经验和体验，发散思维，提高探究性学习效 率，也发展了学生合作交流的意识。
平行四边形的性质(1) (1)
课题：平行四边形的性质 课型：新授颜庄中学 亓艳琴一、教学目标：知识与技能目标：1.了解有关平行四边形的概念。
2.在对平行四边形认识的基础上，利用平移与旋转的知识探索并掌握平行四边形的性质。
3.能够利用平行四边形的性质去解决日常生活中的数学问题。
过程与方法目标：1.让学生经历，观察、探索、归纳、应用平行四边形性质的过程，在探究的活动中，培养学生发现问题，解决问题的能力和合作交流的能力。
2.在观察、探索、归纳等过程中，培养学生探索的能力，进一步培养学生的推理能力和思维能力。
情感态度与价值观：让学生充分体验数学探知的乐趣，在探索中学会与人交流，与人合作，在探索中得出新知，体验成功的快乐，激发学生学习平行四边形的热情，树立学好数学的信心。
二、教学重难点：重点：运用平移、旋转和中心对称来探索平行四边形的性质。
难点：掌握和运用平行四边形的性质。
三、教学方法：以自主探索、合作交流为主线。
四、教学准备：课前准备，搜集生活中平行四边形形状图片、网格纸、图钉五、教学过程：（一） 情境引入，探索平行四边形的性质；多媒体出示学习目标。
（由学生默读）（师）同学们在小学已接触过平行四边形，那么下列图形中哪些是平行四边形？说明寻找的依据是什么？（由学生口答完成）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（师）生活中有哪些实物是平行四边形？（生）（如编织图案，楼梯扶手，篱笆..........）（二）引出平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的相关 要素： 边角（1） （2） （3）对边AB 与DC,AD 与BC.邻边如AD 与CD对角：∠DAB 与∠BCD ，∠ADC 与∠ABC 邻角：如∠ABC 与∠BADA BC D对角线：AC,BD平行四边形的数学符号：用表示。
平行四边形ABCD 记作(师)边，角，对角线具有什么关系呢?(三)探索平行四边形的性质（充分留充足的时间给学生）实践体验：在方格纸上画一个平行四边形。
平行四边形的性质(一)
文汇中学八年级（上）数学自学指导书—（北师大版）（编号：2008—2009学年第一学期第24号）课题：平行四边形的性质（一）课程：新课主编人：饶先伟审核人：何吉华一．教学目的：1.经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，并了解其简单应用。
二．学法指导：探索归纳法三．回顾：1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边__________对应角__________2．直线平行的性质定理：两直线平行，___________________两直线平行，___________________两直线平行，___________________四．过程1. 同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。
将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。
（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。
__________________________________________________________________________________________________________________平行四边形的定义： 4－1_______________________________________________________叫做平行四边形_______________________________________________________叫它的的对角线如图4-1所示的四边形ABCD是平行四边形，记作_____________，读作_____________ 强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC即：∵______//____________//______∴四边形ABCD是平行四边形2.课本P98 做一做（1）在你拼接得到的平行四边形中，有哪些相等的线段、哪些相等的角？你是如何得到的？与同伴交流。
平行四边形的性质(一)
有效教学设计方案课题 6.1平行四边形的性质（一）课时1课时课型常态课教学目标实现目标通过让学生经历探索平行四边形有关性质的过程，发展合理推理能力；通过证明平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，发展演绎推理能力；通过让学生在探索、讨论中养成与他人合作交流的习惯，提高克服困难的信心。
重点让学生经历探索平行四边形有关性质的过程，发展合理推理能力。
难点学会证明平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，发展演绎推理能力。
学情分析本节内容学生的知识起点是学生学习了“三角形全等”、“中心对称”、“平行线的性质和判定”等知识，平行四边形的性质是论证线段相等、角相等和两直线平行的重要依据之一，学习它不仅是对已学的平行线、三角形等知识的综合运用和深化，更是下一步探究矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的基础，所以在教学上既存在“温故”和“知新”两方面的要求，又具有承上启下的作用，因此，它在初中几何教材中占有非常重要的地位。
为使几何课上得有趣、生动、高效，恰当的解决本节课的重点难点，完成教学目标，我结合本节课内容和学生的实际水平，采用实验探究法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学方法。
在教学过程中，通过创设问题情景，设置带有启发性和思考性的问题，诱导学生思考、操作，让学生亲身体验知识的产生、发展过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态。
同时为了增大课堂容量，提高课堂效率，我采用了电脑多媒体辅助教学手段。
有效导入一、导入目标：由图片“日出东方”、“水往低流”等自然规律、诗歌导入，既能吸引学生注意力，又让学生能轻松愉快地引出主题：探索规律。
二、导入方式：创景式和设问式导入三、导入策略：以图片为载体，透过大自然的规律，引出日历中又有怎样的数学规律？让学生感受到强烈的数感，为下面问题的展开做好铺垫。
四、导入内容：（1）自然的规律：日出东方，水往低流（2）我们生活中还有什么规律？（3）我们来看看我们常见的日历，当中是否蕴涵着某些数学规律？有效精讲一、精讲目标：目的在于通过学生对典型例题自主探究和合作交流的学习方式，使学生能探索实际问题的规律、通过计算验证规律达成突破重难点（探索实际问题中蕴涵的关系和规律，运用符号表示规律）的效果。
平行四边形的性质
第九节平行四边形的性质【知识要点】1．平行四边形的有关概念（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（2）对边、对角、对角线的概念：平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。
对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。
平行四边形有两条对角线，它们交于四边形内一点。
2．相关性质边：平行四边形的对边平行且相等。
角：平行四边形中对角相等，邻角互补，内角和是360°。
对角线：平行四边形的对角线互相平分。
3．平行线间的距离（1）两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
（2）平行线之间的垂线段处处相等。
4. 平行四边形的面积公式：S=底×高【典型例题】例1 在平行四边形ABCD中（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。
（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。
（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。
（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。
灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算例2 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD 各边长和各内角的度数。
例3 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。
利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围例4 如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．1﹤AB ﹤7 B ．2﹤AB ﹤14 C ．6﹤AB ﹤8D ．3﹤AB14灵活运用平行四边形的面积公式计算例5 小强家承包了一块苗圃用来养花。
平行四边形的概念与性质
平行四边形的概念与性质平行四边形是几何学中常见的四边形。
本文将介绍平行四边形的概念以及其一些重要性质，以帮助读者更好地理解和使用平行四边形。
概念：平行四边形是指具有两对边分别平行的四边形。
即，如果四边形的两对边分别平行，则该四边形可以被称为平行四边形。
性质1：相对边在平行四边形中，两对相对的边是平行的。
这意味着如果我们有一个平行四边形ABCD，那么AB和CD是平行的，同时AD和BC也是平行的。
性质2：相对角平行四边形中相对的两个内角是相等的。
也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A = ∠C，∠B = ∠D。
性质3：对角线平行四边形的对角线互相平分。
即，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么对角线AC和BD相交于点O，并且AO = CO，BO = DO。
性质4：邻边补角平行四边形中邻接的内角互为补角。
也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。
性质5：对角线长度关系平行四边形的对角线长度关系为：对角线AC² + 对角线BD² = 2(边AB² + 边AD²)。
这是一个重要的性质，可以在解决平行四边形相关问题时提供便利。
性质6：面积计算平行四边形的面积可以通过底边长和高的乘积来计算，即面积 = 底边长 ×高。
性质7：重心、中点和垂心的共线性平行四边形的重心、中点和垂心三个点共线。
重心是平行四边形对角线交点的中点，中点是边的中点，垂心是通过连接对边中点的线段与对角线的交点。
以上是一些关于平行四边形的基本概念和重要性质。
这些性质可以用于解决平行四边形的证明题、计算题以及相关应用题。
在解决这些题目时，我们可以根据平行四边形的定义和这些性质来进行推理和计算。
总结：平行四边形是具有两对平行边的四边形，具有一些特殊的性质。
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【学习内容】平行四边形的性质（1） 【学习目标】
1.掌握并理解平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2.通过观察、猜测、证明、归纳，能运用数学语言进行讨论与质疑，发展学生合理的推理意识，培养学生主动探究的习惯．
3.通过平行四边形性质的探究应用过程，培养学生独立思考的能力，在数学学习活动中获得成功的体验． 教学重点与难点：
重点：平行四边形的定义以及平行四边形的性质． 难点：平行四边形性质的探究．
【自主学习】
同学们利用你手中的两个含30°的三角板，你能拼出哪些形状的四边形？
我们来观察同学们拼出的四边形，我们把四边形中不相邻的边叫对边，相对的角叫对角。
那么，这个四边形的对边有什么位置关系呢？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
其实生活中我们经常见到平行四边形的身影，你能找到下面图形中的平行四边形吗？
那么平行四边形有哪些性质呢？
我们知道两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.请你结合图形指出平行四边形怎样用符号表示？那些线段是平行四边形的对角
线？
四边形ABCD
ABCD ”．
（强调）时针读．
【交流展示】
做一做：
（1心并验证你的结论吗？
（2
例题：已知:如图4，在□ABCD E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF ． 求证：BE =DF ． 【释疑点拨】
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
用符号语言表示这两个定理:
定理1：∵四边形ABCD ∴ AD=CB ，AB=CD ．
定理2：∵四边形ABCD ∴∠A =∠C ，∠B =∠D ．
【当堂训练】
1．□ABCD 中，∠B=60°，则∠2．□ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C= ． 3．□ABCD 中，AB=3，BC=5，则AD= CD= ． 4．□ABCD 中，周长为40cm ，△ABC 周长为25，则对角线AC=（ ）cm ．
5．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且AE ∥CF ，AE 与CF 相等吗？说明理由.。