42组合数学读书笔记
图论与组合数学一、浅谈图论中邻接矩阵的应用通过一个学期以来对图论与组合数学这门课程的学习和理解，从图论的理论到应用，更加加强了对这门学科的认识。
图论与组合数学在我们日常生活中应用的非常广泛，并应用于很多领域，是现在的热门讨论与研究的前沿学科。
通过这个学期老师的授课及讲解，我从中学到了很多，因此在学期末对所学的知识做出总结。
主要介绍一下图论中邻接矩阵的应用。
使用邻接矩阵求解有关实际问题符合数学中数形结合的思想，对于更好地理解问题，思考问题从而求解问题具有现实意义。
图论知识的应用是相当广泛的，它是数学的重要分支，使今年来较为活跃的数学分支。
这个问题其实也是一个数学游戏问题，是源于生活，高于生活。
图论作为组合数学的一分支，与其他数学分支，如矩阵论，概率论，拓扑学数值分析都有着重要的联系。
首先介绍图论中邻接矩阵的一个重要定理:G 是一个图,V(G)为 G 的顶点集, E(G)为 G 的边集。
设G 中有 n 个顶点，v 1,v 2,…,v n ;A=(a ij )n ×n 为 G 的邻接距阵, 其中n j i G E v v G E v v a j i j i ij ,...,2,1,)(0)(1=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=定理 1:设 A (G)为图 G 的邻接距阵,则 G 中从顶点 vi 到顶点 vj,长度为 k 的道路的A k条数为中的 i 行 j 列元素。
证:对 k 用数学归纳法k =1时,显然结论成立;假设 k 时,定理A l .A= A l+1成立,考虑 k +1的情形。
记 A l 的 i 行 j 列元素为l ≥2,因为所以nj lin j l i j l i l ija a a a a a a +++=+...2211)1( (1)而从v i ,v j 到长 k +1的道路无非是从v i 经 k 步到某顶点v l (1≤l ≤n),再从v l 走一步到v j ; 由归纳假设从v l 到v j 长为 k 的道路共计 而从v l 到v j 长为 1的道路为a ij 条,所以长为k+1的v l 经过k 部到v i 再一步到v j 的道路共有∑-+=nl ljk il l ija aa1)()1(条。
锁具装箱问题某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有 5个槽,每个槽的高度从 {1, 2, 3, 4, 5, 6}6个数 (单位略 )中任取一数由于工艺及其他原因,制造锁具时对 5个槽的高度还有两个限制:至少有 3个不同的数,相邻两槽的高度之差不能为 5,满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。
销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售。
问每一批具有多少个,装多少箱。
分析：锁具装箱这个问题是一个排列组合的数学问题,但在这里我们用图论中的邻接矩阵方法来解决这个问题。
每把锁都有 5个槽,每个槽有 6个高度,至少有三个不同高度的槽。
且相邻槽高差不为 。
我们先求出无相邻高5差为 5的锁具数量,再减去仅有一个、两个槽高的锁具数目。
先计算由 1, 2, 3, 4, 5, 6构成无 1, 6相邻的情况的数目。
为此,构造一个 6节点的图:将 1, 2, 3, 4, 5, 6这 6个数作为 6个节点,当两个数字可以相邻时,这两个节点之间加一条边,每个节点有自己到自己的一条边。
我们得到了锁具各槽之间的关系示意图 (见图 1)。
由图我们可以试着画出这个图的邻接矩阵来：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111110111111111111111111111111011111A 邻接矩阵 A 的所有元素之和表示两个槽高无 1, 6相邻的锁具的个数,每个无 1, 6相邻的 5位数与图 1中长度为 4的一条链 1 - 1对应,如 12345, 11111, 22335等。
A 的 k 次方中各元素之和就是长度为 k 的链的个数。
事实上,从这2个具体问题可以看出, A 中第 i 行第 j 列的元素指从 i 开始经过两条边到达 j 的链数,即从 i 开始经过一条边到 k,再从k 经过一条边达到 j, i 和 j 就决定了中间顶点 k 的数目。
于是,利用 Matlab 就很容易得到。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1411651651651651401651941941941941651651941941941941651651941941941941651651941941941941651401651651651651414A将该矩阵中的元素求和可得相邻高差不为 5的锁具数为 6306把。
把。
但这 6306把锁具中包含了仅有一个、两个槽高的锁具,需要从其中减去。
需减去的锁具的个数为6+( C 62-1)(25-2)=426其中,第一个 6仅有 1个槽高的锁具; C 62为 1, 2, 3, 4, 5, 6这 6个数中取两个的取法,但扣除 1, 6这一种取法。
最后得到一批锁具的个数为 6306 - 426 =5880,总共装98箱。
这样,就用图论的知识成功地解决了一批锁具的数量问题,这个方法比用别的方法简单,且容易推广。
问题求解反思：使用邻接矩阵求解有关实际问题符合数学中数形结合的思想，对于更好地理解问题，思考问题从而求解问题具有现实意义。
图论知识的应用是相当广泛的，它是数学的重要分支，使今年来较为活跃的数学分支。
这个问题其实也是一个数学游戏问题，是源于生活，高于生活。
图论作为组合数学的一分支，与其他数学分支，如矩阵论，概率论，拓扑学数值分析都有着重要的联系。
课本中也列举几种图论的矩阵表示法，如关联矩阵，邻接矩阵。
从矩阵的角度分析了图的顶点度的问题等相关知识。
对于这样的一个问题我们可以类似的联想到还有一个比较有特色的问题就是商人过河问题：三名商人各带一个随从乘船渡河,现有一只小船只能容纳两个人,由他们自己划行,若在河的任一岸的随从人数多于商人,他们就可能抢劫财物。
但如何乘船渡河由商人决定,试给出一个商人安全渡河的方案。
同样我们也可以用矩阵的方法加以解决。
4、求最小生成树的邻接矩阵法求最小生成树的邻接矩阵法如下：设图G为任意的简单图可以是完全的,也可以是不完全的. 图G有个 n结点,且其边的集合为{（v1,v2），（v1,v3），…，（v n-1,v n）}。
在该算法执行过程中我们使用一个桶存放最小生成树的边一个桶存放最小生成树的结点一个计数器记录桶中边的数目开始时桶桶计数器都是空的。
算法的步骤：1)写出图G的邻接矩阵M,对于无向简单图G矩阵M以对角线为轴对称,我们只取其对角线以上部份的三角形各元素.在所有矩阵元素不为0的边中,选最小权边（v i,v j）放入E桶中，该边的两端点v i,v j放入V桶，并记工=1，若有两个（或两个以上）最小权边，其权值相等，任选其一。
2)矩阵M中，将（v i,v j）边对应元素改为0，对v i,v j结点所对应的行与列上的矩阵元素做“乘2的模4运算”。
3)检查若有不为0的元素，则转第四步。
否则算法结束。
此时若I=n-1.则E桶中各边构成最小生成树。
I《n-1，则没有最小生成树。
4)将邻接矩阵M中,值为2的各元素对应边作为候选边.在候选边中找出最小权边（v i,v j），若有两个或两个以上最小权边任取其一。
将该边放入E桶，并将其在V桶外的端点v i+1放入V桶。
同时：I=I+1。
5)将（v i,v j）边对应元素改为0，将新入V桶的结点v i+1对应的M行列中做“乘2的模4运算”。
6)转第三步。
在关于算法的叙述中应说明两点：第一、算法中规定即乘2的模4运算它的含义是对一个变量乘以2 如果乘积等于4，则改该变量的值为0。
第二、因为在步骤3检查矩阵，如有不为0的元素，才转4，所以在第4步中邻接矩阵中必有值为2的元素.这是因为当一条边进人E桶，它的两端点进人V桶，与该两端点邻接而尚未进入E桶的各边对应的矩阵元素值原来为1经乘2后，其值必为2。
另一方面某一条边成为候选边，则它的矩阵元素值为2，如在下一步 它未被选中其值不变，如被选中它的值才会 因为乘2的模4运算而变为0.所以 只要最小生成树最后未被求出在步骤4， 矩阵中必有值为2的元素。
该算法求解反思：1、本算法在此虽然为涉及具体题目，但是这样的算法在实际问题的求解中是非常奏效的。
通俗易懂，便于检验。
这样对于运用计算机程序加以运算提供可能。
2、该算法有其简便之处，每次选最小权边2时，仅在部份元素中选取，就是说只矩阵元素为2时 对应边才是候选边。
二、一类基于二部图的(,)3g f -覆盖图设G 是一个图，分别用V （G ）和E （G ）表示图G 的顶点集合边集，用()G d x 表示顶点x 在G 中的次数。
设g ，f 分别是定义在V （G ）上的两个整数值函数，若对每个()x V G ∈有()()g x f x ≤，则图G 的一个（g ，f ）-因子是G 的一个支撑子图F ，使得对每个()x V G ∈有()()()F g x d x f x ≤≤。
若对任意()x V G ∈有()()()g x f x g f ≤<，以下简记为()g f g f ≤<。
设任意,()S T V G ⊆，[]G S 表示G 的由S 导出的子图，记[()\]G S G V G S -=。
若1()E E G ⊆，用1G E -表示从G 中去掉1E 中的全部边所得到的图。
且有为方便，对任意函数f ，记()()x Sf S f x ∈=∑，并且令()0f φ=。
记Folkman, Fulkers on 曾得到下面的结果。
引理 设 G = (X, Y)是一个二部图, g 和 f 分别是定义在 V (G)上的两个整数值函数,使对每个 x ∈V (G)有 g ( x) ≤f ( x) ,则 G 有一个 ( g, f) 因子当且仅当对任意 S X ⊆和T Y ⊆有刘桂真教授引进的（g ，f ）覆盖图的概念，即过图G 的任意一条边都有G 的一个（g ，f ）因子，则称图G 是一个（g ，f ）覆盖图。
并且给出了一个图是 ( g, f) 2 覆盖图的充要条件,又给出了一个图有一个 ( g, f) 因子含有一条指定边的充要条件。
黄光鑫推广了这一概念如下,如果过图 G 的任意 k 条边都有 G 的一个 ( g, f) 因子,则称 G 是一个 ( g, f) 2 k2 覆盖图 ( k = 2, 3) ,并且分别得到了当 g < f 时一个图是 ( g, f) 2 22 覆盖图和 ( g, f) 2 32 覆盖图的充分必要条件。
若 P x ∈V (G)有 f ( x) = g ( x) ,则称一个 ( g, f) 2 32 覆盖图 G 是一个 f232 覆盖图。
当 g ≤f 时,寻找图 G 是一个 ( g, f) 2 32 覆盖图的充要条件是一个相当困难的问题。
古今数学思想读书笔记
古今数学思想读书笔记古今数学思想读书笔记篇1《古今数学思想》读书笔记《古今数学思想》是一本由托马斯·J·希夫里森所著的数学教育书籍，它涵盖了从古代到20世纪中期西方数学的发展历程。
这本书以一种独特的方式展示了数学思想的发展，以及这些思想如何影响了现代数学的各个领域。
在阅读这本书的过程中，我深深地感受到了数学思想的伟大与多样性。
作者在描述数学思想的发展时，以历史的视角对每个重要的数学分支进行了深入的研究和阐述。
从古希腊的几何学到中世纪的算术，再到文艺复兴时期的解析几何，以及后来的微积分和概率论，作者以生动的笔触揭示了数学思想的演变过程。
同时，书中还对一些重要的数学家和他们的思想进行了详细的介绍和分析。
例如，阿基米德、欧几里得、牛顿、莱布尼茨等，他们的数学思想不仅推动了数学的发展，也影响了人类文明的发展进程。
通过这些介绍，我更加深入地了解了数学的历史和文化价值。
但是，我认为这本书的缺点在于，它的内容过于繁杂，涵盖的数学思想太多，读者可能会有一种“消化不良”的感觉。
此外，书中的一些概念和术语可能对于初学者来说过于复杂和晦涩。
因此，我建议作者在写作时可以对一些复杂的概念进行更为直观和通俗的阐述。
总的来说，《古今数学思想》是一本很好的了解数学历史的书籍，它以独特的方式展示了数学思想的发展历程。
但是，对于初学者来说，可能需要一些时间来适应书中的一些概念和术语。
希望作者可以在未来的作品中继续努力，为读者带来更加通俗易懂的作品。
古今数学思想读书笔记篇2古今数学思想读书笔记第一章引言本书是一部关于古今数学思想的导论性著作，旨在通过梳理数学思想的历史演变，让读者了解数学学科的起源、发展和应用。
全书共分为四章，分别涵盖了古代、中世纪、近代和现代数学思想的发展历程。
在阅读本书的过程中，我深刻地感受到了数学思想在人类文明中的重要地位，以及其与社会、文化、科学等领域的密切联系。
第二章古代数学思想古代数学思想主要起源于古埃及、古巴比伦和古希腊等文明。
新课标人教A版高中数学选修4-2知识点总结
高中数学选修4-2知识点总结1、五种特殊变换旋转变换⎢⎣⎡a a sin cos ⎥⎦⎤-a a cos sin ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ay a x y a y a x x cos sin sin cos '' 反射变换关于X 轴对称⎢⎡01⎥⎤-10⎪⎨⎧=x x '' 关于Y 关于关于Y 关于⎢⎣+22B A ⎥⎦+22B A ⎪⎩+++-=y B A x B A y 2222'切变变换沿X 轴平行方向移ky 个单位⎢⎣⎡01⎥⎦⎤1k ⎪⎩⎪⎨⎧=+=y y ky x x '' 沿Y 轴平行方向移kx 个单位⎢⎣⎡k 1⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧+==ykx y x x '' 2.矩阵的概念：形如2341⎛⎫ ⎪⎝⎭、3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用()ij a 表示，其中i,j 分别表示元素ij a 所在的行与列.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列.组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
所有元素均为0的矩阵称谓零矩阵。
3.4.矩阵→)(a A λ5.→a B A ()(C AB l k A A l k A )(6.B 是A 已知矩阵A=⎢⎣⎡ca ⎥⎦⎤db ，求逆矩阵1-A 若==A A detc ad b =0≠-bc ad 则，detA 是二阶矩阵⎢⎣⎡ca ⎥⎦⎤db 的行列式，且 A 有逆矩阵1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Ac Ad ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-A a A b ，21E AA =-⎢⎣⎡01⎥⎦⎤10为单位矩阵2E 。
逆矩阵的性质：（1）不是每个变换都有逆变换，不是每个矩阵都有逆矩阵。
（2）若二阶矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一，记为1A -.（3）若二阶矩阵A 、B 可逆，则AB 也可逆，且1(AB)-=-1-1A B .7.用逆矩阵求二元一次方程组已知⎩⎨⎧=+=+f dy cx e by ax A=⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b 为二元一次方程组的系数矩阵1-A ⎢⎣⎡f e 已知⎩⎨⎧8.，→ξ是矩阵A （1（2（3A 属于已知A=⎢⎣⎡ca ⎥⎦⎤db →a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡f e 求特征值λ、特征向量→ξ和→a A n 令=)(λfc a --λdb --λ=0解出21λλλλ==或 当1λλ=当2λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴→111y x ξ是A 属于1λλ=的一个⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴→222y x ξ是A 属于2λλ=的一个特征向量特征向量设→→→+=2211ξξkka得⎩⎨⎧==21kk∴→aA n=→→+222111ξλξλnn kk。
高二数学选修4知识点总结
高二数学选修4知识点总结高二数学选修4主要包括以下几个知识点：概率与统计、排列组合、数理统计、矩阵与变换。
下面我将对这几个知识点进行总结，以帮助你更好地理解和掌握这些内容。
概率与统计是数学中非常重要的一部分，也是我们日常生活中经常使用到的知识。
概率是一种描述事件发生可能性的数值，它可以用来确定事件的可能性大小。
统计是通过对样本数据的收集和分析来得出总体特征或规律的方法。
在概率与统计这个知识点中，我们需要掌握计算概率的方法，如加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理等。
此外，还需要了解常见的统计量，如均值、中位数、众数和标准差等，以及数据的收集和整理方法。
排列组合是计算对象之间可能的排列或组合方式的方法。
在排列组合这个知识点中，我们需要了解什么是排列和组合，以及它们的计算公式。
排列是从给定的对象中取出若干个进行有序的排列，组合是从给定的对象中取出若干个进行无序的组合。
我们需要熟练掌握排列组合的计算方法，并能够应用到实际问题中，如生日悖论、猜拳游戏等。
此外，还需要了解乘法原理和加法原理的应用。
数理统计是通过对数据进行收集、整理、描绘和分析，以推断总体特征或进行决策的一种方法。
在数理统计这个知识点中，我们需要了解抽样方法、频率分布、参数估计、假设检验等基本概念和方法。
抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等，频率分布可以用直方图、折线图等形式进行展示。
参数估计是利用样本数据推断总体参数的方法，假设检验用于判断关于总体参数的假设是否成立。
矩阵与变换是线性代数的重要内容，在数学和其他学科中都有广泛的应用。
矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，而线性变换则是将一个向量通过矩阵乘法进行变换的过程。
在矩阵与变换这个知识点中，我们需要了解矩阵的基本概念、运算规则和特殊矩阵的性质。
同时，还需要掌握矩阵的逆、行列式、特征值和特征向量等重要概念和计算方法。
此外，还需要了解线性变换的基本性质和变换矩阵的求解方法。
通过对以上四个知识点的总结，我们可以更好地理解和掌握高二数学选修4的内容。
六年级上册数学书笔记42页
六年级上册数学书笔记42页摘要：一、全文概述1.内容来源：六年级上册数学书笔记42页2.主题：数学知识梳理与实用技巧分享二、具体内容1.数学知识点梳理a.知识点1：四则运算定律与应用b.知识点2：代数表达式的化简与求值c.知识点3：几何图形的面积和周长计算d.知识点4：统计与概率的基本概念2.实用技巧分享a.解题思路与方法i.分析题目，提炼关键信息ii.运用知识点，解决基本问题iii.总结解题经验，提高解题速度b.学习习惯与方法i.做好笔记，整理知识点ii.定期复习，巩固记忆iii.勤于实践，提高运用能力正文：六年级上册数学书笔记42页主要涵盖了数学知识点梳理和实用技巧分享两个方面。
以下将对这两个方面进行详细解读，以帮助同学们更好地掌握数学知识，提高学习效率。
一、数学知识点梳理1.知识点1：四则运算定律与应用四则运算定律包括交换律、结合律和分配律。
掌握这些定律有助于提高运算速度和准确性。
例如：题目：3×4+2×5解答：根据结合律，可以先计算3×4和2×5，再相加得到结果。
2.知识点2：代数表达式的化简与求值代数表达式的化简与求值是数学中的基本技能。
要学会将复杂表达式化简为简单形式，并能够根据给定条件求出表达式的值。
例如：题目：求表达式2x+3x-1在x=1时的值。
解答：将x=1代入表达式，得到2×1+3×1-1=4。
3.知识点3：几何图形的面积和周长计算掌握常见几何图形的面积和周长计算公式，如长方形、正方形、三角形和梯形等。
例如：题目：求一个边长为4厘米的正方形的面积和周长。
解答：面积=4×4=16（平方厘米），周长=4×4=16（厘米）。
4.知识点4：统计与概率的基本概念了解统计学中的频数、频率、众数、中位数等概念，以及概率的基本原理。
例如：题目：抛一个均匀的六面体骰子，求点数为偶数的概率。
解答：由于骰子有6个面，其中3个为偶数，所以点数为偶数的概率为3/6=1/2。
初中数学竞赛教程
“在数学竞赛中，我们需要掌握扎实的数学基础，包括代数、几何、数论、组 合数学等方面的知识。同时，我们还需要具备灵活的思维和敏锐的洞察力，能 够迅速找到解决问题的最佳途径。”
“数学竞赛中的题目往往非常复杂和抽象，需要我们具备扎实的数学基础和灵 活的思维。但是，只要我们能够认真思考、不断尝试，就一定能够找到解决问 题的方法。”
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内容摘要
《初中数学竞赛教程》是一本非常实用的教材，可以帮助初中生提高数学能力和竞赛水平。
精彩摘录
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阅读感受
《初中数学竞赛教程》是一本由浙江大学社的数学竞赛教材，旨在为初中生提 供数学竞赛的指导和帮助。在阅读这本书后，我深感其内容的丰富性和实用性， 对于提高我的数学竞赛水平有着很大的帮助。
有关数学的读书报告
数学读书报告——《中国数学简史》一、先秦萌芽时期春秋战国时期数学就已出现。
据《易·系辞》记载：在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。
从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。
算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。
算筹的产生年代已不可考究，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
在几何学方面，《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理的特例。
战国时期，齐国人著的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。
著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，墨家还给出有穷和无穷的定义。
《庄子》记载了惠施等人的名家学说，强调抽象的数学思想。
这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。
二、汉唐初创时期秦汉是中国古代数学体系的形成时期。
为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
西汉末年(公元前一世纪)编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高等。
此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。
《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年。
主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。
高中数学 模块学习评价 苏教版选修42
模块学习评价1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2011，求矩阵M 的特征值与特征向量．【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 0 －1 λ－1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2， 将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－2·x ＋0·y ＝0，－x ＋λ－1y ＝0，解得x ＝0，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2．已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，A ′(3，－3)，B ′(1,1)，D ′(－1，－1)．(1)求出矩阵M ；(2)确定点D 及点C ′的坐标．【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 3，得C ′(－3,3)．由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－23 23 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得D (1，－1)．3．设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.①求实数a ，b 的值； ②求A 2的逆矩阵．【解】 ①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a0b 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.②由①知，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 011，A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 011 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1021.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎪⎫10－21. 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 【解】 ∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1， ∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2∴a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.5．曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求M 的逆矩阵M －1.【解】 (1)设P (x ，y )为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′.代入得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1，即得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1， 及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2.解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M 的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1201＝1≠0，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 －2101 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116，求M 3α的值．【解】 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4)．令f (λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特征值λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤25， 属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1. 令α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，则m ＝3312，n ＝2712，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116＝3312×⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋2712×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，所以M 3α＝43×3312×⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＋(－2)3×2712×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤388862.7．利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【解】 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2，方程组有唯一解． 利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －12－2 32 因此原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －12－2 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12；y ＝12.8．密码学是关于信息编码和解码的理论，其中经常用到矩阵知识，首先建立如下对应关系：A B C … Y Z↨ ↨ ↨ ↨ ↨ 1 2 3 … 25 26取矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321.(1)将Good 进行编码；(2)将93,36,60,21恢复成原来的信息． 【解】 (1)Good 的编码为7,15,15,4. (2)∵det(A )＝5×1－3×2＝－1，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6，A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 315. ∴密码恢复成编码15,6,3,15， 即得到原来的信息OFCO .9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1)求M 的特征值和特征向量； (2)计算M 4β，M 10β，M 100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？ 【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)．令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.∴属于λ1＝1的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于λ2＝2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)令β＝m α1＋n α2，则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，∴m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.∴M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816，同理可得M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2 210，M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋2 2100.(3)当n →＋∞时，可近似认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n . 10．自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等．因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系．但是如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，并有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝3a n ＋b n ，b n ＋1＝2a n ＋2b n ，其中a 1＝1，b 1＝7，试分析10个时段后，这两个种群的数量变化趋势．【解】 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x i y i ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤312 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x i －1y i －1，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 122，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1 －2 λ－2＝(λ－1)(λ－4)．令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，则α＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(－2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，则M 10α＝3×410×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(－2)×110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×410－23×410＋4≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4103×410. 照此发展下去，两个种群的数量趋于均衡．。
从一到无穷大每章读书笔记
从一到无穷大每章读书笔记《从一到无穷大》读书笔记800字读书笔记：《从一到无穷大》这本书是80年代的一本老书，但书中涉及的范围相当之广，从数字到无穷大，再到四维空间，再到相对论，再到微观世界，再到宏观世界，有些内容用一些简单的办法让人能够理解，具有高中知识的人也可以理解，而用复杂的复变函数或范函分析之类的术语，则会把大多数人吓跑。
原来这本书并不是伽莫夫一个人写成的，里面也用了许多别人的成果。
第一章大数在古代的时候，无法表示很大的数，所以科学计数法是个了不起的发明。
国际象棋盘上放麦料的故事听了许多次了，总共的麦粒为：2^64 – 1=18,446,744,073,709,551,615颗。
64片的汉诺塔移动的次数也是这个18,446,744,073,709,551,615次。
一台永不停歇的自动印刷机想要写出一行65个字符的莎士比亚的诗的概率是1\/(50^65)，现在有计算机就是好，算了算50^65=2.7E+110，世界上每个原子都是印刷机（10^74台），从地球诞生的时候就开始印刷（到现在工作了三十亿年），还是以原子振动的频率（1秒印10^15行）来工作，才能印出3.0E+106行。
比较两个无穷大的大小，原来数学家康托尔(Georg Cantor)已经思考了这个问题。
用一一对应的办法来说明两个无穷大数的比较，讲得浅显易懂。
所有的整数和所有的分数原来是一样多的。
2-1\/13-1\/2 2\/14-1\/3 2\/2 3\/1在无穷大的世界里，部分可能等于全部。
证明线段上的点数与平面上的点数一样多，方法挺巧妙。
三级无穷大的数：N0所有的整数，N1所有的几何点，N2所有的曲线。
第二章自然数和人工数到现在感觉数论还是有应用的地方的，比如在大数的质因子分解成功地应用在密码学里。
证明不存在最大的质数的方法相当巧妙，初中生都能明白。
1*2*3*5*7*11*13*.*N+1，反证法。
费马数，或称费马素数、费马质数，如这种形式，但只发现前5个（3、5、17、257、65537）是质数，后面的都是合数，看百度百科http:\/\/\/view\/443594.htm哥德巴赫猜想，记得在大学时听过一场潘承洞弟子举办的讲座，明白了什么叫陈景润证明的\"1+2\"，原来离\"1+1\"仅一步之遥的猜想至今也无法解决。
陶哲轩教你学数学
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
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微积分
内容摘要
内容摘要
《陶哲轩教大家学数学》是一本由澳大利亚数学家陶哲轩（Terence Tao）所著的面向中学生的 数学教材。陶哲轩是一位菲尔兹奖得主，拥有丰富的教学经验和深厚的数学知识。这本书旨在通 过实际例子和有趣的问题，引导学生理解数学的基本概念和原理。 本书的内容非常广泛，覆盖了从基础数学概念如整数、分数、几何图形，到更高级的主题如代数、 微积分和组合数学等。每个章节都以一个有趣的问题或现象开始，然后通过详细的解释和例子， 引导学生逐步理解问题的本质和解决方法。 陶哲轩在书中使用了大量的实际例子，这些例子不仅帮助学生理解数学的基本概念，也让他们了 解到数学在现实生活中的应用。例如，在讲解代数方程时，陶哲轩引入了物理学中的弹簧振子运 动问题，通过解决这个问题，学生可以理解到代数方程在描述物理现象中的应用。 这本书还强调了数学思维的重要性。
作者简介
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“数学是一种语言，一种用来描述世界、解决问题和理解现象的工具。”
这句话简单而深刻地揭示了数学的本质。数学不仅是一种学问，更是一种普遍 的语言，它为我们提供了描述和解读世界的基本工具。通过数学，我们可以理 解和分析自然现象、物理现象，甚至社会科学中的各种现象。
六年级上册数学书笔记42页
六年级上册数学书笔记42页摘要：一、前言二、六年级上册数学书笔记42 页的具体内容1.分数的定义2.分数的性质3.分数的运算4.实际应用三、总结与反思正文：【前言】在小学六年级上册的数学课程中，分数是一个重要的知识点。
通过分数的学习，学生们可以更好地理解数学中的比较大小、加减运算等概念。
在数学书的第42 页，我们详细地记录了关于分数的定义、性质、运算以及实际应用等方面的内容。
接下来，我们将对这些内容进行梳理和总结。
【六年级上册数学书笔记42 页的具体内容】1.分数的定义分数是表示一个整体被分成若干相等部分的一种数，它的基本形式为“分子/分母”，分子表示所选取的部分数量，分母表示整体被分成的相等部分的数量。
例如，一个蛋糕分成了4 份，其中有2 份被取走，这种情况可以用分数2/4 来表示。
2.分数的性质分数具有以下几个基本性质：（1）分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0 除外），分数的值不变。
（2）分数的分子和分母同时加上或减去一个相同的数，分数的值不变。
（3）一个分数的分子与分母交换位置，得到一个新的分数，新分数的值与原分数相等。
3.分数的运算分数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算需要遵循以下规律：（1）同分母分数相加减，分子相加减，分母保持不变。
（2）异分母分数相加减，需要先通分，然后分子相加减，分母保持不变。
（3）分数乘法，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
（4）分数除法，可以转化为分数乘法，即将除数倒数后与被除数相乘。
4.实际应用分数在实际生活中有广泛的应用，如测量长度、计算面积、分配物品等。
通过学习分数的概念和运算方法，我们可以更好地解决这些问题。
【总结与反思】通过数学书第42 页的笔记，我们可以了解到分数的定义、性质、运算及实际应用等方面的内容。
在学习过程中，我们需要不断巩固这些知识点，熟练掌握分数的运算方法，并在实际问题中灵活运用。