周期信号的频谱分析——傅里叶级数
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
周期信号的傅里叶级数分析
第9章周期信号的傅里叶级数分析9.1已知周期半波余弦信号和周期全波余弦信号的波形分别如图所示，用MATLAB编程求出它们的傅里叶系数，绘出其直流，一次，二次，三次，四次及五次谐波叠加后的波形图，并将其与原周期信号的时域波形进行比较，观察周期信号的分解与合成过程。
实验代码如下：% 观察周期余弦半波信号的分解和合成% m:傅立叶级数展开的项数display('Please input the value of m (傅立叶级数展开的项数)');m=input('m = ');t=-2.5*pi:0.01:2.5*pi;t1=-0.5*pi:0.01:0.5*pi;n=round(length(t)/5);f=[cos(t1)';zeros(n-1,1);cos(t1)';eros(n-1,1);cos(t1)'];y=zeros(m+1,max(size(t)));y(m+1,:)=f';subplot((m+2),1,1)plot(t/pi,y(m+1,:));grid;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title('期半波余弦信号'); xlabel('t/pi','Fontsize', 8);x=zeros(size(t)); kk='1';%计算系数syms tx nT=2*pi;fx=sym('cos(tx)');Nn=30;an=zeros(m+1,1);bn=zeros(m+1,1);A0=2*int(fx,tx,-T/4,T/4)/T;An=2*int(fx*cos(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/4,T/4)/T;Bn=2*int(fx*sin(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/4,T/4)/T;an(1)=double(vpa(A0,Nn)); an(2)=0.5;for k=2:man(k+1)=double(vpa(subs(An,n,k),Nn));bn(k+1)=double(vpa(subs(Bn,n,k),Nn));end%计算直流分量pause;x=an(1)*cos(0*t)/2;plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,x);grid;hold off;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title('直流分量');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);%各次谐波叠加for k=1:mpause;x=x+an(k+1).*cos(k*t);y(k,:)=x;subplot((m+2),1,k+1);plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,y(k,:));hold off;grid;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title(strcat('第',kk,'次谐波叠加'));xlabel('t/pi','Fontsize', 8);kk=strcat(kk,'、',num2str(k+1));end pause;subplot((m+2),1,m+2)plot(t/pi,y(1:m+1,:));grid;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title('各次谐波叠加波形');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);% End% 观察周期余弦全波信号的分解和合成% m:傅立叶级数展开的项数display('Please input the value of m (傅立叶级数展开的项数);t = -2.5*pi:0.01:2.5*pi;t1=-0.5*pi:0.01:0.5*pi-0.01;n = round(length(t)/5);f = [cos(t1)';cos(t1)';cos(t1)';cos(t1)';cos(t1)';0];y = zeros(m+1,max(size(t)));y(m+1,:)=f';subplot(m+2,1,1)plot(t/pi,y(m+1,:));grid on;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title('周期全波余弦信号');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);x=zeros(size(t));kk = '1';%计算系数syms tx nT=pi;fx=sym('cos(tx)');Nn=32;an=zeros(m+1,1);bn=zeros(m+1,1);A0=2*int(fx,tx,-T/2,T/2)/T;An=2*int(fx*cos(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/2,T/2)/T;Bn=2*int(fx*sin(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/2,T/2)/T;an(1) = double(vpa(A0,Nn));for k=1:man(k+1)=double(vpa(subs(An,n,k),Nn));bn(k+1)=double(vpa(subs(Bn,n,k),Nn));End%求直流信号pause;x=an(1)*cos(0*t)/2;subplot(m+2,1,1)plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,x);grid on;hold off;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title('周期全波余弦信号');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);%各次谐波叠加for k=1:mpause;x=x+an(k+1).*cos(2*k*t);y(k,:) = x;subplot(m+2,1,k+1) plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,y(k,:));hold off;grid on;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title(strcat('第',kk,'次谐波叠加')); xlabel('t/pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'、',num2str(k+1)); end pause;subplot(m+2,1,m+2)plot(t/pi,y(1:m+1,:));grid on;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title('各次次谐波叠加波形'); xlabel('t/pi','Fontsize', 8);% End实验截图如下：9.2试用MATLAB编程出题9.1中所示周期信号的幅度频谱，要求交互输入信号周期观察分析周期信号与频谱的关系。
傅里叶级数及频谱
三角形式的傅里叶级数 周期信号可表示为
x(t ) = x(t + mT )(m = 0,±1,±2,L)
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下， 数线性组合的无穷级数。 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数” 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
∫
T0 2 T − 0 2
x (t )d t
2 an = T0
bn 2 = T0
∫
∫
T0 2 T − 0 2
x ( t ) c o s n ω 0 td t
x (t ) s in nω 0td t
T0 2 T − 0 2
T0 T0 ~ 以上各式中的积分限一般取： 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T0 或 − 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成： 三角形式的傅里叶级数也可表示成：
( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
（4）偶谐函数 ）
T1 f (t ± ) = f (t ) 2 f (t )
L
T1 T1 − − 2 4 T1 4 T1 2
L
0t
这就是傅立叶级数的指数形式
0
1 ∞ x (t ) = ∑ An e jϕ n e jn ω 0 t = 2 n = −∞
n = −∞
∑ X (nω
∞
)e
jn ω 0 t
1 X (nω 0 ) = An e jϕn 2
2 an = T0 ∫ 可求得如下
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
第三章周期信号的傅里叶级数表
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 的est形式，但却是
P179作业：9月13日
56
§3.5连续时间傅里叶级数的性质
Properties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号 的展开.
10
② x2 t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x2 t
cos4t
3
cos7t
3
1 2
e
j 4t
1 2
e
j 4t
1 2
e
j7t
1 2
e
j7t
以上4个特征函数的输出用① 步的方法求出，分别为：
1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e e j12 j4t , 1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e j12e j4t
ak
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
1 8
Sa k
8
k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 Tak
1 4
Sa k
4
ak
1 8
Sa k
8
3）谱线随参数变化的结论：
ak
2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的1）学会利用MATLAB 分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB 分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析2.1 周期信号的傅里叶级数（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
f(t)t(sec)图1 周期方波信号)(t f 的波形图解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)(00000 +++++=t t t t t t f ωωωωωπ其中，ππω220==T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clct = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:Nfk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);fk = fk + bn * sin(n * omega * t); endfigure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 endt(sec)部分和的波形最大谐波数=1t(sec)部分和的波形最大谐波数=3t(sec)部分和的波形最大谐波数=5t(sec)部分和的波形最大谐波数=9t(sec)部分和的波形最大谐波数=19t(sec)部分和的波形最大谐波数=39t(sec)部分和的波形最大谐波数=79t(sec)部分和的波形最大谐波数=159图2 例1程序产生的图形程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.94642.2周期信号的频谱分析（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
信号分析3.01 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
时域信号分解 频域信号分解
X
三角傅立叶级数 指数傅立叶级数
频域分析概念
第 第 8 8 页 页
提出以正弦信号或虚指数函数为基本信号进行信号 分解,从而引出信号的频域分析. 其思想:任意复杂的激励信号可分解为一系列不同幅 值、不同频率的正弦信号或虚指数信号的线性组合. 引出傅立叶变换概念 对周期信号
三维空间矢量 类 比
正交矢量集
C
2
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
分解 正交函数集
A3
A2
A
C C
3 1
A1
2.信号空间
f (t )
c
j 1 j
j
(t )
n维空间
X
3.正交函数集
n个函数i(t) （i=1，…，n），若在区间( t1，t2)上满足:
1 t 0 T 积分限为-T/2 直流分量 a0 f (t ) d t 到T/2行吗? t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
bn An sin n
bn n arctan a n
f (t ) a0 [ An cos n cos( n1t ) An sin n sin( n1t )]
余弦形式
, bn , An , n随变量nw1变化，是nw1n的函数 信号的频域分析 n an
f (t )
画波形
A
O
T t
A
f (t ) A(sin t 1 sin 3t 1 sin 5t ) 3 5
周期信号傅里叶级数
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
第七-2章周期信号的傅里叶级数
由积分可知
T
2 T
cos
n1t
sin
m1t
dt
0
2
T 2 T 2
cos
n1t
cos
m1t
dt
T , 2 0,
mn mn
T 2 T 2
sin
n1t
sin
m1t
dt
T , 2 0,
mn mn
14
7-2-2 三角形傅立叶级数
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
j sin n1t]dt
1
1
2 an j 2 bn
17
7-2-2三角形傅立叶级数
通过比较可以得到指数形式的傅里叶系数与三角形式 的傅里叶系数有以下关系：
Fn
1 2
an
j
1 2
bn
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
Cn
n
arctan
bn an
Fn Fn
18
【例题7-1】求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式
29
7-3-2周期信号的频谱特性
（3）频谱函数 Fn 的幅度具有收敛性，随着频率增加， Fn 逐渐减小； （4）指数形式的频谱图是双边谱，幅度谱 Fn 是偶函数， 相位谱 n 是奇函数。 （5） Fn 与 f (t) 具有唯一对应性， Fn 包含了信号 f (t) 的 全部信息。
30
➢ 下面求三角形式的傅立叶级数与频谱 根据三角形式傅立叶级数展开形式
2
傅里叶级数的由来
• 对周期信号的研究，最早来自于1748年欧拉 对振动弦的工作。
• 欧拉发现，所有的振荡模式都是x的正弦函数，并 形成谐波关系。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
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1 2
an
jbn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) c o s n 1 td t jT 1 0 T f( t) s in n 1 td t
1 2
an
jbn
F(n1)F , (n1)是复 数 F n1F (n1)ejn
X
17
第
幅频特性和相频特性 页
幅频特性
F(n1)1 2
c0 1
0 0
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
0 1 2 1
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
c1 52.236 1 0.15
c2 1
2 0.25
X
20
化为指数形式
第
页
f(t)1 1 ej1t ej1t 2j
2ej1t ej1t 1e2j1t4 e2jn1t4
0.15
2 1 1 0
0.25
1 2 1
0.25
0.15
X
22
三角形式与指数形式的频谱图对比
第
页
三角函数形式的频谱图
c n c 指数形式的频谱图
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
cn ~ n ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
14
第
二．指数函数形式的傅里叶级数 页
1．复指数正交函数集 ejn 1 t n0, 1 , 2
2．级数形式 f(t) F(n1)ejn1t
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
1
0
f
t dt
1
X
9
例3
第 页
周期信号 f t1,0，周t 期1为1，不满足此条件。
t
f t
1
2 1
0
1
2t
X
10
说明
第
页
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)
t0T1 f (t) dt t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
F nT 1Tftejn 1 tdtT 1Tftdt
nA (1)n1
2 T1
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0 Asin1t2 A sin21t
直流
基波
谐波
X
12
第
其他形式 页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
an cncosn
cn an2 bn2
bn cnsinn
n
tg 1
bn an
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
F21
1ej 2
4
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej4 2
X
21
第
谱线 页
F0 F(0) 1
F1F(1) 1.12 F1F(1)1.12 F2 F(21) 0.5 F2F(21)0.5 指数形式的频谱图
0 0
1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25
Fn1
n
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 0 1 21
an 2bn2
1 2cn
相频特性
n
tg 1
bn an
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实 取际 正值） 关于 的奇函数（n实 取际 正值） 关于 的偶函数 关于 的奇函数
X
频谱图（单边谱）
幅度频谱
cn ~
cn c1
c0
c3
相位频谱
n ~曲线
O 1 3 1
n
O 1 3 1
第 页
整理 2
2
f( t) 1 1 2 1 j e j 1 t 1 2 1 j e j 1 t 1 2 e j 4 e j2 1 t 1 2 e j 4 e j2 1 t 2 F(n1) ejn1t
n2
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1
F1121j1.12ej0.15
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
2
第 页
X
3
第 页
X
4
第 页
X
5
第 页
X
6
狄利克雷（Dirichlet）条件
第
页
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
T | f (t)| dt
离散谱，谱线
X
18
例5
已 知 f(t) 1 sin1 t 2 c o s1 t c o s 21 t 4 ， 第页
请画出其幅度谱和相位谱。
19
化为余弦形式
f(t) 1 5 c o s( 1 t 0 .1 5 ) c o s 2 1 t 4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
X
7
例1
第
页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2， 它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯 的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t)
2
0
2
X
8
例2
第
页
不满足条件2的一个函数是
ftsin2t,0t1
ft
1
1
0
1t
对此函数，其周期为1，有
T1 f (t) ejn1t dt
F(n1)
0
e e dt T1 jn1t jn1t
0
也可写为 Fn
1T1f(t)ejn1tdt
T0
5
X
15
第
说明 页
f(t) F(n1)ejn1t n
Fn1
1T 1f(t)e jn 1 td t T0
4 5
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
Fn
1 T
T
f t dt
X
11
第
例4 页
求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。
f(t)At T1
T1/2tT1/2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
At T1
dt
0
T1 2
f t
A
T1
2
t
an
2 T1
bn
2 T1
T2T 121TA1tcosn1tdt0
1
T1
2 T1
2
TA1 tsinn1tdt
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
tg 1
bn an
an dnsinn bn dncosn
X
13
第
幅度频率特性和相位频率特性 页
周 期 信 号 可 分 解 为 直 流 ， 基 波 （ ） 和 各 次 谐 波 1
（ n1:基 波 角 频 率 的 整 数 倍 ） 的 线 性 组 合 ．
的线性组合。
•如给 F (n 1出 )，ft则 唯一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。 傅立叶级数反变换————（4）
傅立叶级数正变换————（5）
X
16
三．两种系数之间的关系及频谱图 第 页
F(n1)T 1
T 0
f(t)ejn1t
dt
利用欧拉公式
T 10 Tf(t)c o sn1 td t jT 10 Tf(t)s in n1 td t