例题讲解：米勒问题之教学设计说明
72.最大张角：米勒问题
72．最大张角：米勒问题命题：设直线1L 、2L 相交于点O ，M 、N 是直线2L 上两个定点，点P 是直线1L 上的动点．当且仅当OM OP =2·ON 时，MPN ∠最大．证明 设过点M 、N 的圆C 与直线1L 切于点P ．对于直线1L 上的任意的一点Q ，总在圆C 外．由圆外角定理：MPN ∠MQN ∠≥．【数学史上100个著名的极值问题：米勒（Christian Roder 、德）定理．1431～？】 例1 （04、全国19、2011、武汉、四月15）在直角坐标系中，给定两点)41(，M 、)21(，-N ．在x 轴上求一点P ，使MPN ∠最大．解 MN 所在的直线方程：3+=x y ，与x 轴交于)03(，-C ．24||=CM ，22||=CN由米勒定理：||||2CM CP =·||CN ⇒4||=CP ⇒)01(，P ．因为||||2CM CP =·||CN ，所以过点M 、N 两点的圆与x 轴切于点)01(，P ．设点Q 是x 轴上任意一点，由圆外角定理：MPN ∠MQN ∠≥．所以所求的点为)01(，P ．例2（05、浙江）已知E 、F 是椭圆12422=+y x 的左右焦点，直线L 是椭圆的准线．点P ∈L ，设α＝EPF ∠，则α的最大值＝________________；解 22===c b a ，，222=c a ．由6||||||==FQ EQ PQ ，取)622(，P ， 再由夹角公式求得：α030=．例3 足球场宽为80m，球门宽4m．运动员带球沿边线推进．应在距离底线多少米时，能使射门角度最大？例4 炬形黑板高为a米，下底边沿距离地面b米．设眼睛距离地面c米．当对黑板的视角最大时，应坐在距离黑板正对面__________________米．。
例题讲解：米勒问题之教学设计
《例题讲解：米勒问题》教学设计数学科学学院 118班蔡洁慧 008教师：老师延长线段AB到平面并交于点C，再连接CD，以点C为圆心，CD为半径作圆（几何画板演示）∠有没有变化大家想象一下，点D在圆上移动的时候，ADB学生1：老师，是没有变化的。
∠，在圆心不变的情教师：很好，也就是说，在这个圆上的点都不会影响可见角ADB∠的大小对不对况下，只有半径不同的其他圆才会影响ADB学生：对。
教师：也就是说，我们可以把这个空间的问题转化为平面问题。
（几何画板演示）∠达到最大呢那么是不是说，就一定会存在这个点D使得ADB学生1：应该是存在的教师：如果存在的话，应该在什么位置呢学生1：老师，肯定越近可见角越大学生2：不，我觉得是越远可见角越大教师：那好，有争议的话，我们再用几何画板演示一下ABD∠是如何变化的现在我让点D一直向中间移动，同学们要留意ADB（几何画板演示）∠是先变大，后来又慢慢变小学生：ADB∠最大，对不对教师：对了，也就是说，在这条直线上，总会存在一个点，使得ADB学生：对。
教师：那么我们要在这条直线上找到这个点呢学生：可以转化为求点D到交点C的距离。
教师：对了，要求CD的长度，那么我们设CD的长度为x，问题就转化为∠最大当x为多少时，ADB为了解决这个问题，我们把AC、BC的长度当成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角∠标一下，α、β、θ，这里的θ也就是ADB（打开PPT）已知AC=m,BC=n,CD=x ，（x>0），求当x 为多少时，θ最大（黑板板书）教师：那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了。
大家先看一下ACD ,刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的，所以ACD 是一个什么三角形学生：直角三角形教师：那么AC 、CD 与α之间有什么关系学生2：tan m xα=（教师板书出来） 教师：很好，那么我们再看BCD 呢 学生1：同样是一个直角三角形教师：所以也可以同样得到怎样的关系式学生1：tan n xβ=（教师板书出来） 教师：那再看看α、β、θ之间有什么关系学生2：αβθ=+教师：也就是θαβ=-（板书出来）我们在上面已经求出了α、β的正切值了，那么可以求出θ的正切值吗要怎样求学生1： （教师板书出来） 教师：请继续。
高一数学米勒定理教案设计
高一数学米勒定理教案设计教案标题：高一数学米勒定理教案设计教学目标：1. 理解米勒定理的概念和原理。
2. 掌握使用米勒定理解决数论问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和证明能力。
教学重点：1. 理解米勒定理的原理和应用。
2. 掌握使用米勒定理解决数论问题的方法。
教学难点：1. 运用米勒定理解决复杂的数论问题。
2. 进一步培养学生的逻辑思维和证明能力。
教学准备：1. 教师准备米勒定理的相关教学资料和案例题。
2. 学生准备纸和笔，以及计算器（如有需要）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入米勒定理的背景和应用领域，激发学生的学习兴趣。
2. 复习一元二次方程和模运算的相关知识，为后续的米勒定理概念打下基础。
二、概念讲解（15分钟）1. 讲解米勒定理的定义和原理，强调其与费马小定理的关系。
2. 通过具体的例子，让学生理解米勒定理的应用方法和意义。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给学生提供一些简单的米勒定理的应用题目，引导他们运用所学知识解决问题。
2. 鼓励学生在小组内互相讨论，分享解题思路和方法。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些较为复杂的数论问题，要求学生运用米勒定理解决。
2. 引导学生思考如何将米勒定理与其他数论知识相结合，提高解决问题的能力。
五、归纳总结（10分钟）1. 学生归纳总结米勒定理的要点和应用方法。
2. 教师进行总结和概括，强调米勒定理的意义和作用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些相关的练习题，巩固学生对米勒定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多的数论问题并尝试解决。
教学反思：本节课通过引入米勒定理的背景和应用领域，激发了学生的学习兴趣。
通过概念讲解和例题演示，学生对米勒定理的概念和原理有了初步的理解。
在练习与讨论环节，学生通过小组合作，积极思考和交流，提高了解决问题的能力。
在拓展应用环节，学生面对较为复杂的数论问题，需要将米勒定理与其他知识相结合，这对他们的综合素养提出了更高的要求。
小学数学研究性学习策略之“问题解决法”——以“数的组成：米勒的敲环问题”为例
下 ２环 ， 就能每天付你 １ 环。” 同学们纷纷议论开了， 说米勒
能做 到 吗 ？
同样是关于数的组成的内容 ，但一则富有挑战性的数学
小故 事 ，极 大地 激 发学 生的探 究 必趣 ，同时也 让 学生达 成共 识 ，探 究应 用数 的组 成解 决米 勒 的敲 环 问题作 为研 究性 学 习
从学 生提 出 的问题 来看 ，其 中第 ５ 和第 ７ 学 生提 出 个 个
境引出， 也可以让学生根据生活体验 、 学习的方 向或学习兴趣
８ ８
２ １ 年 第 ３期 （ ０ １ 总第 ５ 期 ） １
■ 幽
教学探讨
的 问题无 关 本题 的研究 方 向 ，所 以教 师可 以引 导学 生财 问题 进行 修 改 。第 ６ 问题涉 及 到头尾 是否 连接 ，将 影 响本道 题 个 的思 路 ．教 师可 以对照 该故 事原 型 ，直 接告 诉学 生 ： 是 头 尾相 接 ，或是 根据 同学生 的学 习 基 帮助 衍 生提 出问题 ：
Ｈ ｌＸＡ Ｋ Ｕ Ａ Ｉ ＥＸ Ｅ
４ 解决 问题— — 得 出研究 结论
学生个体独立研究或按照小组 、同桌 、学习团队等分组 后 ，根据提出的子课题 ，按照制定的研究方案，采用适 当的
方 法 ，得 出结论 。
金链条头尾相接或小相接情况下 ，分别如何敲环。这样对学
生提 出 的千奇 百怪 的问 题就 可 以引 导他们 筛选 、 比较 、 理 ， 整 选 择 出最 接近 解决 问题 也最 有研 究价 值 的问 题作 为研究 子课
２ 提 出 问题— — 确 定研 究课 题
《 数学课程标准 》指出 ：数学课程应实现 同的人在数
米勒实验的过程和结论
米勒实验的过程和结论下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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地球上生命的起源-教学设计
1．物质中，在原始大气中没有的是（ ）
A 烷 B氨 C 氧气 D 水蒸气
2．根据美国学者米勒模拟实验获得的证据，可以推测（ ）
A 原始地球条件可以形成简单的有机物 B 氨基酸是组成蛋白质的基本单位
C 甲烷、氨、氢是原始大气的主要成分 D 原始大气中没有氧气
3．在生命起源的研究中，下列各阶段已经得到了科学实验证实的是（ ）
本节内容对生命起源的观点介绍较少，可以通过学生自己查找资料的方法，了解关于生命起源的不同观点，使学生体验到自我探究的乐趣，激发学生的学习兴趣，利用网络资源收集相关信息，提高学生收集和整理资料的能力。
学情分析
学生对地球上生命的起源比较感兴趣，而且通过课外阅读和电视、网络等媒体对地球上生物的起源有了初步的感知，这是学习本节的优势。然而，学生的推测和想象能力还不够，所以要充分利用教材中的“资源分析”，楷体字及技能训练，训练学生推测和想象能力，明确合理的推测在科学研究中的重要作用。
生：化学起源学说。米勒和其他学者的实验说明，原始地球上尽管不能形成生命，但能形成生物体的有机物，生命的起源是从无机物开始的这一说法就被证实了。在化学起源学说中提出了生命进化的大致过程是：
无机小分子 有机小分子 有机大分子 原始生命
（达成教学目标1、3）
巩固练习：（5’）
课后的技能训练：运用证据进行逻辑推测。
重、难点：
教学重点：生命起源的过程。
教学难点：尝试运用证据和逻辑作出推测。
教学目标
1．描述生命起源的过程。
2．关注生命起源的不同观点。
3．尝试运用证据和逻辑作出推测。
教具
流程
新课引入：（2 ’）
师：同学们，我们地质学研究表明，地球大约是在46亿年前形成的，那时候地面上火山喷发、熔岩横流；天空中电闪雷鸣，或赤日炎炎，与现在的环是怎样出现的呢？关于这些问题，自古以来就被人们广为关注，人们不断地去探索和追求，出现了各种各样的争论。随着科学技术的发展，人们对这个问题的认识也越来越深入。今天，我们就一起来关注这个热点——生命的起源。
米勒问题——精选推荐
⽶勒问题⽶勒(Johannes Miiller 1436-1476),德国数学家,对三⾓学做出了巨⼤贡献,是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家.⽶勒1533年发表的名著《三⾓全书》是使三⾓学在欧洲取得独⽴地位的第⼀部系统性著作.该书共分五册,前两册讲平⾯三⾓,后三册讲球⾯三⾓.此外,他还讨论到⼀个新颖的极值问题——张⾓最⼤问题。
⽶勒在1471年向诺德尔教授提出如下的问题：在地球表⾯的什么部位，⼀根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视⾓最⼤？最⼤视⾓问题是数学史上100个著名的极值问题中的第⼀个，特别引⼈注⽬，因为⽶勒曾提出这类问题，因此最⼤视⾓问题⼜称之为“⽶勒问题”，更⼀般的⽶勒问题如下：【⽂化背景】本题是从⽶勒定理改造⽽来。
也是求⾓的最⼤值。
⽣活背景“从⼭坡上观察电视塔”是⽣活中⾮常常见的问题，让学⽣感到熟悉亲切，能激发学⽣的数学应⽤意识。
【知识要素】与解析⼏何坐标思想结合起来，考察了直线⽅程、到⾓公式、均值不等式以及反三⾓知识；同时考查了利⽤函数求解最值的思想。
【解法探究】法⼀：在坐标系中，直线CD⽅程易于求出，这就给⽤⼀个变量表⽰点P提供了条件，那么直线AP，BP的斜率就可以表⽰出来，那么利⽤到⾓公式就可以⽤⼀个变量（P的横坐标）表⽰出tan∠APB,就可以把该⾓求出来。
法⼀是应⽤函数思想来解决最值问题。
法⼆：是利⽤⽶勒定理，⾸先判断出取得最值的最佳时机，然后利⽤平⾯⼏何知识分析完成。
两法⽐较⽽⾔，法⼆简洁明了，凸显了解法的简洁之美。
关于龙新数学本公众号是北京特级教师齐龙新的个⼈公众号，获得2016年北⼤数学⽂化节最红公众号评选全国第⼆名。
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例题讲解：米勒问题之教学设计
《例题讲解:米勒问题》教学设计数学科学学院118班蔡洁慧20110008008教师:大家瞧一下,我们把垂直悬杆简化成这个AB这段线段。
大家在初中得时候已经学习地理,知道地球就是一个球面,但就是为了研究问题得需要,我们就把地球表面瞧成就是一个平面,所以问题就转化为,在地球上面找到一个点D,使得人在这个位置时,悬杆呈现最长,也就就是可见角就是最大得。
教师:老师延长线段AB到平面并交于点C,再连接CD,以点C为圆心,CD为半径作圆(几何画板演示)大家想象一下,点D在圆上移动得时候,有没有变化？学生1:老师,就是没有变化得。
教师:很好,也就就是说,在这个圆上得点都不会影响可见角,在圆心不变得情况下,只有半径不同得其她圆才会影响得大小对不对？学生:对。
教师:也就就是说,我们可以把这个空间得问题转化为平面问题。
(几何画板演示)那么就是不就是说,就一定会存在这个点D使得达到最大呢？学生1:应该就是存在得教师:如果存在得话,应该在什么位置呢？学生1:老师,肯定越近可见角越大学生2:不,我觉得就是越远可见角越大教师:那好,有争议得话,我们再用几何画板演示一下ABD现在我让点D一直向中间移动,同学们要留意就是如何变化得？(几何画板演示)学生:就是先变大,后来又慢慢变小教师:对了,也就就是说,在这条直线上,总会存在一个点,使得最大,对不对？学生:对。
教师:那么我们要在这条直线上找到这个点呢？学生:可以转化为求点D到交点C得距离。
教师:对了,要求CD得长度,那么我们设CD得长度为x,问题就转化为当x为多少时,最大？为了解决这个问题,我们把AC、BC得长度当成就是已知得,AC=m,BC=n,把一些需要得角标一下,、、,这里得也就就是(打开)已知AC=m,BC=n,CD=x,(x>0),求当x为多少时,最大？(黑板板书)教师:那么我们就要用这些已知得条件来解决这个问题了。
大家先瞧一下,刚刚说了悬杆就是垂直于地球表面得,所以就是一个什么三角形？学生:直角三角形教师:那么AC、CD与之间有什么关系？学生2:(教师板书出来)教师:很好,那么我们再瞧呢？学生1:同样就是一个直角三角形教师:所以也可以同样得到怎样得关系式？学生1:(教师板书出来)教师:那再瞧瞧、、之间有什么关系？学生2:教师:也就就是(板书出来)我们在上面已经求出了、得正切值了,那么可以求出得正切值吗？要怎样求？学生1: (教师板书出来)教师:请继续。
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《例题讲解：米勒问题》教学设计数学科学学院 118班蔡洁慧
教师：老师延长线段AB到平面并交于点C，再连接CD，以点C为圆心，CD为半径作圆
（几何画板演示）
∠有没有变化？
大家想象一下，点D在圆上移动的时候，ADB
学生1：老师，是没有变化的。
∠，在圆心不变的情况下，教师：很好，也就是说，在这个圆上的点都不会影响可见角ADB
∠的大小对不对？
只有半径不同的其他圆才会影响ADB
学生：对。
教师：也就是说，我们可以把这个空间的问题转化为平面问题。
（几何画板演示）
∠达到最大呢？
那么是不是说，就一定会存在这个点D使得ADB
学生1：应该是存在的
教师：如果存在的话，应该在什么位置呢？
学生1：老师，肯定越近可见角越大
学生2：不，我觉得是越远可见角越大
教师：那好，有争议的话，我们再用几何画板演示一下
A
B
D
∠是如何变化的？
现在我让点D一直向中间移动，同学们要留意ADB
（几何画板演示）
∠是先变大，后来又慢慢变小
学生：ADB
∠最大，对不对？教师：对了，也就是说，在这条直线上，总会存在一个点，使得ADB
学生：对。
教师：那么我们要在这条直线上找到这个点呢？
学生：可以转化为求点D到交点C的距离。
教师：对了，要求CD的长度，那么我们设CD的长度为x，问题就转化为
∠最大？
当x为多少时，ADB
为了解决这个问题，我们把AC、BC的长度当成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角标一
∠
下，α、β、θ，这里的θ也就是ADB
（打开PPT）
已知AC=m,BC=n,CD=x ，（x>0），求当x 为多少时，θ最大？（黑板板书）
教师：那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了。
大家先看一下ACD ,刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的，所以ACD 是一个什么三角形？
学生：直角三角形
教师：那么AC 、CD 与α之间有什么关系？
学生2：tan m x
α=
（教师板书出来） 教师：很好，那么我们再看BCD 呢？ 学生1：同样是一个直角三角形
教师：所以也可以同样得到怎样的关系式？
学生1：tan n x
β=（教师板书出来） 教师：那再看看α、β、θ之间有什么关系？
学生2：αβθ=+
教师：也就是θαβ=-（板书出来）
我们在上面已经求出了α、β的正切值了，那么可以求出θ的正切值吗？要怎样求？
学生1： （教师板书出来） 教师：请继续。
学生1：把刚刚tan m x α=和tan n x
β=代入上式 教师：很好，那么大家动手把数据代入并进行化简。
那么有那位同学化简得到最终的结果？ tan tan tan tan()1tan tan αβθαβαβ
-=-=+⋅
学生2：tan m n m n x x
θ-=⋅+（教师板书出来） 教师：好的。
那么我们看看，我们要求θ的最大值，是不是就是求tan θ的最大值？ 学生：是的。
教师：看看上面式子，那些是已知的？
学生：m,n
教师：所以说，m-n 就是一个定值，那么要求tan θ的最大值，只需要求式子的分母的最小值，对不对？
学生：对。
教师：那好，我们就把分母分离出来，m n x x
⋅+
（板书出来） 现在要求的是m n x x ⋅+的最小值，也就是应该要m n x x ⋅+≥（板书出来） 同学们看出什么了吗？
学生：基本不等式
教师：那要怎样做下去呢？
学生1：2m n x m n x
⋅+≥⋅（教师板书出来） 教师：什么时候等号成立？ 学生1：当m n x x
⋅=时，算得x mn =（教师板书出来） 教师 ：也就是，2x mn =。
好，到这里已经把结果算出来了，同学们回答一下题目提出问
题的答案？
学生：当x mn =时，tan θ取得最大值，也就是θ取得最大值。
教师：同学们看一下，我们解决这个问题的时候，先把几何的问题转化为代数问题，再用代数的方法把问题解决了，但是如果每次都遇到这种问题，都要算这么多是不是很麻烦？我们在上面的计算过程，有没有得到什么启示？
学生1：当x mn =时，θ取得最大值。
教师：很好，这也算是一个结论，有没有一个关于几何方面的结论呢？
学生：（思考）
教师：刚刚所说的，CD x m n AB BC ==⋅=⋅，也就是2CD AC BC =⋅，那么根据这个式子有没有想到关于圆的一些性质？老师在这里提示一下，大家还记得切割线定理吗？（PPT 展示）
这里PA是圆O的切线，BC是圆O的一条割线，那么切割线定理是怎么描述的？
学生：
教师：这个等式跟上面所说的，2
CD AC BC
=⋅在形式上是不是有点相似啊？
学生：PA对应CD，PB、PC分别对应BC、AC，也就是CD、AB分别是某个圆的切线、割线。
教师：对了，表示出来就是这样子的图形（PPT展示）
所以我们有下面的结论：结论：当且仅当过ABD三点作外接圆且CD与该圆相切的时候，最大。
同学们可能在这个时候就要问，得出这个结论有什么用？老老实实用代数的方法去算不就行了吗？带着这个问题，下面我们再看一道题目
（PPT展示）
在已知直线l的同侧有P、Q两点，试在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的角，最大？
教师：那我们来看看这道题跟第一题有什么区别？
（几何画板演示）
我们连接PQ，再延长PQ到直线l交于点O，跟第一题画的图比较一下
（几何画板演示）
m
n
x
l D
C
O
A
B
M
P
Q
同学们看一下，PQ是不是相当于把悬杆AB倒置了一样，还有哪些是相对应的？
学生2：PO对应AC，PMQ
∠对应ABD
∠，
教师：既然有那么多相似的地方，大家尝试着解决。
学生（在草稿本上解决）
PC
PB
PA⨯
=
2
ADB
∠
PMQ
∠
.
WORD版本。