方程与不等式之分式方程知识点

【详解】
方程 有实数解，
∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，
解得a⩽2
∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2
方程
解得y= +2
∵y有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设原计划每天修建道路xm,则实际每天修建道路为(1+20%)xm，
由题意得, .
故选A.
14．若关于x的方程 =3的解为正数，则m的取值范围是（）
A．m＜ B．m＜ 且m≠
C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．
【详解】
解：设规定时间为 天，则慢马需要的时间为（ +1）天，快马的时间为（ -3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍
∴
故选A．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．
【详解】
解：设去年居民用水价格为 元/ ，
根据题意得： ，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．
4．下列说法中正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设 种月饼单价为 元，再分别表示出A种月饼和B种月饼的个数，根据“购进 、 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设 种月饼单价为 元，则B种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程 ，
故选C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数 改良后种植的亩数 亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
设原计划每亩平均产量 万千克，则改良后平均每亩产量为 万千克，
根据题意列方程为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
18．若整数 使得关于 的方程 的解为非负数，且使得关于 的不等式组 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数 的和为（）．
B、9的平方根是±3，该选项错误；
C、抛物线 的顶点坐标为(-1，3)，该选项错误；
D、由方程 去分母得： ，
∵关于 的分式方程的解为非负数，
∴ 且 ，
解得： 且 ，该选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．
2．关于x的方程 解为正数，则m的范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有 .
【详解】
方程两边同乘以 ，得
∴
解得 且
故选：B.
【点睛】
此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.
3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ，小丽家去年12月份的水费是 元，而今年5月的水费则是 元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多 ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为 元/ ，根据题意列方程，正确的是（）
【详解】
根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，
A．17B．18C．22D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【详解】
解： ，
不等式组整理得： ，
由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，
解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，
7．从 ， ， ，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数 使关于 的一元二次方程 有实数解．且关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的 的值的和是（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程 有实数解，确定a的取值范围，由分式方程 有整数解，确定a的值即可判断．
8．方程 的解是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x2+2x＝2x2﹣3x+1，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解，
故选B．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心，适当长为半径画弧，交 轴于点 ，交 轴于点 ，再分别一点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 .若点 的坐标为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 ，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a的数量关系．
2－ ，
去分母得：2（x－2）－3＝－a，
解得：x＝ ，
∵ ≥0，且 ≠2，
∴a≤7，且a≠3，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 天，则可列方程为（）
故选：A．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率．
11．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线小时，根据题意，得
17．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为 万千克，根据题意，列方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可．
【详解】
解：把x=4代入方程 ，得
，
解得a=10．
经检验，a=10是原方程的解
故选D．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
13．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）.
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x= ，
已知关于x的方程 =3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜ ，
当x=3时，x= =3，解得：m= ，
所以m的取值范围是：m＜ 且m≠ ．
故答案选B．
15．如果关于x的分式方程 有正整数解，且关于y的不等式组 无解，那么符合条件的所有整数a的和是（）
A．﹣16B．﹣15C．﹣6D．﹣4
故选A．
6．若关于 的分式方程 有增根，则 的值是（）
A． B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．
【详解】
去分母得：x-2=m，
∴x=2+m
∵分式方程 有增根，
∴x-3=0，
∴x= 3，
∴2+m=3，
所以m=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
12．关于 的分式方程 解为 ，则常数 的值为( )