高中数学必修212123空间几何体的直观图
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2021版高中数学人教A版必修2课件：1.2.3 空间几何体的直观图
-7-
1.2.3 空间几何体的直观图
目标导航
12
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2】 在空间几何体中,平行于z轴的线段AB=10 cm,则在
直观图中对应的线段A'B'= cm.
解析:由于平行于z轴的线段在直观图中保持原长度不变,则 A'B'=AB=10 cm.
答案:10
-8-
1.2.3 空间几何体的直观图
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பைடு நூலகம்
知识梳理
重难聚焦
典例透析
12
1.斜二测画法的作图技巧 剖析:(1)在已知图形中建立直角坐标系,理论上是在任何位置建 立直角坐标系都行,但在实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系, 尽量以原有直线为坐标轴,或以图形中互相垂直的直线为坐标轴, 或以图形的对称中心为坐标原点等. (2)原图中与x轴或y轴或z轴平行的线段在直观图中依然与x'轴或 y'轴或z'轴平行;原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的 端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线;原图中的曲线 段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后, 用平滑的曲线连接而成.
-13-
1.2.3 空间几何体的直观图
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 按图示的建系方法,画出水平放置的正五边形 ABCDE的直观图.
画法:(1)如图①,作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H. (2)如图②,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
-18-
1.2.3 空间几何体的直观图
人教A版必修二数学课件：1-2-3空间几何体的直观图30张PPT.ppt
[ 例 2] 用 斜 二 测 画 法 画 出 六 棱 锥 P － ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是 正六边形，点P在底面的投影是正六边形 的中心O(尺寸自定)．
[解析] 画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的 底面．
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线 为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴 相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、
45°或135° ， 它 们 确 定
的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x′轴 或 y′轴 的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观 图中保持原长度 不变 ，平行于y轴的线 段，长度为 原来的一．半
(4)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图．
[点评] 1°z′轴画法应使∠z′O′x′＝90°
2°在z轴上(或平行于z轴的直线上)的线段 在直观图中保持长度不变．
3°几何体中，位于底面(xOy平面)以外的 点，常常先向xOy平面投影，找出在xOy平 面上的对应点，再在直观图中画出．
②在图 2 中，以 O′为中点，在 x′轴上取 A′D′＝ AD，在 y′轴上取 M′N′＝12MN，以点 N′为中点画 B′C′平行于 x′轴，并且等于 BC；再以 M′为中点画 E′F′平行于 x′轴，并且等于 EF.
③连结 A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六 边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A′B′C′D′E′F′.
图(1)
图(2)
过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与 DC交于点C，则四边形ABCD即为A′B′C′D′ 的实际图形．
[例4] 利用下图所示的三视图，画出它的 直观图．
1.2.2空间几何体的直观图
顶点B’到x’轴的距离为( 2 )
2
练习6：如图ΔA/B/C/是水平放置的 ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边
及中线AD中，最长的线段是(AC)
练习7：右图是ΔABC利用斜二测画法 得到的水平放置的直观图ΔA’B’C’，其 中A’B’∥y’轴，B’C’∥x’轴，若ΔA’B’C’ 的面积是3，则ΔABC的面积是( 6 2)
【总一总★成竹在胸】
1. 平面图形的斜二测画法的关键 与步骤； 2. 简单几何体的斜二测画法； 3. 简单组合体的斜二测画法； 4. 注意的几点.
(3)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.
(×)
(4)等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰
三角形.
(×)
(5)水平放置的正三角形的直观图是一个底边长
不变，高为原三角形高的一半的三角形. (×)
练习2：如图，直观图所示的平面图形是(C )
A.任意三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
y
一、几何体的直观图:
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
画一个正方形的直观图。
思 考
怎样才能画好物体的直观图呢？
斜二测画法
y . . . . o.
.....
①在直角坐标 系中画出正四 棱柱的底面；
x
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中 仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向 长度减半
四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.
三、怎样画立体图形的直观图？ 例2:画棱长为2cm的正方体的直观图.
D/ A/
z/
B/
C/ y/
D/ A/
C/ B/
2
练习6：如图ΔA/B/C/是水平放置的 ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边
及中线AD中，最长的线段是(AC)
练习7：右图是ΔABC利用斜二测画法 得到的水平放置的直观图ΔA’B’C’，其 中A’B’∥y’轴，B’C’∥x’轴，若ΔA’B’C’ 的面积是3，则ΔABC的面积是( 6 2)
【总一总★成竹在胸】
1. 平面图形的斜二测画法的关键 与步骤； 2. 简单几何体的斜二测画法； 3. 简单组合体的斜二测画法； 4. 注意的几点.
(3)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.
(×)
(4)等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰
三角形.
(×)
(5)水平放置的正三角形的直观图是一个底边长
不变，高为原三角形高的一半的三角形. (×)
练习2：如图，直观图所示的平面图形是(C )
A.任意三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
y
一、几何体的直观图:
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
画一个正方形的直观图。
思 考
怎样才能画好物体的直观图呢？
斜二测画法
y . . . . o.
.....
①在直角坐标 系中画出正四 棱柱的底面；
x
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中 仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向 长度减半
四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.
三、怎样画立体图形的直观图？ 例2:画棱长为2cm的正方体的直观图.
D/ A/
z/
B/
C/ y/
D/ A/
C/ B/
高中数学必修2课件：1.2.3 空间几何体的直观图
y
F
ME
y'
A
O
D
x
O
x'
B NC
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
以(2点)以NO'为'为中中心心，，画在Bx'C' 上' 取x'A轴'D，' 并A等D 于，B在Cy，轴再上以取MM'为'N中' 心12，M画N E'F ' x' 轴，并等于EF
（1）建坐标系，定水平面；
（2）与坐标轴平行的线段保持平行；
（3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
知识探究（二):空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面，我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置？
y
M
F
E
A
O
D
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原 来的一半．
(3)连接 A'B',C'D', E'F ', F ' A', 并擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A'B'C'D'E'F'
y
F
ME
A
O
D
x
F
ME
y'
A
O
D
x
O
x'
B NC
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
以(2点)以NO'为'为中中心心，，画在Bx'C' 上' 取x'A轴'D，' 并A等D 于，B在Cy，轴再上以取MM'为'N中' 心12，M画N E'F ' x' 轴，并等于EF
（1）建坐标系，定水平面；
（2）与坐标轴平行的线段保持平行；
（3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
知识探究（二):空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面，我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置？
y
M
F
E
A
O
D
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原 来的一半．
(3)连接 A'B',C'D', E'F ', F ' A', 并擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A'B'C'D'E'F'
y
F
ME
A
O
D
x
人教版数学必修2 1.2.3空间几何体的直观图(共17张ppt)
作业：课本19页练习1-（1）（2）
三、平行投影与中心投影
观察图1.2-15，请同学们比较:在 平行投影下画空间图形与在中心投影 下画空间图形各有什么特点?
图1.2-15
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
• 2.三视图与直观图的联系.
课前准备
1.空间几何体的直观图通常是在平行投影 下画出 的空间图形。
2.对平面多边形我们常用 斜二测画法 画 它们的直观图
3.斜二测画法是 一种特殊的平行投影 画法
互动探究
自学例1
用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，
在练习本上画出直观图并找出斜二测画法的步骤和特点？
长度变为原来的一半
平面图形的直观图斜二测画法的步骤
三、平行投影与中心投影
观察图1.2-15，请同学们比较:在 平行投影下画空间图形与在中心投影 下画空间图形各有什么特点?
图1.2-15
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
• 2.三视图与直观图的联系.
课前准备
1.空间几何体的直观图通常是在平行投影 下画出 的空间图形。
2.对平面多边形我们常用 斜二测画法 画 它们的直观图
3.斜二测画法是 一种特殊的平行投影 画法
互动探究
自学例1
用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，
在练习本上画出直观图并找出斜二测画法的步骤和特点？
长度变为原来的一半
平面图形的直观图斜二测画法的步骤
人教数学必修二课件-123空间几何体的直观图
斜二测画法
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴 的线段；
斜二测画法
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴 的线段；
⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直 观图中保持原长度不变；平行于y轴的 线段，长度为原来的一半．
练习1 根据斜二测画法，画出水平放置 的正五边形的直观图.
练习1 根据斜二测画法，画出水平放置 的正五边形的直观图.
yA
B
E
x
GO
H
CF D
练习1 根据斜二测画法，画出水平放置 的正五边形的直观图.
yA
B
E
x
G
H
GO
H
CF D
例2 用斜二测画法画水平放置的圆的 直观图.
二、探求空间几何体的直观图的画法
例3 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm的 长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与 步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法；
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与 步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法； 3. 简单组合体的斜二测画法；
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与 步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法； 3. 简单组合体的斜二测画法； 4. 注意的几点.
思考: 请说出下列三视图表示的几何体， 并用斜二测画法画出它的直观图.
正
侧
视
视
图
图
俯 视 图
三、平行投影与中心投影
高一数学必修二课件1.2.3空间几何体的直观图
（1）错；（2）错； （3）错
2. 如图为水平放置的正方形ABCO，它在直 角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在 用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶 点B‘到x’轴的距离为（ 2 ）。
y
A B （2,2）
2
O
C
x
3. 已知一四边形ABCD的水平放置的直观 图是一个边长为2的正方形，请画出这个图 形的真实图形.
y
A
B
F M E
N
O
D
C
x
扩 展
画水平放置的圆的直观图。
y′
O′
x′
接下来学习空间几何体的直观图的画法。
例二 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方 体的直观图。
z
y
y
C1
D1
A1
3
M
D
Q
B1 C N B
x
A P
o
x
4
基本步骤：
（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使 ∠ xoy=45°，∠ xoz=90°。
课堂小结
空间几何体的直观图通常是在平行投影下 画的空间图形。 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法， 常用它来画几何体的直观图。
画平面几何体的基本步骤： 1. 画轴 确定平行线段 2. 画底面 确定线段长度 3. 成图
画空间几何体的基本步骤： 1. 画轴 确定平行线段
2. 画底面
3. 画侧棱 4. 成图
Z
y
O
x
（2）画底面。以O为中心，在x轴上取线段MN， 使MN=4cm;在y轴上取线段PQ，是PQ=2/3cm.分 别过M和N作y轴的平行线，过P河Q作x轴的平行 线，设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是长方形的地面ABCD。 Z
高中数学《空间几何体的直观图》课件
数学 ·必修2
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝2 cm，在 y′轴上 截取 O′A′＝12OA，连接 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图，如上图②所示．
16
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修2
探究 2 平面图形的直观图画法 例 1 画水平放置的正五边形的直观图．
解 (1)建立如图①所示的直角坐标系 xOy，再建立如图 ②所示的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
12
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学 ·必修2
(2)在图①中作 BG⊥x 轴于 G，EH⊥x 轴于 H，在坐标 系 x′O′y′中作 O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′ ＝12OA，O′F′＝12OF.过 F′作 C′D′∥x′轴且 C′D′ ＝CD，C′F′＝F′D′.
关系为：S直＝ S原
2 4.
6
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数学 ·必修2
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行， 所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角 大小不一定是其真实夹角大小．
7
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课后课时精练
数学 ·必修2
1．(教材改编，P19，T2)判一判(正确的打“√”，错误 的打“×”)
14
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数学 ·必修2
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图 1-2-23
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【解】 (1)画轴．如图①，画 x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝ 90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四 棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面 ABCD，在 z 轴上截取 OO′，使 OO′等于三视图中相应高度，过 O′作 Ox 的平行线 O′x′，Oy 的 平行线 O′y′，利用 O′x′与 O′y′画出上底面 A′B′C′D′.
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2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴：在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O，画直 观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′轴，两轴交于 O′，且使∠x′O′y′ ＝4455°°(或 135°)，它们确定的平面表示水水平平面面． (2)画线：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行 于 x′轴轴或 y′轴轴的线段． (3)取长度：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长长度度不不变变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．
阶
阶
段
段
一
三
1.2.3 空间几何体的直观图
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点) 3．强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错、易混 点)
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2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐 标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线 段．
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Hale Waihona Puke 下一页[再练一题] 1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图，如图
1-2-22 所示．
图 1-2-22
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【解】 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点， 建立直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 【精彩点拨】 画轴 → 画底面 → 画顶点 → 成图 【自主解答】 画法：(1)画轴：
(1)
(2)
画 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy＝45°(或 135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．
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(2)画底面： 以 O 为中心，在 xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图 ABCD. (3)画顶点：在 Oz 轴上截取 OP，使 OP 的长度是原四棱锥的高． (4)成图：顺次连接 PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改 为虚线，得四棱锥的直观图如图(2)．
(3)画正四棱锥顶点．在 Oz 上截取点 P，使 PO′等于三视图中相应的高度．
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[小组合作型] 画平面图形的直观图
按图 1-2-21 的建系方法，画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图．
图 1-2-21 【精彩点拨】 按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
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【自主解答】 画法： (1)在图(1)中作 AG⊥x 轴于 G，作 DH⊥x 轴于 H. (2)在图(2)中画相应的 x′轴与 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠x′O′y′ ＝45°. (3)在图(2)中的 x′轴上取 O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC， O′H′＝OH，y′轴上取 O′E′＝12OE，分别过 G′和 H′作 y′轴的平行线， 并在相应的平行线上取 G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.
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[基础·初探] 教材整理 斜二测画法 阅读教材 P16～P18 的内容，完成下列问题． 1．直观图的概念 (1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有 立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图． (2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行 投影下画出的空间 图形．
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3．立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′，且平行于 O′z′的线段长度 不变 ．其他同平面图形的画法．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．
()
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．
()
(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．
()
(4)斜二测坐标系取的角可能是 135°.( )
【解析】 平行于 y 轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由
斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
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1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形， 再画 z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行 关系不变．”
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[再练一题]
2．如图 1-2-23 是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直 观图．
(2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′＝AB，在 y′轴上取 O′E′＝12OE， 以 E′为中点画 C′D′∥x′轴，并使 C′D′＝CD.
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(3)连接 B′C′，D′A′，所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等 腰梯形 ABCD 的直观图．
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画空间几何体的直观图
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(4)连接 A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线 G′A′，H′D′， x′ 轴 与 y′ 轴 ， 便 得 到 水 平 放 置 的 正 五 边 形 ABCDE 的 直 观 图 A′B′C′D′E′(如图(3))．
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1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般 要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．