三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测4.4数系的扩充与复数的引入(含答案详析)
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮配套课时跟踪检测4 函数及其表示
课时跟踪检测(四) 函数及其表示第Ⅰ组：全员必做题1．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是________．(填写序号)①f ：x →y ＝18x ②f ：x →y ＝14x ③f ：x →y ＝12x ④f ：x →y ＝x2．(2014·南昌模拟测试)函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 3．(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，0≤x <5f (x －5)，x ≥5，那么f (2 013)＝________.4．(2014·连云港期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x ∉[0，1]，则使f [f (x )]＝2成立的实数x 的集合为________．5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．6．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12log 2x ，则f (2)＝________.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 8．有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)－1，(x <0)表示同一个函数． (2)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________. 10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.则f (x )＝________.第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．2．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则 (1)f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝________. (2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫14＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝________. 3．(2013·苏北四市一检)定义在R 上的函数f (x )满足f (m ＋n 2)＝f (m )＋2[f (n )]2，m ，n ∈R ，且f (1)≠0，则f (2 014)＝________.4．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )； (2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：按照对应关系f ：x →y ＝x ，对①中某些元素(如x ＝8)，②中不存在元素与之对应．答案：④2．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1. 答案：{x |x >－12且x ≠1}3．解析：根据题意，当x ≥5时，f (x )＝f (x －5)，∴f (2 013)＝f (3)，而当0≤x <5时，f (x )＝x 3，∴f (3)＝33＝27.答案：274．解析：当x ∈[0,1]时，f (f (x ))＝f (2)＝2成立；当x ∉[0,1]时，f (f (x ))＝f (x )＝x ，要使f (f (x ))＝2成立，只需x ＝2，综上所述，实数x 的集合为{x |0≤x ≤1或x ＝2}．答案：[0,1]∪{2}5．解析：因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以c A＝15， ① 所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30. ② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.答案：60,166．解析：由已知得f ⎝⎛⎭⎫12＝1－f ⎝⎛⎭⎫12·log 22，则f ⎝⎛⎭⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：327．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)8．解析：对于(1)，函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，－1(x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于(3)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)．答案：(2)9．解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，解得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，解得a ＝－1.故a ＝±1.答案：±110．解析：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x .∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.答案：x 2－x ＋1第Ⅱ组：重点选做题1．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③2．解析：(1)∵f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0，∴f (x )f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－1(x ≠±1)， ∴f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. (2)又f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝0，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝0，…f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0. 答案：(1)－1 (2)03．解析：令m ＝n ＝0，得f (0＋02)＝f (0)＋2[f (0)]2，所以f (0)＝0；令m ＝0，n ＝1， 得f (0＋12)＝f (0)＋2[f (1)]2，由于f (1)≠0，所以f (1)＝12；令m ＝x ，n ＝1，得f (x ＋12)＝f (x )＋2[f (1)]2， 所以f (x ＋1)＝f (x )＋2×⎝⎛⎭⎫122，即f (x ＋1)＝f (x )＋12， 这说明数列{f (x )}(x ∈Z )是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007.答案：1 0074．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫716，12.。
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮配套课时跟踪检测28 数系的扩充与复数的引入
课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入第Ⅰ组：全员必做题1．(2010·江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．2．(2014·盐城摸底)若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．3．(2013·苏北三市调研)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b ＝________.4．若实数a 满足2＋a i 1－i＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________. 5．(2013·南京、淮安二模)若复数z ＝1－m i 2＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值是________．6．(2014·常州质检)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，则z ·zz －z ＝________.7．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________. 9．(2013·南通二模)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为________．10．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i z(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．11．(2013·湖北黄冈中学)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝________.12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 3．(2014·陕西师大附中模拟)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，z ＝x ＋y i(i 为虚数单位)，则|z －1＋2i|的最小值是________．4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：法一：由z (2－3i)＝6＋4i 得z ＝6＋4i 2－3i ＝(6＋4i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝26i 13＝2i ，所以|z |＝2. 法二：由z (2－3i)＝6＋4i 得|z ||2－3i|＝|6＋4i|，所以|z |·13＝52，所以|z |＝2.答案：22．解析：由z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0， 所以m ＝1.答案：13．解析：由(3＋4i)(a ＋b i)＝10i 得3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝10i ，所以3a －4b ＝0.答案：04．解析：因为2＋a i 1－i＝2i ， 所以2＋a i ＝(1－i)·2i ＝2＋2i ，故a ＝2.答案：25．解析：z ＝1－m i 2＋i ＝(1－m i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－m －(1＋2m )i 5＝2－m 5－1＋2m 5i.又z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，1＋2m ≠0， 即m ＝2.答案：26．解析：因为z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2，z －z ＝－1＋i －(－1－i)＝2i ， 所以z ·z z －z ＝22i ＝1i＝－i. 答案－i7．解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ， 得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2， 解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：38．解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i. 答案：－2i9．解析：因为z 1z 2为实数，所以z 1z 2为实数，即(m ＋2i)(3＋4i)＝(3m －8)＋(4m ＋6)i 为实数，从而由4m ＋6＝0得m ＝－32. 答案：－32 10．解析：依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i 5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限． 答案：三11．解析：z 1z 2＝a 2－1＋2a i a 2＋1为纯虚数，则a ≠0，a 2－1＝0，a ＝±1. 答案：±112．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.答案：1＋2i 或－1－2i2．解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.答案： 33．解析：∵|z －1＋2i|＝(x －1)2＋(y ＋2)2，所以|z －1＋2i|的最小值即点(1，－2)到不等式组⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的距离的最小值，即为(1，－2)到x ＋y ＝0的距离，易得最小值为22. 答案：224．解析：由题意知(x －2)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以对应的圆心为(2,0)，半径为r ＝ 3.设k ＝y x ，则y ＝kx .当直线与圆相切时，圆心到直线y ＝kx 的距离为|2k |1＋k2＝3，解得k ＝±3，可知y x的最大值是 3. 答案： 3。
2019苏教版高考一轮优化探究理数练习：第十章 第二节 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
一、填空题1．已知集合A ＝{2,7，－4m ＋(m ＋2)i}(其中i 为虚数单位，m ∈R)，B ＝{8,3}，且A ∩B ≠∅，则m 的值为________．解析：由题设知－4m ＋(m ＋2)i ＝8或－4m ＋(m ＋2)i ＝3，所以m ＝－2.答案：－22．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴x 2－1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1.答案：－13．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝i(1＋2i)＝－2＋i ，∴复数z 在复平面内对应的点为Z (－2,1)，位于第二象限．答案：二4．复数(1－2i)2(i 是虚数单位)的共轭复数是________．解析：因为(1－2i)2＝－3－4i ，所以其共轭复数为－3＋4i.答案：－3＋4i5．i 是虚数单位，若＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是________．1＋7i2－i 解析：＝＝(－5＋15i)＝－1＋3i ，1＋7i2－i (1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )15又＝a ＋b i(a ，b ∈R)，1＋7i2－i ∴a ＝－1且b ＝3.故ab ＝－3.答案：－36．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－207．设t 是实数，且＋是实数，则t ＝________.t 1－3i 1－3i 2解析：由题可知，＋＝＋＝＋＋(t －)i 是实数，所t1－3i 1－3i 2t (1＋3i )(1－3i )(1＋3i )1－3i 2t 4123432以t －＝0，解得t ＝2.3432答案：28．若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：因为z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1.答案：－19．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则Error!消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．答案：四 一条射线二、解答题10．设复数z ＝，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．(1＋i )2＋3(1－i )2＋i解析：z ＝＝＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i 2i ＋3(1－i )2＋i 3－i2＋i＝＝＝1－i.(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )5－5i 5将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，∴Error!解得Error!11．设复数z 满足4z ＋2＝3＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R)，求z 的值和|z －ω|的取值范围．z 3解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则＝a －b i ，代入4z ＋2＝3＋i 中，得4(a ＋b i)＋2(a －b i)z z 3＝3＋i ，3即6a ＋2b i ＝3＋i ，3所以Error!即Error!所以z ＝＋i.3212|z －ω|＝|32＋12i －(sin θ－icos θ)|＝ (32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ ＝.2－3sin θ＋cos θ2－2sin (θ－π6)因为－1≤sin(θ－)≤1，所以0≤2－2sin(θ－)≤4，即0≤|z －ω|≤2.π6π612．设等比数列z 1，z 2，z 3，…，z n ，其中z 1＝1，z 2＝a ＋b i ，z 3＝b ＋a i(a ，b ∈R ，a >0)．(1)求a ，b 的值；(2)若等比数列的公比为q ，且复数μ满足(－1＋i)μ＝q ，求|μ|.3解析：(1)由等比数列得z ＝z 1·z 3，即(a ＋b i)2＝1·(b ＋a i)且2a >0，∴a 2－b 2＋2ab i ＝b ＋a i ，∴Error!.∵a >0，∴b ＝，代入a 2－b 2＝b 得12a 2＝b 2＋b ＝＋＝，∴a ＝.∴a ＝，b ＝.141234323212(2)q ＝＝＋i ，∵(－1＋i)μ＝q ，z 2z 132123∴μ＝＝＝－i ，32＋12i －1＋3i －12i (－1＋3i )－1＋3i 12∴|μ|＝.12。
【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清 热点命题悟通)第四章 平面向量、数系的扩充与复数
【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清热点命题悟通）第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入理苏教版第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R)，则x －y ＝________.解析：法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧ OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ，AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.答案：－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2.答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t)·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.解析：∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12. 答案：－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb与－(b －3a)共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb＝k[－(b －3a)]，所以⎩⎨⎧ λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝13，λ＝－13.答案：－13对应学生用书P60考点一向量的有关概念1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝CD是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.答案：②③.2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是________．解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案：3[备课札记][类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a|a|是与a同向的单位向量，－a|a|是与a反向的单位向量．考点二向量的线性运算[典例] (2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB ，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] 由题意DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋2 3(BA＋AC)＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.[答案] 1 2[备课札记]若条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有________个．解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB 成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD 成立．答案：2考点共线向量定理的应用三[典例] 设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B ，D三点共线．(2)试确定实数k ，使ka＋b和a＋kb共线．[解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a －3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.[备课札记][类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线．[针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t(a ＋b)，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋tb ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ，整理得(t －3＋3k)a ＝(2k －t)b.因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧ t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65. 故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上． 对应学生用书P61[课堂练通考点]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的有________个．解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．答案：32.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝________.解析：∵CB＝AB－AC＝a－b，又BD＝3DC，∴CD＝14CB＝14(a－b)，∴AD＝AC＋CD＝b＋14(a－b)＝14a＋34b.答案：14a＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P在△ABC 所在的平面内，若2PA＋3PB＋4PC＝3AB，则△PAB 与△PBC的面积的比值为________．解析：因为2PA＋3PB＋4PC＝3AB，所以2PA＋3PB＋4PC＝3PB－3PA，即5PA＋4PC＝0，所以△PAB与△PBC的面积的比为PA∶PC＝4∶5.答案：4 54.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ， 经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 35．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)． 解析：由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b)，AM ＝a ＋12b ， 所以MN ＝34(a ＋b)－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b. 答案：－14a ＋14b6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.答案：2[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．设a、b是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)①若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b②若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|③若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λa④若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：对于①，可得cos a，b＝－1，因此a⊥b不成立；对于②，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于③，可得cos a，b＝－1，因此成立，而④显然不一定成立．答案：③2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2.答案：1∶23．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．解析：如图，因为AN ＝12NC ， 所以AN ＝13AC ，AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN ，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13.答案：1 34．(2013·南通期中)设D，P为△ABC内的两点，且满足AD＝14(AB＋AC)，AP＝AD＋15BC，则S△APDS△ABC＝________.解析：设E为边BC的中点．由AD＝14(AB＋AC)可知，点D在△ABC的中线AE上，且AD＝12 AE，由AP＝AD＋15BC，得DP＝15BC，利用平面几何知识知S△APDS△ABC＝12×15＝110.答案：1 105．(2014·南通期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a BC＋4b CA＋5c AB＝0，则a∶b∶c＝________.解析：在△ABC中有BC＋CA＋AB＝0，又3a BC＋4b CA＋5c AB＝0，消去AB得(3a－5c) BC＋(4b－5c) CA＝0，从而3a－5c＝0,4b－5c＝0，故a∶b∶c＝20∶15∶12.答案：20∶15∶126．(2014·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m AM成立，则m＝________.解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM＝23AD，因为AD为中线，则AB＋AC＝2AD＝3AM，所以m＝3.答案：37．(2014·苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为π3，若向量p＝a|a|＋b|b|，则|p|＝________.解析：a|a|和b|b|分别表示与a，b同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p|＝1＋1＋2×1×1×co s π3＝ 3. 答案： 3 8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错； BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②错； CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b) ＝－12a ＋12b ，故③正确； ∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0. ∴正确命题为②③④.答案：39.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC的中点为N.(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN .设AM ＝λAN (λ∈R)，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )，所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )．因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n.(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m)AB ＋12(1－n) AC ， 又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m) AB ＋12m AC ， 所以|MN |2＝14(1－m)22AB ＋14m22AC ＋12(1－m)m·AB ·AC ＝14(1－m)2＋14m2＋14(1－m)m ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316， 故当m ＝12时，|MN |min ＝34. 10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b.(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ， 连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b)， AE ＝23AD ＝13(a ＋b)，AF ＝12AC ＝12b ，BE＝AE－AB＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF＝AF－AB＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝23BF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．第Ⅱ组：重点选做题1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示PR，则PR＝________.解析：PR＝OR－OP＝(OR＋OQ)－(OP＋OQ)＝2OB－2OA＝2(b－a)．答案：2(b－a)2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．解析：由OA＋OC＝OB＋OD得OA－OB＝OD－OC，∴BA＝CD.所以四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P611．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y1 2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a＝(2,3)，b ＝(x，－6)，且a∥b，则实数x＝________. 解析：由a∥b得2×(－6)＝3x，解得x＝－4. 答案：－42．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12. 答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用．[练一练]设e1、e2是平面内一组基向量，且a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma ＋nb.因为a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m －n)e1＋(2m ＋n)e2.由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧ m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13对应学生用书P61考点一 平面向量的坐标运算1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．解析：BC ＝AC －AB ＝(1,4)．答案：(1,4)2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4. 答案：43．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n.解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－1.[备课札记][类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用． 考点二 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b.[备课札记][类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k(AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC －AB ＝(1－k)AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311考点三平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以⎩⎨⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k ＝－1613. [备课札记] 在本例条件下，若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c|＝5，求d.解：设d ＝(x ，y)，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b＝(2,4)，由题意得⎩⎨⎧ 4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，①a ∥b ⇒a ＝λb(b≠0)；②a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a ，b)．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AB ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AB .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．对应学生用书P63[课堂练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝________.解析：设b＝(x，y)，则a＋b＝(2＋x，y－1)，由条件知2＋x＝0，|y－1|＝1，解得x＝－2，y ＝0或x＝－2，y＝2，故b＝(－2,0)或(－2,2)．答案：(－2,2)或(－2,0)2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则mn等于________．解析：由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n) a－2b＝(4，－1)，由于(ma＋nb)∥(a－2b)，可得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得mn＝－12.答案：－1 23．(2014·苏北四市质检)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，－4)，若a∥b，则tan 2θ＝________.解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－34，所以tan 2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 答案：－2474．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确结论的个数是________．解析：∵由题意得kOC ＝1－2＝－12，kBA ＝2－10－2＝－12， ∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确． 答案：35．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O 为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设OC＝－OA ＋λOB(λ∈R)，则λ的值为________．解析：由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝12 .答案：1 26．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM 中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为________．解析：∵M为边BC上任意一点，∴可设AM＝x AB＋y AC(x＋y＝1)．∵N为AM中点，∴AN＝12AM＝12x AB＋12y AC＝λAB＋μAC.∴λ＋μ＝12(x＋y)＝12.答案：1 2[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考改编)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．解析：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________． 解析：∵CD ＝2DB ，∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC )， ∴CD ＝23AB －23AC ， 又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0.答案：03．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为________．解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b)∥(2a ＋b)，显然2a ＋b≠0，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－2x ＝λ16＋x ，12x －2＝λx ＋1⇒x ＝4(x>0)． 答案：44.创新题若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)①AC ＝AB ＋AD②BD ＝AD －AB③AO ＝12AB ＋12AD ④AE ＝53AB ＋AD 解析：由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB ，排除②；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD ，排除①、③. 答案：④6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)． 答案：(－6,21)7．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m)， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n)．则⎩⎨⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n.得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，－238．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________． 解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠19．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为ka －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时ka －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(ka －b)， 即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反． 10．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA ＋t2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t1OA ＋t2AB ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t2<0，2t1＋4t2≠0，故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0. (2)证明：当t1＝1时， 由(1)知OM ＝(4t2,4t2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM＝OM －OA ＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB ，∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1.(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________． 解析：法一：分别延长DC ，AB 交于点G ，则 CG ∥AF ，且CG ＝AF ， 从而AC ＝AG ＋GC ＝2AB ＋AF ， 同理可得AE ＝AB ＋2AF ，AD＝2AB ＋2AF ，因为点P 在△CDE 内部(包括边界)，所以α＋β∈[3,4]．法二：建立如图所示的直角坐标系， 不妨设正六边形ABCDEF 的边长为2， 则点A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，D(2,23)，E(0,23)，F(－1，3)，从而点P 位于区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y≥6，3x ＋y≤43，y≤23，中．又AP ＝αAB ＋βAF ＝(2α－β，3β)， 代入可行域得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β≥3，α≤2，β≤2，于是α＋β∈[3,4]． 答案：[3,4]2.(2014·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋ μAP ，则λ＋μ的最小值为________． 解析：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f(α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f′(α)＝2＋2sin α－cos α2cos α＋sin α2.因为f′(α)＞0恒成立，故f(α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调增．所以当α＝0时，f(α)min＝f(0)＝12，所以(λ＋μ)min＝12.答案：12第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P631．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22 1．若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示一个与c 共线的向量，a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a·b)·c 与a·(b·c)不一定相等． [试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a ＝e1＋2e2，b ＝4e1，则a·b＝________.解析：a·b＝(e1＋2e2)·4e1＝4e21＋8e1·e2＝4＋8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.答案：02．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.解析：如图，依题意向量BC ，BA 所成角为2π3，|BC |＝|BA |＝23，AC ＝BC －BA ，EF―→＝13BC ＋BA ，EF ·AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13BC ＋BA ·(BC －BA )＝13|BC |2＋23BC ·BA －|BA |2＝－12.答案：－121．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：(a －2b)·a ＝|a|2－2a·b ＝0，(b －2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝ |a|2－2|a|2cos a ，b ＝0，可得cosa ，b＝12，又因为0≤a ，b≤π，所以a ，b＝π3. 答案：π32．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a ＋b)2的值为________．解析：(a ＋b)2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7 对应学生用书P64考点一平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a·b＝________.解析：法一：由a·⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝5，得a2－12a·b＝5，。
江苏新高考数学理科一轮创新设计总复习训练14.5数系的扩充与复数的引入
第5讲 数系的扩充与复数的引入基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·江西卷改编)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在第________象限．解析 z ＝－2i －i 2＝1－2i ，z 在复平面内对应点Z (1，－2)． 答案 四2．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)1＋2i (1－i )2＝________. 解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i. 答案 －1＋12i3．(2014·武汉模拟)设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为________． 解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2.答案 24．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝________. 解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(1－i )2＝|1－i|＝ 2. 答案 25．(2013·陕西卷改编)设z 是复数，则下列命题中是假命题的序号________． ①若z 2≥0，则z 是实数；②若z 2＜0，则z 是虚数③；若z 是虚数，则z 2≥0；④若z 是纯虚数，则z 2＜0.答案 ③6．(2013·重庆卷)已知复数z ＝1＋2i ，则|z |＝________.解析 |z |＝12＋22＝ 5.答案 57．(2014·盐城模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 18．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析 由题意知⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2. 答案 －2二、解答题9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.10．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎨⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2. (2)若z 为虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0， 解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎨⎧ m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎨⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·陕西师大附中模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－i )2(1＋i )(1－i ) 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝ (－i)2 104＝i 2 014＝i 4×503＋2＝－1.答案 －12．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是________．解析 法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i. 法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0， 解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i.答案 －3＋2i3．(2014·北京西城模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i，y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ，则y ＝________.解析 因为x ＝1－i 1＋i＝(1－i )22＝－i. 所以y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 10＝－2.答案 －2二、解答题4．如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；(2)对角线CA→所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．解 (1)AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC→＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.。
2018-2019学年高中新三维一轮复习理数江苏专版：课时
课时跟踪检测（四） 函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.答案：[－3,6)2．(2018·苏州高三期中调研)函数y ＝1x －的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －，解得x >1，且x ≠2，所以函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1,2)∪(2，＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________. 解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 答案：744．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋15．已知f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1. 答案：16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：f (2)＝12，则f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2. 答案：22.(2018·苏州期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________．解析：画出f (x )的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．(2018·南京名校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x＋1－x 2的定义域为________．解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．所以原函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]5．(2018·启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1， 所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 答案：149.(2018·无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝(x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义，需f (x )＞0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )＞0.答案：(2,8]10．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1，所以y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x11．(2018·南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x＋1)＋1－(ax2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)．12.如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，若当0≤x ≤2时，f (x )＝x (2－x )，则当－4≤x ≤－2时，f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x )，当－4≤x ≤－2时，0≤x ＋4≤2，所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2)，所以当－4≤x ≤－2时，f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2， 得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时．。
三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库4.4数系的扩充与复数的引入(含答案详析)
高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节 数系的扩充与复数的引入考点一 复数的概念1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B.－45C.4D.45解析：本题考查复数的概念、模的运算和复数的除法运算等知识，意在考查考生对复数的有关概念的理解与认识和运算能力．解题时，先根据复数模的运算求出等式右边的数值，再利用复数的除法运算法则进行化简计算，求出复数z ，确定其虚部．因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以已知等式为(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝5(3＋4i )25＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以复数z 的虚部为45，选择D.答案：D2．（2013广东，5分）若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4,2)解析：本题考查复数的除法运算及几何意义，考查考生对复数代数运算的简单了解．由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )·(－i )i·(－i )＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．答案：C3．（2013安徽，5分）设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数相等的概念，意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握．设出复数的代数形式，利用复数相等直接求解．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a－b i，又z·z i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.答案：A4．（2013福建，5分）已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识，意在考查考生对概念的理解与应用能力．∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．答案：D5．（2013湖南，5分）复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：小题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，属容易题．∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．答案：B6．（2013陕西，5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析：本题考查共轭复数、复数的模、复数的运算以及命题真假的判断，意在考查考生综合运用知识的能力和逻辑推理能力．依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋ 3 i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．答案：D7．（2013湖北，5分）在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：本题主要考查复数的基本运算和基本概念，意在考查考生的运算求解能力．z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限． 答案：D8．（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：本题考查共轭复数的概念，意在考查考生对数形结合的思维方法的运用．因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，故选B.答案：B9．（2012新课标全国，5分）下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2， p 2：z 2＝2i ， p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：C10．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 答案：A11．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B12．（2011山东，5分）复数z ＝2－i2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )5＝35－45i ，其对应的点在第四象限．答案：D13．（2012江苏，5分）设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )5＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：814．（2011江苏，5分）设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：z ＝－3＋2ii －1＝1＋3i ，所以z 的实部是1.答案：115．（2010北京，5分）在复平面内，复数2i1－i 对应的点的坐标为________．解析：2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，故其对应的点的坐标是(－1,1)．答案：(－1,1)考点二 复数的运算1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B.－1－i C.1＋iD.1－i解析：本题主要考查复数的基本运算，属于基本能力题．z ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，故选A.答案：A2．（2013山东，5分）复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：本题考查复数的概念、复数代数形式的运算等基础知识，考查运算求解能力．由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i.答案：D3．（2013浙江，5分）已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3iD ．－1＋i解析：本题主要考查复数的概念、复数的乘法运算法则，考查考生的运算能力．按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.答案：B4．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i (－1－i )(－1＋i )＝－12－12i ，所以|z |＝22. 答案：B5．（2013江西，5分）已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：本题考查集合的交集运算及复数的四则运算，意在考查考生的运算能力．由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4ii2＝－4i.答案：C6．（2013天津，5分）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：本题考查复数的运算以及复数相等的概念，意在考查考生的运算求解能力．因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i7．（2013重庆，5分）已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：本题考查复数代数形式的四则运算，意在考查考生的计算能力.5i 1＋2i＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋i ，所以|z |＝ 5.答案： 58．（2013江苏，5分）设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 解析：本题考查复数的运算，复数的模的运算，意在考查学生的运算能力． |z |＝|(2－i)2|＝|3－4i|＝5. 答案：59．(2012山东，5分)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i解析：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i.故选A.答案：A10．(2012福建，5分)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i解析：z ＝1－i i ＝(1－i )ii·i ＝－1－i.答案：A11．(2012浙江，5分)已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i解析：3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )2＝1＋2i.答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB.35i C ．－iD ．i 解析：2＋i1－2i ＝i (－2i ＋1)1－2i ＝i ，∴2＋i1－2i 的共轭复数为－i.答案：C13．（2011福建，5分）i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 解析：∵i 2＝－1，∴－1∈S . 答案：B14．（2011辽宁，5分）a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝( ) A ．2B. 3C. 2 D ．1解析：由已知|a ＋i i |＝2得|a ＋ii |＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.答案：B15．（2011北京，5分）复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i解析：因为i －21＋2i ＝(i －2)(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5i5＝i.答案：A16．（2011湖南，5分）若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.答案：D17．（2010广东，5分）若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i解析：z 1·z 2＝(1＋i)·(3－i)＝3－i ＋3i －i 2＝4＋2i. 答案：A18．（2010福建，5分）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b 2＝1c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：根据集合元素的唯一性，知b ＝－1，由c 2＝－1得，c ＝±i ， 因为对任意x ，y ∈S 必有xy ∈S ， 所以当c ＝i 时d ＝－i ；当c ＝－i 时，d ＝i ，所以b ＋c ＋d ＝－1. 答案：B19．（2010浙江，5分）对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y | 解析：|z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝(|x |＋|y |)2＝|x |＋|y |，D 正确，易知A 、B 、C 错误．答案：D20．（2010辽宁，5分）设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：等式的两边同乘以a ＋b i ，整理得1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴a ＝32，b ＝12.答案：A21．(2009·宁夏、海南，5分)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i. 答案：D22．(2009·安徽，5分)i 是虚数单位，若1＋7i 2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋14i －74＋1＝－1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－1×3＝－3. 答案：B23．（2012湖南，5分）已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 解析：因为z ＝(3＋i)2＝8＋6i ，所以|z |＝82＋62＝10.答案：1024．（2010江苏，5分）设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i， ∴|z |＝2|3＋2i||2－3i|＝2. 答案：225．(2009·福建，4分)若21－i＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 解析：∵21－i ＝a ＋b i ，∴2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a ＋b i ， 即1＋i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.答案：2。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第 3 章 数系的扩充与复数的引入第1课时 数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x 2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?解 引入虚数单位i ,规定:① i 2=-1;① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i 是-1的一个平方根.问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+b i (a ,b ∈R )的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解 ① 复数的定义:形如a+b i (a ,b ∈R )的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示.① 复数的代数形式:复数通常用字母z 表示,即z=a+b i (a ,b ∈R ),把复数表示成a+b i 的形式,叫做复数的代数形式.问题3 复数与实数有什么关系?解 对于复数a+b i (a ,b ∈R ),当且仅当b=0时,复数a+b i (a ,b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b ≠0时,z=b i 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z 就是实数0.(图1)学生分组活动活动1 复数集C 和实数集R 之间有什么关系? 活动2 如何对复数a+b i (a ,b ∈R )进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 问题4 a=0是z=a+b i 为纯虚数的充分条件吗? 解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么? 解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)[处理建议]让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.[规范板书]解4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,, ,6.4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.[题后反思]对于复数z=a+b i(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?[规范板书]解0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.【例2】(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[2][处理建议]先分析,注意字母的取值范围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.[规范板书]解(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[规范板书]解(1)由解得所以当m=5时,z是实数.(2)由得所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由得所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.【例3】(教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)[处理建议]要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.[规范板书]解根据两个复数相等的充要条件,可得解得[题后反思]复数问题实数化.变式已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∈P=P,求实数m的值.[规范板书]解因为M∈P=P,所以M∈P.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.[题后反思](1)复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.(2)根据复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+b i≠c+d i.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.*【例4】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4][处理建议]分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.[规范板书]解因为z<0,k∈R,所以所以k=2.[题后反思]只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.四、课堂练习1.设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是①.(填序号)①A∈B=C;①∈U A=B;①A∩∈U B=∈;①B∈∈U B=C.2.已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.3.已知复数z=m2(1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∈(-1,1)∈(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为0.提示z=(m2-m)+(m2-1)i.当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.4.若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是1.提示由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.五、课堂小结1.本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.2.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.第2课时复数的四则运算(1)教学过程一、问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+b i,z2=c+d i,则z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+b i)-(c+d i)=x+y i(x,y∈R),即复数x+y i为复数a+b i减去复数c+d i的差.由规定,得(x+y i)+(c+d i)=a+b i,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+b i,依据复数相等定义,得即故(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+b i,z2=c+d i,得z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.问题4初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc).因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数,当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+b i)(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)因为a,b,c,d∈R,所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1;(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+b i的共轭复数是什么?特别地,实数a的共轭复数是什么?解=a-b i;实数的共轭复数是它本身.三、数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)[处理建议]类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.[规范板书]解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.[题后反思]不要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).[规范板书]解法一原式=(1-2+3-4+...-2019+2019)+(-2+3-4+5+ (2019)2019)i=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.解法二因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2019-2019i)=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)[处理建议]3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.[规范板书]解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.[题后反思]也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+b i)(a-b i).[3](见学生用书P56)[处理建议]类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.[规范板书]解原式=a2-(b i)2=a2+b2.[题后反思]在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(1)x2+4;(2)x4-4.[规范板书]解(1)x2+4=(x+2i)(x-2i).(2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则=-3+i.[4][处理建议]先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.[规范板书]解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.[题后反思]认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.[5][处理建议]这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.[规范板书]解设z=a+b i(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-b i)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.[题后反思]待定系数法解复数方程.四、课堂练习1.计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=4+8i.提示(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2.复数z=i2(1+i)的虚部为-1.提示z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,所以虚部为-1.3.若复数z=-1+2i,则复数的虚部是-2.提示因为z=-1+2i,所以=-1-2i,所以虚部为-2.4.把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·=3-i.提示(1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.5.(教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:(1)z+i-3=3-i;(2)+(3-4i)=1;(3)(3-i)z=4+2i;(4)(-i)z=+i.解(1)z=6-2i.(2)=-2+4i,z=-2-4i.(3)z===1+i.(4)z===+i.五、课堂小结1.这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.2.基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由①得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∈U B),求复数z 在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∈U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∈U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∈U B)等价于z∈A 且z∈∈U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是①.(填序号)①3i>2i;①|2+3i|>|1-4i|;①|2-i|>2i4;①i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①①错误.又因为|2+3i|=== ,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故①错误.|2-i|=>2i4=2,故①正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。
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课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2010·江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．
2．(2014·盐城摸底)若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．
3．(2013·苏北三市调研)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b ＝________.
4．若实数a 满足2＋a i 1－i
＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________. 5．(2013·南京、淮安二模)若复数z ＝1－m i 2＋i
(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值是________．
6．(2014·常州质检)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，则z ·z
z －z
＝________. 7．若3＋b i 1－i
＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1
＝________. 9．(2013·南通二模)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2
为实数，则实数m 的值为________．
10．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i z
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．
11．(2013·湖北黄冈中学)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2
为纯虚数，则实数a ＝________.
12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
第Ⅱ组：重点选做题
1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．
2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________． 3．(2014·陕西师大附中模拟)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
z ＝x ＋y i(i 为虚数单位)，则|z －1＋2i|的最小值是________．
4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x
的最大值是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．解析：法一：由z (2－3i)＝6＋4i 得z ＝6＋4i 2－3i ＝(6＋4i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝26i 13
＝2i ，所以|z |＝2. 法二：由z (2－3i)＝6＋4i 得
|z ||2－3i|＝|6＋4i|，
所以|z |·13＝52，所以|z |＝2.
答案：2
2．解析：由z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－1＝0，m ＋1≠0， 所以m ＝1.
答案：1
3．解析：由(3＋4i)(a ＋b i)＝10i 得3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝10i ，所以3a －4b ＝0.
答案：0
4．解析：因为2＋a i 1－i
＝2i ， 所以2＋a i ＝(1－i)·2i ＝2＋2i ，
故a ＝2.
答案：2
5．解析：z ＝1－m i 2＋i ＝(1－m i )(2－i )(2＋i )(2－i )
＝2－m －(1＋2m )i 5＝2－m 5－1＋2m 5i. 又z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－m ＝0，1＋2m ≠0， 即m ＝2.
答案：2
6．解析：因为z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2，
z －z ＝－1＋i －(－1－i)＝2i ，
所以z ·z
z －z ＝22i ＝1i ＝－i. 答案－i
7．解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ， 得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2
， 解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.
答案：3
8．解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i
＝－2i. 答案：－2i
9．解析：因为z 1z 2
为实数，所以z 1z 2为实数，即(m ＋2i)(3＋4i)＝(3m －8)＋(4m ＋6)i 为实数，从而由4m ＋6＝0得m ＝－32
. 答案：－32
10．解析：依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )
＝－4－3i 5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45
，－35，位于第三象限． 答案：三
11．解析：z 1z 2＝a 2－1＋2a i a 2＋1
为纯虚数，则a ≠0，a 2－1＝0，a ＝±1. 答案：±1
12．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i. 由题意得x ＝4，
∴z ＝4－2i.
∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.
由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－2. 答案：1＋2i 或－1－2i
2．解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，
∴(x －2)2＋y 2＝3.
由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31
＝ 3. 答案： 3
3．解析：∵|z －1＋2i|＝(x －1)2＋(y ＋2)2，所以|z －1＋2i|的最小值即点(1，－2)到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
所表示的平面区域的距离的最小值，即为(1，－2)到x ＋y ＝0的距离，易得最小值为
22. 答案：22
4．解析：由题意知(x －2)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以对应的圆心为(2,0)，半
径为r ＝ 3.设k ＝y x ，则y ＝kx .当直线与圆相切时，圆心到直线y ＝kx 的距离为|2k |1＋k 2＝3，解得k ＝±3，可知y x
的最大值是 3. 答案： 3。