《高等数学1》课程综合复习资料
高等数学1课程综合练习题
《高等数学1》综合练习题习题一一、 填空题1..23151lim2=+--+→xx xx x 极限________________. 2. ()1,,10111cos1)(=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=x x x x x x f a在设 的值为则处连续a ,________________.3．().1,0._______________41lim20≠>=-→a a xa x x 4.()==x xxx f 的一个可去间断点πsin ln ____________________. ()的定义域是3arctan )(.52-=x x f ________________________.的定义域是则的定义域是设⎪⎭⎫⎝⎛+11],2,1[)(6x f x f ________________. 7．()f x x ()ln =-42 在区间_______________是连续的。
=+∞→xxx x x x lim.8极限___________________=--+→2223lim.932x x x 极限____________________.10()的定义域是3arccos-=x x f ___________________11.要使函数()f x x xx=+--11在x=0处连续，则须定义f(0)的值为______二．选择题 的为无穷小是时当A x f A x f x x x x =-→→)(lim )(,.10,)(充分但非必要条件A ,)(必要但非充分条件B ,)(充分必要条件C ():.,)(答也非必要条件既非充分条件D2. 极限.cos 22limxxx -→的结果是(A)1, (B)2 , (C)2, (D)极限不存在. 答: (） 3. 函数xx f -=11arctan)(当x →1时的极限值是 (A)π2(B)-π2(C)0, (D)不存在. 答:( )4.xx x x 11lim 20-++→等于（A ）1 （B ）21（C ）2 （D ）0 ():)(0,321.511的是则设x f x eex f xx =++=()();;跳跃间断点可去间断点B A ()()答振荡间断点无穷间断点;;D C()()上是在其定义域+∞∞-+=-,sin )(.6x e e x f x x;)()(周期函数有界函数B A ():.)(;)(答奇函数偶函数D C()得结果是极限x x x x -+∞→2lim.7(A) 0; (B) 1/2;(C) 无穷大， （D ）不存在。
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它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的，由于
[答]
.
，y=cosx在定义域内不单调，所以对于
2.初等函数
1.直线的倾角和斜率：
当
2.直线的斜截式方程： 3.两 直 线 的 平 行 与 垂 直 ： 己 知 两 条 直 线
时，函数
的左极限是 A，记作
或
所谓初等函数是指由基本初等函数经过有限次的四则
，只考虑
母 y换成 x得
（1）各组函数中，两个函数相等的是
3）对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相 结论：
应范围的公式中去求；
这就是
的反函数。
A.
4）分段函数的定义域是各段定义域的并集。
（1）直接函数
与它的反函数 y=
的
例 4.分段函数
图形，必定对称于直线 y=x（一般地，二者是不同的函
B.
数，其图形是不同的曲线）；
（2）
是微积分中常用的指数函数。 4.对数函数
例如，匀速直线运动路程公式 示速度）
（其中 v表 内自变量 x的不同值，函数不能用一个统一的公式表示， 是 一 个 函 数 ， 则 称 它 为 而是要用两个或两个以上的公式来表示。这类函数称为
的反函数，记为
自由落体运动
（其中 g为重力加速度）
“分段函数”。
3.了解函数
与其反函数
之间的关
系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
4.熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
5.掌握基本初等函数的性质及其图像。
6.了解初等函数的概念。
7.会建立简单实际问题的函数关系式。
（4）设
，则
例 5．函数的性质
它的定义域是
专升本《高等数学(一)》通关资料
高等数学（一）通关资料极限的四则运算法则如果 l im f (x) A , l im g (x ) B ,则 x x x x 0 01. l im f (x ) g (x ) l i m f (x ) l im g (x ) A B x x x x 0 x x 0 02. l im f (x ).g (x ) l im f (x ) l im g (x ) AB x x x x 0 x x 00 l im f (x ) f (x ) A x x 0 3.当 l im g (x) 0， l im g (x ) l im g (x ) B x x 0 x x 0 x x 0 l im c . f (x ) c . l im f (x ) x x x x0 0 nl im f (x ) l im f (x ) nx x x x0 0无穷小量和无穷大量定义及关系1.无穷小量概念：如果当自变量x x（或x）时，函数f（x）的极限值为零，则称在该变化过程中，f（x）为无穷小量，简称无穷小，记作l im f(x)（0或l i mf（x） 0）x x 0 x在微积分中，常用希腊字母，，来表示无穷小量.2.无穷大量概念如果当自变量x x（或x）时，函数f(x)的绝对值可以变得充分大（即无限得增大），则称在该变化过程中，f(x)为无穷大量.记作l i m f(x)x x 0两者关系：1在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，则为无穷小量f(x)1反之，如果f(x)为无穷小量，且f (x)0，则为无穷大量f(x)无穷小量性质及比较1.无穷小量的性质.（1）有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.（2）无穷小量与有界之量的积仍为无穷小量.2.无穷小量的比较.设和是同一过程中的无穷小量，即l im0，l im0（1）如果l im 0，则称是比高阶的无穷小量.（2）如果l im C0，则称是与同阶的无穷小量.（3）如果l im C1，则称是与等价无穷小量，记作等价于.（4）如果l im ,则称是比低阶的无穷小量.等价无穷小1.如果、、、都是同一变化过程中的无穷小量，1 2 1 2且 ~，~ 21 1 2则l im 1l im 122这个定理说明，两个无穷小量之比的极限，可以用与它们等价的无穷小量之比的极限来代替.以后我们可以用这个方法来求两个无穷小量之比的极限，此方法可叫做等价无穷小代替法。
高等数学A(1)复习资料精选全文
可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。
解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。
注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。
如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。
常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。
四川大学网络教育《高等数学(理)(1)》复习资料期末考试复习题及参考答案
之得
y
2xy 3 ey x2
.
1 etdt
11.求极限 lim x0
cos x
sin x2
.
解：由洛必达法则，
lim
x0
1 etdt
cos x
sin x2
sin xecos x lim
x0 2x
1 e. 2
12. 设 D 是 由 直 线 x y 1 与 x、y 轴 围 成 的 区 域 ， 求 二 重 积 分
解：特征方程为 r2 5r 6 0 ，解之得特征根为 r1 2，r2 3 . 故原方 程的通解为
y C1e2x +C2 e3x， 其中 C1，C2 为任意常数. 10.求由方程 e y x2 y 3x 0 所确定的隐函数 y y(x) 的导数. 解：
方程 e y x2 y 3x 0 两边同时对 x 求导得，e y y 2xy x2 y 3 0，解
(A) 2x y 1 0
(B) 2x y 1 0
(C) x 1 0
(D) y 1 0
9. 设区域 D 为 x2 y2 1在第一象限部分，则 xy2dxdy =( C )
D
(A)
d
1sin cos2 r2dr
0
0
(B)
d
1sin cos2 r3dr
0
0
(C)
x0
x
x0
1
14.由方程 xy2 e y 5 0 可确定 y 是 x 的隐函数，求 dy . dx
解：方程 xy2 e y 5 0 两边同时对 x 求导得，
y2 2xyy e y y 0
解之得，
y
e
y
y2 2xy
.
15.求微分方程 y 3 y 4 y 0 的通解.
《高等数学一》复习题及答案
《高等数学〔一〕》一、选择题1、极限lim(x x x )的结果是〔C 〕x2〔A 〕0〔B 〕〔C 〕31〔D 〕不存在22、方程x 3x 1 0在区间(0,1)内〔 B〕〔A 〕无实根〔B 〕有唯一实根〔C 〕有两个实根〔D 〕有三个实根3、f (x )是连续函数, 则f (x )dx 是f (x )的〔 C〕〔A 〕一个原函数；(B) 一个导函数；(C) 全体原函数；(D) 全体导函数；4、由曲线y sin x (0 x )和直线y 0所围的面积是〔C 〕〔A 〕1/2(B)1(C)2(D)5、微分方程y x 满足初始条件y |x 0 2的特解是( D)〔A 〕x〔B 〕3211 x 3〔C 〕x 32〔D 〕x 32336、以下变量中，是无穷小量的为〔A 〕(A)ln x (x 1)(B)ln 7、极限lim(x sin x 01x 2(x 0 )(C) cos x (x 0)(D) 2(x 2)xx 411sin x )的结果是〔 C〕x x〔A 〕0〔B 〕1〔C 〕 1〔D 〕不存在8、函数y e arctan x 在区间 1,1上〔A〕〔A 〕单调增加〔B 〕单调减小〔C 〕无最大值〔D 〕无最小值9、不定积分xxx21dx =〔 D〕22(A)arctan x C (B)ln(x 1) C (C)11arctan x C (D)ln(x 2 1) C 22x10、由曲线y e (0 x 1)和直线y 0所围的面积是〔A〕〔A 〕e 1(B)1(C) 2(D)e11、微分方程dyxy 的通解为〔B〕dx〔A 〕y Ce〔B 〕y Ce2x12x 2Cxx 〔C 〕y e〔D 〕y Ce2212、以下函数中哪一个是微分方程y 3x 0的解( D )〔A 〕yx 〔B 〕y x 〔C 〕y 3x 〔D 〕yx 13、函数y sin x cos x 1是〔C〕(A) 奇函数；(B) 偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)既是奇函数又是偶函数. 14、当x 0时，以下是无穷小量的是〔B 〕〔A 〕e x 12323(B)ln(x 1)(C) sin(x 1)(D)x 115、当x 时，以下函数中有极限的是〔A〕〔A 〕x 11cos x (B) (C)(D)arctan xx 21ex 316、方程x px 1 0(p 0)的实根个数是〔B 〕〔A 〕零个〔B 〕一个〔C 〕二个〔D 〕三个11 x 2) dx 〔B 〕11〔A 〕〔B 〕 C 〔C 〕arctan x〔D 〕arctan x c 221 x 1 x17、(18、定积分baf (x )dx 是〔C〕〔A 〕一个函数族〔B 〕f (x )的的一个原函数〔C 〕一个常数〔D 〕一个非负常数19、函数y ln x 〔A 〕奇函数x 2 1是〔A〕〔C 〕非奇非偶函数〔D 〕既是奇函数又是偶函数〔B 〕偶函数20、设函数f x 在区间 0,1 上连续，在开区间 0,1 内可导，且f x 0，则( B ) (A)f 0 0(B)f 1 f 0 (C)f 1 0(D)f 1 f 021、设曲线y21 ex2则以下选项成立的是〔C 〕，(A) 没有渐近线(B)仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(D) 仅有水平渐近线22、(cos x sin x )dx ( D )〔A 〕sin x cos x C〔B 〕sin x cos x C〔C 〕sin x cos x C〔D 〕sin x cos x Cn ( 1)n}的极限为〔A 〕23、数列{n〔A 〕1(B) 1(C) 0(D) 不存在24、以下命题中正确的选项是〔B 〕〔A 〕有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量〔B 〕有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量〔C 〕两无穷大量的和仍为无穷大量〔D 〕两无穷大量的差为零25、假设f (x ) g (x )，则以下式子肯定成立的有〔C 〕(A)f (x ) g (x )(B)df (x ) dg (x )(C)(df (x )) (dg (x ))(D)f (x )g (x ) 126、以下曲线有斜渐近线的是( C )(A)y x sin x (B)y x sin x(C)y x sin 二、填空题1、lim 2112(D)y x sinxx1 cos x 12x 0x22x2、假设f (x ) e3、 2，则f '(0) 211(x 3cos x 5x 1)dx 2t 4、e t dxe x C5、微分方程y y 0满足初始条件y |x 0 2的特解为y 2e xx 2 40 6、lim x 2x 3x 2 x 237、极限lim x 2x 2 448、设yx sin x 1,则f () 1 29、11(x cos x 1)dx 2 10、31 x 2dx3arctan x C2211、微分方程ydy xdx 的通解为y x C12、115x 4dx 2x sin 2x1x2213、lim x 14、设y cos x ，则dy2x sin x dx 15、设y x cos x 3,则f ( ) -1 16、不定积分e x de x12xe C 21 2xe C217、微分方程y e2x的通解为y x 18、微分方程ln y x 的通解是y e C19、lim (1 )＝e 3xx 2x620、设函数y x x ,则yx x (ln x 1)112n 21、lim (2 2 2)的值是n n 2n nx (x 1)(x 2)1 22、lim 3x 2x x 3223、设函数y x x ,则dyx x (ln x 1)dx2x 23x 124、lim x 0x 425、假设f (x ) e 2x14sin 6，则f '(0)226、a 2 a(1 sin 5x )dx2(a 为任意实数).xe x dx __________.27、设y ln(e 1)，则微分dy ______xe 1x 328、(cos x )d x22 1 x 22三、解答题1、〔此题总分值9分〕求函数y解：由题意可得，x 1 62 x 的定义域。
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大一高数复习资料【全】.docx高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★）U （a, 6 ）= {χ I X -a ￡ 6 }U （a, 6 ）= {χIO c∣x —a <δ}第二节数列的极限O数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列:X n证明Iim【证明示例】；- N语言1 ?由x n—a C g化简得n a g（g ）,N-II g ；2 .即对? O , T N = g ［「。
当n ?N 时，始终有不等式x n-a| <名成立，Iim :Xnf = aX ）：:第三节函数的极限O X > X O时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f X ,证明IimfX=A^?X O【证明示例】；-'I语言1 .由f （x ）—A ￡化简得OClX — X O lCg（名），- =g ；O无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设f X为有界函数，g X为无穷小，则Iim ll fXgX =O（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f X 为无穷大，则f-1X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且fXPo ,贝U f j X为无穷大【题型示例】计算：Iim f X g X （或x—:）X ,-x o1.∣f（x）≤M ?函数f（X ）在X = X。
的任一去心邻域U X0,:内是有界的；（f X ≤M ,?函数f X在x? D上有界；）2. Iim g X =0即函数g X是X r x0时的无穷小；J.X0 '（Iim g X =O即函数g X是x-? -■时的无穷小；）X—■3 .由定理可知Iim II fXgX =O（Iim f X g X =O）第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式P X、q X商式的极限运算p(x )= a0x m+a1x m^ +… + a m I q(X)= b0χn +b]X n^1+ … + b n2.即对NE >0 ,当Oc X-X O c6时,始终有不等式f (X ) — A <JE成立，Iim f (x )= AOx—?时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f X ,证明Iim f X；= Ax—^C 【证明示例】；- X语言1. 由f （x）—A < E化简得X A g（E ）,；2. 即对Pg >O , 2X=g2 ）,当x>X时，始终有不等式f（x）—Ac名成立，Iim f X =AX 1：:第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（★）函数f X无穷小U Iim f X = O『F 则有Iim止）=淳b on ：： mn = mn mIimX )X Of(Xo )g(χo)COg X O T-Z 0g X O i= 0,f X O = 0g X O ^ f X O ^ 0（特别地，当IimfX =-（不定型）时，通常分^X O g（x）0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值X )3X -9设:【求解示例】解：因为X r 3 ,从而可得x=3 ,所以原X -3 r x -3.. 1 1式=Iim 2Iim IimX 3x2-9 x 3X 3 X - 3 J3X 3其中X =3为函数f X二享3的可去间断点X -9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：Iim 些3=IimX_3X 3x -9L X 3χ2-9= lim — =1X 32x 6O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数f X是定义域上的连续函数，那4(x)]=f II^^(χ)'么，lim fX >Xo第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则(P53) (★★★)Sin X d 1X第一个重要极限: Iim^_0Sin X ■■■： X ：tanx /. Iimj0Sin X JI1XIim x- X-Q SinX （特别地,解:lir√2x+3V = lim(2x+1+2Ix 2x 1 x 2x 1X lIi2x-2x + 2 λ JlL厂/ 2 k2Π1D YIim H Iim H2x1—2x 1 2x r：h2一1 X M X H^(X+)J1? 22x 1辔？1L)2x 12x半Iim 11 ―2—2-0碑(2x+1丿Iim ∏=e2x1;2X 1丄e1=e.. 2= e2x?T第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（★★）U ~ Sin U ~ tan U ~ arcsin U ~ arctan U ~ In（1 U）1. U~ e -11 22. U ~1-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：limln 1 x2Xln1 xJ0X +3x【求解示例】解：因为X T 0,即xH0,所以原式=Iim ln(1+x厂xln(1+ x ) T χ2+3x(1+x) In(1+x) (1 + x 卜X x+1 1=Iim Iim IimX 0XX 3 x 0 XX 3 x 0 X 3 3第八节函数的连续性O函数连续的定义(★)IimfX= Iim f x = f X0X)XO- X=X ■O间断点的分类(P67) (★)"跳越间断点(不等)可去间断点(相等)IimXPIim1×-0 _______ .，1I sin X ] X X im o —Sin(x-x o) =I)X —X o= Iim —-X P Sin XIimX XO单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限:(一般地，Iim ll f X 9 = Iim f x 計'，其中Iim f X 0) 【题型示例】求值: X i mIST .!：【求解示例】第一类间断点（左右极限存在）』第二类间断点〔无穷间断点（极限为Q（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）'2x . Oe , Xv应该怎样选^ +x X 兰0择数a ,使得f X成为在R上的连续函数？【求解示例】f 0_=e20=e1=e.I . .f 0 =a 0 =af 0 =a【题型示例】设函数f（x）=」1 .2 .由连续函数定义Iim f X = Iim f x = f 0 = ex—?0- ^?0【题型示例】求 y = f X 在X= a 处的切线与法线方程（或：过y =f X 图像上点II a ） f a ］」处的切线与法线方程）【求解示例】1. ^fX , y f a2.切线方程：y-f a = f a X -a法线方程：y_f a —f ： X-a 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则O 函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1 .线性组合（定理一）：（〉U 二匸■ v ） = U ' ： V 特别地，当1时，有（u ±v ）? = u 士V2 .函数积的求导法则（定理二）：（UV ） ? =UV UV第三节反函数和复合函数的求导法则[1 X ' (1)1 X ', y J ∣[iT 1 xy n丄（-1）n ' （n -1）! ?（1 X ）Jl第五节隐函数及参数方程型函数的导数O 隐函数的求导（等式两边对 X 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y = X ? e y所给定的曲线 C :y = y X 在点1 - e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由y = X ? e y 两边对X 求导F即 y = X 、e y 化简得y = 1 ■ eyy ■.? 1 1y 1 ：1 -e 1-e1 .切线方程：y -1X -1 ? e 1 — e第九节闭区间上连续函数的性质O 零点定理（★）【题型示例】证明：方程f X :=g X C 至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】 1.（建立辅助函数）函数 X L f X ；J g X ［-C 在闭区间la, b ］上连续; 2. 「a b ：0 （端点异号） 3. 由零点定理，在开区间a,b 内至少有一点,使得厂=O ,即 f ? 一g ? -C -0 （ 0「J ）这等式说明方程内至少有一个根' 第二章导数与微分第一节导数概念O 高等数学中导数的定义及几何意义（ f X . d e +1 4. f X iU g X C 在开区间a,b P83) (★★)【题型示例】已知函数 ax +bX‘°在x=0X 0处可导，求a , b 【求解示例】■ . O 1 .?.? J f 丄0 )=e =1 j?0 )=a 2?由函数可导定义f 0 - =e 0「1 =e 0 1 =2I / 'f °?=bf 0 =e 0 1 =2j f _0 =f 亠[0 =a=1 f 0- = f 0= f 0 =b =2a = 1,b =2【题型示例】求函数【求解示例】由题可得上单调、可导，且f j X 的导数f X 为直接函数，其在定于域 D -L （X ）［=丄 .L 「（X ）f X=O ;?O 复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设y = ln e arcsin 【求解示例】1arcsi n j X^ 2 2解：y=—-XF=f e * -+√x +a /■ arcsIn x 21 2 2e -I X a(arcsine1C arcs in x 2 122e 一“x 」a1arcs in x 2 12 2e r x 亠 aarcs Ine2x；in ./X 2T L 2 . X —1J 2_x 2 2J f i 厂_____ J e 、一e arcsin x2χ ■ ,x 2 ?a 2 .第四节高阶导数Of (n ?(x ) = [f (n哉 X2x x 2 a 2A = dy ）（★）dχ2 【题型示例】求函数 y = In 1 ? X 的n 阶导数【求解示例】y'丄=VX J ,(或 ddx3 .函数商的求导法则（定理三）O 反函数的求导法则（★）法线方程：y -仁…1 - e x -1 eO参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程Z=φft）,求d-yIy = Y（t ）dx2W 2窗【求解示例】ι.dy2.d~ydx W T t）dx C P Y t ）第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分O基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）dy = f X dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（★）O罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数f X在0,二］上连续，在0,二上可导，试证明：二匚三［0,二,使得f co< C sin ? =0成立【证明示例】1. （建立辅助函数）令X = f XSinx显然函数X在闭区间0,二I上连续，在开区间0,二上可导；2. 又「0 计f 0 Sinθ =0-f r: Sin 二-0即「O= : =03. 由罗尔定理知一I 三iθ,二，使得f i:ico^ f ? -sin = 0成立O拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当X 1时，e x e x【证明示例】1. （建立辅助函数）令函数f X =e x,则对—X ?1 ,显然函数f X在闭区间1,x ］上连续，在开区间1,x上可导，并且f X =e x；2. 由拉格朗日中值定理可得，'■ l1,xl使得等式X I■e-e = x -1 e成立，又e e1, e x-e1x-1e1=e x-e,化简得e x e X ,即证得：当X 1时，e x e x【题型示例】证明不等式：当X 0时，In Γ x X【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数f X = In 1 ? X ,则对-X 0 ,函数f X在闭区间∣0, X1上连续，在开区1间0,二上可导，并且f X —;1 + X十；：=l0,χ 1使得等式In 1 X - In 1 O=Y^ X- 0 成立，1化简得In V X —X,又：；：= 0,xl, 1沁f—V丿1+匕即证得：当X . 1时，第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1. ☆等价无穷小的替换（以简化运算）2. 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件0 OCIA .属于两大基本不定型（,—）且满足条件，0旳则进行运算：Iim f X = Iim —~~—I a g（X） J a g Y X）（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . ☆不属于两大基本不定型⑴0 ；型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：【求解示例】解：IimX c(InX= Iim 二2 ==Iimx_J 1 L--11im X’ - 0a X 10(一般地，Iim ^ In X f = 0 ,其中〉J - R)⑵型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：Iim i1 - 1I01Sinx X 丿【求解示例】“ f 1 1解: Iim —一一X Tl Sin XO^E^‰ x—s in Xι. 1-cosx01? 1 —cosx ι. SinX C Iim Iim Iim Iim 2 'X 0 2x L L x—0x )0' X P2 .由拉格朗日中值定理可得,：：1 , ? In 1 X ：： 1 X = X ,（转化为基本不定型）Iim X In XX >0rQIn In X= Iim丄.- x:X:X =2f∕-X -Lx:,. FX-S in X l fχ-si nx= Iim Iim 2—X X 0 XSin X XT XX2⑶00型（对数求极限法）2x。
高等数学1复习资料
高等数学1复习资料高等数学1是大学本科数学一门重要的基础课程。
本篇文章提供一些高等数学1的重要知识点和复习方法，帮助同学们更好地复习和备考。
一、函数与极限函数是高等数学1的重要概念，其余的内容都是建立在函数的基础之上。
在复习函数时，需要掌握函数的定义和一些基本性质（如奇偶性、单调性、周期性等）。
此外，要学习反函数、复合函数和初等函数的定义和性质。
为了理解函数的极限这个概念，需要了解极限的定义和一些基本性质（（如唯一性、保号性等）。
在复习时，需要掌握常见函数的极限（（如正弦函数、余弦函数、指数函数等），以及利用夹逼准则和L'Hospital法则计算极限的方法。
二、导数与微分导数是函数的重要性质，它刻画了函数在某一点的局部变化率。
在复习导数时，需要掌握导数的定义和计算方法，还需要掌握相关定理和性质（如导数的代数运算法则、中值定理、极值定理等）。
微分是导数的应用，它主要用于计算函数在一点的局部变化量。
在复习微分时，需要了解微分的定义和计算方法，以及相关定理和性质（如微分的线性性、微分的逆运算等）。
三、积分与应用积分是函数的另一种性质，它表示函数在一段区间上的总变化量。
在复习积分时，需要掌握积分的定义和计算方法，还需要掌握相关定理和性质（（如积分的线性性、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法等）。
积分的应用非常广泛，如计算面积和体积、求解微分方程、求解曲线的弧长和曲率等。
在复习积分的应用时，需要了解基本概念和计算方法，以及掌握具体的问题求解技巧。
四、矩阵与行列式矩阵和行列式是高等数学1中的代数工具，主要用于向量、线性方程组和本征值问题的求解。
在复习矩阵和行列式时，需要掌握它们的定义和基本性质，以及常见的矩阵变换和行列式计算方法。
五、向量与空间解析几何向量和空间解析几何是高等数学1中的几何工具，主要用于计算平面和空间向量的坐标、距离和夹角，以及平面和空间中的图形方程。
在复习向量和空间解析几何时，需要掌握它们的定义和基本性质，以及常见问题的计算方法和解题技巧。
高等数学(一)自学考试大纲(史上最全的复习资料)
《高等数学（一）》考试大纲第一章函数及其图形（一）考核的知识点1.一元函数的定义及其图形2.函数的表示法（包括分段函数）3.函数的几个基本特性4.反函数及其图形5.复合函数6.初等函数7.简单函数关系的建立（二）自学要求函数是数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象。
本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示方法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常用的经济函数；能根据比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。
本章重点：函数概念和基本初等函数难点：函数的复合（三）考核要求1.一元函数的定义及其图形，要求达到“领会”层次。
1.1 清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素――定义域和对应法则（映射），知道什么是函数的值域。
1.2 清楚函数与其图形之间的关系1.3 对给定的解析式，会求出由它所确定的函数的自然定义域。
2.函数的表示法，要求达到“识记”层次。
2.1 知道函数的三种表示法――解析法，表格法，图像法，并知道它们各自的特点。
2.2 清楚分段函数的概念3.函数的几个基本特性，要求达到“简单应用”层次。
3.1 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，并会判定比较简单的函数是否具有这些特性。
4.反函数及其图形，要求达到“领会”层次。
4.1 知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数4.2 会求比较简单的定义域、值域和图形与其反函数的定义域、值域和图形之间的关系5.复合函数，要求达到“简单应用”层次。
5.1 清楚函数的复合运算的含义，会求比较简单的复合函数的定义域。
5.2 会做多个函数按一定顺序的复合，并会把一个函数分解成简单函数的复合6.初等函数，要求达到“简单应用”层次。
6.1 知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形（不含余切、正割、余割及其反函数的图形）。
高等数学一总复习资料
，可知 f(0)=0 。在
f(x+y)=f(x)+f(y) 中令 y = -x ，得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)
所以有
f(-x) = - f(x)
，即 f(x) 为奇函数，故应选 A 。
例 8 ：函数
的反函数是（ ）。
A．
B．
C．
D．
解：
由于
，故（ B）中数列发散。
由于正弦函数是一个周期为
的周期函数，当
时，
于一个确定的值，因而（ C）中数列也发散。
由于
，故（ D）中数列收敛。
并不能无限趋近
例 2：设 A.0 B.1 C.3 D.1/3
，则 a=( )
解：假设 =0，则所给极限为 趋于有限值 3，所以极限为∞，不是 1/5 ，因而 ≠ 0。
的（ ）。
A. 同阶无穷小量 B. 高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量
解：由于
可知 例 8. 当
是 x 的同阶无穷小量，所以应选 A。 等价的无穷小量是 ( )
A.
B.
C.
D.
解：由于
可知 所以选 D。
的高阶无穷小量，同时
等价的无穷小量，
例 9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是 ( )
要非负可知
即要有 x>0、x≠1 与
同时成立，从而其定义域为
，
即应选 C。
例 3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）
解： A 中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当 |x|>1 时，两函数取得不同的 值。
B 中的函数是相同的。因为
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《高等数学1》综合复习资料一、判断题1. 如果数列有界，则极限存在。
2. 如果()a f +'与()a f -'存在且相等，则()x f 在点a 处必连续。
3．若函数()x f 在0x 的某领域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值。
4．()2xx e e y -+=和()2x xe ey --=是同一函数的原函数。
二、填空题1．设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ）。
2．曲线x y ln =在1=x 处的切线方程为（ ）。
3．已知函数()x f 处处连续且满足()⎰-=xx dt t f 0cos 1，则=⎪⎭⎫⎝⎛π2f （ ）。
4．()⎰badx x f 的几何意义为：它是介于x 轴、函数()x f y =的图形及直线a x =、b x =之间的各部分面积的（ ）。
5．设函数()x x x f -=1，则=)1(xf （ ）。
6．=--+-→3265lim 223x x x x x （ ）。
7．已知 ()x x f sin =，则()[]='a f （ ），()[]='x f 2（ ）。
8．设()⎩⎨⎧<-≥=1112x kx x x x f ，如果()1f '存在，则=k （ ）。
三、选择题1．点0=x 是函数1arctanx的（ ）。
A ．连续点 B ．可去间断点 C ．第二类间断点D ．跳跃间断点2．如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ ）。
A ．单调递增数列 B ．有界数列 C ．发散数列D ．单调递减数列3．函数x xln 的不定积分是（ ）。
A ．C x x +ln 21B ．C x +2ln 21 C ．C xx +lnD ．C x +2ln4．当0→x 时，1-x e 是x 的（ ）。
A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但非等价无穷小 5．设函数()x f y =可导且()00=f ，则()=→xx f x 0lim（ ）。
A ．0 B ．()0f ' C ．()x f ' D ．不存在6．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）。
A ．()xe xf = B ．()x xg ln = C ．()21x x h -= D ．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x k7．函数)ln(ln x y =的定义域是（ ）。
A ．),1(+∞ B ．),1[+∞ C ．),(+∞e D ． ),[+∞e 8．下列极限错误的是（ ）。
A ．121lim 00=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x xB ．121lim 00-=⎪⎭⎫⎝⎛-→xxC ．021lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x xD ．+∞=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx 21lim9．极限=-→x x sin lim 2π（ ）。
A ．０B ．１C ．－１D ．2π- 10．下列极限正确的是（ ）。
Ａ．∞=→x x 1sinlim 0Ｂ．1sin lim =∞→xx xＣ．11lim2-=+-∞→x x x Ｄ． 11lim 2=+-∞→xx x11．=--→11sin)1(lim 1x x x （ ）。
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－１ Ｄ．不存在12．当→x （ ）时，)1(12--=x x x y 是无穷大量。
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．∞+ Ｄ．∞-四、计算题1．计算极限11lim ln 1x x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭。
2．设22xxy x x =++，求y '。
3．由方程0xyxy e e +-=确定函数()y=y x ，求0=x dxdy。
4．求不定积分⎰⋅xdx x 2sin 2cos 5。
5．计算极限().lim 1xx x ex ++∞→6．设()(),23sin 2x e x y x-⋅=-求.dy7．求不定积分.12⎰-dx e x8．计算定积分().11122⎰-++dx x x9．求极限 ().1sin 1ln lim220-+→x x e x10．设).0(,ln >+=x x e y x求其反函数)(y x x =的导数。
11．设)(x f 在0=x 处可微且,0)2(sin dx x x df ==求).0('f12．求.lim 022022⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→xt x t x dte dt e13．求极限：()1lim 1sin xx x →∞+．14．求极限：0lim x xx e e x-→-．15．求不定积分：(12ln )dxx x +⎰．16．求定积分：1．《高等数学1》综合复习资料参考答案一、判断题二、填空题1．答案：()0x f 2．答案：1-=x y 3．答案：124．答案：代数和5．答案：11-x 6．答案：417．答案：0，x 2cos 28．答案：2三、选择题四、计算题1．答案：⎪⎭⎫⎝⎛--→1ln 1lim 1x x x x ()x x x x x x ln 1ln 1lim 1---=→()x x x x x 111ln 1ln 1lim ⋅-+--=→21lim 21111-=+-=→x x x x2．答案：()1ln 2ln 22+++='x x x y xx3．答案：0='⋅-+'+y e e y x y yxxe y e dxdyyx -+=00=⇒=y x10==x dx dy4．答案：原式()⎰-=x xd 2cos 2cos 521=C x +-2cos 61215．答案：(),ln 1ln x e x xy +=()x x x e x x y +=+∞→+∞→ln 1lim ln lim ()x e x x x +=+∞→ln lim11lim x xx e x e ++=+∞→x x x e e +=+∞→1lim 111lim +=+∞→xx e ,1= ().lim 1e e x xxx =+∴+∞→6．答案：()()()[]x d eed x dy xx23sin 23sin 22-+-=--()()()()x d x e x d e x x x 2323cos 223sin 22--+--=-- ()()()()dx x e dx e x x x 223cos 223sin 22-⋅-+-⋅-=--()()[].23cos 23sin 22dx x x e x -+--=-7．答案：令,12t x =-则(),1212+=t x ,tdt dx = ⎰⎰=-tdt e dx et x 12()⎰=t e td ⎰-=dt e te t t C e te t t +-=().11212C ex x +--=-8．答案：()=++⎰-11221dx x x ()⎰-++++11222112dxx x x x()++=⎰-11212dx x ()⎰-+11212dx x x()012212++=⎰dx x 234103+=x .313=9．答案：原式=1sin lim 220=→xxx 利用等价无穷小,当t →0时,ln(1+t)~t,t e t ~1- 10．答案：由)0(01'>>+=x xe y xx 知单值连续反函数x=x(y) 其导数为xx xy xe xxe y x +=+==1111'11．答案：.2cos 2)2(sin ')2(sin xdx x f x df ⋅=取x=0代入dx f dx f dx )0('20cos )0('2=⋅⋅= 得21)0('=f 12．答案：原式=.022lim 2lim2lim2220222202==⎰=⎰∞→∞→∞→x x x x x t x x ex x xe e edt e edt e xt 13．答案：原式sin limx x xe→∞= e =14．答案：原式0lim 1x xx e e -→+= 2=15．答案：原式1ln 12ln d x x =+⎰11(12ln )212ln d x x =++⎰1ln 12ln 2x C =++16．答案：令t =，2x t =，2dx tdt =原式12t e tdt =⋅⎰12t tde =⎰ ⎰-=112dt e te t t=2。