【精品试题】2019年江苏省南京市秦淮区高考数学三模试卷(解析版)全国百强校

2019年江苏省南京市秦淮区高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知全集U={1，2，3}，A={2}，则∁U A=______2.复数z=i（2+i）（其中i为虚数单位）的共轭复数为______3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5：5：4，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为______人．4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为______5.将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是______．6.曲线y=xcosx在x=π处的切线的斜率为______．7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=2，CC1=2，P是BC1的中点，则三棱锥C-A1C1P的体积为______．8.函数f（x）=cos（3x+π）在[0，π]的零点个数为______．9.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a2+a6=a8．若p-q=10．则a p-a q=______10.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+，双曲线C2的方程为-．C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为______．11.已知无盖的圆柱形桶的容积是12π立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为______元．12.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足EF=1，则•的最大值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为______．14.对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下两个条件：（1）对任意的x∈[0，1]总有f（x）≥0；（2）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）称为G函数．看h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上G函数，则实数a的取值范围为______ 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：AB∥平面PCD；（2）求证：平面PAC⊥平面ABCD．16.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C=-．（1）求sinC的值；（2）当c=2a，且b=3时，求△ABC的面积．17.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为：20元、10元、50元．这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（m＞0），运输的路程为s（千米）．设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y1（元）、y2（元）、y3（元）．（1）请分别写出y1、y2、y3的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR•OS为定值．19.已知函数f（x）=e x+be-x-2asinx（a，b∈R）．（1）若a=0，b=1，求函数f（x）的单调区间；（2）b=-1时，若f（x）＞0对一切x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．20.对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列{a n}满足：a n-k•a n-k+1…a n-1•a n+1…a n+k-1•a n+k=（a n）2k对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“Q（k）数列”．（1）证明：等比数列{a n}是“Q（3）数列”（2）若数列{a n}既是“Q（2）数列”又是“Q（3）数列”证明：数列{a n}是等比数列．21.（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．22.已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数），若直线l与圆C相切，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对a≠0，a、b∈R恒成立．求实数x的范围．24.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）若m=，求直线AP与平面BDD1B1所成角；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有D1Q⊥AP，并证明你的结论．25.附加题：已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+a n（x-1）n，（其中n∈N*）S n=a1+a2+a3+…+a n．（1）求S n；（2）求证：当n≥4时，S n＞（n-2）2n+2n2．答案和解析1.【答案】{1，3}【解析】解：∵U={1，2，3}，A={2}，∴∁UA={1，3}，故答案为：{1，3}．根据补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】-1-2i【解析】解：∵z=i（2+i）=-1+2i，∴．故答案为：-1-2i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】42【解析】解：设抽取的样本为n，则由题意得得n=42人，故答案为：42．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】15【解析】解：根据题中的程序框图，可得：T=1．I=3执行循环体，T=3，I=5不满足条件I＞6，执行循环体，S=15，I=7此时，满足条件I＞6，退出循环，输出T的值为15．故答案为：15．由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到本题答案．本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的T，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5.【答案】【解析】解：将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，“点数之和等于6”包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个，∴“点数之和等于6”的概率为p=．故答案为：．先求出基本事件总数n=6×6=36，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6.【答案】-π【解析】解：∵y=f（x）=xcosx，∴f′（x）=cosx-xsinx，∴f ′（）=cos -sin =-，即y=xcosx在x=处的处的切线的斜率k=-．故答案为：-．求出函数的导数，利用导数的几何意义令x=，即可求出切线斜率即可．本题主要考查导数的计算，以及导数的几何意义，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．7.【答案】【解析】解：∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵P是BC1的中点，∴V=V =V ==．故答案为：．证明AB⊥平面AA1C1C，于是V=V =V．本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．8.【答案】3【解析】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：3由题意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．9.【答案】【解析】解：设等差数列{an }的公差为d＞0，∵a1=1，且a2+a6=a8．∴2+6d=1+7d，解得d=．若p-q=10．则ap -aq=10d=．故答案为：．设等差数列{an }的公差为d＞0，根据a1=1，且a2+a6=a8．可得2+6d=1+7d，解得d，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：椭圆C1的方程为+=1，离心率e1=．双曲线C2的方程为-=1，离心率e2=．∵C1与C2的离心率之积为，∴×=．∴=，解得．∴C2的渐近线方程为．故答案为：．椭圆C1的方程为+=1，离心率e1=．双曲线C2的方程为-=1，离心率e2=．利用C1与C2的离心率之积为，即可得出．本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】360π【解析】解：设桶的底面半径为r，高为h，则πr2h=12π，故h=，∴圆桶的造价为y=30•πr2+20•2πr•=30πr2+=30πr2++≥3=360π．当且仅当30πr2=即r=2时取等号，故答案为360π．设桶的底面半径为r，用r表示出桶的总造价，根据基本不等式得出最小值．本题考查了函数解析式求解及函数最值的计算，属于中档题．12.【答案】4【解析】解：建立平面直角坐标系，如图1所示；设E（2，a），F（b，1），∵EF=1，∴=1，即（a-1）2+（b-2）2=1；又•=2b+a，令a+2b=t，其中0≤a≤1，0≤b≤2；画出图形，如图2所示；当直线a+2b=t经过点F（0，2）时，t取得最大值t=4．故答案为：4．利用平面直角坐标系，设出点E、F的坐标，由EF=1可得（a-1）2+（b-2）2=1，利用数量积运算求得•=2b+a，再用线性规划的知识求出t=a+2b的最大值．本题考查了两点间的距离公式、平面向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，也考查了推理能力和计算能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则tan∠OPA=，tan∠OPB=，∴tan∠APB==，∵=|r+1|，∴a2=（r+1）2-4，∴tan∠APB==，∵∠APB的大小恒为定值，∴，∴|OP|=．设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：因为h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上G函数，所以对任意的x∈[0，1]总有f（x）≥0；则a ≥对任意的x∈[0，1]恒成立，解得a≥1，当a≥1时，f（x1+x2）-（f（x1）+f（x2））=a•22+1-a•2-a•2=a（2-1）（2-1）+1-a≥0恒成立，所以（2-1）（2-1）在x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时恒成立，又（2-1）（2-1）在x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时的最小值为0，即，所以a≤1，即a=1，故答案为：．由不等式恒成立问题常采用分离变量最值法得：a ≥对任意的x∈[0，1]恒成立，解得a≥1，又（2-1）（2-1）在x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时恒成立，即，所以a≤1，即a=1，得解．本题考查了不等式恒成立问题，通常采用分离变量最值法，属中档题．15.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．…（6分）（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，又PA=PB=PC=PD，故PO⊥AC，PO⊥BD，…（9分）又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，…（12分）又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．…（14分）【解析】（1）由矩形ABCD，对边平行得到AB∥CD，结合线面平行的判定定理得到AB∥平面PCD；（2）连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得PO⊥AC，PO⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PO⊥平面ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC⊥平面ABCD．本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，属于中档题．16.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由已知可得1-2sin2C=-．所以sin2C=．因为在△ABC中，sinC＞0，所以sinC=．…（6分）（2）因为c=2a，所以sinA=sinC=．因为△ABC是锐角三角形，所以cosC=，cosA=．所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=．由正弦定理可得：，所以a=…（13分）所以S△ABC=absinC==．…（14分）【解析】（1）利用二倍角公式cos2C=1-2sin2C求解即可，注意隐含条件sinC＞0；（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA，cosA，cosC的值，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能，属于中档题．17.【答案】解：（1）y1=20s+，y2=10s+，y3=50s+，（2）∵m＞0，s＞0，故20s＞10s，＞，∴y1＞y2恒成立，故只需比较y2与y3的大小关系即可．令f（s）=y3-y2=40s-=（40-）s，故当40-＞0即m＜时，f（s）＞0，即y2＜y3，此时选择火车运输费用最省；当40-＜0即m＞时，f（s）＜0，即y2＞y3，此时选择飞机运输费用最省；当40-=0即m=时，f（s）=0，即y2=y3，此时选择火车或飞机运输费用最省．【解析】（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式；（2）作差比较y2，y3的大小关系得出结论．本题考查了函数解析式的求解，不等式的大小比较，属于基础题．18.【答案】解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（-2，0），则，，，，∴，，=（x1+2）2-==．…（6分）由于-2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），则θ，θθ，θ=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=θ．…（6分）故当θ时，取得最小值为，此时，，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：ααθαθα，令y=0，得αθαθαθ，同理：αθαθαθ，…（12分）故αθαθαθαθαθ．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）【解析】（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，-y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（-2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sin θ＞0，由T（-2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y），则直线MP 的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP 的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．19.【答案】解：（1）当a=0，b=1时，f（x）=e x+e-x，∴f′（x）=e x-e-x，令f′（x）=0，解得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；（2）当b=-1时，f（x）=e x-e-x-2asinx，由于f（x）＞0对一切x∈（0，π）恒成立，（2）当b=-1时，函数f（x）=e x-e-x-2asinx，又∵当x∈（0，π）时sinx＞0，∴f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立等价于2a＜恒成立，记g（x）=，其中0＜x＜π，则g′（x）=，令h（x）=e x（sinx-cosx）+e-x（sinx+cosx），则h′（x）=2（e x-e-x）sinx＞0，∴h（x）在（0，π）上单调递增，h（x）＞h（0）=0，∴g′（x）＞0恒成立，从而g（x）在（0，π）上单调递增，g（x）＞g（0），由洛必达法则可知，g（0）=′′==2，∴2a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）求导，根据导数和函数单调性关系即可求出，（2）通过分离参数可知条件等价于2a ＜恒成立，进而记g（x）=，问题转化为求g（x）在（0，π）上的最小值问题，通过二次求导，结合洛必达法则计算可得结论．本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，涉及分离参数法等技巧，涉及罗比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题20.【答案】证明：（1）{a n}是等比数列，由等比数列的性质可得：a n-3•a n-2•a n-1•a n+1•a n+2•a n+3=a n-3•a n+3•a n-2•a n+2•a n-1•a n+1==．∴{a n}为“Q（3）数列”；（2）证明：{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，∴a n-2•a n-1•a n+1•a n+2=，（*）a n-3•a n-2•a n-1•a n+1•a n+2•a n+3=．可得：a n-3•a n+3=对于任意n∈N*（n≥4）都成立．∴a3，a4，a5，…，成等比数列，设公比为q．∴n=3，4时，由（*）可得：，a2a3a5a6=，可得a1q=a2，a2q=a3．∴{a n}是等比数列．【解析】（1）由{an }是等比数列，由等比数列的性质可得：an-3•an-2•an-1•an+1•an+2•an+3=an-3•an+3•an-2•an+2•an-1•an+1==．即可证明；（2）{an }既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，可得an-2•an-1•an+1•an+2=，a n-3•an-2•an-1•an+1•an+2•an+3=．则an-3•an+3=对于任意n∈N*（n≥4）都成立．则a 3，a4，a5，…，成等比数列，设公比为q．验证a1q=a2，a2q=a3得答案．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：矩阵M的特征多项式为λλ=（λ-1）（λ-a）-4…（1分）因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以a=1…（3分）由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）设λ2=-1对应的一个特征向量为α，则得a=-y…（8分）令x=1则y=-1，所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α…（10分）【解析】根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．本题主要考查了特征值与特征向量的计算的知识，同时考查了计算能力，属于基础题．22.【答案】解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的方程为（x-2）2+y2=4，∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2 又由消t，得x-y-m=0，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径∴，解得．【解析】将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l与圆C 相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研究直线与圆相切．23.【答案】解：由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，得≥f（x）．…（3分）又因为≥=2，则有2≥f（x）．…（6分）不等式即|x+1|+|x-2|≤2，由于|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，其最小值为3，故|x+1|+|x-2|≤2不可能，故实数x的范围为∅．…（10分）【解析】由题意可得≥f（x），而由绝对值不等式的性质可得的最小值为2，故2≥f（x）．由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|≤2不可能成立，由此可得到实数x的范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．24.【答案】解：（1）连接AC交BD于O，设AP与平面BDD1B1的公共点为M，连接OM，则平面ACP∩平面BDD1B1=OM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∴∠AMO为AP与平面BDD1B1所成的角，∵CP∥平面BDD1B1，CP⊂平面ACP，平面ACP∩平面BDD1B1=OM，∴OM∥CP，又O为AC的中点，∴OM=PC=，AO=AC=，∴tan∠AMO==，∴∠AMO=π．∴直线AP与平面BDD1B1所成角为π．（2）∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，又A1C1∩AA1=A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥AP，∴当Q为A1C1的中点时，对任意的实数m，都有D1Q⊥AP．【解析】（1）作出平面APC与平面BDD1B1的交线OM，可证AO⊥平面BDD1B1，计算OM，AO，得出tan∠AMO，从而得出∠AMO的大小；（2）证明B1D1⊥平面ACC1A1，故而可得当Q为A1C1的中点时D1Q⊥AP．本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．25.【答案】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n-2n；（4分）（2）要证S n＞（n-2）2n+2n2，只需证3n＞（n-1）2n+2n2，①当n=4时，81＞80；②假设当n=k（k≥4）时，结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2] 而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0 ∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2，即n=k+1时结论也成立，由①②可知，当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．综上原不等式获证．（10分）【解析】（1）由于与二项式有关，故可采用赋值法．取x=1，则a0=2n；取x=2，则a+a1+a2+a3+…+an=3n，从而可求Sn；（2）要证Sn＞（n-2）2n+2n2，只需证3n＞（n-1）2n+2n2，再利用数学归纳法加以证明．本题以二项式为载体，考查赋值法的运用，考查数学归纳法，解题的关键是先分析转化，再利用数学归纳法证明．。