10.3_最短路问题
最短路问题(数学建模资料)
Network Optimization
/netopt
清华大学课号：40420213（本），70420133（研）
第5章 最短路问题(Shortest Path Problem)
清华大学数学科学系 谢金星 办公室：理科楼1308# （电话：62787812） Email:jxie@ /faculty/~jxie
u s 0, u min{u w }. i ij j i j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
2
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有 产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且 使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt d t
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
最短路的问题装名词解释
最短路的问题装名词解释在计算机科学领域中，最短路问题是一类经典的算法问题，其主要解决的是在加权图中找到两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际应用中非常重要，例如在网络路由中，寻找两个节点之间最短路径的算法可以帮助我们优化数据传输的效率。
为了更好地理解最短路问题，我们首先来解释一些关键的术语。
在计算机科学中，图是由一组节点和连接这些节点的边组成的抽象数学模型。
每个节点代表一个实体，而边则代表节点之间的连接关系。
加权图是一种特殊的图，其边上带有权重。
这个权重可以代表任何实际应用中的度量，例如距离、时间、费用等。
最短路径是指连接两个节点之间的路径中，权重总和最小的路径。
更具体地说，我们可以定义一个函数d(u,v)，它表示节点u到节点v的最短路径的权重。
这个函数可以通过使用不同的算法来计算得到。
最短路问题的目标就是找到这个函数的值，并找到代表最短路径的实际路径。
在解决最短路问题时，有两种常见的算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，它从一个节点开始，逐步扩展到其他节点，直到找到最短路径。
该算法通过维护一个距离数组来记录到达每个节点的当前最短路径长度。
开始时，所有节点的距离被初始化为无穷大，然后逐步更新距离数组，直到找到最短路径。
与之相比，Bellman-Ford算法则更加灵活，可以处理带有负权边的图。
该算法通过使用一种松弛操作来逐步减小节点之间的距离估计值。
开始时，所有节点的距离估计值被初始化为正无穷大，然后通过对每条边进行一系列松弛操作，不断更新距离估计值，直到没有更多的更新为止。
如果在这个过程中发现了负权环，说明图中存在无穷小权重的路径，就会报告一个负权环的存在。
最短路问题的解决方法不仅限于这两个算法，还有其他一些算法，例如Floyd-Warshall算法和A*算法等。
Floyd-Warshall算法可以找到图中任意两个节点之间的最短路径。
它通过迭代更新一个矩阵来计算最短路径权重。
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。
首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。
暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。
虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。
其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。
除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。
弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。
除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。
这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。
总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。
希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
最短路问题
§ 3最短路问题在实践中常遇到的一类网络问题是最短路问题。
给定一个有向赋权图D=（V，A），对每一个弧a =（ ,），相应有权≥0，指定D中的为发点，为终点。
最短路问题就是要在所有到的路中，求出一条总权数最小的路。
这里权数可以是距离，也可以是时间，或者是费用等等。
最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。
3.1 狄克斯拉（Dijkstra）算法最短路问题可以化为线性规划问题求解，也可以用动态规划方法求解，这里介绍一种有效算法—狄克斯拉（Dijkstra）算法，这一算法是1959年首次被提出来的。
该算法适用于每条弧的权数≥0情形。
算法的基本思路：从发点出发，有一个假想的流沿网络一切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向继续前进，则最先到达终点的流所走过的路径一定是最短的。
为了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示到这些点的最短距离。
对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示到这些点的最短距离的估计值。
具体作法如下：1°标p（）=0，其余点标T（）=+∞;2°由刚刚获得p标号的点出发，改善它的相邻点的T标号,即新的T（）=min{老的T（），p（）+ }若T（）= p（）+ ωij ，则记k（）=（前点标记）;3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。
若已获得p标号，则已找到最短路，由k （）反向追踪，就可找出到的最短路径，p（）就是到的最短距离。
否则，转2°。
例2 求图下中v1 到v8 的最短路。
解：标p（）=0，其余点标将具有最小T标号的点的标号改为p标号：p（）=3；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（）=4；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（）=5；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（）=6；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号：最短路径为：因p（）=12，所以→的最短距离为12。
10.3 最短路问题
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 一种隐阶段的动态规划方法，而且是正向递推 每次迭代只有一个节点获得标记， 若有两个或两个以上节点的标记同时最小， 可任选一个标记； 总是从一个新的标记开始新一轮的标记， 是一种深探法 被框住的标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路， 因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的标记， 其最短路中最多有 k 个标号的顶点， 因此最多有k1 次迭代.
0 v1 3 2
3
v6 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 3 2
4
v8
v4
v5
3 3 5
v2
0 v1 3 2
3
v6 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 2 3
4
4
v4
v8
v5
3 3 5
v2
0 v1 4 3 2
3
v6 5 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 2 3
4
v4
v8
6 3 3
v5
5
v2
目前公认，在所有的权wij ≥0时，这个算法是寻求 最短路问题最好的算法。
并且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点vs 到任意一个点vj的最短路。
Dijkstra算法基于的事实 如果P是D中从vs 到vj的最短路， vi 是P中的一点， 那么从vs 沿P到vi 路也是从vs 到vi的最短路.
证明：反证法
2
v4
(v1,1)
10
v6
(v4,11)
2
v7
4
v8
(1,)
(1,)
v2
6
(0, 0) 1
(v3,5)
最短路问题实验PPT学习教案
（4） 若 S φ，转 2，否则，停止. 用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
第3页/共27页
l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
u8
最后标记: l(v)
z (v)
02
17
u1 u1
u1
u6
3
6 9 12
u2
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u6
u8
u3
u7
第6页/共27页
w=[ ];
function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权． S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
第16页/共27页
一 、 可 化 为 最短路 问题的 多阶段 决策问 题
最短路的应用
二、 选 址 问 题 1、 中 心 问 题 2、 重 心 问 题
第17页/共27页
例：企业要制定一台重要设备 更新的五年计划，目标是使总 费用（购置费用和维修费用之 和）为最小。此设备在各年初 价格及使用期中所需维修数据 如下：
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
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法适用于所有边的权为任意实数的情况 D）Dijkstra算法适用于所有边的权为任意实数的情况，
Ford算法适用于所有边的权非负情况
29
OR:SM
试试看——选择题
• 2、以下说法中错误的是（ ）。
4
8
1
v4
vt
1
7
3
6
1
2
v6
7
OR:SM
vs
方式之一：单标号算法
第一步：
T(vs)=∞
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=∞
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=∞
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
vt T(vs)=∞
6
1
v6
T(vs)=∞
8
OR:SM
方式之一：单标号算法
第二步：
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这 种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以
wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。其网络模型 如下：
本章小结
图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已广泛应用在物 理、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等 各个领域。
本章主要介绍了图的一些基本概念，包括边、弧、有向 图、端点、初等圈、初等链等。介绍了树及最小支撑树 的算法；介绍了网络最短路问题的算法及其在设备更新 问题上的实际应用；介绍了网络最大流问题及其算法， 在此基础上，简要介绍了网络最小费用最大流问题的算 法。
3
OR:SM
4
OR:SM
狄克斯特拉（Dijkstra）算法
第一步：预备
起点标：P(vs)=0 其余标T(vj)=∞
求最短路的 Dijkstra算法
第二步：修正
与P相邻的所有T标号的值 T(vj)=min{T(vj),p(vi)+dij}
第三步：生成新的P
当前T标号中值最小者 P(vi)=min{T(vj)}
6
1
v6 (vs , )
15
OR:SM
方式之二：双标号算法
最终：依此类推，重复上述标号过程。得最短路。
(vs ,3) v1
(v1 , 5)
2
v5
3
4
7
(vs , 0) vs
9
(v4,7)
v2
1
8 1
(v5 , 6) v4
7
vt (v6 ,12)
10
4
3
6
1
v3 (v4 ,9)
2
v6
(v3 ,11)
18
OR:SM
三、最短路的应用--网络的重心
引进点的权系数，将权系数与最短距离阵各列对应元素加 权求和，再从中选择最小的即为网络重心。
19
OR:SM
三、最短路的应用—设备更新问题
制订一设备更新问题，使得总费用最小？
购买费 使用年数 维修费
第1年 13 0-1 8
第2年 14 1-2 10
第3年 16 2-3 13
(v1 , 5) v5
8 1
(v1, 7) v4
7
vt (vs , )
6
1
v6 (vs , )
14
OR:SM
方式之二：双标号算法
第三步：
(vs ,3)
v1
2
3
(vs , 0) vs
9
10
4 7
(vs ,9) v2
1
4
3
v3
2
(vs ,10)
(v1 , 5) v5
8 1 (v5 , 6) v4
7
vt (v5 ,13)
• 2、在寻找图中最短路线的算法中，常用两种算法，它们 是Dijkstra算法和Ford算法。前者适用于（所有权均非 负的）的情况，而后者则适用于（所有权为实数）的情 况。
28
OR:SM
试试看——选择题
• 1、在求解最短路线的算法中，下述说法正确的是 （ ）。
A）Dijkstra算法和Ford算法都仅适用于所有边的权非负的 有向图
A）最大流量 B）最短路线 C）最小树 D）时间优化
31
OR:SM
T(vs)=3
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=9
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=10
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
6
1
v6
T(vs)=∞
vt T(vs)=∞
9
OR:SM
方式之一：单标号算法
第三步：
P(vs)=3
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
v2 T(vs)=9
25
OR:SM
E-mail：lijun@
26
OR:SM
试试看——判断题
• 1、最短路径法的目的是要确定从源点到目的点并且经过 的节点数最少的一条路径。（ ）
A）是 B）否
27
OR:SM
试试看——填空题
• 1、寻找图中最短路线的算法，是从图中的（起）点逐步 推算的，在推算的过程中需要不断标记（最短距离）和 最短路线。
5
第四步：判断
重复第二步，第三步， 直到终点vt得到永久标号
OR:SM
狄克斯特拉（Dijkstra）算法
基本思路:
从始点vs 出发，逐步探寻，给每个点标号； 标号分永久标号P(vk)和临时标号T(vk) 两种：
• 永久标号P(vk) 是从点 vs → vk 的最短路权 • 临时标号T(vk) 是从点 vs → vk 最短路权的上界
表1：设备每年年初的价格表
年份
1
2
3
4
5
年初价格
11
11
12
12
13
使用年数
表2：设备维修费如下表
0-1
1-2
2-3
3-4
每年维修费用
5
6
8
11
22
4-5 18
OR:SM
参考答案
解： 将问题转化为最短路问题，如下图：用vi表示“第i年年初购进一台 新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进的设备一直使用到第j年年初。
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第十 章 图与网络分析
内S容ub提titl要e
第一节 图论的概念 第二节 最小树问题 第三节 最短路问题 第四节 网络最大流 第五节 最小费用流
2
OR:SM
一、什么是最短路问题？
一位旅客要从A城到B城
他希望选择一条途中中转次数最少的路线； 他希望选择一条途中所花时间最短的路线； 他希望选择一条途中费用最小的路线；
这些问题均是带权图上的最短路径问题。
w(P*) min w(P) P
狄克斯特拉（Dijkstra）算法：1959年提出，目前公认的最 短路算法，适合于求解所有弧权wij ≥0的最短路问题。 Edsger W.Dijkstra（ 1930— ）：荷兰计算机科学教授，在 1972年获得美国计算机协会授予的图灵奖，这是计算机科学 中最具声望的奖项之一。
A）任一网络中最短径只有一条 B）由不同生成方法生成的最小生成树权值相同 C）树任意两个不相邻顶点加一条边有时形成不了圈（回
路） D）A和C都错
30
OR:SM
试试看——选择题
• 3、英国某航运公司的一艘船，想从利物浦出发到达中国 上海，要求得最节约费用的航行路线，可利用（ ）问 题的解法。
31
最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53， 30
最短路径有两条：
41
v1
v3 v6和 v1 v4
v6
（V01,s）
24
59
41
22
30
23
(30,1)
16
（V126,1） 16
v3 17 (22,1)
30
v4 23
17 (41,1)18 31 v5
41
v6 (53,3) (53,4)
OR:SM
1
4
3
v3
2
T(vs)=10
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
6
1
v6
T(vs)=∞
T(vs)=∞
vt
10
OR:SM
方式之一：单标号算法
最终：依此类推，重复上述标号过程，得最短路。
P(vs)=3
v1
P(v5)=5
2
v5
3
P(vs)=0
vs
9
4 7
P(v2)=7
v2 1
8 1
P(v4)=6
20
2016-06-05
O2R0:SM
参考解答：
(21) v2
22 21
44
32 63
45
(44) v4
37 27
(0)v1
89
62
31
用Dijkstra 标号法，求 得最短路为: v1v3v6 v3