辽宁省六校协作体2020-2021学年高二数学上学期期初考试试题 【含答案】
6 2 A. 4
6 2 B. 4
2 C. 2
1 2
7.如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列命
错误的为( )
D. 题中，
A． AC BD C． AC＝BD
B． AC / / 截面 PQMN D．异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45
8.设偶函数
f
x 在 0, 上为增函数，且
15.已知△ABC, AB AC 4, BC 2 ，点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2 ，连接 CD ，则 △BDC 的面积是________， cos BDC ________．（本题第一个空 3 分，第二空 2 分）
16.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边 分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取 相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面 得到的那个数， 相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1 作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、
三．解答题：（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（10
sin
分）（1）已知
5 12
π
1 3Leabharlann sin，求π 12
的值．
（2）已知角
的终边过点
P 4,3 ，
为第三象限角，且
tan
4 3
，
cos
求
的值.
18.（12 分）已知 a (1,2), b (3,2) .
A.若 , 是第一象限角且 ，则 tan tan ；
B.不存在实数
sin cos 3
，使得
2；
C.函数
y
sin(
π 4
2x)
在
π 8
,
5π 24
单调递减；
D.函数
y
sin(2x
π 3
)
的图象关于点
π 3
，0
成中心对称图形．
二，填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.在平行四边形 ABCD 中,
AB
e1, AC
e2 , NC
1 4
AC, BM
1 2
MC , 则MN
__________。(用 e1, e2
表示)
14.若正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都相等， D 是底边 A1C1 的中点，则直线 AD 与平
面 B1DC 所成角的正弦值为 ________________________
3
1 2
sin
x
3 2
cos
x
3
sin
x
π 3
，
因为 f x 的最大值为 3 ，依题意，函数 f x 的最小正周期为 π ，
由
2π
π
，得
2
．
f x
（2）因为
3
sin
2x
π 3
，依题意
3
sin
B
π 3
0
，
sin
B
π 3
0
，
π Bπ 2π
B π 0, B π
∵0 Bπ， 3
P
E
D
C
A
B
（1）求证： PD / / 平面 ACE ； （2）求三棱锥 P AEC 的体积.
20.（12
分）设函数
f
x
sin x
π 6
2 cos2
2
x
1
0
．直线
y
3 与函数 y=f(x)图
象相邻两交点的距离为 π ． （1）求 的值；
（2）在△ABC 中，角 A、B、
C
所对的边分别是
化管道( RtFHE, H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道 的接口 H 是 AB 的中点, E,F 分别落在线段 BC,AD 上.已知 AB=20 米, AD 10 3 米,记 BHE .
1.试将污水净化管道的总长度 L(即 RtFHE 的周长)表示为 的函数,并求出定义域; 2.问 当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的总长度.
“隅”指的是在方程 px2 q 中， p 为“隅”， q 为“实”．即若 △ABC 的大斜、中斜、
S 2 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2]
小斜分别为 a,b, c ，则
4
2
.已知点 D 是 △ABC 边 AB 上一点
AC 3, BC 2, ACD 45, tan BCD 8 15 7 ，则 △ABC 的面积为____________
∵ 1 0, 3
∴ 1 a b 与 a 3b 反向. 3
19.（1）连结 BD 交 AC 于点 F ，连结 EF .
因为底面 ABCD 是矩形,所以 F 为 BD 中点.
又因为 E 为 PB 中点, 所以 EF / /PD .
因为 PD 平面A，C平E 面EF 所以 PD / / 平面 ACE .
辽宁省六校协作体 2020-2021 学年高二数学上学期期初考试试题
1．选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，其中 1~8 题为单选题，每题 5 分， 选对得 5 分，选错得 0 分，9~12 题为多选题，全部选对得 5 分，漏选得 3 分，选错得 0 分）
1. cos42600 =（ ）
3
（2） 角
的终边过点
P 4,3,
sin
3 5
, cos
4 5
又
tan
为第三象限角，且
4 3
sin
，
-
4 5
, cos
-
3 5
cos( ) cos cos sin sin ( 4) ( 3) ( 4) (3) 0 5 5 55
18.（1）. ka b k(1, 2) (3, 2) (k 3, 2k 2) ,
ACE ,
（2） E 为 PB 中点 所以三棱锥 P AEC 的体积即为三棱锥 E ABC 的体积.
因为底面 ABCD 为矩形, 所以 BC CD . 又因为平面 PCD 平面 ABCD ,
BC 平面A平B面CD平, 面 PCD ABCD CD ，所以 BC 平面PCD . 因为 PD 平面PCD ,所以 BC PD .
的图象的对称中心是
(
kπ 4
,
0)(k
Z)
D.函数
g(x)
的单调递减区间为
[kπ
π 4
,
kπ
3π 4
](k
Z)
11.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PC 底面 ABCD ,四边形 ABCD 是直角梯形,
AB / /CD, AB AD, AB 2AD 2CD 2 ,F 是 AB 的中点,E 是 PB 上的一点,则下列说法正确
A． 1 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 3 2
2.在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1, 2) ，则 i· z （ ）
A.1 2i
B. 2 i
3.设非零向量 a,b 满足
ab
ab
，则(
ab A.
B. a b
C.1 2i
)
C. a / /b
D. 2 i ab
D.
因为 PC PD 2,CD AB 2,
所以 PC2 PD2 CD2 ，即 PD PC . 因为 BC PC C, BC, PC 平面 PBC ， 所以 PD 平面 PBC .
因为底面 ABCD 是矩形所以 AD // BC .
因为 AD 平面 PBC ， BC 平面 PBC ， 所以 AD / / 平面 PBC .
f (x) Asin(x )( 0, 0 π )
10.如图是函数
2 的部分图象,将函数
π
f (x) 的图象向右平移 8 个单位长度得到函数 y g(x) 的图象,则下列命
题正确的是( )
A. y g(x) 是奇函数
B.函数
g(x)
的图象的对称轴是直线
x
kπ+
π 4
(k
Z)
C.函数
g(x)
1.A
2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.A 9.ABD
10.AD
11.AD
12.BCD
13.
2 3
e1
5 12
e2
14. 4 5
15 ; 10 15. 2 4
数学试卷 答案
3 15 16. 4
sin(
)
cos[
(5
)] sin(5
) 1
17.（1） 12
2 12
12
(1).当 k 为何值时, k a b 与 a 3b 垂直? (2).当 k 为何值时, k a b 与 a 3b 平行?平行时,它们是同向还是反向?
19.（12 分）如图，在四棱锥 P ABC 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD 平面 ABCD ， AB 2, BC 1 ， PC PD 2, E 为 PB 中点．
（2）.当 ka b 与 a 3b 平行时,存在实数 ,使 ka b (a 3b) ,
由 (k 3, 2k 2) (10, 4) ,
k 3 10,
得{ 2k
2
4
,
k 解得{
1 3 1
, ,
3
即当 k 1 时, ka b 与 a 3b 平行, 3
∴当 ka b 与 a 3b 平行时, ka b 1 a b , 3
a 3b (1, 2) 3(3, 20) (10, 4) .
当 (ka b) (a 3b) 0 时,这两个向量垂直.
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初考试数学试卷含答案
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19.（12 分）如图，在四棱锥 P ABC 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD 平面 ABCD ， AB 2, BC 1 ， PC PD 2, E 为 PB 中点．
D.
3 4
5.函数
f
(x)
1 4
x
(1)x 2
1 在[1, 2]
的最小值是（
）
A.1
B. 13
C. 3
D.3
16
4
6.△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 C 60,b 2, c 3 ，则 sin A ( )
A. 6 2
4
B. 6 2
4
C. 2
2
D.
1 2
[kπ
π 4
,
kπ
3π 4
](k
Z)
11.如图,在四棱锥 P ABCD 中, PC 底面 ABCD ,四边形 ABCD 是直角梯
形, AB / /CD, AB AD, AB 2AD 2CD 2 ,F 是 AB 的中点,E 是 PB 上的一点,则下列说
法正确的是( )
A.若 PB 2PE ,则 EF / / 平面 PAC
，使得 sin cos 3 ； 2
C.函数
y
sin(
π 4
2
x)
在
π 8
,
5π 24
单调递减；
D.函数
y
sin(2x
π 3
)
的图象关于点
π 3
，0
成中心对称图形．
辽宁省六校协作体高二上期中数学试卷（文）含答案
高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）若等差数列{a n}中，已知a1＝，a2+a5＝4，a n＝35，则n＝（）A．50B．51C．52D．532．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣3．（5分）在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n2﹣a n+1＝a n﹣1（n≥2，n∈N*），则S2014＝（）A．2013B．2014C．4026D．40284．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知＝3，则2a2﹣a4的值是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞06．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝81，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．5B．10C．20D．407．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1B．C．2b＜2a＜2D．a2＜ab＜18．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜}B．{x|x＜﹣或x＞}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}9．（5分）已知，向量与向量的夹角是，则x的值为（）A．±3B．C．±9D．310．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x+B．y＝C．y＝e x+4e﹣x D．y＝sin x+，（0＜x＜π）11．（5分）x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14B．7C．18D．1312．（5分）有下列结论：（1）命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题（2）设，q：x2+x﹣2＞0则p是q的充分不必要条件（3）命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题．（4）非零向量与满足，则与的夹角为300其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个二．填空题13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，4]，x2≥a，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）若数列满足{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝n，则数列{a n}的通项公式为a n＝．15．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则数列{a n}的前n项和S n＝．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．三、解答题（注释）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝．（1）求sin A的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）＝ax2+（a﹣b）x﹣c．（1）求证：函数y＝f（x）必有两个不同的零点；（2）若函数y＝f（x）的两个零点分别为m，n，试将|m﹣n|表示成以t为自变量的函数，并求|m﹣n|的取值范围；19．（12分）从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率．20．（12分）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，P A＝PD＝AD＝2BC＝2，CD＝．（1）求证：PE∥平面BDM；（2）求三棱锥P﹣MBD的体积．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，其前n项和为T n，求T n．参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）若等差数列{a n}中，已知a1＝，a2+a5＝4，a n＝35，则n＝（）A．50B．51C．52D．53【分析】根据题意，求出公差d，代入通项公式，求出项数n．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＝，a2+a5＝4，∴a1+d+a1+4d＝4，∴5d＝4﹣＝，∴d＝；又∵a n＝35，∴a n＝a1+（n﹣1）＝+（n﹣1）＝n﹣＝35，∴n＝53．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础性题目．2．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣【分析】由等差数列的中项性质可得2S3＝S1+S2，再由等比数列的通项公式解方程可得q．【解答】解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q＝﹣（q＝0舍去），故选：D．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．（5分）在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n2﹣a n+1＝a n﹣1（n≥2，n∈N*），则S2014＝（）A．2013B．2014C．4026D．4028【分析】在等差数列中，a n﹣1+a n+1＝2a n，代入到题中等式中，即可求出结果．【解答】解：∵a n2﹣a n+1＝a n﹣1，∴a n2﹣a n﹣1﹣a n+1＝0，又等差数列中，a n﹣1+a n+1＝2a n∴a n2＝2a n，∴a n＝2，∴a n为各项为2的常数列．∴S2014＝2×2014＝4028．故选：D．【点评】本题中先根据等差数列的性质得到该数列是常数列，再求解，是中档题．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知＝3，则2a2﹣a4的值是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵＝3，∴q≠±1，＝3×，化为：q2＝2．则2a2﹣a4＝a1q（2﹣q2）＝0，故选：A．【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，＝＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．6．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝81，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．5B．10C．20D．40【分析】利用对数的运算法则，将原式化成log3（a1a2…a10），再利用等比数列性质，对真数计算后即可求出．【解答】解：log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2…a10），根据等比数列性质，a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝81，所以原式＝log3815＝5log381＝5×4＝20故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，对数的运算法则，对数式化简求值，是基础题．7．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1B．C．2b＜2a＜2D．a2＜ab＜1【分析】首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0＜b＜a＜1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案．【解答】解：对于A：ab＜b2＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b2＜ab．故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y＝2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2b＜2a＜21，即2b＜2a＜2．故C正确．对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a2．故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到函数单调性和函数在区间值域的知识．属于综合性的问题，需要一个一个选项去分析排除．此外这类题容易出错，做题时切忌谨慎．8．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜}B．{x|x＜﹣或x＞}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}【分析】由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}得到a、b的值，代入到不等式中确定出不等式，求出解集即可．【解答】解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b＝a（x+3）（x﹣2）且a＜0解得a＝﹣5，b＝30．则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x故选：B．【点评】考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，9．（5分）已知，向量与向量的夹角是，则x的值为（）A．±3B．C．±9D．3【分析】把已知条件代入两个向量的数量积的定义，再运用两个向量的数量积公式，解方程求出x的值．【解答】解：由两个向量的数量积的定义得•＝||•||•cos，即0+x＝1××，2x＝，解得x＝3，故选：D．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义和公式，待定系数法求出x的值．10．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x+B．y＝C．y＝e x+4e﹣x D．y＝sin x+，（0＜x＜π）【分析】A．当x＜0时，利用基本不等式的性质，y＝﹣≤﹣4，可知无最小值；B．变形为，利用基本不等式的性质可知：最小值大于4；C．利用基本不等式的性质即可判断出满足条件；D．利用基本不等式的性质可知：最小值大于4．【解答】解：A．当x＜0时，＝﹣4，当且仅当x＝﹣2时取等号．因此此时A无最小值；B.＝＝4，当且仅当x2+2＝1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；C.＝4，当且仅当，解得e x＝2，即x＝ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；D．当0＜x＜π时，sin x＞0，∴＝4，当且仅当，即sin x ＝2时取等号，但是sin x不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．综上可知：只有C满足条件．故选：C．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，特别注意“＝”是否取到．11．（5分）x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14B．7C．18D．13【分析】作出可行域，得到目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b＝7，利用基本不等式即可．【解答】解：∵x、y满足约束条件，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x＝3，y＝4，即C（3，4），∵目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b＝7（a＞0，b＞0），∴＝（3a+4b）•（）＝（9++16+）≥（25+2）＝×49＝7（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．故选：B．【点评】本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．12．（5分）有下列结论：（1）命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题（2）设，q：x2+x﹣2＞0则p是q的充分不必要条件（3）命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题．（4）非零向量与满足，则与的夹角为300其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】由完全平方数非负，可判断（1）；由分式不等式和二次不等式的解法化简可得p，q，再由充分必要条件的定义，可判断（2）；求得原命题的否命题，即可判断（3）；运用向量的平行四边形和三角形法则，以及向量的夹角，可判断（4）．【解答】解：对于（1），∀x∈R，x2≥0，故（1）为假命题；对于（2），设，q：x2+x﹣2＞0，可得P：x＞0或x＜﹣2；q：x＞1或x＜﹣2．由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故（2）错误；对于（3），命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为若ab≠0，则a≠0且b≠0，其否命题是真命题，故（3）错误；对于（4），非零向量与满足，可设＝，＝，＝+，＝﹣，可得△OAB为等边三角形，四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得与的夹角为30°，故（4）正确．故选：C．【点评】本题考查简易逻辑和平面向量的夹角，考查判断能力和运算能力，属于基础题．二．填空题13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，4]，x2≥a，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤﹣2}．【分析】求出命题p是真命题时a的范围，命题q是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：命题p：∀x∈[1，4]，x2≥a，是真命题，∴a≤1；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，是真命题，则△＝（2a）2+4a﹣8≥0，解得a≤﹣2或a≥1．命题“p且q”是真命题，p、q都是真命题，则实数a的取值范围为：a＝1或a≤﹣2．故答案为：{a|a＝1或a≤﹣2}．【点评】本题考查命题的真假的判断，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查．14．（5分）若数列满足{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝n，则数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*．【分析】由数列的恒等式a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1），结合等差数列的求和公式，可得所求通项公式．【解答】解：数列满足{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝1+1+2+…+（n﹣1）＝1+n（n﹣1）＝，故答案为：，n∈N*．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式和等差数列的求和公式，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则数列{a n}的前n项和S n＝2n+1﹣2．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2+a4＝20，a3+a5＝40，可得a3+a5＝40＝q（a2+a4）＝20q，解得q，可得20＝a2+a4＝a1（2+23），解得a1．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4＝20，a3+a5＝40，∴a3+a5＝40＝q（a2+a4）＝20q，解得q＝2，∴20＝a2+a4＝a1（2+23），解得a1＝2．则数列{a n}的前n项和S n＝＝2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2＝0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2＝0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d＝＝，则|OM|的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．三、解答题（注释）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝．（1）求sin A的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求sin A的值；（2）根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝，∵，∴，即．（2）∵c2＝a2+b2﹣2ab cosC，∴，即2b2﹣3b﹣2＝0，解得b＝2，∴三角形的面积S＝．【点评】本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用，涉及的公式较多．18．（12分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）＝ax2+（a﹣b）x﹣c．（1）求证：函数y＝f（x）必有两个不同的零点；（2）若函数y＝f（x）的两个零点分别为m，n，试将|m﹣n|表示成以t为自变量的函数，并求|m﹣n|的取值范围；【分析】（1）先根据不等式的解集得二次方程的根，得ac＞0，再由判别式大于0得f（x）必有两个零点；（2）由根与系数关系及配方可得．【解答】解：（1）证明：由题意知a+b+c＝0，且﹣＞1，a＜0且＞1，∴ac＞0，∴对于函数f（x）＝ax2+（a﹣b）x﹣c，有△＝（a﹣b）2+4ac＞0，∴函数y＝f（x）必有两个不同的零点．（2）因为函数f（x）的两个零点为m，n，所以ax2+（a﹣b）x﹣c＝0的两根为m，n，所以m+n＝，mn＝﹣∴|m﹣n|2＝（m+n）2﹣4mn＝+4，∵b＝﹣（a+c），∴|m﹣n|2＝（）2+8•+4由不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t）可知，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为1和t（t＞1），由根与系数关系知＝t，∴|m﹣n|2＝t2+8t+4，∴|m﹣n|＝，t∈（1，+∞），∴|m﹣n|＞，∴|m﹣n|的取值范围为（，+∞）．【点评】本题考查了函数与方程的应用．属中档题．19．（12分）从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率．【分析】（I）根据茎叶图，我们结合甲乙两名运动员的成绩，我们可以求出两个人的平均成绩，从而比较出两个人的平均水平；也可计算出两个人的方差（或标准差），从而比较出两个人发挥的稳定性；也可计算出两个运动员成绩的中位数，找到他们的数据中心点．（II）设甲乙成绩至少有一个高于8.5分为事件A，我们先计算出从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩的所有抽取方法总数，和满足甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的抽取方法，代入古典概型公式即可求出答案．（III）根据已知中甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）①由样本数据得，可知甲、乙运动员平均水平相同；②由样本数据得s甲2＝0.49，s乙2＝0.44，乙运动员比甲运动员发挥更稳定；③甲运动员的中位数为8.35，乙运动员的中位数为8.35…（4分）（Ⅱ）设甲乙成绩至少有一个高于8.5分为事件A，则…（6分）（Ⅲ）设甲运动员成绩为x，则x∈[7.5，9.5]乙运动员成绩为y，y∈[7，10]…（8分）设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于0.5的事件为B，则…（12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，几何概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．20．（12分）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由a7＝4，a19＝2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由＝＝，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7＝4，a19＝2a9，∴解得，a1＝1，d＝∴＝（II）∵＝＝∴s n＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，P A＝PD＝AD＝2BC＝2，CD＝．（1）求证：PE∥平面BDM；（2）求三棱锥P﹣MBD的体积．【分析】（1）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，连接BE，因为BC ∥AD，DE＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，则根据线面平行的判定定理可知PE∥平面BDM．（2）由于平面P AD⊥底面ABCD，PE⊥AD，由面面垂直的性质定理可知PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱锥P﹣DBC的高，且，又因为V P﹣DMB可看成V P﹣DBC和V M﹣DBC差构成，由（1）知MO是三棱锥M﹣DBC的高，由此能求出三棱锥P﹣MBD的体积．【解答】（1）证明：连接BE，因为BC∥AD，DE＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，又MO⊂平面BDM，PE⊄平面BDM，所以PE∥平面BDM．（2）解：V P﹣DMB＝V P﹣DBC﹣V M﹣DBC，由于平面P AD⊥底面ABCD，PE⊥AD，PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱锥P﹣DBC的高，且由（1）知MO是三棱锥M﹣DBC的高，，，所以，则．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，其前n项和为T n，求T n．【分析】（1）利用公式a n+1＝S n+1﹣S n即可得出a n+1+1＝2（a n+1），故数列{a n+1}为等比数列，利用等比数列的通项公式得出a n+1，从而得出a n；（2）化简b n＝n•2n﹣n，再使用分项求和和错位相减法求和得出T n．【解答】解：（1）∵S n+n＝2a n，∴S n+1+（n+1）＝2a n+1，∴a n+1+1＝2a n+1﹣2a n，即a n+1+1＝2（a n+1），又a1+1＝2a1，∴a1＝1．∴{a n+1}是以2为首选，以2为公比的等比数列．∴a n+1＝2n，∴a n＝2n﹣1．（2）b n＝（2n﹣1）log22n＝n（2n﹣1）＝n•2n﹣n．∴T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n﹣（1+2+3+…+n）＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n﹣．设1•2+2•22+3•23+…+n•2n＝A n，则1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1＝2A n，两式相减得2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣A n，∴﹣A n＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴A n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣．【点评】本题考查了等比关系的判断，数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初联考数学(理)试题
【全国校级联考】辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}/20S x x =-<，{}/T x x a =<，若S T S ⋂=,则 A ．2a ≥B ．2a ≥-C ．2a ≤D ．2a ≤-2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．2x y x =+ B ．1y x x -=+C ．211y x =+ D ．22x x y -=-3．已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．19-D ．79-4．已知12,e e 是夹角为90的两个单位向量，且12123,2a e e b e e =-=+，则向量,a b 的夹角为 A ．120B ．60C ．45D ．305．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．26．从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是 A ．25B ．815C ．35D ．237．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．BC D8．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02上的最小值为（ ）A ．1-BC ．D ．2-9．若底面边长是1 的正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 A ．23πB ．43π C ．2πD ．83π 10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。
《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 2．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支3．焦点坐标为()()0,3,0,3-，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110091x y +=B ．2100y 2191x +=C ．2212516y x +=D ．2212516x y +=4．若直线1:310l ax y ++=与()2:2110l x a y +++=互相平行，则a 的值是（ ） A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3或2-5．已知圆1C ：2221(2)x y r ++=与圆2C ：2222(4)x y r -+=外切则圆1C 与圆2C 的周长之和为( ) A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π6．已知圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，则k 的值为( ) A ．1-B ．1C ．1±D ．07．一条光线从点()2,3-射出，经x 轴反射后与圆2264120x y x y +--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．65或56B ．45或54C ．43或34D ．32或238．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F ∆的面积是（ ）AB ．2C ．D9．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1B C D ．210．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD二、多选题11．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是（ ）A ．若C 为椭圆,则13t <<B ．若C 为双曲线,则3t >或1t < C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为3，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=曲线2C 和椭圆1C 有相同焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，则（ ）A ．212e e = B ．12e e ⋅=C ．221252e e +=D ．22211e e -=三、双空题14．直线:10l mx y m +--=过定点_____；过此定点倾斜角为2π的直线方程为_____． 15．在平面直角坐标系xOy 中 ，(1,1),(1,1),A B P --是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，动点P 的轨迹方程C 为___________；直线1x =与轨迹C 的公共点的个数为_____.16．已知双曲线C 的中心在原点，虚轴长为6，且以椭圆22165x y +=的焦点为顶点，则双曲线C 的方程为_____；双曲线的焦点到渐近线的距离为_____.17．在平面直角坐标系xOy 中 ，已知椭圆()22:144y x C m m m +=>-，点(2,2)A -是椭圆内一点，(0,2)B -，若椭圆上存在一点P ，使得8PA PB +=，则m 的范围是______；当m 取得最大值时，椭圆的离心率为_______.四、解答题18．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P （1）若直线l 平行于直线3290x y --=，求直线l 的方程； （2）若直线l 垂直于直线3280x y --=，求直线l 的方程.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，cos 3A =，2B A =.（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 20．已知圆C 的圆心在直线210x y --=上，且圆C 经过点(4,2),(0,2)A B . （1）求圆的标准方程；（2）直线l 过点(1,1)P 且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.21．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值．22．设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b =1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．23．已知圆221:140F x y ++-=和定点)2F ，其中点1F 是该圆的圆心，P是圆1F 上任意一点，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，设动点E 的轨迹为C ． （1）求动点E 的轨迹方程C ；（2）设曲线C 与x 轴交于,A B 两点，点M 是曲线C 上异于,A B 的任意一点，记直线MA ，MB 的斜率分别为MA k ，MB k ．证明：MA MB k k ⋅是定值；（3）设点N 是曲线C 上另一个异于,,M A B 的点，且直线NB 与MA 的斜率满足2NB MA k k =，试探究：直线MN 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角. 【详解】设直线的斜率为k ，且倾斜角为α，则10101k --==-， 根据tan 1α=，而[)0,απ∈，故4πα=，故选D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题. 2．A 【分析】根据PM PN MN -=可得动点P 的轨迹. 【详解】因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线， 其方程为：0,3y x =≥，故选A . 【点睛】利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹时，要注意定义中规定的条件，如双曲线的定义中，要求动点到两个定点的距离的差的绝对值为常数且小于两个定点之间的距离并且两个定点及动点是在同一个平面中. 3．C 【分析】根据长轴长算出a 后可得b 的值，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a =，因为半焦距3c =，故4b =，又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为2212516y x+= ，故选C【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应. 4．A 【分析】根据两条直线平行的条件列式，由此求解出a 的值. 【详解】由于两条直线的平行，故31211a a =≠+，解得3a =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】由两圆外切1212r r C C +=，再计算两圆的周长之和． 【详解】圆1C ：2221(2)x y r ++=与圆2C ：2222(4)x y r -+=外切，则1212426r r C C +==+=，∴圆1C 与圆2C 的周长之和为()121222212r r r r ππππ+=+=．故选：B ． 【点睛】本题考查了两圆外切与周长的计算问题，是基础题． 6．A 【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，代入y x =求得k ，验证4410k k -+>可得答案． 【详解】化圆2222240x y k x y k ++++=为2224()(1)41x k y k k +++=-+． 则圆心坐标为()2,1k --，圆2222240x y k x y k ++++=关于y x =对称，所以直线y x =经过圆心，21k ∴-=-，得1k =±．当1k =时，4410k k -+<，不合题意，1k ∴=-．故选A ． 【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化以及圆的几何性质的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 7．C 【分析】求出点()2,3-关于x 轴的对称点Q ，再求出过Q 且与已知圆相切的直线的斜率即为反射光线所在直线的斜率. 【详解】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为1d R ===，解得43k =或34k =，故选C.【点睛】解析几何中光线的入射与反射，常转为点关于直线的对称点来考虑，此类问题属于基础题. 8．A 【分析】由椭圆的定义得出124PF PF +=，结合122PF PF -=，可求出1PF 和2PF ，利用勾股定理可得出2222121PF F F PF +=，可得出212PF F F ⊥，然后利用三角形的面积公式可计算出12PF F ∆的面积. 【详解】由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1231PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，12F F ==2212212PF F F PF ∴+=，212PF F F ∴⊥.因此，12PF F∆的面积为1212211122PF F S F F PF ∆=⋅=⨯=故选：A. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 9．D 【分析】先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值． 【详解】圆224x y +=在点(-处的切线为:4l x -+=，即:40l x -+-=， 点P 是圆22(2)1xy -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:40l x -+=的距离3d ==，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题. 10．B 【分析】利用定义求出14PF a =，22PF a =，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，从而得出1260F PF ∠=，在12F PF ∆内使用余弦定理可得出a 与c 的等量关系，从而得出双曲线的离心率. 【详解】由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅，c ∴=，ce a∴== 故选B. 【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值. 11．AD 【分析】就t 的不同取值范围分类讨论可得曲线C 表示的可能的类型. 【详解】若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若1t <，则方程可变形为22131x y t t-=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆；若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，综上，选AD. 【点睛】一般地，方程221mx ny +=为双曲线方程等价于0mn <，若0,0m n ><，则焦点在x 轴上，若0,0m n <>，则焦点在y 轴上；方程221mx ny +=为椭圆方程等价于0,0m n >>且m n ≠，若m n >，焦点在y 轴上，若m n <，则焦点在x 轴上；若0m n =>，则方程为圆的方程. 12．BC 【分析】由离心率公式22222c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A 到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN ∠的值. 【详解】双曲线2222:1y ,x y b C x a b a -==±的渐近线方程为离心率为c a =222222222411,33c a b b b b a a a a a 则则，+==+===故渐近线方程为y x =±， 取MN 的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d AP ab c==, 则cos ab AP a c PAN AN b c∠===， 所以221cos cos 2212a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=则60MAN ∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题. 13．BD 【分析】如图所示，设双曲线的标准方程为：2222111x y a b -=，()11,0a b >半焦距为c .根据椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=.可得12,2F MF b c π∠==，可得1e ，设1PF m =，2PF n =.利用定义可得：12,2m n a m n a +=-=.可得22()()4m n m n mn +--=.在12PF F ∆中，由余弦定理可得：222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简利用离心率计算公式即可得出. 【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：()221122111,0x y a b a b -=>，半焦距为c .∵椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=. ∴122F MF π∠=，∴b c =，∴222a c =.∴1c e a ==. 不妨设点P 在第一象限，设1PF m =，2PF n =. ∴2m n a +=，12m n a -=.∴22221()()4m n m n mn a a +--==-.在12PF F ∆中，由余弦定理可得：()2222222142cos()3433c m n mn m n mn a a a π=+-=+-=--∴222143c a a =+.两边同除以2c ，得2212134e e =+，解得：2e =.∴12e e ⋅==,22211e e -=. 故选：BD. 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 14．()1,1 1x = 【分析】把直线方程整理为()110m x y -+-=后可得所求定点及过此点且倾斜角为2π的直线方程. 【详解】直线l 方程可整理为()110m x y -+-=， 故直线l 过定点()1,1，过此点且倾斜角为2π的直线方程为1x =. 故分别填()1,1，1x =. 【点睛】一般地，如果直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交于点P ，那么动直线()()1112220A x B y C A x B y C R λλ+++++=∈必过定点P .15．2231(1)44x y x +=≠± 0【分析】设(),P x y ，求出直线AP 与BP 的斜率后可得动点P 的轨迹方程，注意1x ≠±，故可得直线1x =与轨迹C 的公共点的个数. 【详解】设(),P x y ，则11,11AP BP y y k k x x -+==+-， 故2211111113AP BPy y y k k x x x -+-=⨯==-+--，整理得到223144x y +=，其中1x ≠±， 故动点P 的轨迹方程为2231(1)44x y x +=≠±.又直线1x =与轨迹C 的公共点的个数为0.故分别填2231(1)44x y x +=≠±，0.【点睛】对于椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，如果,A B 为椭圆上的定点且关于原点对称，那么对于椭圆上的动点P ，当直线AP 与BP 的斜率都存在的时候，那么22AP BPb k k a=-总成立.16．2219y x -= 3【分析】求出椭圆的半焦距后结合虚轴长可得双曲线的方程以及焦点到渐近线的距离. 【详解】因为椭圆22165x y +=1=，故双曲线C 的实半轴长为1，而其虚半轴长为3，故双曲线的方程为2219y x -=.双曲线的渐近线方程为：30x y ±=，焦点坐标为()，所以焦点到渐近线的距离为3d ==，故分别填2219y x -=，3.【点睛】求圆锥曲线标准方程，一般有定义法和待定系数法，前者可根据定义求出基本量的大小，后者可根据条件得到关于基本量的方程组，解这个方程组可得基本量，本题已知一个基本量，只需求出另一个基本量即可，此类问题为基础题. 17．(625⎤+⎦25【分析】先根据(2,2)A -在椭圆内部得到m 的取值范围，再求出PA PB +的取值范围，根据8PA PB +=得到关于m 的不等式组，两者结合可求m 的取值范围，当m 取得最大值时，可根据公式计算其离心率. 【详解】因为点(2,2)A -是椭圆内一点，故4414m m +<-， 由44144m m m ⎧+<⎪-⎨⎪>⎩可得6m >+. (0,2)B -为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为F，则PA PB PA PF +=-，而2PA PF AF -≤=，当且仅当,,P A F 三点共线时等号成立，故2PA PB ≤+≤，所以28≤≤， 所以425m ≤≤，故625m +≤.m 的最大值为25，此时椭圆方程为22:12521y x C +=，故其离心率为255=，故分别填：625m +<≤，25. 【点睛】点()P m n ,与椭圆的位置关系可通过2222m n a b +与1的大小关系来判断，若22221m n a b +<，则P在椭圆的内部；若22221m n a b +=，则P 在椭圆上；若22221m n a b+>，则P 在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑． 18．（1）32100x y -+=（2）2320x y +-= 【分析】两直线联立可求得交点坐标；（1）根据平行关系可设直线为320x y m -+=，代入交点坐标即可求得结果；（2）根据垂直关系可设直线为230x y n ++=，代入交点坐标可求得结果. 【详解】由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得P 点坐标为：()2,2-（1）由于所求直线l 与直线3290x y --=平行 可设所求直线l 的方程为320x y m -+=将点P 的坐标代入得：()32220m ⨯--⨯+=，解得：10m =∴所求直线l 的方程为：32100x y -+=（2）由于所求直线l 与直线3280x y --=垂直 可设所求直线l 的方程为：230x y n ++=将点P 的坐标代入得：()22320n ⨯-+⨯+=，解得：2n =-∴所求直线l 的方程为：2320x y +-=【点睛】本题考查交点坐标求解、根据直线的位置关系求解直线方程的问题，关键是明确平行或垂直时的直线系方程的形式.19．；（Ⅱ）16【分析】（Ⅰ）由于2B A =，计算出sin B 再通过正弦定理即得答案； （Ⅱ）可先求出cos B ，然后利用和差公式即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）解：cos 3A =，且()0,A π∈，∴sin 3A =， 又2B A =，∴sin sin22sin cos B A A A ===由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin 3a B b A ==，∴b 的值为3. （Ⅱ）由题意可知，21cos cos22cos 13B A A ==-=-， ∴sin sin cos cos sin 666B B B πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.20．(1)22(2)(3)5x y -+-=；(2)1x =或3410x y -+=. 【分析】（1）先求AB 的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心C 到直线l 距离，设直线l 点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件. 【详解】（1）设圆心为M ，则M 应在AB 的中垂线上，其方程为2x =，由222103x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，即圆心M 坐标为()2,3又半径r MA ==()()22235x y -+-=.（2）点()1,1P 在圆内，且弦长为4<.圆心到直线距离1d ==.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =， 此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为k ，直线方程为()11y k x -=- 整理为10kx y k --+=，则圆心到直线距离为1d ==，解得34k =，直线方程为3410x y -+=，综上①②，所求直线方程为1x =或3410x y -+=.21．（1）42nn a -=；（2）6或7.【分析】 （1）由题意有12q =，18a =，再由等比数列通项公式可得解； （2）由题意可得{}n b ，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，由等差数列前n 项和公式运算即可得解.【详解】解：（1）132435225a a a a a a ++=，可得2222244242()25a a a a a a ++=+=， 由32a =，即212a q =，①，可得10a >，由01q <<，可得0n a >， 可得245a a +=，即3115a q a q +=，② 由①②解得1(22q =舍去），18a =，则1418()22n nn a --==；（2）2log n n b a ==42log 2n-=4n -，即{}n b 为以3为首项，-1为公差的等差数列，可得217(34)22n n n S n n -=+-=，72n S n n -=， 则125731222n S S S nn -++⋯+=++⋯+ 221713113169(3)()2244216n n n n n --=+==--+，可得6n =或7时，1212n S S S n ++⋯+取最大值212． 故n 的值为6或7． 【点睛】本题考查了等比数列的通项及等差数列前n 项和公式，属中档题. 22．（1）43（2）b =【详解】(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43. (2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组222{1y x c y x b+＝＋，＝ 消去y ，得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0，则x 1＋x 2＝221c b -+，x 1x 2＝22121b b-+. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB ||x 2－x 1|，即43|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝()2224(1)1b b -+－()224(12)1b b -+＝()42281b b +，解得b＝2.23．（1）22142x y +=；（2）证明见解析；（3）是，2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用椭圆的定义可求曲线C 的轨迹方程.（2）设()00,M x y ，算出MA k ，MB k 后计算MA MB k k ⋅，利用M 在椭圆上化简可得定值. （3）根据（2）的结论可得1NB MB k k ⋅=-，因此NB MB ⊥，从而0BN BM ⋅=．直线MN 的斜率存在时，可设MN 的方程为()()1122,,,,y kx b M x y N x y =+，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简0BN BM ⋅=可得23b k =-，从而得到直线MN 经过定点，当直线MN 的斜率不存在时可验证直线MN 也过这个定点．（1）依题意可知圆1F的标准方程为(2216x y ++=，因为线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点E ，所以2EP EF =，动点E始终满足12124EF EF r F F +==>=E 满足椭圆的定义,因此24,2a c ==2,a b c ===C 的方程为22142x y +=.（2）()()2,0,2,0A B -，设()00,M x y ，则22000220000*********MAMBx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---； （3）2NB MA k k =，由（2）中的结论12MA MB k k ⋅=-可知1122NB MB k k ⋅=-， 所以 1NB MB k k ⋅=-，即NB MB ⊥，故0BN BM ⋅=.当直线MN 的斜率存在时，可设MN 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，由2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()()222124220k x kmx m +++-=， 则212122242(2),1212km m x x x x k k--+=⋅=++（*），()()()()()()112212122,2,22BN BM x y x y x x kx m kx m ∴⋅=-⋅-=-⋅-++⋅+()()()2212121240k x x km x x m =++-⋅+++=，将（*）式代入可得223480m k km ++=，即()()2230k m k m ++=， 亦即20k m +=.或230k m +=.当2m k =-时，()22y kx k k x =-=-，此时直线MN 恒过定点()2,0（舍）；当23m k =-时，2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时直线MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线MN 的斜率不存在时，经检验，可知直线MN 也恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线MN 恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 Word版含答案
2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考数学试题命题学校：凤城一中 命题人： 校对人：一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）1. 已知椭圆方程为12422=+y x ，则椭圆的焦点坐标为（ ）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0,2221F FB .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,0,2121F FC .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21,021F FD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,0,22,021F F 2. 已知平面α上三点()()()1,2,4,0,2,1,1,2,3---C B A ,则平面α的一个法向量为（ ）A ．()16,9,4--B ．()16,9,4-C ．()4,9,16--D ．()4,9,16- 3. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A. (x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55. 已知四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点，则→→⋅GF GE 等于( )A ．1B ．1-C ．4D ．4-6. 已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )A ．1B ．2C .5D ．2 57. 已知椭圆159:22=+y x C 的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点()32,0A ,则APF ∆的周长最大值为（ ）A.219+B.5327++C.14D.315+8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。
辽宁省六校协作体高二数学上学期期中试题 理
辽宁省六校协作体2021-2022高二数学上学期期中试题 理一选择题（共10道题，每题4分，共40分。
每题4个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.已知a ＝(2，－3,1)，则下列向量中与a 平行的是( )A ．(1,1,1)B ．(－4,6，－2)C ．(2，－3,-1)D ．(－2，－3,1) 2.已知两条直线12:210,:4220l x y l x y +-=++=，则12,l l 的距离为（ ）A.255 B. 3555253. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=2a =（ ）A. 0或-1B.0C. 7D. -1或74.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．43 B ．53C ． 54D ．74 5.C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 712π，则椭圆C 的方程为（ ） A. 22341x y += B. 229116x y += C. 22341x y += D. 221691x y +=6.动直线():22= 0l x my m m R ++-∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A ,B ,则弦AB 最短为A ．3 B.6 C ．42．257.设抛物线2y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 3||PF =（ ）A.23 B. 43C. 73 D.422221(0)x y b a a b+=>>上一点P 向y 轴作垂线，垂足恰为上焦点F 又点A 是椭圆与y 轴负半轴的交点，点B 是椭圆与x 轴负半轴的交点，且 AB //OP ，227182F A =+，则椭圆方程为（ ）A.22x 12y += B.225110x y +=C 22481x y += D.229y 118x += 9.如图，在边长为2的正方体''''D C B A ABCD -中，P 为平面ABCD 内的一动点，BC PH ⊥于H ，若4|||'|22=-PH PA ，则点P 的轨迹为（ ）A.椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆10.已知A ，B ，P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上不同的三点，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，且12k k ，是最新x 的方程2430x mx ++=的两个实数根，若0OA OB +=，则双曲线C 的离心率是（ ）7B. 232二．多选题（共3小题，每题4分，共12分。
2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题(解析版)
2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题一、单选题1．cos 4260=（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】A【解析】先利用诱导公式化为cos 4260cos300=，在将300表示为36060-，利用诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果． 【详解】1cos 4260cos(36011300)cos300cos(36060)cos602=⨯+==-==，故选A ． 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，利用诱导公式求值是，首先利用诱导公式将角化为0~360内的角，然后考查变化后所在的象限，利用诱导公式转化为锐角三角函数值求解，考查运算求解能力，属于基础题．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A ．a b ⊥B ．a b =C ．//a bD ．a b >【答案】A【解析】化简条件a b a b +=-，两边平方可得选项. 【详解】解法一：∵a b a b +=-， ∴22a b a b +=-.∴222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+. ∴0a b ⋅=.∴a b ⊥. 故选:A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设,AB a AD b ==， 由a b a b +=-知AC DB =，从而可知四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a b ⊥. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.4．从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：基本事件总数为246C =（种），这名女生被选中的有11133C C =（种）故概率3162P == 故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.5．函数()11()()142xxf x =-+在[]1,2-的最小值是（ ）A ．1B ．1316C ．34D ．3【答案】C【解析】设1()2xt =，得到11()[,2]24=∈xt ，进而得到()213()24f t t =-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()21111()()1()()14222xxxx f x =-+=-+， 设1()2xt =，因为[]1,2x ∈-，则11()[,2]24=∈xt ，则函数()22131()24f t t t t =-+=-+， 当12t =时，取得最小值()min 34f t =.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知60C =︒，b =c =sin A =（ ）A ．B ．4C ．2D ．12【答案】A【解析】首先根据正弦定理求角B ，再根据()sin sin A B C =+求值. 【详解】根据正弦定理可知sin sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，因为b c <，所以4B π=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+21232622224+=⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理，以及三角恒等变形，重点考查计算能力，属于基础题型.7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为()A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45【答案】C【解析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．【详解】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN 、QM ∥PN ， 则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选C ． 【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．8．设偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()()f x f x x+->的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()()1,00,1-【答案】A【解析】首先可根据函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，得出函数()f x 在()0,∞+上的函数值的正负情况，然后根据函数()f x 是偶函数，得出函数()f x 在(),0-∞上的函数值的正负值情况，最后将()()0f x f x x+->转化为()20f xx>，结合函数值的大小即可得出结果. 【详解】因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()10f =， 所以当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <， 因为函数()f x 是偶函数，所以当1x <-时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x <，()()0f x f x x +->，即()20f x x >，x 与()f x 的符号相同，故不等式()()0f x f x x+->的解集为()()1,01,-⋃+∞，故选：A. 【点睛】本题考查抽象不等式的求解，利用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，考查推理能力，是基础题.二、多选题9．已知向量()1,2a =-，()2,4b =-，则（ ）A ．//a bB ．()5a b a +⋅=-C ．()b a b ⊥-D ．2a b =【答案】ABD【解析】根据向量的坐标分别计算数量积和向量的模，以及根据平行和垂直的坐标表示，判断选项. 【详解】A.()()14220⨯--⨯-=，所以//a b ，故A 正确；B.()1,2a b +=-，()()11225a b a +⋅=-⨯+⨯-=-，故B 正确；C.()3,6a b -=-，()()2346300b a b ⋅-=-⨯+⨯-=-≠，所以C 不正确； D.5a =，()222425b =-+=，所以2a b =，故D 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 10．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ(0>ω，π02ϕ<<)的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数()y g x =的图象，则下列命题正确的是（ ）A ．()y g x =是奇函数B ．函数()g x 的图象的对称轴是直线ππ4x k =+()k Z ∈ C ．函数()g x 的图象的对称中心是π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈ D ．函数()g x 的单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【答案】AD【解析】根据图像求解出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，然后向右平移π8个单位后得到()y g x =的解析式，根据其性质得到其奇偶性、对称性、单调区间. 【详解】 由图可知:2A =，()4884T πππ=--=,即2T ππω==,解得2ω=，又当8x π=时，2y =，解得4πϕ=，所以()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数2sin 2g x x ，则函数2sin 2g x x 是奇函数，对称轴是直线ππ24k x =+()k Z ∈，对称中心是π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈，单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； 故选：AD 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解三角函数解析式和三角函数的性质，属于中档题目，解题中需要根据图像准确计算出周期的大小，进而计算出ω，再利用代入法求解出ϕ的大小，注意代入的点应该是最值点，零点代入要慎重.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD【解析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D. 【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD △为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD △中,AC =,在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.12．给出下列命题，其中正确命题的有：（ ）A ．若α，β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；B ．不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=； C ．函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形.【答案】BCD【解析】A.举例说明不成立；B.利用辅助角公式求函数sin cos y αα=+的最大值，判断选项；C.求24x π-的范围，利用复合函数的单调性判断选项；D.代入3x π=，计算y值，再判断选项. 【详解】A.当4πα=，136βπ=时，tan 1α=，13tan tan 63πβ==，tan tan αβ>，故A 不正确；B.sin cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭32<，不不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=成立，故B 正确； C.sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,,42622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据复合函数单调性可知，函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 正确； D.当3x π=时，sin 2033y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查三角函数的性质的综合应用，属于基础题型.三、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【解析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】 如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB )＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为__________【答案】45. 【解析】先证出B 1D ⊥平面AC 1，过A 点作AG ⊥CD ，证AG ⊥平面B 1DC ，可知∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角，求其正弦即可． 【详解】如图，连接B 1D ，因为三角形111A B C 为正三角形，则111B DA C ， 又平面111ABC ⊥平面AC 1，交线为11A C ，B 1D ⊂平面111A B C ，则B 1D ⊥平面AC 1， 过A 点作AG ⊥CD ，则由B 1D ⊥平面AC 1，得AG ⊥B 1D ，由线面垂直的判定定理得AG ⊥平面B 1DC ， 于是∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角， 由已知，不妨令棱长为2，则可得AD 5==CD ，由等面积法算得AG 1455AC AA CD ⨯==所以直线AD 与面DCB 1的正弦值为=AG AD45；故答案为45． 【点睛】考查正棱柱的性质以及线面角的求法．考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，tan BCD ∠=，则ABC 的面积为________．. 【解析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】tan tantan tan()1tan tan ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.四、双空题16．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】2 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．五、解答题 17．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.【答案】(1) 3±(2)0 【解析】(1)抓住角的关系:5()12212πππα=--,利用诱导公式求出cos(12πα- ) ,再根据同角公式即可求得答案;(2)根据已知求出,αβ的正余弦值后,代入两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】 解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-， 因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=-所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了诱导公式,同角公式,三角函数的定义,两角差的余弦公式,抓住角的关系是解题关键,本题属于基础题. 18．已知()1,2a =，()3,2b =-.（1）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -平行？平行时，它们是同向还是反向？ 【答案】（1）19k =；（2）当13k =-平行，反向.【解析】（1）当()()30ka b a b +⋅-=时，利用数量积的坐标表示求k ；（2）由条件可知，假设存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-，列式求λ和k ，并根据λ的正负，判断两向量同向还是反向. 【详解】（1）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()31,233,210,4a b -=--=-.当()()30ka b a b +⋅-=时，这两个向量垂直. 由()()3,2210,40k k -+⋅-=， 得()()()1032240k k -++⋅-=.解得19k =，即当19k =时，ka b +与3a b -垂直.（2）.当ka b +与3a b -平行时，存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-， 由()()3,2210,4k k λ-+=-，得310,224,k k λλ-=⎧⎨+=-⎩解得1,31,3k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即当13k =-时，ka b +与3a b -平行，∴当ka b +与3a b -平行时，13ka b a b +=-+，∵103λ=-<， ∴13a b -+与3a b -反向. 【点睛】本题考查根据向量垂直和平行求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，2PC PD ==，E 为PB 中点．（1）求证：//PD 平面ACE ； （2）求三棱锥P AEC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）16． 【解析】（1）根据题意，连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，由中位线定理可得//EF PD ，故而//PD 平面ACE（2）根据题意，E 为PB 中点，所以三棱锥P AEC -的体积等于三棱锥E ABC -的体积，即为三棱锥P ABC -的一半，通过证明PD ⊥平面PBC ，PD 即为三棱锥P ABC -的高，则通过计算12E ABC P ABC V V --=得出结果。
辽宁省六校协作体高二数学上学期开学考试试题(含解析)
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
【答案】D
【解析】
分析】
逐个选项一一分析，得出正确选项.
【详解】A.设 ，只有当 时，才有 ，其他情况都不垂直，故A不正确；
B.当两平面相交时，直线 平行于交线（且不在两平面内）时，直线与两平面平行，故B不正确；
C.应推出 ，故C不正确；
D. 时,能推出 ，D正确.
故选D.
【点睛】本题考查了线线，线面，和面面的位置关系，属于基础题型.
，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
当 时， ，故其在 内单调递增，又∵函数定义域为 ， ，故其为偶函数，综上可得 在 内单调递减，在 内单调递增且图象最新 轴对称， 即 等价于 且 ，即不等式的解集为 ，故选C.
【详解】 ，根据正弦定理可知 ；
由已知可知 ，那么设 ，根据余弦定理可知， ，解得 ，
设 边的中点为点 ，那么 ，
根据余弦定理， ，代入可得 ，
解得 .
故填： .
【点睛】本题重点考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题型.
定义域为 ，当 时， ，则 是单调递______函数，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是____．
试题解析：（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，频率分布直方图如下图．
(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）
为：1 0.01×10 0.015×10=75﹪
+85×0.25+95×0.05=71
(Ⅲ)成绩在[40，50）的学生人数为
0.010×10×60=6
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期初考试数学试卷
(x)
0的
解集为( )
A． 1,0 1,
B． ,1 0,1
C． ,1 1,
D． 1,0 0,1
（多选题）
9..已知向量 a (1, 2),b (2, 4) ,则(
A. a / /b
B. (a b) a 5
)
C. b (a b)
D. 2 a b
10.如图是函数
f
(x)
A sin( x
形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平
方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜
平方，送到上面 得到的那个数，相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1
作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 px2 q 中， p 为“隅”， q 为“实”．即若 △ABC 的大斜、中斜、小斜分别为 a,b,c ，则
C.函数
y
sin(
π 4
2x)
在
π 8
,
5π 24
单调递减
D.函数
y
sin(2x
π) 3
的图象关于点
π 3
，0
成中心对称图形
二，填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.在平行四边形 ABCD
中, AB
e1, AC
e2 , NC
1 4
AC , BM
1 MC ,则MN 2
∵ 1 0, 3
∴ 1 a b 与 a 3b 反向. 3
19.（1）连接 BD 交 AC 于点 F ，连结 EF . 因为底面 ABCD 是矩形,所以 F 为 BD 中点. 又因为 E 为 PB 中点, 所以 EF / /PD . 因为 PD 平面ACE，EF 平面ACE ,
2020-2021学年辽宁省联合校高二(上)第一次月考数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年辽宁省联合校高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量，，则( )A. B. C. D.2.点到原点的距离为( )A. 1B. 3C. 5D. 93.已知向量，，且与互相垂直，则( )A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于( )A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是( )A. B. C. D.6.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则( )A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量，，表示向量，设，则x、y、z的值分别是( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则CD的长为( )A.B. 7C.D. 99.在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于( )A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则可表示为( )A. B. C. D.11.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法错误的是( )A. 平面B.C. 直线MN与平面ABCD所成角为D. 异面直线MN与所成角为12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是( )A. 平面平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为______.14.若，，则与同方向的单位向量是__________.15.在空间直角坐标系中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ的长度等于______.16.已知平行六面体所有棱长均为1，，则的长为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。