高中数学第二章数列习题课(1)课时作业新人教A版必修5

【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 数列习题课（1）课时作业 新人教A 版必修5 课时目标1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．要点回顾1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. 2．若数列{a n }为等差数列，则有：(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)前n 项和：S n ＝na 1＋n n －1 d 2＝n a 1＋a n 2. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )A ．24B ．22C ．20D ．－8答案 A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27答案 C解析 ∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13 a 1＋a 13 2＝13a 7＝26. 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C解析 设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100.又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5.∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0，∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80，∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.5．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 A解析 S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝ a 1＋a 12 ·122＝0，n <12时，S n >0.6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 008，其前n 项和为S n ，若S 2 0082 008－S 2 0062 006＝2，则S 2 012等于( )A ．－2 012B ．2 012C ．6 033D ．6 036答案 D解析 S n n ＝a 1＋ n －1 d 2， ∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2.∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2 ＝2 012×3＝6 036.二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 6＋a 7＋…＋a 10的值为________．答案 80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S p ＝S q (p ，q ∈N *且p ≠q )，则S p ＋q ＝________.答案 0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q ) ＝a (－b a )2＋b (－b a) ＝b 2a －b 2a＝0. 9．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______．答案 5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．10．已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)．∴a n ＝20＋ n －1 2n －2 2＝n 2－2n ＋21. 三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n n －1 2＋5n ＝70， 整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n n －1 2＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －1 2·4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)． 能力提升13．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且|a 10|<a 11，S n 为{a n }的前n 项的和，则下列结论正确的是( )A ．S 1，S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零B ．S 1，S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零C ．S 1，S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零D ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零答案 D解析 ∵S 19＝19 a 1＋a 19 2＝19a 10<0， S 20＝20 a 1＋a 20 2. 而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11，∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20 a 1＋a 20 2＝10(a 10＋a 11)>0. 又∵d ＝a 11－a 10>0.∴S n >0 (n ≥20)．14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________.答案 n 22－n 2＋3 解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为 n －1 1＋n －1 2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2＋3.1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．。