江苏省南京市联合体2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
一名身高为 188cm 的队员换下场上身高为 182cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身
高
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
、
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
5．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14
B．12
C．9
、
D．7
6．如图，△ABC 内接于⊙O，将B⌒C沿 BC 翻折，B⌒C交 AC 与点 D，连接 BD，若∠BAC＝68°，
则∠ABD 的度数为 A．22°
！
B．32°
C．44°
&
A
D．68°
D
'
（第 5 题）
O
B
C
（第 6 题）
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
7．将方程 x2－2＝7x 化成 x2＋bx＋c＝0 的形式，则 b＝▲．
…
（2）若方程有一个根为 3，求 m 的值及方程的另一个根．
20．（7 分）如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 M，且 AB＝CD，求证：BM＝DM．
，
C
A
M
O
~
D
【
B
21．（8 分）某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛．该校七、八年级各有学 生 400 人，各随机抽取 20 名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（单位： 分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
C 15﹪
B 10﹪
|
A 10﹪
~
D 40﹪
E 25﹪
c．八年级学生知识竞赛成绩在 D 组的是： 87 88 88 88 89 89 89 89
根据以上信息，回答下列问题：
！
（1）八年级学生知识竞赛成绩的中位数是▲分； （2）请你估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有多少人 （3）下列结论：①八年级成绩的众数是 89 分；②八年级成绩的平均数可能为 86 分；③
（第 14 题）C
（第 16 题）
}
三、解答题(本大题共 11 小题，共 88 分) 17．（8 分）解下列方程：
（1）x2－2x－3＝0；
（
（2）(x＋1)(x－2)＋2(2－x)＝0．
18．（7 分）甲乙两人在相同条件下完成了 10 次射击训练，两人的成绩如图所示．
￥
甲 10 次射击训练成绩条形统计图 次数
\
【点评】此题主要考查了一元二次方程的直接开平方法，正确把握解方程方法是解题关键．
2．把方程 x2＋8x＋7＝0 变形为(x＋h)2＝k 的形式应为
A．(x＋4)2＝－7
B．(x－4)2＝－7
￥
C．(x＋4)2＝9
【考点】一元二次方程的配方解
D．(x－4)2＝9
【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以 二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项 系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接 开平方法求出方程的解。
<
【点评】此题主要考查了直线和圆的位置关系。
4．某排球队 6 名场上队员的身高（单位：cm）是：180，182，184，186，190，194．现用 一名身高为 188cm 的队员换下场上身高为 182cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身 高
A．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小
B．平均数变小，方差变大 D．平均数变大，方差变大
（1）若购买树苗 70 棵，则每棵树苗的售价为 ▲ 元； （2）若该校最终向园林公司支付树苗款 8 800 元，则购买了多少棵树苗
]
26．（10 分）如图，以矩形 ABCD 的边 CD 为直径作⊙O，点 E 是 AB 的中点，连接 CE 交⊙O
于点 F，连接 AF 并延长交 BC 于点 H． （1）若连接 AO，试判断四边形 AECO 的形状，并说明理由；
D
C
D
C
-
A
）
A
!
图① B
图② B
(
&
2019～2020 学年度第一学期期中学情分析样题
九年级数学参考答案
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照 本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
#
;
1 题号
2
3
4
5
6
"
D．x1＝1，x2＝－1
A．(x＋4)2＝－7
&
C．(x＋4)2＝9
D．(x－4)2＝9
B．(x－4)2＝－7
3．已知⊙O 的直径为 4，点 O 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 与⊙O 的位置关系是
A．相交
、
C．相离
D．无法判断
B．相切
4．某排球队 6 名场上队员的身高（单位：cm）是：180，182，184，186，190，194．现用
.
∵∠B 和∠AEC 所对的弧是A⌒DC，
∴
▲
．
∴∠B＋∠ADC＝180°． 请把证法 1 补充完整，并用不同的方法完成证法 2． 证法 2：
（
-
25.（9 分）某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购 买树苗不超过 60 棵，每棵售价 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出 售的这批树苗每棵售价均降低元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元．
为▲°．
~
16．如图，矩形 ABCD 中，AD＝4，AB＝2．点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上的任意一点 （不与 B、C 重合），△EBF 沿 EF 翻折，点 B 落在 B'处，当 DB'的长度最小时，BF 的长 度为▲．
E
C
A
D
B'
]
A
-
A
O: B
H
O
D
"
E
D
B
|
B
F
C
（第 13 题）
^
a．七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80 分及以上）如下表 所示：
年级
平均数 中位数
众数
)
优秀率
七年级
84. 2
77
、
74 45﹪
b．八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如下（数据分为 5 组，A：50≤x≤59；
B：60≤x≤69；C：70≤x≤79；D：80≤x≤89；E：90≤x≤100）
…
【考点】平均数、方差 【分析】根据平均数的定义分别求出原数据和新数据的平均数、方差
【解答】原数据的平均数为 186(cm)，新数据的平均数为 187(cm),(2)换人后身高的方差为 59/3 原数据的平均数为（180+182+184+186+190+194）/6=186 新数据的平均数为：180+188+184+186+190+194）/6=187 原数据方差为：
∵AD=2，BC=5， ∴AB+CD=AD+BC=7， 故选：D． 【点评】此题主要考查了切线长定理。
6．如图，△ABC 内接于⊙O，将B⌒C沿 BC 翻折，B⌒C交 AC 与点 D，连接 BD，若∠BAC＝68°，
则∠ABD 的度数为
]
A．22°
B．32°
C．44°
A
>
D．68°
&
（第 5 题）
`
答案
A
C
C
D
C
B
1．方
程(x＋1)2＝4 的解为
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3 【考点】一元二次方程直接开平方法
<
C．x1＝2，x2＝－2
D．x1＝1，x2＝－1
【分析】直接利用一元二次方程直接开平方法得出答案．
【解答】x＋1=2 或 x＋1=-2，解得 x1＝1，x2＝－3，故选 A
…
1 180-1862 （182-186）2 （184-186）2 （186-186）2 （190-186）2 （194-186）2 68
6
3
新数据方差为：
1 180-1862 （188-186）2 （184-186）2 （186-186）2 （190-186）2 （194-186）2 62
D
O
B
！
（第 6 题）
C
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
6
3
所以平均数变大，方差变小。
【点评】此题主要考查了平均数的定义和方差公式，熟练掌握定义和公式是解题关键。
~
5．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14
B．12
C．9
D．7
{
【考点】切线长定理
【分析】根据切线长定理解题
【解答】∵AB、BC、CD、DA 都是⊙O 的切线，∴可以假设切点分别为 E、H、G、F， ∴AF=AE，BE=BH，CH=CG，DG=DF， ∴AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD，
O
·
P
图①
O
"
P
/
图②
^
24. （8 分）用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”．
2019-2020学年苏科版九年级数学上学期期中考试试卷(解析版)
2019-2020学年苏科版九年级数学上学期期中考试试卷一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2 B．x2﹣y+1＝0 C．x2＝0 D． +x＝2 2．如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆上，若∠A＝100°，则∠C的度数是（）A．60°B．80°C．90°D．100°3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的相邻外角的度数的3倍，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．9 C．8 D．75．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．100（1+x）2＝144 B．100（1﹣x）2＝144C．144（1﹣x）2＝100 D．144（1+x）2＝1006．下列说法正确的是（）A．经过三个点一定可以作圆B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．90°的角所对的弦是直径7．已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠OAB＝50°，则∠ACB的大小为（）A．25°B．40°C．25°或155°D．40°或140°8．已知：如右图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P在OM上，一只蚂蚁从点P 出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．9．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3 B．3.5 C．2 D．1.510．如图，一次函数y＝﹣2x与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最小值为，则k 的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）已知△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，则该三角形内切圆的半径为．12．（2分）圆锥的母线长为2，底面圆的周长为5，则该圆锥的侧面积为．13．（2分）如图，已知四边形ABCD，AB为⊙O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O于A、B、E，且AD＝2，BC＝5，则CD＝．14．（2分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是．15．（2分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且AO＝CD，则∠ACP的度数为．16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB延长线上一点，且AE＝6，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF＝．17．（2分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．18．（2分）已知⊙O的半径长为2，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．若S△AOD 是S△AOB和S△COD的比例中项，则OD的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）解下列方程：（1）（2x ﹣1）2﹣16＝0；（2）（x +2）2﹣10（x +2）+25＝020．（8分）按要求解下列方程：（1）2x 2+4x ﹣1＝0（用配方法）（2）2x 2﹣3x ﹣1＝0（用公式法）21．“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求被调查的学生总人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D ”的扇形圆心角的度数；（3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B “的学生人数．22．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2kx +2＝0．（1）求证：无论k 为何值．方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是该方程的两个实数根，记S ＝x 12+x 22﹣x 1x 2，S 的值能为0吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．23．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，连接AC 、AD 、OD ，其中AC ＝CD ，DA 平分∠CDO ，过点B 作BE ⊥CD 交CD 的延长线于E ．（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形AB CD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．25．已知△ABC，（1）用无刻度的直尺和圆规作△ABD，使∠ADB＝∠ACB．且△ABD的面积为△ABC面积的一半，只需要画出一个△ABD即可（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）在△ABC中，若∠ACB＝45°，AB＝4，则△ABC面积的最大值是26．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．28．如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝4，AD＝7，AH＝．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2 B．x2﹣y+1＝0 C．x2＝0 D． +x＝2 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．如图，四边形ABCD的四个顶点都在圆上，若∠A＝100°，则∠C的度数是（）A．60°B．80°C．90°D．100°【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°．故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的相邻外角的度数的3倍，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，即可得方程：x+3x＝180，解此方程即可求得答案．【解答】解：设正多边形的一个外角等于x°，∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，∴这个正多边形的一个内角为：3x°，∴x+3x＝180，解得：x＝45，∴这个多边形的边数是：360°÷45°＝8．故选：C．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．5．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．100（1+x）2＝144 B．100（1﹣x）2＝144C．144（1﹣x）2＝100 D．144（1+x）2＝100【分析】2014年的产量＝2012年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解答】解：2013年的产量为100（1+x），2014年的产量为100（1+x）（1+x）＝100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2＝144，故选：A．【点评】考查列一元二次方程；得到2014年产量的等量关系是解决本题的关键．6．下列说法正确的是（）A．经过三个点一定可以作圆B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．90°的角所对的弦是直径【分析】根据确定圆的条件，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理判断即可．【解答】解：经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，A错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；90°的圆周角所对的弦是直径，D错误；故选：B．【点评】本题考查的是确定圆的条件，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．7．已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠OAB＝50°，则∠ACB的大小为（）A．25°B．40°C．25°或155°D．40°或140°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AOB＝80°，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°．当点C在点C′的位置时，∠AC′B＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．8．已知：如右图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P在OM上，一只蚂蚁从点P 出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选：D．【点评】本题考查了平面展开﹣最短距离问题，圆锥的测面展开图，考查了学生的空间想象能力．9．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3 B．3.5 C．2 D．1.5【分析】连接AE、AD，如图，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，再证明AE∥CD得到∠ADC＝∠DAE，所以＝，从而得到DE的长．【解答】解：连接AE、AD，如图，∵BE是⊙O的直径．∴∠BAE＝90°，∵AB⊥CD，∴AE∥CD，∴∠ADC＝∠DAE，∴＝，∴DE＝AC＝3．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．10．如图，一次函数y＝﹣2x与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最小值为，则k 的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP 最短，设B（t，﹣2t），则CD＝2﹣t，BD＝2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．【解答】解：连接BP，由对称性得：OA＝OB，∵Q是AP的中点，∴OQ＝BP，∵OQ长的最小值为，∴BP长的最小值为×2＝1，如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD⊥x轴于D，∵CP＝1，∴BC＝2，∵B在直线y＝﹣2x上，设B（t，﹣2t），则CD＝2﹣t，BD＝2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，∴22＝（2﹣t）2+（2t）2，t＝0（舍）或，∴B（，﹣），∵点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，∴k＝×；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）已知△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，则该三角形内切圆的半径为 2 ．【分析】先利用勾股定理计算出AB＝10，然后利用该三角形内切圆的半径＝（AC+BC ﹣AB）进行计算．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，∴AB＝＝10，所以该三角形内切圆的半径＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形的内切圆半径为（其中a、b为直角边，C为斜边）．12．（2分）圆锥的母线长为2，底面圆的周长为5，则该圆锥的侧面积为 5 ．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可直接计算该圆锥的侧面积．【解答】解：该圆锥的侧面积＝×5×2＝5．故答案为5．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．（2分）如图，已知四边形ABCD，AB为⊙O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O于A、B、E，且AD＝2，BC＝5，则CD＝7 ．【分析】利用切线长定理得到AD＝ED，CE＝CB，根据CD＝DE+EC，等量代换得到AD+BC ＝CD．【解答】解：∵DA、DE为圆O的切线，∴AD＝ED，∵CE、CB为圆O的切线，∴CE＝CB，∵CD＝DE+EC∴CD＝AD+BC＝2+5＝7．故答案为7．【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．14．（2分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是a≤0且a≠﹣1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△＝22﹣4×（a+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得a+1≠0且△＝22﹣4×（a+1）≥0，解得a≤0且a≠﹣1．故答案为a≤0且a≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．15．（2分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且AO＝CD，则∠ACP的度数为67.5°．【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠PCA的度数．【解答】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∵AO＝CD，∴OC＝DC，∴∠COD＝∠D＝45°，∵AO＝CO，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．故答案为：67.5°．【点评】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠COD＝∠D＝45°是解题关键．16．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB延长线上一点，且AE＝6，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF＝2．【分析】作出AE的中点O，连接OF，在直角△OBF中利用勾股定理即可求得BF的长．【解答】解：作出AE的中点O，连接OF．则OF＝OA＝AE＝3，OB＝AB﹣OA＝4﹣3＝1．在直角△OBF中，BF＝．故答案是：2．【点评】本题考查了射影定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．17．（2分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【分析】连接BQ，如图，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，再证明△ABP∽△AQB得到∠ABQ＝∠APB＝90°，则可判定BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，然后计算P点在C点时BQ的长即可．【解答】解：连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P 由B 运动到C ，则点Q 运动的路径长为3．故答案为3．【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了解直角三角形的运用．18．（2分）已知⊙O 的半径长为2，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，BO 的延长线交AC于点D ，联结OA 、OC ．若S △AOD 是S △AOB 和S △COD 的比例中项，则OD 的长为 ﹣1 ．【分析】由△AOB ≌△AOC ，推出∠C ＝∠B ，由OA ＝OC ，推出∠OAC ＝∠C ＝∠B ，由∠ADO ＝∠ADB ，即可证明△OAD ∽△ABD ，作OH ⊥AC 于H ，设OD ＝x ．用x 表示AD 、AB 、CD ，再证明AD 2＝AC •CD ，列出方程即可解决问题．【解答】解：作OH ⊥AC 于H ，设OD ＝x ，在△AOB 和△AOC 中，，∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠C ＝∠B ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝∠B ，∵∠ADO ＝∠ADB ，∴△OAD ∽△ABD ，∴＝＝，∴＝＝，解得：AD＝，AB＝，∵S△AOD是S△AOB和S△COD的比例中项，且S△AOD＝AD•OH，S△AOB＝AC•OH，S△COD＝CD•OH，∴AD2＝AC•CD，∵AC＝AB，CD＝AC﹣AD＝﹣，∴（）2＝•（﹣），整理得：x2+2x﹣4＝0，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍弃），经检验：x＝﹣1是分式方程的根，且符合题意，∴OD＝﹣1．【点评】本题考查圆的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）解下列方程：（1）（2x﹣1）2﹣16＝0；（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（2x﹣1）2＝16，开方得：2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，解得：x1＝2.5，x2＝﹣1.5；（2）方程整理得：（x+2﹣5）2＝0，开方得：x﹣3＝0，解得：x 1＝x 2＝3．【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，解一元二次方程﹣直接开平方法与因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）按要求解下列方程：（1）2x 2+4x ﹣1＝0（用配方法）（2）2x 2﹣3x ﹣1＝0（用公式法）【分析】（1）利用配方法得到（x +1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；（2）先计算出判别式的值，然后根据求根公式求方程的解．【解答】解：（1）x 2+2x ＝，x 2+2x +1＝+1，（x +1）2＝，x +1＝±，所以x 1＝﹣1+，x 2＝﹣1﹣； （2）△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17，x ＝，所以x 1＝，x 2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解一元二次方程．21．“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求被调查的学生总人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D ”的扇形圆心角的度数；（3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B “的学生人数．【分析】（1）用最想去A 景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数；（2）先计算出最想去D 景点的人数，再补全条形统计图，然后用360°乘以最想去D 景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点D ”的扇形圆心角的度数；（3）用800乘以样本中最想去A 景点的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）被调查的学生总人数为8÷20%＝40（人）；（2）最想去D 景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6＝8（人），补全条形统计图为：扇形统计图中表示“最想去景点D ”的扇形圆心角的度数为×360°＝72°；（3）800×＝280， 所以估计“最想去景点B “的学生人数为280人．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．22．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2kx +2＝0．（1）求证：无论k 为何值．方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是该方程的两个实数根，记S ＝x 12+x 22﹣x 1x 2，S 的值能为0吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）利用根的判别式公式代入△＝b 2﹣4ac 即可；（2）先由由根与系数关系分别表示出x 1+x 2＝，x 1x 2＝，然后将代入S ＝x 12+x 22﹣x 1x 2表示为k 的代数式，最后化简变形为关于k 的一元二次方程进行判断即可． 【解答】（1）证明：△＝b 2﹣4ac ＝（2k ）2﹣4（k ﹣1）×2＝4k 2﹣8k +8＝4（k 2﹣2k ）+8＝4（k 2﹣2k +1﹣1）+8＝4（k ﹣1）2+12， ∵4（k ﹣1）2≥0， ∴4（k ﹣1）2+12＞0，∴无论k 为何值．方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由根与系数关系 x 1+x 2＝，x 1x 2＝，S ＝x 12+x 22﹣x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝﹣＝0，化简得，方程两边同时乘以（k ﹣1）2得，2k 2﹣3k +3＝0， ∵△＝（﹣3）2﹣4×2×3＜0． ∴方程无解，∴S ＝x 12+x 22﹣x 1x 2的值不能为0．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握与系数的关系以及根的判别式是解题的关键．23．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，连接AC 、AD 、OD ，其中AC ＝CD ，DA 平分∠CDO ，过点B 作BE ⊥CD 交CD 的延长线于E ． （1）求证：BE 是圆O 的切线；（2）若AB ＝12，求图中阴影部分的周长之和．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的判定和性质证明即可；（2）连接BD ，根据弦、弧、圆心角的关系得到∠CAD ＝∠CDA ＝∠OAD ＝30°，根据圆周角定理得到∠DOB ＝60°，根据切线的性质得到∠OBE ＝90°，利用弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵AC ＝CD ，∴∠CAD＝∠CDA，∵DA平分∠CDO，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADC，∴CD∥AB，∵BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴BE是圆O的切线；（2）解：连接BD，∵AC＝CD，∴＝，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠OAD，∴∠CAD＝∠CDA＝∠OAD＝90°×＝30°，∴∠DOB＝∠AOC＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴的长＝的长＝＝2π，AC＝AO＝6，∵BE是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠DBE＝30°，∵CD∥AB，∠OBE＝90°，∴∠E＝90°，∴DE＝BD＝3，BE＝BD•cos∠DBE＝3，∴图中阴影部分的周长为2π+6+3+3+2π＝9+3+4π．【点评】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG＝∠FDC，∠AGF＝∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF+∠ADF＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴＝，即＝，∵△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，在正方形ABCD中，DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，∴CG＝＝5，∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25．已知△ABC，（1）用无刻度的直尺和圆规作△ABD，使∠ADB＝∠ACB．且△ABD的面积为△ABC面积的一半，只需要画出一个△ABD即可（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）在△ABC中，若∠ACB＝45°，AB＝4，则△ABC面积的最大值是4+4【分析】（1）先作出△ABC的外接圆，再作AB边上的高，继而作出此高的中垂线，与外接圆的交点即为所求；（2）作以AB为弦且AB所对圆心角为90°的⊙O，则垂直于弦AB的直径与优弧的交点即为使三角形面积最大的点C，根据作图得出AB边上的高可得答案．【解答】解：（1）如图1所示，∠ABD即为所求．（2）如图2所示，作以AB为弦，且AB所对圆心角为90°的⊙O，∵C点轨迹为圆上不与AB重合的任一点，∴当C在C'位置上时，高最长，故面积最大，∵AB＝4，∴AP＝BP＝OP＝2，则OC＝OA＝2，∴PC＝2+2，∴△ABC的面积为•AB•PC＝×4×（2+2）＝4+4，故答案为：4+4．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键判断出点C是以AB为弦的圆上、圆的确定及线段的中垂线的尺规作图等知识点．26．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．【分析】（1）根据题意容易得出结果；（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意列出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5＝8（万份）；答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴，∴2x＝10%；答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．【分析】分两种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：当AQ与⊙O相切时，如图1，设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AQ，OD＝3，∵OA＝5，∴AD＝4，∵A（5，0），OA＝AQ＝5，∴QD＝1，∴OQ＝＝，∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝，∵OP＝t，OA＝5，∴AP•OM＝OA•OP，即AP•＝•5•t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25，解得t＝；当AP与⊙O相切时，如图2，设AP切⊙O于点E，连接OQ，∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，∴OQ经过点E，∴OE⊥AP，∵AP•OE＝OA•OP，即3AP＝5t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25，解得t＝，综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或．【点评】本题考查了切线的性质，轴对称的性质，三角形的面积以及勾股定理的应用等，熟练掌握切线的性质和轴对称的性质是解本题的关键．28．如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB＝4，AD＝7，AH＝．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在。
南京市鼓楼区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝1003．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题（共20分）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为．（结果保留π）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是．三、解答题（共88分）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝018．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P 是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选：A．2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝100【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程没有实数根．故选：D．4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：C．6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．二．填空题（共10小题）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程x（x﹣2）＝0 ．【分析】根据以x1x2为根的一元二次方程为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是（x﹣0）（x﹣2）＝0，即x（x﹣2）＝0．故答案为：x（x﹣2）＝0．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为π．【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为＝π．故答案为：π．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为2π．（结果保留π）【分析】圆锥侧面积＝圆周率×底面圆的半径×母线长，依此列式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为π×1×2＝2π．故答案为：2π．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．【分析】先利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r＝，即OC的长为．故答案为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为2019 ．【分析】把x＝m代入方程求出m2+2m＝2019，把m（m+2）m（m+2）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2+2m﹣2019＝0，则m2+2m＝2019，∴m（m+2）＝m2+2m＝2019．故答案为：2019．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 3 ．【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：∵⊙O与四边形ABCD各边相切，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝5，BC＝6，CD＝4，∴AD＝3，故答案为：3．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离﹣或+．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AF＝1，CE＝，∵OA＝OC＝2，∴EO＝＝＝，OF＝＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AE＝1，CF＝，∵OA＝OC＝2，同法可得EO＝，OF＝，∴EF＝OF+OE＝+；综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．故答案为：﹣或+．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为11或﹣5 ．【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k；又知两根之差为8，即|x1﹣x2|＝8，根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，建立等量关系求k．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k．由已知两根之差为8，得|x1﹣x2|＝8，即（x1﹣x2）2＝64．则（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，（k+3）2﹣4×3k＝64，解得k＝11或﹣5．故答案为：11或﹣5．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是12 ．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正方形的一边，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故答案为：12；16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是1或﹣2 ．【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m ﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．【解答】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，则t2+mt+1＝0①，t2+t+m＝0②，①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，那么t＝1，把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．故常数m的值为1或﹣2．故答案为：1或﹣2．三．解答题（共11小题）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+3）﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x＝﹣3或x＝5；（2）∵a＝2，b＝4，c＝1，∴△＝42﹣4×2×1＝8＞0，则x＝＝．18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵四边形ABCD是内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，由勾股定理得（x+1）2＝（x﹣1）2+x2，即x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，当x＝0时，x﹣1＝﹣1＜0，∵x﹣1表示三角形的边长，不能为负数，∴x＝0舍去，当x＝4，x﹣1＝4﹣1＝3，x+1＝4+1＝5，∴它的三边长为3，4，5．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．【分析】（1）由x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，可得k≠0且△＞0即可求出k的取值范围，（2）根据根与系数的关系及＝﹣3，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝（2k+1）2﹣4k（k+2）＞0，解得：k＜且k≠0，∴k的取值范围：k＜且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴＝﹣3，∴＝﹣3，解得：k＝﹣5．故k的值是﹣5．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．【分析】连接AC，利用圆周角定理得出∠CAB＝∠CFB，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC，∵∠CAB与∠CFB所对弧为，∴∠CAB＝∠CFB，∵∠CAB+∠CBA＝90°，∠BCE+∠CBA＝90°∴∠BCE＝∠CAB＝∠CFB．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，∴四边形OEBD是矩形，∵OE＝OD＝1，∴四边形OEBD是正方形，∴BD＝BE＝1，∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，∴（4+x）2＝52+（1+x）2，∴x＝，∴AC＝AF+CF＝4+＝．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．【分析】可设宽为xm，则长为（50﹣2x）m，根据等量关系：面积是300m2．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为xm，则长为（50﹣2x）m．由题意，得x•（50﹣2x）＝300，解得x1＝10，x2＝15．∵50﹣2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15．答：生物园的边AB的长15m．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．【分析】（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵＝∴DC＝BC，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴＝＝，＝∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，CD＝3，∴＝，＝，＝∴CE＝，ED＝，AE＝，∴AD＝AE﹣ED＝．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP＝OB＝1，∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC长的取值范围是≤PC≤．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是1＜OP≤2 ；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．【分析】（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA 与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O 的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA．设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝ON，∵OP⊥MN，∴PM＝PN，∴OP＝PM＝PN＝2，∴OM＝ON＝2，∴b＝2，∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时b＝2．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，∵OE＝EN′＝EM′＝1，∴ON′＝OM′＝，观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣4 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为1或﹣2 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程求得m＝，于是得到原方程为：a（x）+b＝0，求得﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得于是得到结论；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程得，，解得：m＝，∴原方程为：a（x）+b＝0，∴﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得，（x+）2＝，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4；故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则x+2”的值为1或﹣2；故答案为：1或﹣2；（3）∵（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，∴观察原方程可得x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，由方程的结构特点可得，展开得：mx2﹣2mx+m＝0，∴二次项系数和常数项相等，即a2﹣2b2＝2c2﹣a2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．。
江苏省南京市联合体2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
则∠ABD 的度数为
A．22°
B．32°
C．44°
A
;
D．68°
（第 5 题）
D
O
B
C
。
（第 6 题）
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
》
7．－7．
8．93 分．
9．3π．
11．50(1－x)2＝32．
12．
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【考点】平均数、方差
【分析】根据平均数的定义分别求出原数据和新数据的平均数、方差
【解答】原数据的平均数为 186(cm)，新数据的平均数为 187(cm),(2)换人后身高的方差为 59/3
原数据的平均数为（180+182+184+186+190+194）/6=186
2．把方程 x2＋8x＋7＝0 变形为(x＋h)2＝k 的形式应为
A．(x＋4)2＝－7
B．(x－4)2＝－7
C．(x＋4)2＝9
D．(x－4)2＝9
}
【考点】一元二次方程的配方解
【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以 二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项 系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接 开平方法求出方程的解。 【解答】x2+8x+7=0，移项得：x2+8x=-7，配方得：x2+8x+16=-7+16，（x+4）2=9，故选 C 【点评】此题主要考查了一元二次方程配方法，正确把握解方程方法是解题关键．
2019-2020学年九年级数学上学期期中试题(含解析) 苏科版(II)
2019-2020学年九年级数学上学期期中试题（含解析) 苏科版(II)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
请将正确选项前的字母代号填到答题卡相应位置上1．下列各点中，在函数的图象上的是( )A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣2）D．（1，2）2．两个相似三角形的面积比为1：4，则它们对应的中线的比为( )A．1：2 B．2：1 C．1：D．：13．三角形的内心是( )A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点4．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是( )A．B．C．D．5．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm26．函数y=k（x﹣1）与y=﹣在同一直角坐标系内的图象大致是( )A．B．C．D．7．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为( )A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm28．已知点A在双曲线y=﹣上，点B在直线y=x﹣4上，且A，B两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n），则+的值是( )A．﹣10 B．﹣8 C．6 D．49．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是( )A．（+1，﹣1）B．（3+，3﹣）C．（﹣1，+1）D．（3﹣，3+）10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上11．任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于__________．12．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=__________．13．一棵高3米的小树影长为4米，同时临近它的一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高__________米．14．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，那该圆锥的侧面积是__________．15．在函数y=（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，y3），函数值y1，y2，y3的大小为__________．16．如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于__________．17．如图，在直角形坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为__________时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．三、解答题（本大题共10小题，共96分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．计算：①﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1②4sin30°﹣cos45°+tan60°．20．在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．22．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．23．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；（3）计算线段AB的长．24．如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP=__________cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=__________cm时，四边形AOBP是正方形．25．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．26．如图，等腰△ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）连接BG，求sin∠GBC的值．27．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？28．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y 轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．2015-2016学年江苏省南通市海门市南东洲国际学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
江苏省南京市栖霞区、雨花区、江宁区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6小题）1．方程（x+1）2＝4的解为（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣12．把方程x2+8x+7＝0变形为（x+h）2＝k的形式应为（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝9 D．（x﹣4）2＝93．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断4．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，182，184，186，190，194．现用一名身高为188cm 的队员换下场上身高为182cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大5．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB+CD的值是（）A．14 B．12 C．9 D．76．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC与点D，连接BD，若∠BAC＝68°，则∠ABD的度数为（）A．22°B．32°C．44°D．68°二．填空题（共10小题）7．将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式，则b＝．8．数学老师计算同学们一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、100分、90分，则小红一学期的数学平均成绩是分．9．一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为．10．关于x的方程x2+px+q＝0的两个根分别为﹣1、4，则p+q的值为．11．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是．12．已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）．13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．14．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．15．⊙O的半径是2，弦AB＝2，点C为⊙O上的一点（不与点A、B重合），则∠ACB的度数为．16．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为．三．解答题（共11小题）17．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）（x+1）（x﹣2）+2（2﹣x）＝0．18．甲乙两人在相同条件下完成了10次射击训练，两人的成绩如图所示．（1）如果射击成绩9环及以上为优秀，则乙此次射击训练成绩的优秀率为．（2）利用方差判断此次射击训练哪个成绩更稳定．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m﹣2）＝0（m为常数）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程有一个根为3，求m的值及方程的另一个根．20．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．21．某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上）如下表所示：b．八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如图（数据分为5组，A：50≤x≤59；B：60≤x≤69；C：70≤x≤79；D：80≤x≤89；E：90≤x≤100）c．八年级学生知识竞赛成绩在D组的是：87 88 88 88 89 89 89 89根据以上信息，回答下列问题：（1）八年级学生知识竞赛成绩的中位数是分；（2）请你估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有多少人？（3）下列结论：①八年级成绩的众数是89分；②八年级成绩的平均数可能为86分；③八年级成绩的极差可能为50分．其中所有正确结论的序号是．22．把195张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少2．学生有多少人？23．如图，已知⊙O，利用直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图①，点P在⊙O上，过点P作⊙O的切线；（2）如图②，点P在⊙O外，过点P作⊙O的切线．24．用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”．已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠B+∠D＝180°．证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE．∵DE是⊙O的直径，∴．∵∠DAE+∠AEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠AEC+∠ADC＝360°﹣∠DAE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°．∵∠B和∠AEC所对的弧是，∴．∴∠B+∠ADC＝180°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．证法2：25．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，请解答以下问题：（1）当学校购买树苗70棵时，则学校向园林公司支付树苗款；（2）该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？26．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．27．如图，矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n．（1）若m＝4，矩形ABCD的边CD上是否存在点P，使得∠APB＝90°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时n满足的条件．（2）矩形ABCD的边上是否存在点P，使得∠APB＝60°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时m、n满足的条件．。
【联合体】【数学】2019九年级(上)期中试卷+答案(3)
并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80 分及以上)如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
84.2
77
74
45%
b．八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如下(数据分为 5 组，A：50≤x≤59；B：60≤x
≤69；C：70≤x≤79；D：80≤x≤89：E：90≤x≤100
20、（7 分）如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 M，且 AB=CD，求证：BM=DM．
C
A
M
O
B
D
南京学而思初中教研部
3 / 13
咨询电话 10108899
21、（8 分）某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛．该校七、八年级各有学
生 400 人，各随机抽取 20 名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩(单位：分)，
方法一：（勾股定理）
DB '= 17 −1 在△ DFB' 与△ DCF 中，有
B ' D2 + B ' F 2 = DC 2 + CF 2
( ) 即 17 −1 2 + x2 = 22 + (4 − x)2
x = 1 + 17 4
方法二：（面积法）
S
DEF
=
1 DE 2
B'F
S DEF = S四边形ABCD − S ADE − S BEF − S DCF
径是 ▲ ．
14、如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，连接 BD，则∠ABD= ▲ °．
15、⊙O 的半径是 2，弦 AB=2，点 C 为⊙O 上的一点(不与点 A、B 重合)，则∠ACB 的度数 为 ▲ °． 16、如图，矩形 ABCD 中，AD=4，AB=2 点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上的任意一点(不与 B、 C 重合)，△EBF 沿 EF 翻折，点 B 落在 B ' 处，当 DB ' 的长度最小时， B' F 的长度为 ▲ ．
江苏省2019-2020学年初三第一学期期中数学试卷
10 初三第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，共24 分）1.方程x 2 x 的解是（）A.x 1或x0B.x1C.x 1D.x 12.已知一组数据：5、5、6、7、4，则这组数据的极差与众数分别是（）A. 5 、3B. 3、2C. 3、5D. 2、33.下列一元二次方程中，两实根之和为1 的是（）A. x 2 x10B. x 2 x 3 0 C. 2x 2 x1D. x 2 x5 04.二次函数yx2bx c图像的最高点是（－1，－3），则b、c的值分别是（）A. b 2，c 4B. b 2，c4C. b 2，c4D. b 2，c 45.若关于x 的一元二次方程x 2 2x m 0 没有实数根，则实数m 的取值范围是（）A.m1B.m1C.m 1D.m 16.如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3 的3 个小方格地面是空地，另外6 个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同，一只自由飞翔的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率为（）A.13B.23C.16D.197.如图，线段AB 与⊙O 相切于点B，线段AO 与⊙O 相较于点C，AB 12 ，AC 8 ，则⊙O 半径长为（）A. B. 5 C. 6 D. 108.二次函数y ax 2 bxc的图像如图所示，且P a b c 2a b ，Q a b c 2a b ，则P、Q 的大小关系为（）A.PQB.PQC.PQD.无法比较第6 题图第7 题图第8 题图二、填空题（本大题共8 小题，每小题 3 分，共24 分）9.直角三角形的两条直角边长分别为6 和8，那么这个三角形的外接圆半径等于.10.如果关于x 的一元二次方程x2 2x m 1 0 的一根为3，则另一根为.3 11. 若扇形的半径为 3 cm ，弧长为 2π cm ，则此扇形的面积为 cm 2.12. 在1、0 、 1、 2 、 、0.10110 中任取一个数，取到无理数的概率是.13. 抛物线y 2(x 3)(x 1) 的对称轴是.14. 如图，⊙O 的直径为 AB ，半径OH ⊥AB ，点 C 、F 为圆弧上点，CD ⊥OH ，CI ⊥AB ，FE ⊥OH ， FG ⊥OA ，则 GE BD.（选填<，>，=） 15. 如图，正十二边形 A 1 A2A 12 ，连接 A 3 A 7 ， A 7 A 10 ，则∠A 3 A 7 A 10度.16. 如图，一段抛物线： yx (x 3) （ 0 x 3 ），记为 C 1，它与 x 轴交于点 O 、A 1；将 C 1 绕点 A 1 旋转 180°得 C 2，交 x 轴于点 A 2； 将 C 2 绕点 A 2 旋转 180°得 C 3，交 x 轴于点 A 3；如此进行下去，直至得 C 2019.若 P （m ，2）在第 2019 段抛物线 C 2019 上，则m.第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图三、解答题（本大题共 102 分）17. （8 分）解方程4x 2918. （8 分）已知关于 x 的方程x 2ax a 1 0 .（1） 若方程有一个根为 1，求 a 得值；（2） 求证：不论 a 取何实数，该方程都有实数根.19.（8 分）在一只不透明的布袋中装有红球2 个、黄球1 个，这些球除颜色外都相同，均匀摇匀.（1）从布袋中一次摸出1 个球，计算“摸出的球恰是黄球”的概率；（2）从布袋中一次摸出2 个球，计算“摸出的球恰是一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”）.20.（10 分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查看40 名同学实验操作的得分，根据获取的样本数据，制作了如下的条形统计图和扇形统计图.请根据相关信息，解答下列问题：（1）扇形①的圆心角大小是度.（2）这40 个样本数据的众数是；中位数是.（3）若该校九年级共有320 名学生，估计该校理化实验操作得满分（10 分）的学生人数.图①图②21. （8 分）已知抛物线y x2 (m 1)x m 与y 轴交于（0 ,3 ）点.（1）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（2）x 取什么值时，y 的值随x 的值得增大而减小？（直接写出结果）（3）x 取什么值时，抛物线图像在x 轴下方？（直接写出结果）322.（8 分）如图，已知在⊙O中，A B 3 ，A C是⊙O的直径，A C⊥B D于F，∠A30.（1）求出图中阴影扇形OBD 的周长？（2）求出图中阴影扇形OBD 的面积？23.（8 分）某商店将进价为8 元的商品按每件10 元售出，每天可售出200 件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5 元其销售量就减少10 件.（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640 元？（2）店主想要获得每天800 元的利润，小红同学认为不可能. 那么你同意小红同学的说法吗？（说明理由）24.（8 分）如图，二次函数y ax2 bx c （a0 ）的图像与x 轴交于A、B 两点，其中A点坐标为（1，0），点B（5，0）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积；25.（10 分）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线. A 是切点，BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若∠P35，连OC，求∠B OC的度数；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证：直线CD 是⊙O 的切线.图①图②26.（14 分）某班“数学兴趣小组”对函数y x2 2 x 的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）3 2 11 1其中，m .（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分.（3）观察函数图像，写出两条函数的性质.①.②.（4）进一步探究函数图像发现：①函数图像与x 轴有个交点，所以对应的方程x2 2 x 0 有②方程x2 2 x 2 有个实数根；③关于x 的方程x2 2 x a 有2 个实数根时，a 的取值范围是.27. （12 分） 【操作体验】如图①，已知线段A B 和直线l ，用直尺和圆规在l 上作出所有的点P ，使得∠A P B30 ，如图②，小明的作图方法如下：图① 图②第一步：分别以点 A 、B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在 AB 上方交于点 O ； 第二步：连接 OA 、OB ；第三步：以 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，交 l 于 P 1、P 2； 所以图中，P 1、P 2 即为所求的点.（1） 在图②中，连接 P 1A ，P 2B ，试说明∠A P 1B 30；【方法迁移】（2） 已知矩形 ABCD ，如图③， BC 2， ABm .① 若 P 为 A D 边上的点，且满足∠B P C 60 的点 P 恰有 1 个，求 m 的值. ② 当m 4 时，若 P 为矩形 A B CD 外一点，且满足∠B P C60 ，求 A P 长的取值范围.图③图③3。
2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知O 的半径为6cm ，若5OP cm =，则点P 与O 的位置关系是( ) A ．点P 在O 外B ．点P 在O 上C ．点P 在O 内D ．不能确定2．（3分）一组数据3，1，4，2，1-，则这组数据的极差是( ) A ．5B ．4C ．3D ．23．（3分）关于x 的一元二次方程220x x m --=有实根，则m 的值可能是( ) A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．（3分）设1x 、2x 是方程250x x m -+=的两个根，且12122x x x x +-=，则m 的值是() A ．3-B ．3C ．7-D ．75．（3分）如图，O 的半径为1，ABC ∆是O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是( )A ．2B ．3C ．32D ．326．（3分）如图，P 是O 外任意一点，PA 、PB 分别与O 相切与点A 、B ，OP 与O 相交于点M ．则点M 是PAB ∆的( )A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三个角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点二、填空题7．（3分）方程24x =的解为 ．8．（3分）电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x ，则可列方程为 ．9．（3分）小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末的成绩按3:3:4计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为 分．10．（3分）现有一个圆心角为90︒，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 cm ．11．（3分）如图，C 是扇形OAB 的AB 上一点，若四边形OACB 是平行四边形，则ACB ∠=︒．12．（3分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和)π．13．（3分）下面有4个命题：①过任意三点可以画一个圆；②同圆的内接正方形和内接正23③三角形的内心到三角形的三边距离相等；④长度相等的弧是等弧．其中正确的有 （填序号）．14．（3分）已知一个三角形的三边长分别为13、14、15，则其内切圆的半径为 ． 15．（3分）如图，等圆1O 和2O 相交于A ，B 两点，1O 经过2O 的圆心2O ，则2ABO ∠的度数为 ︒．16．（3分）如图，ABC ∆为等边三角形，4AB =，以点A 为圆心，半径为1作A ．M 为BC 边上的一动点，过点M 作A 的一条切线，切点为N ，则MN 的最小值是 ．三、解答题17．（8分）解方程： （1）2210x x --=； （2）223(2)4x x +=-．18．（7分）如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为M ．若2MD =，8AB =，求CM 的长．19．（7分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，将一块面积为21000m 的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人行道，要求扩充后的矩形广场长60m 、宽30m ．试求扩充的人行道的宽度．20．（7分）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，且16BAC ∠=︒，AD CD =．求四边形ABCD 各内角的度数．21．（8分）某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评．在相同的条件下，两人各打靶5次，成绩统计如下：（1）填写下表：平均数（环)中位数（环)方差（环2)君君 8 0.4 标标8（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员，并说明理由．（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会 ．（填“变大”“变小”或“不变” )22．（8分）已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=． （1）若方程有一个根是2，求m 的值；（2）求证：不论m 取为何值，方程总有实数根．23．（8分）（1）在图①中，已知1O ，点P 在1O 上，过点P 作1O 的切线1l ； （2）在图②中，已知2O ，点Q 在2O 外，过点Q 作2O 的切线2l ． （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）24．（8分）如图，在ABC=，8BC cmAC cm=，点P从点A出发沿AC ∆中，90C∠=︒，6以1/cm s的速度向点B移动．当Q cm s的速度向点C移动，同时点Q从C点出发沿CB以2/运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时间为ts．（1）t为何值时，PCQ∆的面积等于25cm？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ∆的面积等于ABC∆的面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．25．（8分）如图，四边形ABCD内接于O，90∠=︒，点E在BC的延长线上，且DAB∠=∠．CED CAB（1）求证：DE是O的切线．（2）若//AB=，4DC=时，求AC的长．AC DE，当826．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）填表：（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？ 27．（11分）概念认识平面内，M 为图形T 上任意一点，N 为O 上任意一点，将M 、N 两点间距离的最小值称为图形T 到O 的“最近距离”，记作()d T O -．例如图①，在直线l 上有A 、B 、O 三点，以AB 为一边作等边ABC ∆，以点O 为圆心作圆，与l 交于D 、E 两点，若将ABC ∆记为图形T ，则B 、D 两点间的距离称为图形T 到O 的“最近距离”． 数学理解（1）在直线l 上有A 、B 两点，以点A 为圆心，3为半径作A ，将点B 记为图形T ，若()1d T A -=，则AB = ．（2）如图②，在平面直角坐标系中，以(0,0)O 为圆心，半径为2作圆． ①将点(4,3)C 记为图形T ，则()d T O -= ．②将一次函数y kx =+T ，若()0d T O ->，求k 的取值范围． 推广运用（3）在平面直角坐标系中，P 的坐标为(,0)t ，P 的半径为2，D 、E 两点的坐标分别为(8,8)-、(8,8)--，将DOE ∠记为图形T ，若()1d T P -=，则t = ．2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知O 的半径为6cm ，若5OP cm =，则点P 与O 的位置关系是( ) A ．点P 在O 外B ．点P 在O 上C ．点P 在O 内D ．不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【解答】解：根据点到圆心的距离5cm 小于圆的半径6cm ，则该点在圆内． 故选：C ．【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．2．（3分）一组数据3，1，4，2，1-，则这组数据的极差是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可． 【解答】解：这组数据的极差4(1)5=--=． 故选：A ．【点评】本题考查了极差的知识，属于基础题，掌握极差的定义是关键． 3．（3分）关于x 的一元二次方程220x x m --=有实根，则m 的值可能是( ) A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【分析】根据方程的系数结合根的判别式△0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而求解．【解答】解：关于x 的一元二次方程220x x m --=有实根，∴△2(2)41()0m =--⨯⨯-，解得：1m -． 故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△0时，方程有实数根”是解题的关键．4．（3分）设1x 、2x 是方程250x x m -+=的两个根，且12122x x x x +-=，则m 的值是() A ．3-B ．3C ．7-D ．7【分析】由根与系数的关系可得125x x +=、12x x m =，结合12122x x x x +-=可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：1x 、2x 是方程250x x m -+=的两个根， 125x x ∴+=，12x x m =． 121252x x x x m +-=-=，3m ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -、两根之积等于ca”是解题的关键．5．（3分）如图，O 的半径为1，ABC ∆是O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是( )A ．2B 3C ．32D 3 【分析】连接BD 、OC ，根据矩形的性质得90BCD ∠=︒，再根据圆周角定理得BD 为O 的直径，则2BD =；由ABC 为等边三角形得60A ∠=︒，于是利用圆周角定理得到2120BOC A ∠=∠=︒，易得30CBD ∠=︒，在Rt BCD ∆中，根据含30︒的直角三角形三边的关系得到112CD BD ==，33BC CD ==【解答】解：连结BD 、OC ，如图，四边形BCDE 为矩形， 90BCD ∴∠=︒，BD ∴为O 的直径，2BD ∴=，ABC ∆为等边三角形， 60A ∴∠=︒，2120BOC A ∴∠=∠=︒，而OB OC =， 30CBD ∴∠=︒，在Rt BCD ∆中，112CD BD ==，33BC CD ==，∴矩形BCDE 的面积3BC CD ==．故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．6．（3分）如图，P 是O 外任意一点，PA 、PB 分别与O 相切与点A 、B ，OP 与O 相交于点M ．则点M 是PAB ∆的( )A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三个角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点【分析】根据切线的性质得到APO BPO ∠=∠，PA PB =，根据等腰三角形的性质得到AB OP ⊥，连接OA ，AM ，根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：PA 、PB 分别与O 相切与点A 、B ，APO BPO ∴∠=∠，PA PB =，AB OP ∴⊥，连接OA ，AM ，则90OAP ∠=︒，90PAM OAM BAM AMO ∴∠+∠=∠+∠=︒，OA OM =，OAM AMO ∴∠=∠，PAM BAM ∴∠=∠，点M 是PAB ∆的三个角的角平分线的交点，故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题7．（3分）方程24x =的解为 12x =，22x =- ．【分析】利用直接开平方法，求解即可．【解答】解：开方得，2x =±，即12x =，22x =-．故答案为，12x =，22x =-．【点评】本题考查了一元二次方程的解法-直接开平方法，比较简单．8．（3分）电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x ，则可列方程为 21.92(1) 2.61x += ．【分析】设平均每天票房的增长率为x ，根据当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每天票房的增长率为x ，根据题意得：21.92(1) 2.61x +=．故答案为：21.92(1) 2.61x +=．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（3分）小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末的成绩按3:3:4计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为 91 分．【分析】利用加权平均数公式即可求解．【解答】解：小明上学期学期成绩是：90388394491334⨯+⨯+⨯=++（分)． 故答案是：91．【点评】本题考查了加权平均数公式，理解公式是解题的关键．10．（3分）现有一个圆心角为90︒，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 2 cm ．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：9084180ππ⨯=． 设圆锥底面圆的半径是r ，则24r ππ=．解得：2r =．故答案是：2．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11．（3分）如图，C 是扇形OAB 的AB 上一点，若四边形OACB 是平行四边形，则ACB ∠= 120 ︒．【分析】根据平行四边形的先行者和等边三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：四边形OACB 是平行四边形，AC OB ∴=，AO BC =，OA OB =，OA OB AC BC ∴===，连接OC ，AOC ∴∆与BOC ∆是等边三角形，60ACO BCO ∴∠=∠=︒，120ACB ∴∠=︒，故答案为：120．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．12．（3分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为 3323π- （结果保留根号和)π．【分析】正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH DE ⊥于H ，根据正多边形的中心角公式求出DOE ∠，求出OH ，得到正六边形ABCDEF 的面积，求出A ∠，利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积，结合图形计算即可．【解答】解：正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH DE ⊥于H ，360606DOE ︒∠==︒， 1OD OE DE ∴===，3OH ∴= ∴正六边形ABCDEF 的面积1333162=⨯(62)1801206A -⨯︒∠==︒， ∴扇形ABF 的面积212013603ππ⨯==， ∴图中阴影部分的面积3323π=-， 故答案为：3323π-．【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．13．（3分）下面有4个命题：①过任意三点可以画一个圆；②同圆的内接正方形和内接正23③三角形的内心到三角形的三边距离相等；④长度相等的弧是等弧．其中正确的有 ②③ （填序号）．【分析】根据过三点的圆、正多边形与圆、三角形的内心的性质、等弧的概念判断即可．【解答】解：①过不在同一直线上的三点可以画一个圆，本说法错误；②23设圆的半径为R ，在正方形ABCD 中，连接AC ，90B ∠=︒，AC ∴为直径，2AC R ∴=，22AB R ∴=， 在正三角形EFM 中，作ON EF ⊥于N ，连接OF ，则90ONF ∠=︒，1302OFN EFM ∠=∠=︒， 12ON R ∴=， 2213()2FN R R ∴=-， 23FM FN R ∴==，:2:3AB FM ∴=本说法正确；③三角形的内心到三角形的三边距离相等，本说法正确；④能够互相重合的弧是等弧，本说法错误，故答案为：②③．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．14．（3分）已知一个三角形的三边长分别为13、14、15，则其内切圆的半径为 4 ．【分析】作AH BC ⊥于H ，15AB =，14AC =，13BC =，设AH x =，BH y =，则13CH y =-，利用勾股定理得到22215x y +=，222(13)14x y +-=，解方程组得到9913y =，16813x =，所以84ABC S ∆=，设三角形内切圆的半径为r ，根据题意得1(131415)842r ++=，然后解关于r 的方程即可．【解答】解：如图，作AH BC ⊥于H ，15AB =，14AC =，13BC =，设AH x =，BH y =，则13CH y =-，22215x y +=，①， 222(13)14x y +-=，②∴①-②得9913y =， 229916815()1313x ∴=-， 11681384213ABC S ∆∴=⨯⨯=， 设三角形内切圆的半径为r ，根据题意得1(131415)842r ++=， 解得4r =，即三角形内切圆的半径为4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理以及三角形面积；熟记三角形面积公式1(2S lr l =为三角形周长，r 为三角形内切圆半径）是解题的关键． 15．（3分）如图，等圆1O 和2O 相交于A ，B 两点，1O 经过2O 的圆心2O ，则2ABO ∠的度数为 30 ︒．【分析】连接12O O ，2AO ，1AO ，可得△21AO O 是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．【解答】解：连接12O O ，2AO ，1AO ，1O 和2O 是等圆，1122AO O O AO ∴==，∴△21AO O 是等边三角形，1260AO O ∴∠=︒，2121302ABO AO O ∴∠=∠=︒（圆周角定理）． 故答案为：30．【点评】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△21AO O 是等边三角形是解题关键．16．（3分）如图，ABC ∆为等边三角形，4AB =，以点A 为圆心，半径为1作A ．M 为BC 边上的一动点，过点M 作A 的一条切线，切点为N ，则MN 的最小值是 11 ．【分析】作AD BC ⊥于D ，过D 作A 的一条切线，切点为E ，连接AE ，由等边三角形的性质和勾股定理得出2223AD AB BD =-=，由切线的性质得出AE DE ⊥，由勾股定理求出2211DE AD AE =-=，当点M 与D 重合时，N 与E 重合，此时MN 最小11=．【解答】解：作AD BC ⊥于D ，过D 作A 的一条切线，切点为E ，连接AE ，如图所示： ABC ∆是等边三角形，AD BC ⊥，4BC AB ∴==，122BD CD BC ===， 22224223AD AB BD ∴=-=-=，DE 是A 的一条切线，AE DE ∴⊥，1AE =，2222(23)111DE AD AE ∴=-=-=，当点M 与D 重合时，N 与E 重合，此时MN 最小11=，故答案为：11．【点评】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值、垂线段最短等知识；熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键．三、解答题17．（8分）解方程：（1）2210x x --=；（2）223(2)4x x +=-．【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据因式分解法，可得方程的解．【解答】解：（1）1a =，2b =-，1c =-，△2441(1)8b ac =-=-⨯⨯-=， 24281222b b ac x a -±-±===±， 112x =+，212x =-；（2）因式分解，得(2)[3(2)(2)]0x x x ++--=，于是，得20x +=或280x +=，解得2x =-，4x =-．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．18．（7分）如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为M ．若2MD =，8AB =，求CM 的长．【分析】连接OA ，根据垂径定理得到AM BM =，设O 的半径为r ，则OA OC BO r ===，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：连接OA ，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，AM BM ∴=，8AB =，4AM ∴=，设O 的半径为r ，则OA OC BO r ===，2MD =，2OM r ∴=-，222AM OM AO +=，即2224(2)r r +-=，解得：5r =，228CM r ∴=-=．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（7分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，将一块面积为21000m 的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人行道，要求扩充后的矩形广场长60m 、宽30m ．试求扩充的人行道的宽度．【分析】设扩充的人行道的宽度为x 米，由此可表示出原广场的长和宽，根据原广场的面积为21000m ，由此可列方程．【解答】解：设扩充的人行道的宽度为x 米，依题意得：(602)(302)1000x x --=．整理得到：2452000x x -+=，解得140x =（舍去），25x =，答：扩充的人行道的宽度5米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程．20．（7分）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，且16BAC ∠=︒，AD CD =．求四边形ABCD 各内角的度数．【分析】连结BC ，根据圆周角定理得90ACB ∠=︒，则利用互余可计算出74B ∠=︒，再根据圆内接四边形的性质计算出180106D B ∠=︒-∠=︒，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由AD CD =得到37DAC DCA ∠=∠=︒，然后计算53DAB DAC BAC ∠=∠+∠=︒，127DCB DCA ACB ∠=∠+∠=︒．【解答】解：连结BC ，如图， AB 是半圆的直径，90ACB ∴∠=︒，16BAC ∠=︒，74B ∴∠=︒，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，180106D B ∴∠=︒-∠=︒，AD CD =，1(180106)372DAC DCA ∴∠=∠=︒-︒=︒， 55DAB DAC BAC ∴∠=∠+∠=︒，127DCB DCA ACB ∠=∠+∠=︒，即四边形ABCD 各内角的度数为53︒，74︒，127︒，106︒．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．21．（8分）某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评．在相同的条件下，两人各打靶5次，成绩统计如下：（1）填写下表：平均数（环)中位数（环)方差（环2)君君880.4标标8（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员，并说明理由．（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会．（填“变大”“变小”或“不变”)【分析】（1）根据平方数、中位数、方差的定义求解即可；（2）根据甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；（3）根据方差公式进行求解即可．【解答】解：（1）填写下表：平均数（环)中位数（环)方差（环2)君君880.4标标89 2.8故答案为：8，9，2.8；（2）选君君，理由：两人的平均值相等，君君的方差较小，成绩更稳定，选君君；（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么标标的射击成绩的方差变小．故答案为：变小．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用2s来表示，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数． 22．（8分）已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=． （1）若方程有一个根是2，求m 的值；（2）求证：不论m 取为何值，方程总有实数根． 【分析】（1）将2x =代入原方程可求出m 的值；（2）分0m =及0m ≠两种情况考虑：当0m =时，通过解方程可求出方程的解；当0m ≠，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△2(2)0m =+，进而可得出当0m ≠时，方程有实数根．综上即可证出结论．【解答】解：（1）将2x =代入原方程，得：42(2)20m m -++=， 解得：1m =． 故m 的值为1；（2）证明：当0m =时，原方程为一次方程，此时1x =； 当0m ≠时，△22(2)42(2)0m m m =+-⨯=-，∴当0m ≠时，方程有实数根．综上所述：不论m 为何值，方程总有实数根．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）代入2x =求出m 的值；（2）分0m =及0m ≠两种情况找出不论m 为何值，该方程总有实数根．23．（8分）（1）在图①中，已知1O ，点P 在1O 上，过点P 作1O 的切线1l ； （2）在图②中，已知2O ，点Q 在2O 外，过点Q 作2O 的切线2l ． （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）过P 点作1O P 的切线得到直线1l ；（2）连接2QO ，作2QO 的垂直平分线得到中点O ，然后以O 点为圆心，OQ 为半径作圆交2O 于A 、B ，则直线QA 、QB 满足条件． 【解答】解：（1）如图①，1l 为所作；（2）如图②，2l 为所作【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 24．（8分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC cm =，8BC cm =，点P 从点A 出发沿AC 以1/cm s 的速度向点C 移动，同时点Q 从C 点出发沿CB 以2/cm s 的速度向点B 移动．当Q 运动到B 点时，P ，Q 停止运动，设点P 运动的时间为ts ． （1）t 为何值时，PCQ ∆的面积等于25cm ？（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设点P 、Q 同时出发，t 秒钟后，AP tcm =，(6)PC t cm =-，2CQ tcm =，此时PCQ ∆的面积为：12(6)2t t ⨯-，令该式等于5，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）ABC ∆的面积的一半等于2111222AC BC cm ⨯⨯=，令12(6)122t t ⨯-=，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．【解答】解：（1）设ts 后，可使PCQ ∆的面积为28cm ． 由题意得，AP tcm =，(6)PC t cm =-，2CQ tcm =， 则12(6)52t t ⨯-=． 整理，得2650t t -+=，解得11t =，25t =（舍)． 所以P 、Q 同时出发，1s 后可使PCQ ∆的面积为25cm ． （2）由题意得：11682422ABC S AC BC ∆=⨯=⨯⨯=，即：112(6)2422x x ⨯⨯-=⨯，整理的：26120t t -+=，△26412120=-⨯=-<，该方程无实数解，所以，不存在使得PCQ ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半的时刻．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解．25．（8分）如图，四边形ABCD 内接于O ，90DAB ∠=︒，点E 在BC 的延长线上，且CED CAB ∠=∠．（1）求证：DE 是O 的切线．（2）若//AC DE ，当8AB =，4DC =时，求AC 的长．【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD DE ⊥，即可得出结论；（2）先判断出AC BD ⊥，进而求出8BC AB ==，再用勾股定理求出BD ，最后判断出CFD BCD ∆∆∽，即可得出结论．【解答】解：（1）如图， 连接BD ，90BAD ∠=︒，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，90BCD ∴∠=︒， 90DEC CDE ∴∠+∠=︒， DEC BAC ∠=∠， 90BAC CDE ∴∠+∠=︒， BAC BDC ∠=∠， 90BDC CDE ∴∠+∠=︒， 90BDE ∴∠=︒，即：BD DE ⊥，点D 在O 上，DE ∴是O 的切线；（2）//DE AC ，90BDE ∠=︒， 90BFC ∴∠=︒，8CB AB ∴==，12AF CF AC ==， 在Rt BCD ∆中，2245BD BC CD =+同理：CFD BCD ∆∆∽，∴CF CDBC BD=，∴4845CF =， 855CF ∴=， 16525AC AF ∴==．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出8BC =是解本题的关键．26．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）填表：每月的销售量（件)每件商品销售利润（元)降价前 60 80 降价后605x +（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？【分析】（1）根据如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件即可得到答案； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）每月的销售量（件)每件商品销售利润（元)降价前 60 80 降价后605x +80x -（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得(360280)(560)7200x x --+=，解得：18x =，260x =有利于减少库存， 60x ∴=．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． 27．（11分）概念认识平面内，M 为图形T 上任意一点，N 为O 上任意一点，将M 、N 两点间距离的最小值称为图形T 到O 的“最近距离”，记作()d T O -．例如图①，在直线l 上有A 、B 、O 三点，以AB 为一边作等边ABC ∆，以点O 为圆心作圆，与l 交于D 、E 两点，若将ABC ∆记为图形T ，则B 、D 两点间的距离称为图形T 到O 的“最近距离”． 数学理解（1）在直线l 上有A 、B 两点，以点A 为圆心，3为半径作A ，将点B 记为图形T ，若()1d T A -=，则AB = 2或4 ．（2）如图②，在平面直角坐标系中，以(0,0)O 为圆心，半径为2作圆． ①将点(4,3)C 记为图形T ，则()d T O -= ．②将一次函数y kx =+T ，若()0d T O ->，求k 的取值范围． 推广运用（3）在平面直角坐标系中，P 的坐标为(,0)t ，P 的半径为2，D 、E 两点的坐标分别为(8,8)-、(8,8)--，将DOE ∠记为图形T ，若()1d T P -=，则t = ．【分析】（1）根据图形T到O的“最近距离”的定义即可解决问题．（2）①如图2中，连接OC交O于E．求出EC的长即可．②如图，设直线22=+与O相切于E，K．连接OK，OE．求出直线DE，直线DKy kx的解析式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图31⊥于M，交P于∠内部时，作PM OD-中，当点P在DOEK．②如图32∠的外侧时，分别求解即可．-中，当点P在DOE【解答】解：（1）如图1中，-=，()1d T A∴='=，CB CB1AC=，3AB=．∴'=，42AB故答案为2或4．（2）①如图2中，连接OC 交O 于E ．(4,3)C ，22435OC ∴=+=， 2OE =， 3EC ∴=，()3d T O ∴-=．故答案为3．②如图，设直线22y kx =+与O 相切于E ，K ．连接OK ，OE ．OE DE ⊥，OK DK ⊥，22OD =2OE OK ==，2222(22)22DK OD OK ∴=-=-=，2222(22)22DE OD OE =-=-=， DE OE DK OK ∴===，∴四边形DEOK 是菱形，90DKO DEO ∠=∠=︒，∴四边形DEOK 是正方形，45ODE ODK ∴∠=∠=︒，∴直线DE 的解析式为22y x =-+，直线DK 的解析式为22y x =+，()0d T O ->，∴观察图象可知满足条件的k 的值为11k -<<且0k ≠．（3）如图31-中，当点P 在DOE ∠内部时，作PM OD ⊥于M ，交P 于K ．(8,8)D -， 45DOP ∴∠=︒，()1d T P -=，3PM OM ∴==，32OP = 32t ∴=-如图32-中，当点P 在DOE ∠的外侧时，由题意可知1OM =，123OP =+=，3t =．综上所述，满足条件的t的值为323．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形T到O的“最近距离”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
_江苏省南京市联合体2020——2021学年九年级上册期中数学试卷 解析版
2020-2021学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x+y＝2B．x+y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x﹣x2＝12．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（）A．πB．πC．πD．3π3．反映一组数据变化范围的是（）A．极差B．方差C．众数D．平均数4．下列方程中，两个实数根的和为0的是（）A．x2﹣x＝0B．x2+2x＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 5．某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示．设他们上学路上所花时间的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a6．如图，AC为半圆的直径，弦AB＝3，∠BAC＝30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．B．C．3D．+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．方程x2﹣4＝0的解是．8．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是．10．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．11．将方程x2+6x﹣3＝0化为（x+h）2＝k的形式是．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝°．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AE、AG，则∠EAG＝°．14．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为cm2．15．已知⊙O的半径为6，弦AB长为6，则AB所对的圆周角的度数为°．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的⊙O 分别交BC、CD于点E、F．下列结论：①DF＝CF；②＝；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）x（x﹣3）＝6﹣2x．18．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．19．甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分）：第1次第2次第3次第4次第5次甲8683908086乙7882848992（1）完成下表：中位数平均数方差甲85乙848524.8（2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩．20．已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．21．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E．（1）若∠ABC＝56°，求∠E的度数．（2）若CD＝6，BP＝2，求⊙O的半径．22．如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．23．如图，在⊙O中，C是的中点，∠C＝∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．24．如图，PM是⊙O的切线，切点是A．点B、C、D是⊙O上的点，P A＝PB．（1）求证PB是⊙O的切线；（2）若∠C＝92°，∠MAD＝40°，则∠P＝°．25．某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．27．（1）如图①，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，CD＝AD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若点D是平面内任意一点，且满足AD＝CD，∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）．②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），点D的个数随着m的值变化而变化，直接写出点D的个数及对应的m的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x+y＝2B．x+y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x﹣x2＝1【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意是一元一次方程，故此选项不合题意；B、x+y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、ax2+bx+c＝0未指明a、b、c为常数且a≠0，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、2x﹣x2＝1是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（）A．πB．πC．πD．3π【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：弧长l＝＝π，故选：B．3．反映一组数据变化范围的是（）A．极差B．方差C．众数D．平均数【分析】根据极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它能反映数据的波动范围大小解答．【解答】解：反映一组数据变化范围的是极差；故选：A．4．下列方程中，两个实数根的和为0的是（）A．x2﹣x＝0B．x2+2x＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0【分析】利用根与系数的关系对各选项进行判断．【解答】解：x2﹣x＝0的两个实数根的和为1；x2+2x＝0的两个实数根的和为﹣2；x2﹣1＝0的两个实数根的和为0；x2﹣2x+1＝0的两个实数根的和为2．故选：C．5．某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示．设他们上学路上所花时间的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】根据平均数、众数、中位数的定义解答即可．【解答】解：∵平均数为a＝＝29，中位数b＝＝30，众数c＝20，∴b＞a＞c，故选：A．6．如图，AC为半圆的直径，弦AB＝3，∠BAC＝30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．B．C．3D．+【分析】作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB+FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．【解答】解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，则FB＝FB′，∴FB+FE＝FB′+FE＝B′E，此时FB+FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝，∴B′E＝AE＝，即BF+EF的最小值为．故选：B．二．填空题（共10小题）7．方程x2﹣4＝0的解是±2．【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，故答案为：±2．8．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是圆外．【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案．【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，∴点A在⊙O外，故答案为：圆外．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝16﹣4a＝0，解之即可得出a值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4a＝16﹣4a＝0，解得：a＝4．故答案为：4．10．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为88分．【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，∴总成绩是（90×60%+85×40%）＝88（分）；故答案为：88．11．将方程x2+6x﹣3＝0化为（x+h）2＝k的形式是（x+3）2＝12．【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2+6x＝3，配方得，x2+6x+9＝3+9，（x+3）2＝12．故答案为：（x+3）2＝12．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝26°．【分析】连接OC，根据圆周角定理得求出∠BOC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝128°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝（180°﹣128°）÷2＝26°，故答案为：26．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AE、AG，则∠EAG＝45°．【分析】连接AC、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：在正八边形ABCDEFGH中，∵AB＝AH，∠H＝∠B＝∠HAB＝135°，HG＝BC，∴△AHG≌△ABC（SAS），∴AG＝AC，∠HAG＝∠BAC＝22.5°，∴∠GAC＝90°，同理，EG＝CE＝AG，∴四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°，故答案为：45．14．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为8πcm2．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积＝＝8π（cm2）．故答案为8π．15．已知⊙O的半径为6，弦AB长为6，则AB所对的圆周角的度数为45°或135°．【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等腰直角三角形，则弦所对的圆心角是60°，要计算它所对的圆周角，应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是45°；当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是135°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等腰直角三角形，∴弦AB所对的圆心角＝45°，①圆周角在优弧上时，圆周角＝45°，②圆周角在劣弧上时，圆周角＝180°﹣45°＝135°．∴圆周角的度数为45°或135°；故答案为：45°或135．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的⊙O 分别交BC、CD于点E、F．下列结论：①DF＝CF；②＝；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是①③．【分析】连接BF，AF、EF，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠BFD＝∠ABF＝90°，则可判断四边形ABFD为矩形，所以AB＝DF，然后利用CD＝2AB，DF＝CF，则可对①正进行判断；再证明四边形ABCF为平行四边形得到AF∥BC，所以∠AEB＝∠F AE，则＝，由于不能确定∠AFB＝∠EAF＝∠AEB＝30°，即不能确定∠BAE＝∠EAF，则可对②进行判断；然后证明Rt△ADF≌Rt△AEF，则可对③进行判断．【解答】解：连接BF，AF、EF，如图，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BFD＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFD为矩形，∴AB＝DF，∵CD＝2AB，∴CF＝AB，即DF＝CF；所以①正确；∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴AB∥CD，∵AB＝CF，∴四边形ABCF为平行四边形，∴AF∥BC，∴∠AEB＝∠F AE，∴＝，∵不能确定AB与AD的大小关系，∴不能确定∠AFB＝∠EAF＝∠AEB＝30°，∴不能确定∠BAE＝∠EAF，∴＝不能确定，所以②错误；∵＝，∴AB＝EF＝DF，∵∠AEF+∠D＝180°，∴∠AEF＝90°，在Rt△ADF和Rt△AEF中，，∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），∴AD＝AE，所以③正确．故答案为①③．三．解答题17．解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）x（x﹣3）＝6﹣2x．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣10x+25＝9，（x﹣5）2＝9，x﹣5＝±3，x1＝8，x2＝﹣2．（2）∵x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），∴x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，则x﹣3＝0或x+2＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2．18．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m﹣2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论；（2）设方程的另一个为t，利用根与系数的关系得到2+t＝m，2t＝m﹣2，然后解方程组即可．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣2，∴b 2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×8（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的另一个为t，根据题意得，2+t＝m，2t＝m﹣2，∴2+t﹣2t＝2，解得t＝0，∴m＝2，∴m的值为2，另一个根为0．19．甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分）：第1次第2次第3次第4次第5次甲8683908086乙7882848992（1）完成下表：中位数平均数方差甲868511.2乙848524.8（2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩．【分析】（1）根据中位数的定义和方差的公式进行解答即可；（2）从中位数和方差的意义进行分析即可．【解答】解：（1）把这些数从小大排列为：80，83，86，86，90，则中位数是86分；甲同学的方差是：[（86﹣85）2+（83﹣85）2+（90﹣85）2+（80﹣85）2+（86﹣85）2]＝11.2（分）2；故答案为：85，11.2；（2）数据的集中程度：①从中位数看，甲的中位数略大于乙的中位数，说明甲的数学成绩略好于乙；数据的离散程度：②从方差看，甲的方差小于乙的方差，且两人的平均成绩相同，说明甲的成绩比乙更稳定；数据的变化趋势：③从两人成绩的变化趋势看，乙的成绩在逐渐上升，说明乙的成绩进步较大．20．已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．【分析】设这个百分率是x，根据该企业2020年3月份及5月份的口罩产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个百分率是x，依题意，得：500 （1+x）（1﹣x）＝420，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣0.4（不合题意，舍去）．答：这个百分率是40%．21．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E．（1）若∠ABC＝56°，求∠E的度数．（2）若CD＝6，BP＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据直角三角形的性质求出∠PCB，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）根据垂径定理求出PD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）连接OD，∵弦AB⊥CD，∴∠CPB＝90°．∵∠ABC＝56°，∴∠PCB＝90°﹣56°＝34°，由圆周角定理得，∠EOD＝2∠CPB＝68°，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝90°﹣68°＝22°；（2）∵弦AB⊥CD，∴CP＝DP＝CD＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△ODP中，PD2+OP2＝OD2，即32+（r﹣2）2＝r 2，解得，r＝，所以⊙O的半径为．22．如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．【分析】设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m，根据题意得方程，解方程即可得到结论．【解答】解：设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m．根据题意，得x（18﹣x）＝72，解这个方程，得x1＝6，x2＝12，当x＝6时，18﹣x＝12＞10（不合题意，舍去）．当x＝12时，18﹣x＝6符合题意．答：AB的长是12m．23．如图，在⊙O中，C是的中点，∠C＝∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．【分析】如图，连接OC．欲证明四边形OACB是菱形，只需推知AC＝BC＝OC＝OA＝OB即可．【解答】证明：如图，连接OC．∵C是的中点，∴＝，∴AC＝BC，在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS）．∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．又∵∠ACB＝∠AOB．∴∠ACO＝∠BCO＝∠AOC＝∠BOC．∴AC＝BC＝OC＝OA＝OB，∴四边形OACB是菱形．24．如图，PM是⊙O的切线，切点是A．点B、C、D是⊙O上的点，P A＝PB．（1）求证PB是⊙O的切线；（2）若∠C＝92°，∠MAD＝40°，则∠P＝76°．【分析】（1）连接OA，OB，OP，证明△PBO≌△P AO，得到∠PBO＝∠P AO＝90°，即可证得结论；（2）连接BA，由圆内接四边形的性质得到∠C＝92°，进而求得∠P AB＝52°，由切线长定理得到P A＝PB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠P．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OP，∵PM是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，在△PBO和△P AO中，，∴△PBO≌△P AO（SSS），∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BA，∵∠C＝92°，∴∠BAD＝180°﹣∠C＝88°，∵∠MAD＝40°，∴∠P AB＝180°﹣40°﹣88°＝52°，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∴∠PBA＝∠P AB＝52°，∴∠P＝180°﹣∠P AB﹣∠PBA＝76°，故答案为：76．25．某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？【分析】设该商品每件售价x元．根据题意得到方程，解这个方程即可得到结论．【解答】解：设该商品每件售价x元．根据题意，得（x﹣30）[200﹣10（x﹣40）]＝2 250，解这个方程，得x1＝x2＝45，答：该商店每件售价45元．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．【分析】（1）过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG．在Rt△BCE 中，利用勾股定理求出BE，再在Rt△OMG中求出MG即可解决问题．（2）如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．求出相切时，m的值即可判断．【解答】（1）解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴BE是⊙O的直径．∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，∴BN＝CN．∵OB＝OE，∴ON是△BCE的中位线，∴ON＝CE＝1，∴OM＝4﹣1＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝2，∴OG＝BE＝，在Rt△OMG中，MG＝＝1，∴FG＝2MG＝2．（2）解：如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．由（1）易得ON＝CE＝m，OB＝OM＝4﹣m，BN＝3，在Rt△BON中，ON2+BN2＝OB2，即（m）2+32＝（4﹣m）2，解得m＝，∴当0＜m＜时，⊙O与AD相离，当m＝时，⊙O与AD相切，当＜m＜4时，⊙O与AD相交．27．（1）如图①，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，CD＝AD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若点D是平面内任意一点，且满足AD＝CD，∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）．②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），点D的个数随着m的值变化而变化，直接写出点D的个数及对应的m的取值范围．【分析】（1）连接AC，先证明△ACD是等边三角形，可得∠ADC＝60°＝∠DAC，可证∠ADC＝2∠BDC；（2）①如图②，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D，D'；②找出特殊位置时，m的值，即可求解．【解答】证明：（1）连接AC，∵BD＝BC，∴＝，又∵AB是直径，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∵CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°＝∠DAC，∵AB垂直平分CD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC，∴∠ADC＝2∠BDC；（2）①如图②，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D，D'；②当⊙B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为1，∴AC＝2BC，∵AB2＝AC2+BC2，∴16＝5m2，∴m＝，∵0＜m＜4，∴当0＜m＜时，点D的个数为0；当m＝时，点D的个数为1；当＜m＜4时，点D的个数为2．。
2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正三角形D ．圆2．（2分）一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是( ) A ．9πB ．16πC ．20πD ．25π3．（2分）在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是( ) A ．87，87B ．87，85C ．83，87D ．83，854．（2分）用“配方法”解一元二次方程216240x x -+=，下列变形结果，正确的是( ) A ．2(4)8x -=B ．2(4)40x -=C ．2(8)8x -=D ．2(8)40x -=5．（2分）如图，某小区在一块长为16m ，宽为9m 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为2120m ．设小路的宽度为xm ，则下列方程： ①(162)(9)120x x --=②16992(162)120x x x ⨯-⨯--= ③21699216120x x x ⨯-⨯-+=， 其中正确的是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③6．（2分）如图，在O 中，分别将AB 、CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是( )A ．8B ．16C ．32D ．二、填空题7．（3分）方程2x x =的解是 ．8．（3分）若1x =-是方程20x px q ++=的解，则p q -的值是 ． 9．（3分）数据9，11，8，12，7，13的极差是 ．10．（3分）如图，BC 是O 的直径，A 、D 是O 上的两点，若25ABC ∠=︒，则D ∠的度数是 ︒．11．（3分）小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是 环．12．（3分）如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A 、B 、C 、D 、E 是正五边形的五个顶点，则AFE ∠的度数是 ︒．13．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm ，则经过A 、B 、C 三点的弧长是 cm （结果保留)π．14．（3分）某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x 元，根据题意，可列方程为 ．15．（3分）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若110AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是 ︒．16．（3分）如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且6EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是 ．三、解答题17．（6分）解方程：2320x x --=． 18．（6分）解方程22(1)(21)x x +=+．19．（8分）已知：当2x =时，二次三项式224x mx -+的值等于4-．当x 为何值时，这个二次三项式的值是1-？20．（8分）已知关于x 的一元二次方程260x x m +-=．（1）若方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）中，设1x 、2x 是该方程的两个根，且121220x x x x +-=，求m 的值． 21．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ． （1）求证AC BD =；（2）若3AC =，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD 的长度是 ．22．（8分）某校有A 、B 两个礼仪队，经调查统计，A 礼仪队成员身高的方差是21.14cm ，B 礼仪队成员身高如图所示： B 礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B 礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm 、②166cm 、③169cm 、④172cm ，若选择其中一人加入B 礼仪队后，B 礼仪队成员的身高比A 礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是 （填写成员序号）． 23．（8分）如图，过点A 的直线DE 和正三角形ABC 的边BC 平行． （1）利用直尺和圆规作ABC ∆的外接圆O （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：DE 是O 的切线．24．（8分）【阅读】x 与代数式221x x +-的部分对应值如表：可知：当3x =-时，22120x x +-=>，当2x =-时，22110x x +-=-<，所以方程2210x x +-=的一个解在3-和2-之间．【理解】（1）方程2210x x +-=的另一个解在两个连续整数 和 之间．【应用】（2）若关于x 的一元二次方程220x x m -++=的一个解在1和2之间，求m 的取值范围．25．（8分）某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．26．（10分）某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍．设B 产品生产数量的增长率为(0)x x >． （1）用含有x 的代数式填表（不需化简）:（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值．27．（10分）在ABC ∆中，C α∠=．O 是ABC ∆的内切圆，P 分别与CA 的延长线、CB 的延长线以及直线AB 均只有一个公共点，O 的半径为m ，P 的半径为n ． （1）当90α=︒时，6AC =，8BC =时，m = ，n = ．（2）当α取下列度数时，求ABC ∆的面积（用含有m 、n 的代数式表示）． ①如图①，90α=︒； ②如图②，60α=︒．2019-2020学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正三角形D ．圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（2分）一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是( ) A ．9πB ．16πC ．20πD ．25π【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．【解答】解：圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面圆周长248ππ=⨯⨯=，则圆锥的侧面积为185202ππ⨯⨯=，故选：C ．【点评】此题主要考查了圆锥侧面积的计算、圆锥的侧面展开图．掌握扇形面积公式是解决问题的关键．3．（2分）在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是( ) A ．87，87B ．87，85C ．83，87D ．83，85【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可． 【解答】解：这组数据排序后为83，83，87，87，87，90，∴这组数据的众数是87，这组数据的中位数是8787872+=． 故选：A ．【点评】本题考查了中位数和众数的定义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数．4．（2分）用“配方法”解一元二次方程216240x x -+=，下列变形结果，正确的是( ) A ．2(4)8x -=B ．2(4)40x -=C ．2(8)8x -=D ．2(8)40x -=【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：216240x x -+= 216642464x x -+=-+2(8)40x -= 故选：D ．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项绝对值的一半的平方．5．（2分）如图，某小区在一块长为16m ，宽为9m 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为2120m ．设小路的宽度为xm ，则下列方程： ①(162)(9)120x x --=②16992(162)120x x x ⨯-⨯--= ③21699216120x x x ⨯-⨯-+=， 其中正确的是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【分析】如果设小路的宽度为xm ，那么草坪的总长度和总宽度应该为162x -，9x -；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为xm ，那么草坪的总长度和总宽度应该为162x -，9x -； 根据题意即可得出方程为：(162)(9)120x x --=， 或16992(162)120x x x ⨯-⨯--= 故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 6．（2分）如图，在O 中，分别将AB 、CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是( )A ．8B ．16C ．32D ．【分析】过O 作OH AB ⊥交O 于E ，反向延长EO 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA ，OB ，OD ，根据平行线的性质得到EF CD ⊥，根据折叠的性质得到12OH OA =，推出AOD ∆是等边三角形，得到D ，O ，B 三点共线，且BD 为O 的直径，求得90DAB ∠=︒，同理，90ABC ADC ∠=∠=︒，得到四边形ABCD 是矩形，于是得到结论．【解答】解：过O 作OH AB ⊥交O 于E ，反向延长EO 交CD 于G ，交O 于F ， 连接OA ，OB ，OD ， //AB CD ， EF CD ∴⊥，分别将AB 、CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心， 12OH OA ∴=，30HAO ∴∠=︒， 60AOH ∴∠=︒，同理60DOG ∠=︒， 60AOD ∴∠=︒，AOD ∴∆是等边三角形， OA OB =，30ABO BAO ∴∠=∠=︒， 120AOB ∴∠=︒， 180AOD AOB ∴∠+∠=︒，D ∴，O ，B 三点共线，且BD 为O 的直径，90DAB ∴∠=︒，同理，90ABC ADC ∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，4AD AO ∴==，AB ==∴四边形ABCD 的面积是故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题7．（3分）方程2x x =的解是 10x =，21x = ．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：2x x =， 移项得：20x x -=， 分解因式得：(1)0x x -=， 可得0x =或10x -=，解得：10x =，21x =． 故答案为：10x =，21x =【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．8．（3分）若1x =-是方程20x px q ++=的解，则p q -的值是 1 ． 【分析】把1x =-代入方程得到10p q -+=后移项即可求得答案． 【解答】解：1x =-是方程20x px q ++=的解，10p q ∴-+=， 1p q ∴-=，故答案为：1．【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程两边相等，难度不大．9．（3分）数据9，11，8，12，7，13的极差是 6 ． 【分析】根据极差的定义即可求得．【解答】解：数据9，11，8，12，7，13的极差是$13-7=6$； 故答案为：6．【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．10．（3分）如图，BC 是O 的直径，A 、D 是O 上的两点，若25ABC ∠=︒，则D ∠的度数是 65 ︒．【分析】根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：BC 是O 的直径， 90BAC ∴∠=︒，25ABC ∠=︒， 902565C ∴∠=︒-︒=︒， 65D C ∴∠=∠=︒，故答案为：65．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．（3分）小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是 8.7 环．【分析】求出所有数据的和，再除以数据的总个数即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 8495108.7451⨯+⨯+=++（环)，答：他射中环数的平均数是8.7环； 故答案为：8.7．【点评】本题考查的是加权平均数的求法，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．12．（3分）如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A 、B 、C 、D 、E 是正五边形的五个顶点，则AFE ∠的度数是 108 ︒．【分析】根据五边形的内角和公式求出DAB ∠，根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：五角星里面是正五边形， (52)1801085BFD -⨯︒∴∠==︒，∴∠=∠=︒．AFE BFD108故答案为：108．【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、对顶角的性质是解题的关键．13．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点π．cm（结果保留)【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解答】解：连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则222OA=+=，OA=2420可知90∠=︒，AOC∴过A、B、C=．【点评】本题主要考查的是弧长的计算、直角三角形的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．14．（3分）某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为+-=．x x(10)(50010)8000【分析】根据已知直接得出每千克水果获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量；利用每千克水果品获利⨯月销售量=总利润，进而求出答案．【解答】解：设水果单价涨了x 元，由题意可得：每千克水产品获利(10)x +元，月销售量减少10x 千克；由题意可列方程(10)(50010)8000x x +-=， 故答案为：(10)(50010)8000x x +-=．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键．15．（3分）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若110AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是 70 ︒．【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出2370DOC ∠+∠=∠=︒．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点， 在Rt DEO ∆和Rt DFO ∆中 DO DODE DF =⎧⎨=⎩， Rt DEO Rt DFO(HL)∴∆≅∆，12∴∠=∠，同理可得：Rt AFO Rt AMO ∆≅∆，Rt BMO Rt BNO ∆≅∆， Rt CEO Rt CNO ∆≅∆，34∴∠=∠，57∠=∠，68∠=∠， 5678110∴∠+∠=∠+∠=︒， 22233602110∴∠+∠=︒-⨯︒， 2370DOC ∴∠+∠=∠=︒．故答案为：70︒．【点评】此题主要考查了切线的性质定理、全等三角形的判定和性质，正确应用切线的性质定理是解题关键．16．（3分）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且+的最小值是3．6EF=，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP PM【分析】延长CD到C'，使C D CD+='+，当C'，P，N三点共线时，'=，CP PM C P PMC P PM'+的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C'到圆上一点M距离的最小值3'='-，根据勾股定理即可得到结论．C M C B【解答】解：延长CD到C'，使C D CD'=，CP PM C P PM+='+，当C'，P，N三点共线时，C P PM'+的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C'到圆上一点M距离的最小值3'='-，C M C B==，BC CD8∴'=，CC16∴'==C D-，CP PM∴+的最小值是3故答案为：3-．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P 点的位置是解题的关键． 三、解答题17．（6分）解方程：2320x x --=．【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a ，b ，c ；③求24b ac -；④代入公式x =．【解答】解：1a =，3b =-，2c =-；224(3)41(2)9817b ac ∴-=--⨯⨯-=+=；x ∴==，1x ∴，2x =． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程． 18．（6分）解方程22(1)(21)x x +=+．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：两边开方得：1(21)x x +=±+，解得：10x =，223x =-．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 19．（8分）已知：当2x =时，二次三项式224x mx -+的值等于4-．当x 为何值时，这个二次三项式的值是1-？【分析】根据一元二次方程的解的定义将22244x x mx =-+=-，列出关于m 的方程，通过解方程求得m 的值；然后将m 的值代入关于x 的方程2641x x -+=-，再通过解该方程求得x 的值即可．【解答】解：由题意得4444m -+=-，即30m -=， 解得3m =；（2分） 2641x x ∴-+=-， (1)(5)0x x ∴--=，得11x =，25x =．（4分）【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义、解一元二次方程--因式分解法．把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法．20．（8分）已知关于x 的一元二次方程260x x m +-=． （1）若方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）中，设1x 、2x 是该方程的两个根，且121220x x x x +-=，求m 的值． 【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m 的一元一次不等式，解之即可，（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到126x x +=-，12x x m =-，结合121220x x x x +-=，得到关于m 的一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）根据题意得：△3640m =+…， 解得：9m -…，即m 的取值范围为：9m -…， （2）根据题意得：126x x +=-，12x x m =-， 121220x x x x +-=，62()0m ∴--⨯-=，解得：3m =（符合题意）， 即m 的值为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键．21．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ． （1）求证AC BD =；（2）若3AC =，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD 的长度是113．【分析】（1）作CH CD ⊥于H ，如图，根据垂径定理得到CH DH =，AH BH =，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接OC ，如图，设CH x =，利用勾股定理得到222224OH OC CH x =-=-，222226(3)OH OA AH x =-=-+，则222246(3)x x -=-+，然后解方程求出x 即可得到CD 的长．【解答】（1）证明：作CH CD ⊥于H ，如图， OH CD ⊥，CH DH ∴=，AH BH =， AH CH BH DH ∴-=-， AC BD ∴=；（2）解：连接OC ，如图，设CH x =， 在Rt OCH ∆中，222224OH OC CH x =-=-， 在Rt OAH ∆中，222226(3)OH OA AH x =-=-+，222246(3)x x ∴-=-+，解得116x =，1123CD CH ∴==．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．22．（8分）某校有A 、B 两个礼仪队，经调查统计，A 礼仪队成员身高的方差是21.14cm ，B 礼仪队成员身高如图所示： B 礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B 礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm 、②166cm 、③169cm 、④172cm ，若选择其中一人加入B 礼仪队后，B 礼仪队成员的身高比A 礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是 ③ （填写成员序号）． 【分析】（1）根据平均数，方差的定义即可得到结论； （2）根据方差的定义即可得到结论．【解答】解：（1）B 礼仪队成员身高的平均数为16821692171169()5cm ⨯+⨯+=，B ∴礼仪队成员身高的方差为22221[(168169)2(169169)2(171169)] 1.2()5cm ⨯-⨯+-⨯+-=，A 礼仪队成员身高的方差是21.14cm ，B ∴礼仪队成员身高的方差大于A 礼仪队成员身高的方差；（2）B 礼仪队成员身高的平均数为169cm ，B ∴礼仪队成员的身高比A 礼仪队成员的身高稳定，这个候选人的身高必须最接近平均数， 故这个候选人是③， 故答案为：③．【点评】本题考查了条形统计图，方差，正确的理解题意是解题的关键． 23．（8分）如图，过点A 的直线DE 和正三角形ABC 的边BC 平行． （1）利用直尺和圆规作ABC ∆的外接圆O （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：DE 是O 的切线．【分析】（1）作BC 和AB 的垂直平分线，它们的交点为O ，然后以O 点为圆心，OA 为半径画圆；（2）延长AO 交BC 于G ，如图，先判断AG 垂直平分BC ，再利用平行线的性质得到AG DE ⊥，然后根据切线的判定定理可得到结论．【解答】（1）如图，O 为所作；（2）证明：延长AO 交BC 于G ，如图， AB AC =，OB OC =， AG ∴垂直平分BC ， //DE BC ， AG DE ∴⊥，DE ∴是O 的切线．【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定． 24．（8分）【阅读】x 与代数式221x x +-的部分对应值如表：可知：当3x =-时，22120x x +-=>，当2x =-时，22110x x +-=-<，所以方程2210x x +-=的一个解在3-和2-之间．【理解】（1）方程2210x x +-=的另一个解在两个连续整数 0 和 之间．【应用】（2）若关于x 的一元二次方程220x x m -++=的一个解在1和2之间，求m 的取值范围．【分析】（1）根据x 与代数式221x x +-的部分对应值的表即可得出答案；（2）根据方程220x x m -++=有一个根在1和2之间知120440m m -++>⎧⎨-++<⎩，解之可得． 【解答】解：（1）当1x =时，22120x x +-=>，当0x =时，22110x x +-=-<，∴方程的另一个根在0和1之间；故答案为0，1；（2）220y x x m =-++=中10k =-<，∴开口向下，对称轴为直线1x =，由题意可知一元二次方程220x x m -++=的一个解在1和2之间，∴120440m m -++>⎧⎨-++<⎩， 解得：10m -<<．【点评】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．25．（8分）某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．【分析】如图1，如图2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，AO OB OC OD===，∠=∠，67∠=∠，∠=∠，4518∴∠=∠，23∴∠+∠+∠+∠+=∠+∠+∠+∠，78341256即180∠+∠=∠+∠=︒；DAB DCB ADC ABC如图2，OA OB OC OD===，∠=∠，∴∠=∠，2316∠=∠，45125346∴∠+∠+∠=∠+∠+∠，即180∠+∠=∠+∠=︒，DAB DCB ADC ABC综上所述，圆内接四边形对角互补．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．26．（10分）某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为(0)x x>．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）:（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．【分析】（1）根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空；（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答．【解答】解：（1）由题意，得：故答案是：2x ；200(12)x +；100(1)x +；（2）2906021⨯=+（元) 1903021⨯=+（元) 260200(12)30100(1)(14)(6020030100)(1 4.4)x x x x ⨯++⨯++=⨯+⨯+解得10x =（舍去），2120x =． 即x 的值是120． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．27．（10分）在ABC ∆中，C α∠=．O 是ABC ∆的内切圆，P 分别与CA 的延长线、CB 的延长线以及直线AB 均只有一个公共点，O 的半径为m ，P 的半径为n ．（1）当90α=︒时，6AC =，8BC =时，m = 2 ，n = ．（2）当α取下列度数时，求ABC ∆的面积（用含有m 、n 的代数式表示）．①如图①，90α=︒；②如图②，60α=︒．【分析】（1）如图①，设点D ，E ，F 分别是3个切点，连接PD ，PE ，PF ，连接OA ，OB ，OC ，由面积法可得m 的值，再由正方形的性质及切线长定理可得n 的值；（2）①由于90α=︒，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m 和n 表示；②连接CP ，由切线长定理得30PCE ∠=︒，由含30︒角的直角三角形的性质及面积法，可得答案．【解答】解：（1）如图①，设点D ，E ，F 分别是3个切点，连接PD ，PE ，PF ，连接OA ，OB ，OCBCA ABO ACO BCO S S S S ∆∆∆∆=++ ∴11116810682222m m m ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 2m ∴=由已知，四边形DPEC 为正方形2CD CE n PD +∴== 由切线长定理可知，AF AD =，BF BE =12222CD CE AD AC BE BC AC BC AB n ++++++∴==== （2）如图①，由切线的性质，可知PD CD ⊥，PE BC ⊥，PF AB ⊥，PD PE PF ==，设ABC ∆的面积为ABC S ∆，周长为ABC C ∆同（1），根据面积法可知2ABC ABC S m C ∆∆=①如图①2222ABC C CD CE AD AC BE BC AC BC AB n ∆++++++==== 又2ABC ABCS m C ∆∆= 2ABC ABC mC S mn ∆∆∴== ②如图②，连接CP ，由切线长定理得：2222ABC C CD CE AD AC BE BC AC BC AB CD CE ∆++++++===== PD CD ⊥，PE BC ⊥CP ∴平分ACB ∠30PCE ∴∠=︒6ABC n PE ∆∴=== 又2ABC ABC S m C ∆∆= 2ABC ABC mC S ∆∆∴== 【点评】本题考查了三角形的内切圆与切线长定理等知识点，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．。