第一章作业答案

第一周作业答案
1-1填空题
(1) 一质点，以1-⋅s m π的匀速率作半径为5m
的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 10m ；经过的路程 5 πm
(2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻
质点的速度v 0为5m ·s -1，则当t 为3s 时，
质点的速度v= 23m ·s -1。

()3
032523/v t dt m s =++=⎰ 1-2选择题
(1) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2/2s m a -=，则一秒钟后质点的速度 （D ）
(A)等于零 (B)等于-2m/s
(C)等于2m/s (D)不能确定。

(2) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为（B ）
(A)t R t R ππ2,2 (B) t R π2,0
(C) 0,0 (D) 0,2t R π
(3)一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为（D ） (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d || (D) 22)()(dt dy dt dx +
1-4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）
x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。

给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。

（x 单位为m ，t 单位为s ）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。

加速度又是位移对时
间的两阶导数。

于是可得（3）为匀变速直线运动。

其速度和加速度表达式分别为
22484dx v t dt
d x a dt
==-+==- t=3s 时的速度和加速度分别为
v =-4m/s ，a =-4m/s 2。

因速度和加速度同号，
所以是加速的。

1-7 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
x =3t +5, y =2
1t 2+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；
(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计
算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1） j t t i t r )4321()53(2-+++=m
(2)将1=t ,2=t 代入上式即有 j i r 5.081-= m
2114r i j =+m
213 4.5r r r i j ∆=-=+m
(3)∵ 0454,1716r i j r i j =-=+ ∴ 104s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v (4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v 则 j i v 734+= 1s m -⋅
(5)∵ j i v j i v 73,3340+=+= 24041m s 44v v v j a j t --∆====⋅∆
(6) 2s m 1d d -⋅==j t
v a 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-12 质点沿x 轴运动，已知加速度
26 m/s a t =，0t =时，0 3 m/s υ=-,010 m x =，求（1）
质点的运动方程；（2）质点在前2秒内的位移和路程。

解：（1）质点的运动方程
∵ d 6d v a t t ==
分离变量： d 6d v t t =
两边积分得
23v t c =+
由题知，0t =时，03/v m s =-,∴3/c m s =-
∴ ()2133m s v t -=-⋅
∵ d d x v t =
分离变量： ()2
d d 33x v t t dt ==- 两边积分得
313x t t c =-+
由题知，0t =时，010x m =,∴110c m = ∴质点的运动方程 ()3310m x t t =-+
（2）质点在前2秒内的位移和路程
质点在前2秒内的位移
()32023210-10m=2m x x x ⎡⎤∆=-=-⨯+⎣⎦
方向沿x 轴正向
质点在前2秒内的路程
∵ 18x m = 212x m =
∴ 路程()()01216m s x x x x =-+-=
1-15 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关
系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -⋅，x 的单
位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵ x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===
分离变量：
2d (26)d v v adx x x ==+ 两边积分得
c x x v ++=32222
1 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c
∴
13s m 252-⋅++=x x v
1-17 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运
动方程为 θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以
秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解： 2d d 9,18d d t t t t θωωα====
(1)s 2=t 时， 2118236m s a R τα-==⨯⨯=⋅
2222s m 1296)29(1-⋅=⨯⨯==ωR a n
(2)当加速度方向与半径成ο45角时，有
145tan ==︒n
a a τ 即 2
R R ωα=
亦即 t t 18)9(22= 则解得 923
=t
于是角位移为 ()3
22(0)2323rad 93t t θθ-=+-=⨯=。