高考数学二轮复习 2.5 函数与方程及函数的应用
专题三函数与方程及函数的应用
高三二轮复习专题三函数与方程及函数的应用主备教师：xxx 审核：xxx 班级___________ 姓名____________【考试要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3、了解函数模型的广泛应用。
【高考试题回放】 1、（2011天津理2）函数()23xf x x=+的零点所在的一个区间是（ ）．Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1Ｄ．()1,22、（2011山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 3、（2011湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克4、（2011北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16【课内探究】探究一、确定函数的零点 例1.设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则f(x)（ ）A ．在区间1[,1],(1,)e e内均有零点 B.在区间1[,1],(1,)e e内均无零点 C.在区间 1[,1]e 内有零点，在区间（1，e ）内无零点D ．在区间 1[,1]e内无零点，在区间（1，e ）内有零点拓展延伸：1、方程||cos x x =在(,)-∞+∞内（ ）A ．没有根 B.有且仅有一个根 C 有且仅有两个根 D 有无穷多个根2、已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()f x =0 B. 0()f x <0 C. 0()f x >0 D. 0()f x 的符号不确定 探究二、函数零点的应用例2. 1.（2011重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13 2．（2011辽宁文16）已知函数ax e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是__________3.m 为何值时，2()234f x x m x m =+++（1）、有且仅有一个零点？（2）、有两个零点且比-1大？（3）、若函数2()|4|F x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围.探究三、函数的应用 问题四、（2011湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）【巩固练习】1、方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（ ）A ．01a <≤ B.a<1 C. 1a ≤ D. 01a <≤或a<0 2、已知f (x )=1-(x -a )(x -b ) (a<b ),m ,n 是f (x )的零点，且m<n ,则实数a ,b ,m ,n 的大小关系是 （ ）A. m<a<b<nB. a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b3、关于x 的实系数方程x 2-ax +2b =0的一根在区间［0，1］上，另一根在区间［1，2］上，则2a +3b 的最大为4、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______________. 5、已知二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )＞0，求实数p 的取值范围.6、某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x -22x（万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？。
高三二轮专题突破课件函数与方程及函数的应用.ppt
∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，12]上单调递增，
热点分类突破
且 g(0)＝3a＋23，g(12)＝a＋76，
g(0)－g(12)＝2(a－14)．
本 讲 栏 目
故 M(a)＝gg012，，014≤ <aa≤≤1214. ，
开 关
即M(a)＝a3＋ a＋76， 23，0≤ 14<aa≤≤1412，.
主干知识梳理
专题一 第3讲
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
本 讲
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零
栏 目
点．
开 关
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即
函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，
又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，
本
讲 栏
因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
目 开
(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln
x
关 和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；
1x62 ＋2，0<x≤4， x2＋ x－142，x>4，
当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)
时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
热点分类突破
专题一 第3讲
(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一
共可持续几天？
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题2 函数与方程及函数的应用
热点与突破
热点一 函数与方程问题 【例 1】 (2013· 苏锡常镇调研)已知直线 y＝mx 与函数 f(x)＝ 1x ，x≤0， 2－ 3 1x2＋1，x>0 2
的图象恰好有 3 个不同的公共点， 则实数 m
的取值范围是________．
解析
作出函数
1x ，x≤0， 2－ 3 f(x)＝ 1x2＋1，x>0 2
不同的交点． 作出函数 f(x)的图象，如图，由图象可知，当 0<k<1 时，函数 f(x)与 y＝k 的图象有两个不同的交点， 所以所求实数 k 的取值 范围是(0,1)．
答案 (0,1)
热点二
函数的实际应用问题
【例 2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万 元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元．设该公司一年内生产该 品牌服装 x 千件并全部销售完， 每千件的销售收入为 R(x)万元， 1 2 10.8－30x ，0＜x≤10， 且 R(x)＝ 108－1 000 ，x＞10. 3x2 x (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获 得的年利润最大． (注：年利润＝年销售收入一年总成本)
(2)①当 0＜x≤10 时， x2 由 W′＝8.1－10＝0， 得 x＝9. 当 x∈(0,9)时，W′＞0； 当 x∈(9,10]时，W′＜0， ∴当 x＝9 时， W 取得最大值， 1 即 Wmax＝8.1×9－30×93－10＝38.6.
②当 x＞10 时，
1 000 W＝98－ 3x ＋2.7x≤98－2
• 3．在求方程解的个数或者根据解的个数求 方程中的字母参数的范围的问题时，数形 结合是基本的解题方法，即把方程分拆为 一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的 函数的解析式，然后构造两个函数f(x)， g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这 时方程根的个数就是两个函数图象交点的 个数，可以根据图象的变化趋势找到方程 中字母参数所满足的各种关系.
高三数学二轮复习 2-5函数与方程、函数的应用
x2＋x＋2，x<0， －x)＝2，0≤x≤2，
x2－5x＋8，x>2，
作出该函数的图象
如图所示，由图可知，当74<b<2 时，直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有
4 个不同的交点，故函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点时，b 的取值范围是74，2。
第22页
赢在微点 无微不至
即 f(x)＝0 在区间[0,2]上有两个不同的实数根，其充要条件为
f0＝－a≤0， ff12＝ ＝llnn23＋ －112－－aa≤>00，，
解得 ln3－1≤a<ln2＋12。所以方程 ln(x＋1)＝x2－32x
＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数根时，实数 a 的取值范围是ln3－1，ln2＋12。
考前顶层设计·数学文·二轮教案
答案 A
解析
令
f(x)
＝
ln(x
＋
1)
－
x2
＋
3 2
x
－
a
，
则
f′(x)
＝
1 x＋1
－
2x
＋
3 2
＝
－42x＋x＋51x－1。当 x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当 x∈(1,2]时，f′(x)<0，
f(x)单调递减。由于方程 ln(x＋1)＝x2－32x＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数根，
赢在微点 无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
第二部分 讲小题•通法＋技法
第1页
赢在微点 无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
第五讲 函数与方程、函数的应用 学生用书P024
高考数学二轮复习方案 第3讲 函数、方程及函数的应用课件 文 课标版
第3讲 │ 要点热点探究
► 探究点一 函数的零点和方程根的分布
例 1(1)[2011·山东卷] 已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且 a≠1)．当 2＜a＜3＜b＜4 时，函数 f(x)的零点 x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则 n＝________.
(2)[2011·陕西卷] 方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
f(1)＝－2
f(1.5)＝ 0.625
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(1.25)≈ －0.984
[2011·天津卷] 对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b>1.
设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函
数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取
值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
第3讲 函数、方程及函数的应用
第3讲 函数、方程及函数的应用
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数的零点 方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定 义可知，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根， 也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．所以， 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交 点⇔函数 y＝f(x)有零点．
第3讲 │ 要点热点探究
【分析】 (1)从对数函数的单调性入手，借助函数零点 定理，进一步确定 n 的值；(2)把方程解的问题转化为函数 图象的交点，进而得出方程根的情况．
(1)2 (2)C 【解析】 (1)本题考查对数函数的单 调性与函数零点定理的应用．因为 2＜a＜3，所以 loga2 ＜1＝logaa＜loga3，因为 3＜b＜4，所以 b－2>1>loga2， b－3＜1＜loga3，所以 f(2)·f(3)＝ (loga2＋2－b)·(loga3 ＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以 n＝2.(2) 如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方 程有且仅有两个根，故答案为 C.
高考数学二轮强化突破：专题4《函数与方程、函数的应用》ppt课件
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在 该市用丙车比用乙车更省油
[立意与点拨] 函数应用问题；考查对“燃油效率”新定 义的理解和对函数图象的理解．解答时先依据新定义，识读图 象，再逐个选项进行判断．
利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函 数应用问题，利用数形结合的思想方法研究方程根的分布问题 是高考命题的趋势.
考题引路
考例1 (2015·北京理，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每 消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
[答案] D [解析] “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里 程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点 的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油 效率最高，所以甲最省油，B错误；C中甲车以80千米/小时的 速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10 km，行驶 80 km，消耗8升汽油，C错误；D中某城市机动车最高限速80 千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用 丙车比用乙车更省油，选D.
易错防范
案例 不能准确的进行等价转化致误
(2015·山东青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a，b]上
的两个函数，若函数 y＝f(x)－g(x)在 x∈[a，b]上有两个不同的零
点，则称 f(x)和 g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为
“关联区间”．若 f(x)＝x2－3x＋4 与 g(x)＝2x＋m 在[0,3]上是“关
(课标专用)2020高考数学二轮复习专题二函数与导数2.2函数与方程及函数的应用课件
高频考点•探究突破
-10-
突破点一
突破点二
突破点三
解析:(1)f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数根,
等价于y=f(x)+|x-2|与y=kx的图象有三个交点,
������2 + 3������ + 2,-3 ≤ ������ ≤ 0,
画出 y=f(x)+|x-2|= ������-1,0 < ������ ≤ 2,
显然1e>0.
综上,f(t)=1
的两根为 2
������
与
1e,
故方程 f(-f(x))=1 的解即为方程 f(x)=-���2���与 f(x)=-1e的解.
解方程 f(x)=-���2���:
①当 x≤0 时,方程可化为 mx-1=-���2���,解得 x=1���-������2��� = ������������-22,
高频考点•探究突破
-7-
突破点一
突破点二
突破点三
即时巩固 1 定义在 R 上的函数 f(x),满足 f(x)=
������2 + 2,������∈[0,1), 2-������2,������∈[-1,0),
且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(0,+∞) 内的零点个数有( B )
������
函数y=f(x)的图象与直线y=-a>0存在两个交点,此时方程f(-f(x)) =1的实数根有2个;由f(x)=-b∈(-1,0),知函数y=f(x)的图象与直线y= -b∈(-1,0)存在两个交点,此时方程f(-f(x))=1的实数根有2个.综上可 知方程的实数根个数为4.
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg