七年级数学上册 6.5 垂直(第2课时)

4、如图射线OC是∠AOB的角平分线， M是OC上任意一点。（1）画MP⊥OA，垂足为P （2）画MQ⊥OB，垂足为Q （3）度量点M到OA、OB的距离，你发现什么？
5、如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB；你能画出几种？观察图形你发现了什么？
1、如图，学校要测出一块空地三角形ABC的面积，以便计算绿化成本，现已测出BC的长为5米，还要测出哪些量才能算出空地的面积？怎样测量？请在图中表示出来 2、如图，某长方形木板在运输过程中不慎折断，请在剩余的板材上画一直线，以便截出一块面积最大的长方形木板。
跳远成绩的测量
踏板
沙坑
性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
过马路中的数学知识
B
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 A
.
.
l
B

如图，过点A作l的垂线，垂足为B点。垂线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
找出图中互相垂直的线段.
D
Ｄ
特别说明:线段、射线与直线互相垂直,就是指线段或射线所在的直线互相垂直.
你能用三角尺画垂线吗？
试一试
你还能用直尺在方格纸上画出互相垂直的两条直线吗?
做一做
你能用纸折出两条互相垂直的折痕吗?
(1)
(2)
(3)
用手上的工具检验一下。
(4)

在下列两个图中，分别过点A作已知直线的垂线，你能作出来吗？每个图中能作几条？
图片欣赏
图片欣赏
图片欣赏
图片欣赏
图片欣赏
云中漫步
生活中的垂直现象
晚霞如诗
五亭雄姿
天使之心
Ｃ a b
ＡＯＢ
如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直.其中一条直线是另外一条直线的垂线。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
如图,直线AB、CD 互相垂直就表示为
CD ⊥ AB，或者 AB ⊥ CD， (或者 a ⊥b),CD是AB的垂线， AB也是 CD的垂线, 其中点O是垂足。
从中，你得到了什么结论？不妨说说看！
结论：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
P
已知如图，点A、B、C、D在直线AD上，点P在直线AB外，并且线段ＰＣ⊥直线ＡＢ，垂足为Ｃ。请测量ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ的长度后再比较它们的长短，为什么？
A
B
C
D PC最短
结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
A

(1)
C (2)
课堂小结
垂直定义；
垂线的多种画法；垂直的表示方法；
垂直的基本性质；
点到直线的距离。
练一练
1、如图，已知直线AB、CD和AB上一点M，过点M分别画直线AB、CD的垂线。
2、如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最简，试画出铺设管道路线，并说明理由。
3、如图，P是∠AOB的边OB上的一点（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C （2）过点P画OA的垂线，垂足为H 比较PH与PC、PC与CO的长短，并说明理由。
A
B
C
E
AC ⊥ BC,AC ⊥CE,AC ⊥BE CD ⊥ BC,CD ⊥CE,CD ⊥BE AD ⊥ BC,AD ⊥CE,AD ⊥BE
在△ABC 中,你可以过点A作出BC边上的高线吗?
A
D B
C
污水处理厂
排水口
A B Q
P
污水处理厂要把处理过的污水从排水口Ａ引到排水沟PQ．作为工程师,你应该如何铺设排水管道,才能使材料最省?

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2022秋七年级数学上册第六章一次函数6.5一次函数的应用1含一个一次函数(图象)的应用课件鲁教版五

均速度是100 km/h，那么汽车距B地的距离s(km)
与行驶时间t(h)的关系用图象表示应为( C )
【点拨】本题中s并不是汽车行驶的路程，而是剩下没有走的路程．不能受思维定式的影响，要仔细审题，理解题意．实际上s与t的函数关系式为s＝400－100t，其中0≤t≤4，s是t的一次函数，故选C.
3 【中考·西藏】如图，一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是( A ) A．3 B．4 C．5 D．6
4 【中考·辽阳】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10 km；②出发1.25 h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了15 min或65 min时两人相距 2 km.其中正确的个数是( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)若－2≤y≤2，请直接写出x的取值范围．解：当－2≤y≤2时，x的取值范围为－4≤x≤－2.
9 【中考·台州】如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度 h(单位：
m)与下行时间 x(单位：s)之间具有函数关系 h＝－130x＋6，乙离一楼地面的高度 y(单位：m)与下行时间 x(单位：s)的函数关系如图②所示． (1)求 y 关于 x 的函数表达式；
【2021·天津南开中学期中】在如图所示的直角坐标 8

2024年苏科版七年级数学上册 6.5 多边形(课件)

感悟新知
知3－讲
如图6 .5 -8，这两个多边形都不是正多边形，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.
感悟新知
知3－讲
特别提醒等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是
60°；正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是 90°；正五边形的各边都相等，各角都是108°.
感悟新知
知3－练
例 4 [ 期中·咸阳秦都区] 已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长．
解题秘方：先求出这个正多边形的边数，再根据正多边形的边长相等求出正多边形的边长．
感悟新知
知3－练
解：因为从正多边形一个顶点出发共有4 条对角线，所以这个正多边形边数为4＋3＝7 . 因为正多边形的周长为56，所以它的边长为56÷7＝8．答：这个正多边形的边长为8．
感悟新知
知1－讲
知识储备多边形表示：图形名称＋它的各个顶点的字母.字母
要按照顶点的顺序书写, 可以按顺时针或逆时针的顺序.
感悟新知
3. 多边形的内角、外角
知1－讲
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形
的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
知识储备类比三角形、四边形可知，n边形有n个顶点，n条边，
n个内角，2n个外角．
感悟新知
知1－讲
多边形的外角与相邻的内角互为补角. 如图6.5 -2，∠A， ∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°
感悟新知
知1－练
例 1 一个七边形的纸片，小明将这个七边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的纸片可能的边数为_6_或__7_或. 8 解题秘方：分三种情况画图讨论，即可求出剪去一个角后得到的多边形纸片可能的边数．

北师大版2024新版七年级数学上册第六单元课件：6.3 课时4 统计图的选择

探究新知
根据小亮绘制的统计图，回答下列问题： (1)三幅统计图分别表示什么内容? (2)从哪幅统计图中你能看出世界人口的变化情况?
条形统计图表示2100年六个洲人口的具体数量；
探究新知
根据小亮绘制的统计图，回答下列问题： (1)三幅统计图分别表示什么内容? (2)从哪幅统计图中你能看出世界人口的变化情况?
5 0
亚1洲非洲2 拉丁3 美洲欧4 洲北美5洲大洋6洲和加勒比地区
⑥
④⑤ ③
① ②
①亚洲 ②非洲 ③拉丁美洲和加勒比地区 ④欧洲 ⑤北美洲 ⑥大洋洲
探究新知
根据小亮绘制的统计图，回答下列问题： (1)三幅统计图分别表示什么内容? (2)从哪幅统计图中你能看出世界人口的变化情况?
(1)折线统计图表示世界人口从 1960 年到2100年的变化情况；
探究新知
(2)甲种酒的销售人员将甲种酒的销售量信息制作成了如下的条形统计图:
2016
2020
2024
探究新知
请你自主作出甲种酒的年度销售量的条形统计图:
销售量（万瓶）
250
甲种酒的年度销售量
200
150
100
50
0
1
2
3
年份
探究新知
(3)两幅条形统计图给你的感觉一样吗? 在甲种酒销售人员画的条形统计图中，2024年甲种酒的年度销售量看上去是2016年的多少倍? 实际上呢?
2013-2022年我国快递业务量及其增长速度还能得到每年我国的快递业务量.
1200
1083.0 1105.8 70
61.6 1000
60
51.9
51.4
800
48

5.2解一元一次方程(第2课时移项)(教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册

解：若设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt.由题意得
5x-200=2x+100
移项，得
5x-2x=100+200
合并同类项，得
3x=300
系数化为1，得
x=100
所以
2x=200,5x=500
答：新工艺的废水排量为200t，旧工艺的废水排量为500t.
针对练习
4.七年级(2)班全班同学去郊游，需要一定费用，如果每位同学付5元，
3x-4x+20=4x-4x-25
3x-4x+20=-25
3x-4x+20-20=-25-20
3x-4x=-25-20
-x=-45
x=45
移项
移项的定义
(教材P122)
把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变
形叫做移项.
问题三：归纳解形如：3x+20=4x-25 的方程的步骤？
1
1
x-x= +2.
3
4
合并同类项，得
合并同类项,得
合并同类项，得
2x=2.
系数化为1,得
x=1.
6.5m=-6.5.
系数化为1,得
m=-1.
2 9
- x= .
3 4
系数化为1，得
27
x=- .
8
3.判断下面的移项是否正确.
(1)从2x=3-x得到2x-x=3.( × )
(2)从8+x=6得到x=6-8.( √
系数化为1，得
x=-2.
探究新知
问题一：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;
如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生？

++6.5垂直+课件++2023—2024学年苏科版数学七年级上册

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离．
（5）如果图中的比例尺为1:100 000，水渠大概要挖多长？
（6）你能列举生活中类似的实例吗？
小结
点到直线的距离
垂线性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最垂直有关的实例吗？
垂线的画法
用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线．（1）用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
无数条
（2）经过一点画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
① 经过一点画已知直线 l 的垂线有几种情况？ 2种过直线上一点和直线外一点 ② 通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？
6.5垂直（1）
垂线
（1）垂直概念：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
如图，AB垂直CD，垂足为 O．记作：AB ⊥CD 于点 O．
（2）符号语言：因为所以
反之，因为所以
AB ⊥CD， ∠AOC = 90°． ∠AOC = 90°， AB⊥CD．
（1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
（2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？
（3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
（4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
垂线性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
问题:（1）两条直线垂直和相交是什么关系？垂直是相交的特殊情况
（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种：相交，平行，垂直？

江苏科学技术出版社初中数学七年级上册 6.5 垂直-“江南联赛”一等奖

课题：垂直江苏连云港外国语学校朱媛教材：苏科版七年级（上）垂直教学内容的特点：垂直是平面图形中线与线最基本，最特殊的位置关系，本节课以“生活数学”、“活动思考”为主线展开教学内容。

用学生熟悉的生活背景为素材，引导学生在活动中思考、感知、探索、操作，主动获取数学知识。

注重在现实背景中识别垂直概念；注重对图形性质的理解，对画图技能的实际操作；注重应用所学数学知识解决实际问题。

教学目标：1、知识与技能：（1）在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直。

（2）会画垂线，并在操作活动中探索、掌握垂线的性质（3）从生活实际中感知“垂线段最短”，并能运用到生活中解决实际问题。

2、过程与方法：在概念和性质的学习中，引导学生开展自主活动与独立思考，经历思考、感知、探索、操作等过程，尝试与他人合作开展讨论、研究，并表达自己的见解。

3、情感态度、价值观：（1）通过本节探索，体验数学与实际生活的密切联系。

（2）经历探究过程，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维。

教材处理与教材教法：用幻灯片展示问题情境，教学过程中引导学生通过思考、感知、探索、操作和归纳。

整个教学流程设计上力求充分体现“以学生发展为本”的教育理念，将教学思路拟订为“探底铺垫——自主探究——巩固内化——拓展延伸”，努力构建探索型的课堂教学模式。

教学过程设计：问题与情境师生行为设计意图动 [活动1]通过对图片的观察，激发进一步学习的欲望.[屏幕1]：引入：同学们，通过前面的学习，我们认识了两条直线的平行，在平面中，直线除了平行，还有其他的位置关系吗首先我们一起看大屏幕。

教师提出[问题1]这些图片有什么共同点学生可以发现是垂直的。

教师提出[问题2]你能谈谈什么样的两条直线叫做垂直以学生熟悉的生活背景创设问题情境，利用图片，使学生获得直观的感性认识，便于得出两直线垂直的关系。

问题的设置具有一定的[屏幕2]如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

6.5垂直1课时陈以志

B
P
练习
2.如图，P是∠AOB的边OB上一点。（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（2）过点P画OA的垂线，垂足为H。比较PH与PC、PC与CO的长短，并说明理由。 B
P O
H C A
解：PH＜PC，PC＜CO 理由：垂线段最短。
1.如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。两条直线的交点叫做垂足。
作
业
上本作业: 书第170页习题6.5第1题，第2题
课外作业: 补充习题对应部分
1、放
2、靠
3、过
4、画
垂线的性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
Байду номын сангаас
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短垂线段最短。这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。
练习
1.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试画出铺设管道的路线？并说明理由。 Q A 解：从点A向PQ作垂线段AB，垂足为B，则线段AB就是铺设管道的路线。理由：垂线段最短。
初中数学七年级上册苏科版
6.5 垂直
第1课时
同一平面内的两条直线的位置有几种情况? 平行相交
如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。两条直线的交点叫做垂足。
C b a
A
O D
B
记作:AB⊥CD 读作AB垂直于CD 如果两条直线用a,b来表示,则又可记作:a⊥b 读作a垂直于b

6.5垂直2

教
一次
学
备
流
课
程
二次备课
一、情境引入 1、怎样的两条直线是互相垂直的？能在生活中找出一些互相垂直的实例吗？ 2、当两条直线互相垂直时，它们的交角有怎样的关系呢？如何用几何语言表示呢？ 3、过一点画一条直线的垂线，有怎样的性质呢？ 4、如果有几条直线都和同一条直线垂直，你认为这几条直线有怎样的位置关系呢？ 5、从直线外一点向这条直线上的所有点进行连结，你认为怎样的线段是最短的？为什么？这条线段的长度又叫做什么？二、新授 1、按要求完成作图和解答：（1）作∠AOB＝500 （2）作出∠AOB 的角平分线 OC （3）在 OC 上任意取一点 P，并且过点 P 分别作 PM⊥OA，PN⊥OB，垂足为 M，N （4）度量 PM，的长， PM＿＿＿＿PN PN 则（填“＞”， “＜”或“＝”）（5）由上面的实践你发现了什么？你能把你发现的结论用简短的语句反映出来吗？你的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、课堂小结这节课你学会了什么？
四、课堂练习练习纸
作教心业后得下节课预习提纲
A B 图1 C C 图2 B C 图3 A A D B
如图 3，如图，甲、乙两辆汽车分别沿道路 AC、 BC 开向 C 城，如果两辆汽车的速度相同，那么甲车先到 C G C E 城。 4、如图 AB、CD、EF 相交于 A O B 点 O，且 AB⊥CD，OG 平分 F D ∠AOE，∠FOD＝240，求①∠BOE①∠AOG
2、如图，直线 AB、 EF 都经过点 O， AB⊥CD， CD、且 OG 平分 ∠BOE ，如果 ∠EOG ＝ ∠AOE ，求 ∠EOG 、 ∠DOF 和 C ∠AOE 的度数。 E

6.5《垂直》学案

a
a
问题 3．量量比比：（1）如图直线 PO 垂直于 AB，测量线段 PA、PO、 PB、PC，哪条线段最短？可得垂线段性质：
．（2） (3)体会新知:P168①测量跳远距离；叫做点到线的距离． P169 ②横穿马路如何最短．
【问题探究】问题 1．如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O， AO⊥BC， OE 平分∠BON，若∠EON=21°，求∠AOM 的度数．
6。5 垂直
学习内容学习目标学习重难点七年级数学上册---6。5 垂直在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直．会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质．导学过程感悟
【问题导学】问题 1．四人一组完成课本 P167 页的“做一做”，从中你发现了什么？那么这两直线相互垂直， P 叫做垂足．问题 2．读读画画（1）阅读 P168 页，完成：已知直线 a 及线外一点 P，过 P 作直线 a 的垂线，能画几条？（2）如 P 在直线上，情况又如何？试试 P 看．．
B
A C F
O
D
E
B
C
第 4 题图
A
第 3 题图
4．如图，AC⊥BC，垂足为 C，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，点 A 到 BC 所在直线的距离是_______cm，点 A 到点 B 的距离是______cm，点 C 到 AB 的距离是 cm． 5．如图，O 为直线 AB 上一点，OC 平分∠AOD，3∠AOC=∠BOC，⑴求∠COD 的度数； ⑵试判断 OD 与 AB 的位置关系，并说明你的理由．
C B
2
1
O
A
【问题评价】 1．点到直线的距离是指这点到这条直线

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