天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(13)统计
天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（13）统计
一、填空题：
9．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为
________18________．
10．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 48 ．
9．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试理科)某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为 32 人。
9．(天津市天津一中2012届高三第二次月考理科)某校高一年级有学生280人，高二年级260人，高三年级360人，现采用分层抽样抽取容量为45的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为 18 。
二、解答题：
16、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)（本题13分）
已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职
工随机按
1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编
号依次
增加5进行系统抽样．
(Ⅰ)若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；
(Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据
的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职
工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.
16、(Ⅰ)抽出的10名职工的号码分别为
2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.……4分
(Ⅱ)因为10名职工的平均体重为
x－＝
1
10
(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71
所以样本方差为：
s 2＝110
(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.…8分
(Ⅲ)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，
(78,81)，(79,81)．故所求概率为P (A )＝410＝25
……13分 17．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科)（本小题共13分）
某学校餐厅新推出A 、B 、C 、D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下。
为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
（1）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；
（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择是D 款套餐的概率。
17．解：
……………………………9分
从填写不满意的学生中选出2人，共有（a,b ）,（a,c ）,（a,d ）,（b,c ）,（b,d ）,（c,d ）6个基本事件，
而事件N 有（a,c ）,（a,d ）,（b,c ）,（b,d ）,（c,d ）5个基本事件， 则6
5)(
N P ． ……………………………13分。
2012年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．解答：解：===1+i故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．2．（5分）（2012•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值解答：解：画出可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（0，2）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题3．（5分）（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．80考点：数列的求和；循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．4．（5分）（2012•天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系解答：解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得a＞b＞c，故选A．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5．（5分）（2012•天津）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（5分）（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x，x∈R B．y=log2|x|，x∈R且x≠0D．y=x3+1，x∈RC．y=考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．解答：解：对于A，令y=f（x）=cos2x，则f（﹣x）=cos（﹣2x）=cos2x=f（x），为偶函数，而f（x）=cos2x在[0，]上单调递减，在[，π]上单调递增，故f（x）=cos2x在（1，]上单调递减，在[，2）上单调递增，故排除A；对于B，令y=f（x）=log2|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；对于C，令y=f（x）=，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选B．点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．7．（5分）（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣），再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，故ω•=kπ，由此求得ω的最小值．解答：解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣）．再由所得图象经过点可得sinω（﹣）=sin（ω）=0，∴ω•=kπ，k∈z．故ω的最小值是2，故选D．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．8．（5分）（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．解答：解：由题意可得=0，由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，解得λ=，故选B．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．考点：绝对值不等式的解法．专题：集合．分析：由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．解答：解：∵A={x∈R||x﹣2|≤5}，∴由|x﹣2|≤5得，﹣5≤x﹣2≤5，∴﹣3≤x≤7，∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方，去掉绝对值符号解之，属于基础题．10．（5分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的体积为：（2×3+）×4=30（m3）．故答案为：30．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．（5分）（2012•天津）已知双曲线C1：与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=1，b=2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C1：的渐近线方程为y=±x，右焦点为（c，0），结合已知即可得=2，c=，列方程即可解得a、b的值解答：解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，∴=2∵且C1的右焦点为F（，0）．∴c=，由a2+b2=c2解得a=1，b=2故答案为1，2点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题12．（5分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．解答：解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S△ABC=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．解答：解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（5分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，2）．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：函数y===，如图所示，可得直线y=kx与函数y=的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．解答：解：函数y===，如图所示：故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1 或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y=的图象相交于两点，故答案为（0，1）∪（1，2）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果解答：解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==点评：本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题16．（13分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin的值．解答：解：（1）△ABC中，由cosA=﹣可得sinA=．再由=以及a=2、c=，可得sinC=．由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．（2）由cosA=﹣、sinA=可得cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．故cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（13分）（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）说明AD⊥DC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．（3）在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在Rt△PEB中，通过sin∠PBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．解答：（1）解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，=2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2．（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，由于AD⊥PD，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC．在Rt△PCB中，PB==．在Rt△PEB中，sin∠PBE==．所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．18．（14分）（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，证明：T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先借助于错位相减法求出T n的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组，解得，所以：a n=3n﹣1，b n=2n．（2）证明：由第一问得：T n=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n；①；2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②．由①﹣②得，﹣T n=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1=﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．即T n﹣8=（3n﹣4）×2n+1．而当n≥2时，a n﹣1b n+1=（3n﹣4）×2n+1．∴T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（14分）（2012•天津）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ 的斜率的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．解答：解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以∴∴∴（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴+4，∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．20．（14分）（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a） a （a，+）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．。
天津市各地市高考数学联考试题分类大汇编不等式
天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（6）不等式一、选择题：2、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)若变量y x ,满足 0201≤--≥+≤y x y x y 则y x z 2-=的最大值等于A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C4、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)已知集合{},1log 2≤=x x M {}022≤-=x x x N ,则“M a ∈”是“N a ∈”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A7．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)若()1e ,1x -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln e x c =，则（ D ）．A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>3、(天津市耀华中学2012届高三第三次月考文科)已知函数||()x f x a =，a>1，则满足1(21)()3f x f -<的x 范围是A 、（13，23）B 、[13，23)C 、（12，23)D 、[12，23)【答案】A7、(天津市耀华中学2012届高三第三次月考文科)定义在R 上的函数f(x)满足f (4)=1，'()()f x f x 为的导函数，己知'()y f x =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足(2)1f a b +<,则11b a ++的取值范围是 A 、11(,)53 B 、1(,)(5,)3-∞+∞C 、 13（,5） D 、3∞（-，）【答案】C6．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得14m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为( A ) A ．32 B ．53 C ．256D ．不存在 7．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)在锐角ABC ∆中2,A B ∠=∠B ∠、C ∠的对边长分别是b 、c ,则+bb c的取值范围是( B ) A ．11(,)43 B ．11(,)32 C ． 12(,)23 D ．23(,)348．(天津市天津一中2012届高三第三次月考文科) 已知二次函数x ax x f +=2)(，对任意R x ∈，总有1|)1(|2≤+x xf ，则实数a 的最大整数值为（ C ） A ．2-B ．0C ．2D ．45、(天津市耀华中学2012届高三第二次月考文科)两个圆042222=-+++a ax y x 与0414222=+--+b byx y x 恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，ab≠0则2211ba +的最小值为( C ) (A)91 (B) 94（C ）1 （D ）3 8．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科)设偶函数()(0,)f x +∞在上为减函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x+->的解集为（ B ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(0,2)-（ A ）A ．1(0,)(2,)2+∞ B ．(0,)+∞C ．11(0,)(,2)82D ．1(0,)27．(天津市天津一中2012届高三第二次月考理科)若223log ,log 3,log 2a b c π===，则,,a b c 的大小关系是A ． b a c >>B ． b c a >>C ． a b c >>D ．a c b >>【答案】C 二、填空题：13、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是 18 14、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩, 若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,42-2， 13．(天津市天津一中2012届高三第三次月考文科)若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 18 ．9、(天津市耀华中学2012届高三第二次月考文科)已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+,033,042,022y x y x y x 试求11++=x y z 的最大值是 3 。
2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x 的值为（）x=x=x35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）=，）==6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，BcosB=．sinB==×，=．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）B，进而根据数量积的定义求出再根据﹣，，λ﹣法的三角形法则求出﹣8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y 2﹣1+][1+，][2+2=1≤=2+2，）或22二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．=，∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×人，选取中学×10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．下部为两个半径均为的球体，体积ו（11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=1．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=2．，．再由（x=2p，．（﹣+6p=9++3p13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC 的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．1=，）x=故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．y=y=三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．））sin2x+[[][+cos2x sin+sin2x cos﹣sin2x+T==[[]））（[，最小值为﹣=）是关键，属于中16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．，去参加乙游戏的人数的概率个人中，每个人去参加甲游戏的概率为=，0 2 417．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•＜，得出关于（﹣，=，=，于是•）解：=，=的一个法向量为=，则即，则以=的一个法向量为=，＜的正弦值为，由此得，﹣=＜，解得．AH=DH==AHD==．所以二面角正弦值为CD=ADC=，故．，=BE==，h=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．得方程组，解得，+219．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．，则的斜率之积为，则，利用，可求得，从而可，∴的左右顶点分别为的斜率之积为，∴并整理得∴椭圆的离心率为，∴得20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．，，分类讨论：≥时，，时，对于，得x 从而可得，求导函数可得=，时，时，，对于时，时对任意的的最小值为时，k=xln3+﹣（。
2012年普通高等学校招生全国统一考试天津理科数学高考试卷及答案解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学 （理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数ii+-37=（A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值 为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9 （4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40 （6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,， 已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257-（C ）257± （D ）2524（7）已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，开 始 输入x|x|>1?1||-=x x x = 2x+1 输出x结 束是否AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若∙CPBQ 23-= ，则λ=（A ）21（B ）221±（C ）2101± （D ）2223±- （8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________m 3.（11）已知集合},32|{<+∈=x R x A 集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 则m =__________，n = __________.（12）已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数）,其中p>0，焦点为F ，准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3， 则p = _________. （13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3， FB=1，EF=23，则线段CD 的长为____________. （14）已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.31363223侧视图俯视图正视图FE C D B A三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE .（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ， AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC ⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值； （Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面 直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ， 1044=-b S .（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）.DCBAP（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP 的斜率k 满足.3>k （20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--ni n i 12)12ln(122（*N n ∈）.参考答案 一、选择题B AC BD A A D１．B 【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i - 2．A【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.3．C 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯. 4．B【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断，故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.解法2：设1=2x y ，32=2y x -，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.4224685105．D【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r C x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x的系数为40-.6．A 【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8sin =5sin 2B B ，所以8s i n =10B B B ，易知s i nB ≠，∴4cos =5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.7．A【解析】∵=BQ AQ AB - =(1)AC AB λ-- ，=CP AP AC -=AB AC λ- ，又∵3=2BQ CP ⋅- ，且||=|=2AB AC ，<,>=60AB AC ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅ ，∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ---- ，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅- ，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.CBAPQ8．D【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为22|(1)+(1)2|==1(1)+(1)m n d m n ++-++，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,222][2+22,+)t ∈-∞-∞ .二、填空题9. 18，9 10. 18+9π 11. -1,，1 12. 2 13．4314．(0,1)(1,4)9．18，9【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.10．18+9π【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯=18+9π3m .11．1-，1【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n - ，画数轴可知=1m -，=1n . 12．2【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,6)M p ±，所以点(,6)2p E p -±，222=()+(06)22p p EF p -由抛物线得几何性质得=+32p MF ，∵=EF MF ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .13．43【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD∥CE，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=CD x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD .14．(0,1)(1,4)【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈ .4224681012510AOBCD三、解答题15.解.(1)x x x x x x f 2cos 3sin2cos 3cos 2sin 3sin2cos 3cos2sin )(+-++=ππππ)42sin(22cos 2sin π+=+=x x x所以()f x 的最小正周期为ππ==22T . (2)因为()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡84-ππ，上是增函数,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡48ππ，上是减函数,又1)4(,2)8(,1)4(==-=-πππf f f ,故函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为2,最小值为-1.16.解:依题意这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为31,去参加乙游戏的概率为32.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件)4,3,2,1,0(=i A i ，则iii i C A P -⎪⎭⎫ ⎝⎛=44)32(31)(，（1） 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32(31)(22242=⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P（2） 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则43A A B =，由于3A 与4A 互斥，故91)31()32()31()()()(44433443=+=+=C C A P A P B P所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为91. (3)ξ的所有可能值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,与0A 4A 互斥,故8140)()()2(,278)()0(312=+=====A P A P P A P P ξξ 8117)()()4(40=+==A P A P P ξ 所以ξ的分布列为ξ 02 4p278 8140 8117 随机变量ξ的数学期望8114881174814022780)(=⨯+⨯+⨯=ξE . 17.解：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得)2,0,0(),0,21,21(),0,1,0(),0,0,2(),,0,0(P B C D A -（1）证明：易得）（），，（0,2,2AD 2-1,0PC ==于是0AD PC =⋅，所以CD PC ⊥（2）），（），，（0,1-2CD 2-1,0PC ==，设平面PCD 的法向量),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n PC n 即⎩⎨⎧=-=-0202y x z y ，不妨设1=zDCBAP可得)1,2,1(=n可取平面PCD 的法向量)0,0,1(=m于是66,cos =⋅⋅>=<nm n m n m ，从而630,sin >=<n m 所以，二面角D PC A --的正弦值为630.(3)设点），（h ,0,0E ,其中[]2,0∈h ,由此得),21,21(h BE -= 由)0,1,2(-=CD ,故222010352123,cos hh CDBE CD BE CD BE +=⨯+=⋅⋅>=<所以2330cos 201032==+ h ,解得1010=h ,即1010=AE .18.解析（1） 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由211==b a 得d S q b d a 68,2,324344+==+=，由条件得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++102682723233q d q d 解得⎩⎨⎧==23q d 所以*∈=-=N n b n a n n n ,2,13 （2） 证明：由（1）得112n 222T a a a n n n +++=- ……① 11132n 2222T a a a n n n +-+++= …………① ②-①得2322)222(3)13(2++++++--=n n n n T10621026221)21(1221--⨯=+-+--=+-n n n n n而10621012210)13(212102--⨯=-⨯+--=-+-n n b a n n n n 故*∈+-=+N n b a T n n n ,1021219.解析(1)解:设点),(00y x P ,由题意得1220220=+by a x ① 由)0,(),0,(a B a A -得ax y k a x y k BP AP -=+=0000, 由21-=⋅BP AP k k 可得202202y a x -=代入①并整理得0)2(2022=-y b a ,由于00≠y ,故222b a =,于是212222=-=a b a e ,所以椭圆的离心率为22=e(2)证明:依题意直线OP 的方程kx y =,设点),(00y x P ,有条件得⎪⎩⎪⎨⎧=+=122022000b y ax kx y 消去0y 并整理得 2222220ba kb a x +=② 由)0,(,a A OA AP -=及00kx y =得22220)(a x k a x =++整理得 02)1(02022=++ax x k 而00≠x ,于是2012kax +-=,代入②整理得 4)(412222+=+ab k k ）（,由0>>b a ,故441222+>+k k ）（ 即32>k ,所以3>k .20.解：（1）)(x f 的定义域为),(+∞-aax a x a x x f +-+=+-='111)(，由0)(='x f ，得a a x ->-=1 当x 变化时变化时，)(x f '，)(x f 的不好情况如下表： 因此，)(x f 在a x -=1处x),1(a - a ),(+∞a)(x f ' - 0 +)(x f极小值取得最小值，故由题意,01)1(=-=-a a f 所以.1=a（2）当0≤k 时，取1=x ，有02ln 1)1(>-=f ，故0≤k 不合题意.当0>k 时,令2)()(kx x f x g -=,即2)1ln()(kx x x x g -+-=1)21(221)(2+-+-=-+='x xk kx kx x x x g 令0)(='x g 得1221,021->-==kkx x ①当21≥k 时, 0)(,0221<'≤-x g kk 在),0(+∞上恒成立,因此)(x g 在),0[+∞上单调递减,从而对于任意的),0[+∞∈x ,总有0)0()(=≤g x g ,即2)(kx x f ≤在),0[+∞上恒成立.故21≥k 符合题意. ②当210<<k 时, 0221>-k k ,对于0)(),221,0(>'-∈x g k kx故)(x g 在)221,0(k k -内单调递增,因此,当取)221,0(0kkx -∈时,0)0()(0=>g x g ,即200)(kx x f ≤不成立.故210<<k 不合题意. (3)证明:当1=n 时,不等式左边=<-=23ln 2右边,所以不等式成立.当2≥n 时,∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=-ni ni i i i f 11)1221ln(122)122( []∑∑==--+--=ni ni i i i 11)12ln()12ln(122)12ln(1221+--=∑=n i ni在(2)中取21=k 得)0(2)(2≥≤x x x f ,从而)2,()12)(32(2)12(2)122(2≥*∈--<-≤-i N i i i i i f 所以有∑∑==-=+--ni ni i f n i 11)122()12ln(122∑∑==--+-<-+=ni ni i i i f f 22)12)(32(23ln 2)122()2( ∑=---+-=ni i i 2)121321(3ln 2 212113ln 2<--+-=i 综上∑=*∈<+--ni N n n i 1.2)12ln(122。
2012年高考理科数学天津卷及答案
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前 2012普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）。
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
2012高考天津文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数53i4i+=-( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i2．设变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．33．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为()A ．8B ．18C ．26D ．80 4．已知a ＝21.2，0.81()2b -=，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 5．设x ∈R ，则“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．e e 2x xy --=，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A ．13 B ．1 C ．53D ．2 8．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP u u u r ＝λAB u u u r ，AQ uuur ＝(1－λ)AC u u u r ，λ∈R ．若2BQ CP ⋅=-u u u r u u u r，则λ＝( )A ．13B ．23C ．43D ．2第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为__________．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知双曲线C 1：22221x y b -=(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：221416x y -=有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F 0)，则a ＝__________，b ＝__________．12．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，c =cos 4A =-． (1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC =1，PC =，PD =CD =2．(1)求异面直线P A 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．19．已知椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0)，点P (5a ，2a )在椭圆上． (1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．20．已知函数f (x )＝13x 3＋12a -x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间［t ，t ＋3］上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值．1． C 2253i (53i)(4i)205i 12i 3i 1717i=1i 4i (4i)(4i)16i 17+++++++===+--+-． 2． B 由约束条件可得可行域：对于目标函数z =3x －2y ， 可化为3122y x z =－， 要使z 取最小值，可知过A 点时取得． 由220,240,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得0,2,x y =⎧⎨=⎩即A(0,2)，∴z =3×0－2×2=－4．3． C n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2； n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3； n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4； 4≥4，输出S ＝26． 4． A a ＝21.2，b ＝(12)－0.8＝20.8， ∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1． ∴c ＜b ＜a ．5． A ∵2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或12x >， ∴“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件． 6． B 对于A 项，y ＝cos2x 是偶函数，但在区间(1，π2)内是减函数，在区间(π2，2)内是增函数，不满足题意．对于B 项，log 2|－x |＝log 2|x |，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log 2x 是增函数，满足题意．对于C 项，()e e e e ()()22x x x xf x f x -------===-， ∴e e 2x xy --=是奇函数，不满足题意．对于D 项，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 7． D f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y =sin ［ω(x －π4)］． 又所得图象过点(3π4,0)， ∴3ππsin ()044ω=［－］． ∴πsin 02ω=． ∴ππ2k ω=(k ∈Z )． ∴ω=2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2． 8． B 设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0．()()BQ CP AQ AB AP AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝［(1－λ)b －a ］·(λa －b )＝－λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴23λ=． 9．答案：－3解析：∵|x －2|≤5，∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3． 10．答案：30解析：由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m 的长方体．∴几何体的体积V ＝V 棱柱＋V 长方体＝(12)12+⨯×4＋4×3×2＝6＋24＝30(m 3)． 11．答案：1 2解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴2b=．又C 1的右焦点为F 0)，∴c =a 2＋b 2＝5．∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2． 12．答案：3解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2=∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16． l 与x 轴交点A (1m，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴111111||||6322||2AOB S m n mn ∆=⋅=⋅≥⨯=． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==， 由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==． 由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =．14．答案：(0,1)∪(1,2)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩ 函数y =kx 过定点(0,0)．由数形结合可知：0＜k ＜1或1＜k ＜k OC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜2．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以31()155P B ==．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A =，可得sin A =．又由sin sin a cA C=及a ＝2，c =sin C =． 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0．因为b ＞0，故解得b ＝1．所以sin C =，b ＝1．(2)由cos 4A =-，sin 4A =，得cos2A ＝2cos 2A －1＝34-，sin2A ＝2sin A cos A ＝所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝38-+．17．解：(1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD =BC 且AD∥BC ．又因为AD ⊥PD ，故∠P AD 为异面直线P A 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan 2PDPAD AD∠==． 所以，异面直线P A 与BC 所成角的正切值为2．(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故A D ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD =D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD 平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ．(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB ．由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线． 故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，23PC =，可得∠PCD ＝30°． 在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°3．由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ， 因此BC ⊥PC ．在Rt △PCB 中，2213PB PC BC =+=在Rt △PEB 中，39sin 13PE PBE PB ∠== 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913． 18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2证明：由(1)得 T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1．② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6(12)12n ⨯--－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1． 所以，T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ＞2．19．解：(1)因为点P (55a ，22a )在椭圆上，故2222152a a a b+=，可得2258b a =． 于是222222318a b b e a a -==-=，所以椭圆的离心率64e =．(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故0221a x k-=+，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·22a b ＋4． 由(1)知2285a b =，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5．所以直线OQ 的斜率5k =±．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0． 当x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值极小值 ． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当(2)0,(1)0,(0)0,f f f -<⎧⎪->⎨⎪<⎩解得0＜a ＜13．所以，a 的取值范围是(0，13)． (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1．由(1)知f (x )在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增．①当t ∈［－3，－2］时，t ＋3∈［0,1］，－1∈［t ，t ＋3］，f (x )在［t ，－1］上单调递增，在［－1，t ＋3］上单调递减．因此，f (x )在［t ，t ＋3］上的最大值M (t )＝f (－1)＝13-，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈［－3，－2］时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在［－3，－2］上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝53-，所以g (t )在［－3，－2］上的最小值为154(2)()333g -=---=． ②当t ∈［－2，－1］时，t ＋3∈［1,2］，且－1,1∈［t ，t ＋3］．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在［－2，－1］，［1,2］上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)，f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝53-，f (－1)＝f (2)＝13-，从而M (t )＝f (－1)＝13-，m (t )＝f (1)＝53-． 所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43．综上，函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值为43．。
天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列
天津市各地市2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编（4）数列一、选择题：4．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)在等差数列a n中，4 a3a4 a53a6a8a1 4 a 1 36，6那么该数列的前14 项和为（ B）．A． 20B． 21C． 42D． 846 ． ( 天津市天津一中2012届高三第三次月考理科) 已知正项等比数列a n满足：a7 a6 2 a5，若存在两项 a m , a n，使得a m a n14A) 4a1，则的最小值为 (A．3．5． 25m nB C D．不存在2368．( 天津市天津一中2012 届高三第三次月考理科 ) 已知函数f ( x)是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数a, b 满足 f (2) 2 ，3．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科 ) 已知等差数列{ a n} 中，a11,a2 2 ，则 a4 a5=（ D）A． 3B． 8C． 14D． 195． ( 天津市五区县2012 届高三上学期期末考试理科) 公差不为零的等差数列{ a n}的前 n 项和为 S n , a4是 a3与 a7的等比中项， S8 32 ，则S10等于（ C）A． 18B． 24C． 60D． 904．(天津市天津一中2012 届高三第二次月考理科)已知数列a1 1,a2 5, a n 2an 1a n ,( n N) ，则 a2011的值是A．1B．4C．4D．5【答案】 A8．( 天津市天津一中2012 届高三第二次月考理科)已知a n log( n 1) (n 2),( n N)，我们把使乘积 a a2a an为整数的数n 叫做“劣数” ，则在区间(1,2004)内的所有劣数的13和为A．1024B．2003C．2026D．2048【答案】 C前 5项的和S510 ，其公差d1。
2三、解答题：20、 ( 天津市六校2012 届高三第三次联考文科) （本题 14 分）数列 a n的前 n 项和为 S n，a1 1 ，且对任意正整数n ,点 a n 1 , S n在直线 2x y 2 0上.( Ⅰ ) 求数列a n的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列 S n n2n为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由 .（Ⅲ）已知数列 { b n} ，b n2 n， b n的前 n项和为T n，(a n1（)a n 11）求证：1T n1. 62S n n2 1 n2n2n2 1 .2n2n 12 n欲使 S nn2n成等差数列 , 只须2 0 即 2便可.故存在实数2 ，使得数列S n n2n成 等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2x1 ) 上为增函数，又函数 y11 在 x [1,2 x12x21 2 k1 ，21 1 2k12 1 2 k11 ， 1n2k1． ⋯⋯⋯ 14 分1 k 1(a k32 2k 1 22 61)(a k 11) 219． ( 天津市六校 2012 届高三第三次联考理科) （本小题满分 14 分）已知数列 {a n} 、{ b } 满足a 1 2, a n 1 a n (a n 1 1) ，b n a n 1，数列 { b } 的前 n 项nn从而得1 1,bn 11b n---------------------------------------------------------------------3分∵ b 1 a 11 1 ∴数列 { 1} 是首项为 1，公差为 1 的等差数 列 ------------------4分b n（Ⅱ）∵1 n ，则 b n 1 ． S n1 11 1b nn2 3 n∴ T nS 2 n S n ＝ 1 111 11 (1111)2 3n n 12n23n＝1 1 16分n 1n 22n ---------------------------------------------------证法 1：∵ T n 1 T n1 1 1 ( 11 1 )n 2 n 32n 2 n 1 n 22n＝112 n 1＝11102n12n12n1 2n 2(2 n 1)(2n2)∴ T n1T n．-----------------------------------------------------------------8 分证法 2：∵2n12n2∴11 2n12n2∴ T n1T n1110 2n 22n2n1∴ T n1T n． ---------------------------------------------------------------8分S2k 11111 22k2k11k1111k11＝1( k 1)22k2k 122k2k22k个∴当 n k1时，不等式成立由①②知对任意的n N ,不等式成立． ---------------------------------------------------14分20． ( 天津市天津一中2012 届高三第三次月考理科) 已知数列a n的相邻两项a n, a n 1是关于 x 的方程 x22n x b n0,( n N ) 的两根，且 a11（1）求证：数列a n12n是等比数列；3（2）求数列a n的前 n 项和 S n；（3）若b n mS n0 对任意的 n N 都成立，求 m 的取值范围。
天津高考数学试题及答案理科
2012年天津高考数学试题及答案（理科）本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟第I卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）是虚数单位，复数=（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）１．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】===（２）设，则“”是“为偶函数”的（A）充分而不必要条件（Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵为偶函数，反之不成立，∴“”是“为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）3．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次，第二次，则输出.（4）函数在区间内的零点个数是（A）0 （Ｂ）1（Ｃ）2（Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.（5）在的二项展开式中，的系数为（A）10 （Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-405．D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵=，∴，即，∴的系数为. （6）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，已知，，则cosC=（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）6．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵，由正弦定理得，又∵，∴，所以，易知，∴，=.（7）已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=，=，又∵，且，，，∴，，所以，解得.（8）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设，则，解得.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校. 9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取，中学中抽取.（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为.10．【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力. 【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：=.（11）已知集合，集合,且，则 , .11．，【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵=,又∵，画数轴可知，.（12）己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵可得抛物线的标准方程为，∴焦点，∵点的横坐标是3，则，所以点，由抛物线得几何性质得，∵，∴，解得. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，，，，则线段的长为 .13．【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵，，，由相交弦定理得，所以，又∵B D∥CE，∴，=，设，则，再由切割线定理得，即，解得，故.（14）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .14．【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数的图像直线恒过定点，且，，，∴，，，由图像可知.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数，. (Ⅰ)求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，，，.(Ⅰ)证明丄；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为，求AE的长.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记，，证明.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，证明直线的斜率满足.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数的最小值为，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（Ⅲ）证明.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2012年高考理科数学天津卷-答案
3.【答案】C
【解析】根据图给的算法程序可知：第一次 ，第二次 ，则输出 ．
【提示】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当 时跳出循环，输出结果．
【考点】循环结构的程序框图．
4.【答案】B
【解析】解法1：因为 ， ，即 ，且函数 在 内连续不断，故 在 内的零点个数是1．
【考点】抛物线的简单几何性质．
13.【答案】
【解析】∵ 由相交弦定理得 ，所以 ，
又 ，设 ，则 ，
再由切割线定理得 ，即 ，解得 ，故 ．
【提示】由相交弦定理求出 ，由相似比求出 ，设 ，则 ，再由切割线定理， 求解．
【考点】圆的性质的应用．
14.【答案】
【解析】∵函数 的图像直线恒过定点 ，且 ，∴， ， ， ，由图像可知 ．
（Ⅱ）可分析得到函数 在区间的范围，，从而可求得 在区间上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的周期性，最值．
16.【答案】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 ．
（Ⅱ） ，
这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（Ⅲ） 可取
随机变量 的分布列
当 时，
得：
【提示】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数 ，即可求得 的值．
（Ⅱ）设 ，当 时， 符合 ，求解即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得： 对任意的 值恒成立，当 时， ，得：
【考点】运用导数的相关性质求函数的最值，证明与推理最值问题．
【考点】分层抽样．
10.【答案】
【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为： ．