典型例题：任意角和弧度制
任意角和弧度制
第1题：写出终边在直线y x =上的角的集合S ，并把S 中适合不等式
360720β-<≤的元素β写出来．
答案：解：如图，在直角坐标系中画出直线y x =，可以发现它与x 轴的夹角是45，在o o 0360到范围内，终边在直线y x =上的角有两个：45，225． 因此，终边在直线y x =上的角的集合． {}
{}|45360,|225360,S k k k k ββββ==+⋅∈=+⋅∈Z Z
{}|45180,k k ββ==+⋅∈Z ．
S 中适合360720β-<≤的元素是 452180315-⨯=-， 451180135-⨯=-， 4518045⨯=+0， 45180225⨯=+1， 452180405⨯=+，
225
45
45180585⨯=+3．
第2题：已知α是锐角，那么2α是（ ） （A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）小于180的正角 （C ）第一或第二象限角 答案：C ．
第3题：已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是 ，即 rad ．如果大轮的转速为180min r /（转／分），小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是 ． 答案：864，
24π
5
，151.2πcm 第4题：已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） （A ）1
（B ）1或4
（C ）4
（D ）2或4
答案：B
第5题：已知集合{}M =第一象限角，{}N =锐角，{}90P =小于角，则下列关系式中正确的是（ ） （A ）M N P == （B ）M P
（C ）M P N =
（D ）N P N =
答案：D
第6题：若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ． 答案：ππ7π
6412
，，
第7题：写出角α的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）．
答案：（1）{}|904590k k k αα+∈Z ，··≤≤； （2）{}|120360150360k k k αα-++∈Z ，··≤≤
第8题：单位圆上两个动点M N ，，同时从(10)P ，点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转π6
弧度/秒，N 点按顺时针方向旋转π3
弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．
答案：解：设从P 点出发后，t 秒时M N ，第三次相遇，则有ππ6π6
3
t t +=，解得12t =（秒）．
故M 走了π122π6
⨯=弧度，N 走了π124π3
⨯=弧度，且知两点又回到了P 点． 第9题：已知扇形OAB 的圆心角为120，半径长为6cm ，求： （1）弧AB 的长；
（2）该扇形所含弓形的面积．
答案：解（1）2120π3
α==，6cm r =，
2
π64πcm 3
l ∴=⨯=．
（2）
2114π612πcm 22OAB S lr ==⨯⨯=扇形，21
32
AOB S =⨯=△．
212πAOB OAB OAB S S S ∴=-=-弓形扇形△．
第10题：将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度． 答案：π53
--，
第11题：已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为 ． 答案：12
第12题：若角π|π(1)4
m m m θαα⎧⎫==+-∈⎨⎬⎩
⎭
Z ，·，则角θ所在的象限是 ．
答案：第一或第二象限
第13题：在扇形AOB 中，90AOB ∠=，弧AB 的长为l ，则此扇形内切圆的面积为 ． 2
1282- 第14题：下列选项中，错误的是（ ） （A ）“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位 （B ）一度的角是周角的
1360，一弧度的角是周角的12π
（C ）根据弧度的定义，180一定等于π弧度
（D ）不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 答案：D
第15题：如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
答案：解：由题目得142πk k θ=∈Z ，，即π7
k θ=，k ∈Z ， 又0πθ<≤，所以022πθ<≤，
又2θ在第三象限，即3π2π2
θ<<，则π3π2
4
θ<<，即ππ3
π2
74
k <<． 解得7
21
2
4
k <<
，k ∈Z ，故4k =或5． 4π7
θ∴=或5
π7．。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
任意角和弧度制
例3、若是第二象限角， 则 是第几象限角 ? 呢 ? 2呢 ? 2
4、弧度制：
（1）定义 （2）弧长公式 B O R A l
l l r r
1 1 2 S lr r 2 2
（3）扇形面积公式：
5、角度与弧度的互化
2 360
180
180 , 1弧度 ( ) 57.30 5718 1
(C )260 k 360 （D) 260 k 360
3、象限角
（1）掌握各象限角的表示形式 （2）终边落在x轴上的角度集合：
{ | k , k Z }
（3）终边落在y轴上的角度集合：
{ |
2
k , k Z }
例2．给出下列命题，其中正确的是 （1）弧度角与实数之间建立了一一对应 （2）终边相同的角必相等 （3）锐角必是第一象限角 （4）小于900的角是锐角 （5）第二象限的角必大于第一象限角 A （1） B （1）（2）（5） C（3）（4）（5） D（1）（3）
(2) 2, 其所对的弦长为 2， 求该圆心角所对的弧的 弧长
（3）若扇形的周长是一定值C（C>0）,当 为多 少弧度时,该扇形有最大面积?
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度
0 30 45 60 90 120
6 4
3 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
135 150 180 270 360
3 4
弧度 0
5 6
3 2
2
例4．已知一扇形的圆心角是 ，所在圆的半径 是R，（1） 60 , R 10cm, 求扇形的弧长 及该弧所在的弓形面积。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为 rad.【答案】2【解析】设扇形的圆心角为，半径为,则.【考点】弧度与扇形的面积和周长.2.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.3.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程4.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{α|α=k·360°+，k∈Z}B．{α|α=2kπ+60°，k∈Z}C．{α|α=k·180°+60°，k∈Z}D．{α|α=2kπ+，k∈Z}【答案】【解析】显然错误,因为集合中角度和弧度不统一;中错在．只有正确．【考点】终边相同的角的表示．5.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.6.已知角的终边经过点，则= ；【答案】【解析】，，.【考点】三角函数的定义7.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义8.的值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】，选B.【考点】诱导公式及特殊角的三角函数值.9.的值是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式可知，故C为正确答案.【考点】三角函数的诱导公式、三角函数值的计算.10.已知角的终边过点，的值为（）．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】，，选A【考点】任意角三角函数的定义11.若角的终边与2400角的终边相同，则的终边在第象限.【答案】二或四【解析】由题意知，，所以的终边在第二或四象限.【考点】象限角问题12. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．13.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。
任意角和弧度制测试题(含解析)
任意角和弧度制测试题一、单选题1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( )A. 7π10B. 10π9C. 9πD. 10π二、多选题2.给出下列说法正确的有()A. 终边相同的角同一三角函数值相等；B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；C. 若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角3.下列说法错误．．的是．( )A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°C. 若角α为第一象限角，则角α2也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π2cm24.下列结论正确的是( )A. 是第三象限角B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C. 若角的终边过点，则D. 若角为锐角，则角为钝角三、填空题5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在第象限．(3)−2π3弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是.(5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π3，半径r=3，则扇形的弧长l为．6.下列说法中，正确的是.(填序号)①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角；③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角；⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是(填序号)．8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度．9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为，扇形的面积为．四、解答题10.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．答案和解析1.B 根据弧长公式，l =nπR 180，代入计算即可．2.AB 解：对于A ，由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，故A 正确；对于B ，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故B 正确； 对于C ，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角或θ的终边落在x 轴的非正半轴上，故D 错误． 3.BCD 解：对于选项A .若角α=2rad ，2∈(π2,π)，则角α为第二象限角，正确；对于选项B .将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−30°，故错误；对于选项C .若角α为第一象限角，2kπ<α<π2+2kπ,k ∈Z ，则kπ<α2<π4+kπ,k ∈Z ， 当k =2n ，n ∈Z 时，2nπ<α2<π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第一象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2nπ+π<α2<5π4+2nπ,k ∈Z ，即角α2是第三象限角； 则角α2是第一或第三象限角，故错误；对于选项D .扇形面积为30°π·32360°=3π4cm 2，故错误． 4.BC 解：A 、−7π6=−2π+5π6，所以−7π6与5π6终边相同，是第二象限角，所以不正确； B 、若圆心角为π3的扇形半径为r ，由弧长为π3⋅r =π，则半径r =3，所以该扇形面积为12×π×3=3π2，正确；C 、若角α的终边过点P(−3,4)，则r =√(−3)2+42=5，cos α=−35，正确； D 、若角α为锐角，设α=30∘，则角2α=60∘为锐角，所以不正确． 5.解：(1)第三象限角的集合表示为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． 故答案为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k ∈Z}． (2）∵π2<3<π,∴弧度数为3的角为第二象限角，故其终边落在第二象限，故答案为二．(3)−2π3=−23×180°=−120°，故答案为−120∘．(4)与880∘终边相同的角α=880°+360°×k (k ∈Z )，当k =−2时，α=160∘即为最小正角，故答案为160∘．(5)根据任意角三角函数的定义，可知tanα=y x =−32，故答案为−32． (6)l =|α|·r =2π，故答案为2π． 6.解：命题①，390°角的终边在第一象限内，但不是锐角，故说法错误;命题②，锐角是第一象限角，故说法正确;命题③，390°角与30°角的终边相同，但两个角不相等，故说法错误;命题④，−30°小于90°，但不是锐角，故说法错误;命题⑤，角α与角−α的终边关于x 轴对称，故说法正确;命题⑥，120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，120°小于390°，故说法错误． 故答案为②⑤．7.解：集合{α|k ⋅180∘+45∘⩽α⩽k ⋅180∘+90∘,k ∈Z}中，当k 为偶数时，集合为 {α|n ⋅360∘+45∘⩽α⩽n ⋅360∘+90∘,n ∈Z}，当k 为奇数时，集合为 {α|n ⋅360∘+225∘⩽α⩽n ⋅360∘+270∘,n ∈Z}，符合题意的只有③8.解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°在第二象限，∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°=2π3，故答案为二；2π3． 9.解：由题意得扇形的圆心角α=−120∘ =−2π3，故扇形的面积S =12|α|⋅|OA|2= 12×2π3×9=3π．10.解：(1)直线y =−x 过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0°～360°范围内，终边在直线y =−x 上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y =−x 上的角的集合S ={β|β=135°+k ·360°,k ∈Z}∪{β|β=315°+k ·360°,k ∈Z}={β|β=135°+2k ·180°,k ∈Z}∪{β|β=135°+(2k +1)·180°,k ∈Z} ={β|β=135°+n ·180°,n ∈Z}．(2)由于−360°<β<360°，即−360°<135°+n ·180°<360°，n ∈Z ．解得−114<n <54，n ∈Z.所以n =−2，−1，0，1．所以集合S 中适合不等式−360°<β<360°的元素为：135°−2×180°=−225°；135°−1×180°=−45°；135°+0×180°=135°； 135°+1×180°=315°；(2)在集合S 内，分别取k =−2，−1，0，1，可得适合不等式−360°<β<360°的元素．。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习21 任意角与弧度制
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题21 任意角与弧度制题型一 终边相同的角1．已知角β0y -=上.则角β的集合S 为__________.【答案】{}|60180,n n Z ββ︒︒=+⋅∈0y -=过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合分别为{}1|60360,S k k Z ββ︒︒==+⋅∈，{}2|240360,S k k Z ββ︒︒==+⋅∈，所以，角β的集合{}12|60360,S S S k k Z ββ︒︒=⋃==+⋅∈{}|60180360,k k Z ββ︒︒︒⋃=++⋅∈ {}{}602180,|60(21)180,k k Z k k Z ββββ︒︒︒︒==+⋅∈⋃=++⋅∈∣ {|60180,}n n Z ββ︒︒==+⋅∈.故答案为：{}|60180,n n Z ββ︒︒=+⋅∈.2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： （1）－120°； （2）640°.【答案】（1）240°，它是第三象限的角；（2）280°，它是第四象限的角．【解析】(1)与－120°终边相同的角的集合为M ＝{β|β＝－120°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角． (2)与640°终边相同的角的集合为M ＝{β|β＝640°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角． 3．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°. 题型二 象限角的规定4．下列说法中正确的序号有________． ①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角． 【答案】①②③④【解析】由题意，①65-是第四象限角，是正确的；②225是第三象限角，是正确的；③475360115=+，其中115是第二象限角，所以475为第二象限角是正确的； ④31536045-=-+，其中45是第一象限角是正确的， 所以正确的序号为①②③④ 5．若α是第一象限角，问α-，2α，3α是第几象限角？ 【答案】α-是第四象限角；2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上；3α是第一、二或第三象限角．【解析】因为α是第一象限角，所以36036090()k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ， 所以36090360()k k k Z -⋅︒-︒<-<-⋅︒∈α，所以α-所在区域与(90,0)-︒︒范围相同，故α-是第四象限角；236022360180()k k k Z ⋅︒<<⋅︒+︒∈α，所以2α所在区域与(0,180)︒︒范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上；12012030()3k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ．当3()k n n Z =∈时，36036030()3n n n Z ⋅︒<<⋅︒+︒∈α，所以3α是第一象限角； 当31()k n n Z =+∈时，360120360150()3n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z ，所以3α是第二象限角；当32()k n n Z =+∈时，360240360270()3n n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z ，所以3α是第三象限角． 综上可知：3α是第一、二或第三象限角． 6．已知角α的终边在第四象限. （1）试分别判断2α、2α是哪个象限的角；（2）求3α的范围. 【答案】（1）2α是第二或第四象限的角，2α是第三或第四象限或y 轴的非正半轴的角；（2）2ππ2π2,3233k k π⎛⎫++⎪⎝⎭（k ∈Z ）. 【解析】α是第四象限的角，3222()2k k k Z ππαππ∴+<<+∈， 3()42k k k Z παπππ∴+<<+∈， 当2()kn nZ 时，322()42n n n Z παπππ∴+<<+∈ 此时2α是第二象限； 当21()k n n Z =+∈时，7222()42n n n Z παπππ∴+<<+∈ 此时2α是第四象限； 又3222()2k k k Z ππαππ+<<+∈ 43244()k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α是第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴； （2）3222()2k k k Z ππαππ+<<+∈ 222()32333k k k Z ππαππ∴+<<+∈ 题型三 角度与弧度的互化7．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad .如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是________. 【答案】864245π151.2cm π 【解析】∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， ∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿， ∴小轮转动4812205=周，即123608645⨯=，1224255ππ⨯=， ∴当大轮的转速为180/r min 时，12180432/5r min ⨯=，小轮转速为432/r min ， ∴小轮周上一点每1s 转过的弧度数为：724322605ππ⨯÷=， ∵小轮的半径为10.5cm ，∴小轮周上一点每1s 转过的弧长为：7221151.252cm ππ⨯=， 故答案为：864；245π；151.2cm π. 8．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________. 【答案】12＋π360，12－π360【解析】设两个角的弧度分别为x,y ，又由1∘=π180rad ， 所以{x +y =1x −y =π180，解得{x =12+π360y =12−π360 ， 即所求两角的弧度数分别为12+π360,12−π360.9．海面上，地球球心角1'所对的大圆的圆弧长为1nmile （海里），1nmile 是多少千米？（将地球看成球体，半径取为6370km ）【答案】1.853km【解析】6011'⎛⎫= ⎪⎝⎭∴弧长为1637060 1.853180km π⋅≈，故1 n mile 为1.853km . 题型四 弧长、扇形面积有关计算10．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【答案】D【解析】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或1l r α==.故选：D11．如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是________.【答案】23π【解析】扇形BEF 的面积为2122233ππ⨯⨯=,连接BD ,设,BE AD N BF CD M==,,33NDB MCB DBN MBD CBM BD BD ππ∠=∠=∠=-∠=∠=因此DBN CBM ≅即扇形BEF 在四边形ABCD 内面积等于BCD △22=因此图中阴影部分的面积是23π故答案为：23π12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9π2m )；(2)少1.522m ． 【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得． 试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.13，宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角.求点A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.()dm ，走过的弧度所对的扇形的总面积为()274dm π. 【解析】1AA 所在圆弧的半径是2dm ，圆心角为2π；12A A 所在圆弧的半径是1dm ，圆心角为2π；23A A ，圆心角为3π，所以走过的路程是3段圆弧之和，即()21223dm πππ⨯+⨯=，3段圆弧所对的扇形的总面积是()2222111*********4dm ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 题型五 扇形中的最值问题14．已知扇形的面积为216cm ，求扇形周长的最小值，并求此时圆心角的弧度数． 【答案】16cm ；弧度数为2【解析】设扇形半径为r ，圆心角为θ，则扇形面积21162S r θ==，扇形周长2l r r θ=+，即2lr θ=+，代入面积表达式得：2232(2)432(4)324)256l θθθθ+==++≥⨯=，即16l ≥，当且仅当2θ=时等号成立.故周长的最小值为16cm ，此时圆心角的弧度数为2.15．某市规划拟在如图所示的扇形土地上修建一个圆形广场．已知60AOB ︒∠=，AB 的长度为100m π，怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？【答案】当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大，此时1O 的面积为()210000m π．【解析】如图所示，∵603AOB π︒∠==，AB 的长度为100m π，∴100300(m)3OA ππ==．由题意可知，当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大，设1O 与OA 切于点C ，连接11,O O O C ．则111130,300O OC OO OA O C O C ︒∠==-=-， 又1112O C O O =⨯，∴()1113002O C O C =-⨯， 解得1100m O C =．故当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大，此时1O 的面积为()2210010000m ππ⨯=．16．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.【答案】2α=弧度，最大面积225cm【解析】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -， 且2020,010r r ->∴<<，扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+，当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.17．如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，现计划在这块扇形土地上修建一个圆形广场，已知60AOB ︒∠=，AB 的长度为100m π.怎样设计能使广场的占地面积最大？最大面积是多少？【答案】当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大；最大面积是210000m π【解析】603AOB π︒∠==，AB 的长度为100m π，()100300m 3OA ππ∴==.根据题意可知，当1O 是扇形AOB 的内切圆时，广场的占地面积最大. 如图所示，设1O 与OA 相切于点C ，连接1O O ，1O C ， 则16O OC π∠=，111300OO OA O C O C =-=-.又11sin 6O C OO π=⋅，故()1113002O C O C =-⨯，解得()1100m OC =. 这时1O 的面积为()2210010000m ππ⨯=.即最大面积是210000m π.题型六 弧长公式、扇形面积公式的应用18．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π 【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ= ，又2αβπ+=，解得(3απ= 故选:A19．如图，圆心在原点，半径为R 的圆交x 轴正半轴于点A ，P ，Q 是圆上的两个动点，它们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动，点P 沿逆时针方向每秒转3π，点Q 沿顺时针方向每秒转6π，试求P ，Q 出发后第五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长.【答案】203R π和103R π.【解析】易知动点P ，Q 从第k 次相遇到第1()k k +∈N 次相遇 所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2R π， 因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10R π. 设动点P ，Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒， 走过的长分别为1l ，2l 则13l tR π=，266l tR tR ππ=-⋅=.因此121036l l tR tR R πππ+=+=.∴102036Rt Rπππ==⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭（秒），1203l R π=，2103l R π=. 由此可知，P 转过的弧度数为203π，Q 转过的弧度数为103π， P ，Q 走过的弧长分别为203R π和103R π. 20．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：1221．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】12π﹣【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB ＝46π＝23π，可得∠AOD ＝3π，OA ＝6，∴AB ＝2AD ＝2OA sin 3π＝2×6∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣132⨯＝12π﹣故答案为：。
任意角与弧度制(精讲)(解析版)
5.1 任意角与弧度制（精讲）考点一 角度制与弧度制的互换【例1】（2022广东）把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.（1）712π ； （2）136π- ； （3）1125° ； （4）-225°. 【答案】（1）105° （2）-390° （3）254π （4）- 54π 【解析】（1）根据弧度制与角度制的互化公式， 1801,1180rad rad ππ==，可得：771801051212πππ=⨯= ；（2）131318039066πππ-=-⨯=- （3） 25112511251804ππ=⨯=rad ；（4） 52252251804ππ-=-⨯=-rad .【一隅三反】1．（2022宿州）将210°化成弧度为（ ）A ．5π6-B ．5π6C ．4π3D ．7π6【答案】D【解析】π7210=210=π1806︒⨯。
故答案为：D. 2．（2022房山期中）将120°转化为弧度为（ ）A ．5π6B ．2π3C ．56D ．23【答案】B【解析】π2π1201201803︒=︒⨯=︒， 故答案为：B. 3．（2022山西月考）角度20230︒化成弧度为（ ）A ．9π8B ．5π4C ．11π8D ．19π16【答案】A【解析】根据题意，π9π2023018022.50π88︒=︒+︒=+=。
故答案为：A. 考点二 终边相同的角【例2】（2022·涟水）在与 530 角终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最大的负角； （2）最小的正角；（3）在 {|720360}αα-≤<- 内的角．【答案】见解析【解析】（1）解：与 530 角终边相同的角为 360530k ⋅+ ， k Z ∈ .由 3603605300k -<⋅+< 且 k Z ∈ ，可得 2k =- ，故所求的最大负角为 190-（2）解：由 0360530360k <⋅+< 且 k Z ∈ ，可得 1k =- ，故所求的最小正角为 170 （3）解：由 720360530360k -≤⋅+<- 且 k Z ∈ ，可得 3k =- ，故所求的角为 550-【一隅三反】1．（2022陕西期末）在0~360°的范围内，下列与-510°终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B【解析】因为-510°=-720°+210°，则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是210° .故选：B 2（2022房山月考）在230，320，310，310-中，与50终边相同的是（ ）A ．230B ．320C ．310D ．310-【答案】D【解析】与50终边相同的角为：()α50360k k Z =+⋅∈； 当1k =-时，α310=-.故答案为：D. 3．（2022海东）下列各组角中，终边相同的是（ ）A ．43°和313°B ．37°和787°C ．65°和-655°D ．124°和-576°【答案】C【解析】 656552360︒=-︒+⨯︒ . 故答案为：C ． 4（20222怀化）（多选）与角 43π-终边相同的角是（ ） A ．3πB ．23πC ．43π D ．103π-【答案】BD 【解析】与角 43π-终边相同的角的集合是 4|23k k Z ααππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭， ，当 1k = 时， 23απ=，当 1k =- 时， 103απ=- .故答案为：BD 考点三 角象限的判断【例3-1】（2022南阳）已知角α2022=，则角α的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为α20222225360==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限.故答案为：C.【例3-2】（2022砀山月考）角 296π-的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】29367π666ππ-=-+，则296π-与 76π终边相同，故角 296π- 的终边所在的象限是第三象限.故答案为：C【一隅三反】1．（2022高一下·新余期末）410°角的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】41036050=+，故为第一象限角。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。