数学建模部分概念 期末复习
数学期末考试数学建模基础
数学期末考试数学建模基础数学建模是数学与实际问题相结合的一种模拟方法，通过数学模型来研究和解决实际问题。
在数学建模基础课程中，学生需要掌握一些基本的数学概念和方法，并能够运用这些知识解决问题。
本文将介绍数学期末考试中与数学建模基础相关的知识和技巧。
1. 数学建模的基本内容数学建模的基本内容包括问题的分析、建立数学模型、求解模型、验证和评价模型、模型的推广与应用等。
在数学期末考试中，通常会涉及到这些基本内容的考察。
2. 问题的分析问题的分析是数学建模的起点，也是最关键的一步。
在问题的分析中，需要对问题进行仔细的审题和理解，明确问题的要求和限制条件，并从中抽取出与数学相关的内容。
3. 建立数学模型建立数学模型是将实际问题转化为数学问题的过程。
在这一步骤中，可以运用各种数学方法和工具，如函数关系、几何图形、微积分等，来描述问题的数学本质。
4. 求解模型求解模型是将建立好的数学模型进行计算和求解，得到问题的具体答案或者结论。
在数学期末考试中，通常会给出一些具体的数学模型，学生需要根据这些模型进行运算，得到问题的解答。
5. 验证和评价模型验证和评价模型是对建立的数学模型进行检验和评估。
在这一步骤中，可以通过对模型的精确性、可靠性、稳定性等进行分析，来判断模型的优劣和适用范围。
6. 模型的推广与应用模型的推广与应用是将建立好的数学模型应用到其他类似问题中，或者对模型进行改进和优化。
在数学期末考试中，通常会考察学生对已有模型应用的能力，以及对模型进行扩展和改进的思维能力。
在数学期末考试中，数学建模基础通常是一个重要的考点。
学生需要熟练掌握数学建模的基本概念和方法，能够独立分析和解决实际问题。
同时，需要具备数学思维和创新思维，能够将数学知识灵活应用到实际问题中去。
通过数学建模基础的学习和训练，可以提高学生的数学素养和解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。
数学建模基础不仅在学术研究和工程技术领域有重要作用，也可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
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数学建模部分定义概念第一章1.1实践.数学与数学模型相关概念（1 •原型:客观存在的各种研究对象。
既包括有形的对象,也包括无形的、思维中的对象,还包括各种系统和过程等2 •模型:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3 •原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础,模型是原型的提炼与升华。
原型有各个方面和各个层次的特征,而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。
二什么是数学模型（Mathematical Model对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景,加以一级抽象或多级抽象的数学概念.数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲.数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品,而是为了一定的目的,对原型所作的一种抽象模拟。
它用数学算式.数学符号.程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系,是对现实世界的抽象.简化而有本质的描述,它源于现实又高于现实。
三.什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。
包括:(1)对实际问题的较详细的了解、分析和判断;(2 )为解决问题所需相关数学方法的选择；(3 )针对实际问题的数学描述，建立数学模型；(4 )对数学模型的求解和必要的计算；(5 )数学结果在实际问题中的验证；(6 )将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。
数学建模流程图(参见教材上册P14 )1实际问题2抽象.简化.假设,确定变量和参数3根据某种、、定律"或、、规律"建立变量和参数间的一个明确的数学关系,即在此简化阶段上构造数学模型4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释.验证该数学模型(若不通过,返回第2步)6投入使用,从而可产生经济.社会效益完美的图画““堇金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1:0.618或,即长段为全段的0.618o所谓黄金分割■指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。
数学建模重要知识点总结
数学建模重要知识点总结一、微积分微积分是数学建模中最重要的数学工具之一，它包括微分和积分两大部分。
微分是求函数的导数，用于描述函数的变化率和曲线的切线。
而积分则是求函数的不定积分或定积分，用于描述函数的面积、体积等性质。
在数学建模中，微积分可以用于建立问题的数学模型，求解微分方程和积分方程，对函数进行优化等。
例如，在物理建模中，我们经常会用到微积分来描述物体的运动、速度和加速度等。
在经济学建模中，微积分可以用来描述供求关系、利润最大化等问题。
二、线性代数线性代数是研究向量空间、线性映射和矩阵等数学对象的学科。
在数学建模中，线性代数可以用于描述多维空间中的几何关系、解线性方程组、求解最小二乘问题等。
例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维物体的位置和姿态。
在统计学建模中，线性代数可以用来对数据进行降维、拟合线性模型等。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计规律的学科。
在数学建模中，概率论与数理统计可以用于描述随机现象的概率分布、推断总体参数、假设检验等。
例如，在风险管理建模中，我们经常会用到概率论与数理统计来描述风险的分布和进行风险评估。
在机器学习建模中，概率论与数理统计可以用来对数据进行建模和推断。
四、数学优化数学优化是研究如何在给定约束条件下，找到使目标函数取得极值的方法和理论。
在数学建模中，数学优化可以用来对问题进行建模和求解。
例如，在生产调度问题中，我们可以用数学优化来寻找最优的生产计划；在投资组合优化中，我们可以用数学优化来构建最优的资产配置。
五、微分方程微分方程是研究未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学建模中，微分方程可以用来描述系统的动力学行为、生物种群的增长规律、热传导过程等。
我们可以通过对微分方程进行数值求解、解析求解或者定性分析，来获得系统的行为特征。
六、离散数学离散数学是研究离散结构及其性质的数学学科，包括集合论、图论、逻辑和代数等内容。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学建模知识点总结
数学建模知识点总结数学建模是指利用数学方法和技术解决实际问题的过程。
它是一种综合运用数学思想和数学工具对实际问题进行分析和求解的能力。
在数学建模中，需要掌握一些基本的知识点和方法才能有效地进行建模和求解。
下面将对数学建模中的一些重要知识点进行总结和介绍。
一、数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题的理解、建立数学模型、模型的求解和结果的验证四个步骤。
1. 问题的理解：在这一步骤中，需要明确问题的目标和约束条件，以及收集和整理与问题相关的数据和背景信息。
2. 建立数学模型：在这一步骤中，需要确定问题的数学描述方式，选择适当的数学方法和模型来描述问题，并将问题转化为数学问题。
3. 模型的求解：在这一步骤中，需要运用数学理论和方法对建立的数学模型进行求解，得到问题的解答。
4. 结果的验证：在这一步骤中，需要对求解结果进行验证和评估，判断模型的可行性和解答的准确性，并根据需要对模型进行修正和改进。
二、数学建模中的数学工具1. 微积分：微积分是数学建模中最基本的工具之一，它涉及了函数的极限、导数和积分等概念和方法。
在数学建模中，常常需要利用微积分来描述问题的变化规律和求解最优化问题。
2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科，它在数学建模中具有重要的应用。
在数学建模中，常常需要利用线性代数的知识来描述和处理多维数据、矩阵运算和线性方程组等问题。
3. 概率论与数理统计：概率论与数理统计是研究随机事件和随机现象的概率和统计规律的学科，它在数学建模中具有广泛的应用。
在数学建模中，常常需要利用概率论和数理统计的知识来描述和分析随机事件、概率模型和数据分布等问题。
4. 最优化理论：最优化理论是研究如何寻找最优解的数学学科，它在数学建模中具有重要的应用。
在数学建模中，常常需要利用最优化理论的知识来建立和求解最优化模型，找到问题的最优解。
5. 图论与网络流：图论与网络流是研究图和网络中的基本性质和算法的数学学科，它在数学建模中具有广泛的应用。
大学数学建模知识点总结
大学数学建模知识点总结一、概率论基础知识1. 集合论基础知识集合的概念、集合的运算、集合的性质、集合的表示方法等。
2. 随机变量及其分布随机变量的概念、随机变量的分布、离散型随机变量、连续型随机变量等。
3. 数理统计基础知识抽样、统计量、分布函数、统计分布函数、极限定理等。
二、线性代数知识1. 行列式及其性质行列式的概念、行列式的性质、行列式的运算规则等。
2. 矩阵及其运算矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的性质、矩阵的逆、矩阵的转置等。
3. 矩阵方程组矩阵方程组的概念、矩阵方程组的求解、矩阵方程组的解的存在性和唯一性等。
三、微积分知识1. 极限函数极限的定义、函数极限的性质、无穷小量、无穷大量、极限的性质等。
2. 导数导数的概念、导数的求法、导数的性质、高阶导数、隐函数的导数等。
3. 微分方程微分方程的概念、微分方程的解、微分方程的分类、微分方程的求解方法等。
四、数理逻辑知识1. 命题与命题的联结词命题的概念、命题的分类、联结词的概念、联结词的分类、逻辑联结词的性质等。
2. 推理与证明推理的概念、推理的方法、证明的方法、证明的逻辑、直接证明、间接证明、数学归纳法等。
五、数学建模方法1. 模型建立模型的概念、模型的分类、模型的建立方法、模型的验证等。
2. 模型求解模型求解的方法、模型求解的工具、模型求解的步骤等。
3. 模型分析模型分析的方法、模型分析的工具、模型分析的步骤等。
六、优化理论1. 最优化问题最优化问题的概念、最优化问题的分类、最优化问题的求解方法、最优化问题的应用等。
2. 线性规划线性规划的概念、线性规划的模型、线性规划的求解方法、线性规划的应用等。
七、统计推断1. 参数估计参数估计的概念、参数估计的方法、参数估计的性质、参数估计的应用等。
2. 假设检验假设检验的概念、假设检验的原理、假设检验的方法、假设检验的应用等。
八、时间序列分析1. 时间序列的概念时间序列的定义、时间序列的分类、时间序列的性质、时间序列的应用等。
数学建模期末知识点复习
1、图形通常是指用数学的方法所描述的几何形体；图像则是指人眼或仪器所纪录的观看景象。
2、计算机图形学主要研究的是用计算机技术来生成、显示和处理图形。
3、计算机图形学的应用：计算机辅助设计、用户接口、图示、计算机动画、科学可视化。
4、交互式计算机图形系统是（用户、计算机、图形设备、软件）组成的协调运行的系统。
5、图形软件通常分为两类：通用软件包和专用应用软件包。
6、图形输入设备：1.键盘和鼠标 2.光笔 3.数字化仪4.扫描仪5.数码相机6.三维输入设备：空间球、数据手套、数据衣等。
7、分辨率：是指屏幕在水平方向和垂直方向上能分辨的最大点数。
像素：每一个点就是一个像素。
帧：显示器屏幕上的一幅图像成为一帧，并且每一帧内容都是由“帧缓冲存储器”存储纪录。
8、点距：荧光屏上两个相同颜色荧光点之间的距离。
点距越小显示器显示图像的质量越高。
场频：又称“垂直扫描频率”，即通常所说的屏幕刷新频率，指每秒屏幕被刷新的次数，通常以赫兹（Hz）表示。
垂直扫描频率越高，图像的稳定性越好。
行频：电子枪每秒在荧光屏上扫描过的水平线数量，等于“行数* 场频”。
带宽：即视频带宽，指每秒电子枪扫描过的总像素数，等于“水平分辨率* 垂直分辨率*场频”。
9、生成直线的算法的要求：1.画的线段应是直的2.线的端点位置应正确3.线的浓度应均匀4.直线的生成速度要快10、判断任意一点（x，y），是否在多边形内，可以从该点向（负无穷，y）引直线，并计算该线与多边形交点的数n（自左向右算起）。
如果n为偶数，则点在多边形外；如果n为奇数，则点在多边形内；当直线与多边行的顶点相交时，约定如果交点处多边形的两条边位于所引直线的同一侧，交点数记为2；在两侧记为1。
11、所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。
12、齐次坐标的作用：1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。
2. 便于表示无穷远点。
3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。
大学数学模型期末总结
大学数学模型期末总结一、前言数学模型是应用数学的一种重要形式，以代数、几何、概率统计等数学方法和计算机模拟等技术为基础，对实际问题进行描述、分析、求解与评价的科学。
在大学数学学习的过程中，数学模型是必不可少的一部分，而期末总结是对整个学期的学习和掌握程度的回顾和总结，有助于进一步提高学习效果和评估学习能力。
本文将对本学期所学的数学模型课程进行总结和回顾。
二、数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行数学描述的一种工具。
数学模型由问题的描述、变量的选择、方程的建立、求解方法的选择和模型的验证五个部分组成。
2.1 问题的描述数学模型中的问题描述主要包括问题的背景和目标，即要解决的问题是什么，为什么要解决这个问题，解决这个问题的目标是什么等。
2.2 变量的选择数学模型中的变量是指与问题相关联的所有量。
一般将变量分为自变量和因变量，自变量是可以改变的量，而因变量则是以自变量为条件而定的量。
2.3 方程的建立数学模型中方程的建立是通过变量之间的关系来揭示问题的内在规律。
这里包括建立方程、列写约束条件和确定目标函数等步骤。
2.4 求解方法的选择根据问题的性质和求解的要求，选择合适的数学方法和计算机工具进行求解。
常见的数学方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、最优化方法等。
2.5 模型的验证模型的验证是指通过真实数据对模型进行检验，检验模型的合理性和预测的准确性。
三、数学模型的应用数学模型广泛应用于工程、经济、管理、物理、生物、社会等多个领域。
以下是一些常见的数学模型应用：3.1 布尔网络模型布尔网络模型是一种描述多个变量之间关系的方法，广泛应用于信号传输、神经网络、生物系统等领域。
3.2 线性规划模型线性规划模型是通过线性关系表示问题的约束条件和目标函数，并通过线性规划方法进行求解。
常用于生产和资源分配问题。
3.3 动态规划模型动态规划模型是一种在不同时间阶段决策过程中寻找最优解的方法，常用于决策分析、资源调度、路径规划等问题。
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数学建模部分定义概念第一章1.1实践、数学与数学模型一、相关概念（特定对象特定目的特有内在规律）1.原型：客观存在的各种研究对象。
既包括有形的对象，也包括无形的、思维中的对象，还包括各种系统和过程等2.模型：为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3.原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是原型的提炼与升华。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。
二、什么是数学模型（Mathematical Model对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景，加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品，而是为了一定的目的，对原型所作的一种抽象模拟。
它用数学算式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系，是对现实世界的抽象、简化而有本质的描述，它源于现实又高于现实。
三、什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。
包括：（1）对实际问题的较详细的了解、分析和判断;（2）为解决问题所需相关数学方法的选择;（3）针对实际问题的数学描述,建立数学模型;（4）对数学模型的求解和必要的计算;（5）数学结果在实际问题中的验证;（6）将合理的数学结果应用于实际问题之中,从而解决问题。
四数学建模流程图（参见教材上册P14）1实际问题2抽象、简化、假设，确定变量和参数3 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系，即在此简化阶段上构造数学模型4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释、验证该数学模型（若不通过，返回第2步）6投入使用，从而可产生经济、社会效益完美的图画----黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1:0.618或1.618:1，即长段为全段的0.618。
所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
计算黄金分割最简单的方法: 计算斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,... 从第二位起相邻两数之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...的近似值。
1.2 八步建模法1. 问题提出2.量的分析3. 模型假设4. 模型建立5. 模型求解6. 模型分析7.模型检验8. 模型应用数学建模采用的方法（详见教材P11）1. 机理分析法: 在对研究对象内部机理分析的基础上, 利用建模假设所给出的建模信息或前提条件及相关领域知识、相应的数学工具来构造模型。
2. 系统识别建模法: 对系统内部机理不清楚的情况下, 利用建模假设或实际对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据, 用纯粹的数学方法确定模型形式，借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。
3. 仿真建模法: 利用各种仿真方法建立数学模型。
4. 相似类比建模法: 借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法，是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似、物理相似和其他相似）借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。
1.3 数学模型的分类（参见教材上册P15）1、按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型、静态模型与动态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型；3、按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生态模型、资源模型等；4、按建模的目的划分：描述模型、预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等；5、按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；分类5的具体解释：（1）白箱模型(White Box)对系统相当了解，利用系统的机理方程建立起来的数学模型，通常采用机理建模。
（2）黑箱(Black Box)模型对系统并不了解，利用实验得到的输入输出数据来构建系统的等价模型，通常采用统计建模。
（3）灰箱(Gray Box)模型介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。
1.4 数学模型特点与建模能力培养一、数学模型的特点1、逼真性和可行性：模型越逼真就越复杂,应用起来费用越高,常与取得的效益不成正比。
所以需要对逼真性与可行性进行折衷。
2、渐进性：数学模型通常不会是一次就成功的,往往需要反复修正,逐渐完善。
3、强健性：对于已建好的数学模型,当观测数据有微小的改变或者模型结构及参数发生微小变化时,模型求解的结果也随之发生微小的变化。
4、可转移(移植)性：数学模型是现实对象抽象化产物，它可能与其它领域其它事物有共性。
常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。
5、非预制性：大千世界变化莫测,千姿百态,不能要求把所有的模型做成预制品供我们使用。
建镆时遇到的问题往往事先没有答案, 因此必须创新,产生新方法、新概念。
6、条理性：从建模角度出发,人们对现实对象分析应该全面、深入,更具有条理性。
即使建模失败，对解决研究实际问题也是有利的7、技艺性: 建模与其说使一门技术,不如说是一种技艺很强的技巧艺术。
期间经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉灵感起的作用往往比数学知识更大。
人的知识是有限的,想象力是无限的。
8、局限性: 由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设,因此当模型应用到实际时就必须考虑被忽略的简化因素。
于是结论往往是相对的、近似的。
另外，由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制，至今还有不少实际问题没有建立出有价值的实用的数学模型，如中医诊断等。
二、数学建模能力的培养（教材上册P16）（1）数学知识的积累；（2）学好数学模型课，多看、多学数学建模案例；（3）留心各样事物，培养观察能力和用数学解决问题的思想；（4）需要丰富的想象力与敏锐、深刻的洞察力；（5）兴趣是学习的动力，努力培养建模兴趣；（6）与计算机的紧密关联，学会使用相关软件；（7）虚心学习，注重团队意识和团结协作；（8）学会类比，做到“由此及彼和由彼及此”，培养发散思维能力；（9）培养自学能力，能快速获取新知识，并能学以致用；（10）学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息，利用图书馆、网络查找相关资料。
第二章初等数学模型2.1 比例分析法建模比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。
数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。
在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。
求比例的未知项的过程，叫做解比例。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系。
如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
比例在日常生活中的重要应用】比例是最基本、最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题所指向的对象都蕴含着比例关系，运用比例关系可以建立数学模型，对实际问题进行描述与求解。
例如：若两个物体的特征长度之比为1:λ，则其表面积的比例为1:λ2，其体积的比例是1: λ3。
这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内在规律。
（详见教材上册P18）本节研究“商品包装成本的确定问题”的数学建模问题。
、2.6 图论方法在数学模型中的运用一、图论的起源图论是组合数学的一个分支，起源于1736年欧拉的第一篇关于图论的论文, 这篇论文解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，从而使欧拉成为图论的创始人。
在图中，用点代表各个事物,用边代表各个事物之间的二元关系。
因此图是研究集合上二元关系的工具,图论给含有二元关系的系统提供了数学模型,是建立数学模型的重要手段。
由于计算机的迅速发展, 有力推动了图论的发展,使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。
二、相关的图论知识定义(图) 图是一个有序二元组G ＝{V(G),E(G)},其中V(G)＝{v i }为顶点集, E(G)＝{e k }为边集, V ＝V(G)中的元素v i 称为顶点,E ＝E(G)中的元素e k 叫做边。
顶点总数记为|V(G)|, 边的总数记为|E(G)|。
若|V(G)|=n,则称G 为n 阶图若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，,则称G 为有限图在有向图中,一条有向边是由两个顶点组成的有序对,有序对通常用尖括号表示。
有向边也称为弧(Arc ), 边的始点称为弧尾(Tail ),终点称为弧头(Head )。
例如<v i ,v j >表示一条有向边,v i 是边的始点(起点), v j 是边的终点。
因此<v i ,v j >和<v j ,v i >是两条不同的有向边。
例1.有向图示例(见右图)给定有向图G ＝{V ,E }，其中顶点集为V ＝{a ,b ,c ,d },边集为E ＝{e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7}二、相关的图论知识图的每条边都是有没有方向的，则称G 为无向图(Undigraph )。
无向图中的条称为无向边，均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
例: 如果(v i , v j )表示一条无向边,则(v i , v j )=(v j , v i )。
例2.无向图示例(见右图)给定无向图G ＝{V ,E }，其中顶点集为：V ＝{v 1,v 2,v 3,v 4},边集为：E ＝{e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7}或者E ＝{(v 1,v 1),(v 1,v 2),(v 2,v 3),(v 3,v 2),(v 2,v 5),(v 1,v 5),(v 4,v 5)}定义(无向图)若G 的每条边头尾不分，即,称G 为无向图。
()G e uv vu φ==（1）若G 是无向图, 则0≤e≤n(n -1)/2。
称恰有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图(Undirected Complete Graph)。
图G 的顶点数n 和边数e 的关系：（2）若G 是有向图, 则0≤e ≤n(n-1)。
称恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。
例如：下图1中,a =a ，e 1=〈a ,a 〉是环；下图2中,v 1=v 1，e 1=(v 1,v 1)是环。