数学建模部分概念期末复习.docx
数学建模复习
数学建模复习
复习题
1．什么是数学模型和数学建模？数学建模的⽅法和步骤？数学模型的主要特点以及分类。
2．椅⼦放稳问题
3．核军备竞赛的模型及分析，如⼄安全线的性质及分析等，模型解释及应⽤
4．存贮模型相关内容和⽅法
5．植物基因的分布
6．指数增长模型和Logistic 模型，求解、性质及其应⽤
7．某企业⽣产两种混合配料A 和B ，每100千克的成本分别为100元和80元。
两种混合配料含三种营养成分，但它们的含量各不相同，在每100千克混合配料中各种营养成分的含量分别如下表:
少25千克，营养成分丙⾄少36千克，问满⾜这些要求的最低成本为多少？⽤LINDO 软件如何求解。
8. 钢管下料问题及其数学规划模型
9. 试述最⼩⼆乘法的基本原理，并求解如下线性最⼩⼆乘问题。
设通过观测或实验得到⼀列点(,), 1,2,,.i i x y i n 它们⼤体在⼀条直线上，即
⼤概来说可⽤直线⽅程来反映变量x 与y 之间的对应关系。
现在就要确定⼀条直线使得与这n 个点的偏差平⽅和最⼩（即最⼩⼆乘⽅），请给出该直线⽅程。
10. 差分⽅程，市场经济中的蛛⽹模型
11. 酒精残留模型
12. 层次分析法的建模步骤及应⽤
13. 最速降线问题的建模与分析
14. 易拉罐的最优设计问题
15. 消费者均衡问题。
数学建模专题复习讲义
数学建模专题复习讲义导言数学建模是应用数学的一种重要方法，通过数学模型对实际问题进行描述、分析和求解，旨在解决现实生活中的一系列问题。
为了帮助学生顺利复数学建模专题，本讲义提供了相关知识点的概述和复要点，帮助学生快速回顾和掌握数学建模的核心内容。
一、数学建模基础1. 模型的定义和特点：- 模型是对实际问题的简化和抽象，描述问题的关键要素和规律。
- 模型应具备准确性、简洁性、实用性和可验证性等特点。
2. 建模的步骤：- 问题的分析与理解- 模型的假设和建立- 模型的求解和分析- 模型的验证和评价二、数学建模方法1. 数理统计方法：- 样本的收集和统计分析- 参数的估计和假设检验- 相关性分析和回归分析2. 最优化方法：- 线性规划和整数规划- 非线性规划和动态规划- 多目标规划和随机规划3. 随机模型和概率模型：- 随机过程和马尔可夫链- 概率分布和随机变量- 随机模拟和蒙特卡罗方法三、数学建模实例1. 交通流量预测：- 数据的收集和处理- 建立交通流量模型- 预测未来的交通流量2. 股票价格预测：- 历史数据的分析和挖掘- 建立股票价格模型- 预测未来的股票价格3. 自然灾害预警：- 监测数据的采集和分析- 构建自然灾害模型- 预警和防灾措施的制定四、数学建模技巧1. 问题分析的深入：- 充分理解问题的背景和限制条件- 归纳和提炼问题的核心要素2. 模型建立的简化：- 简化模型中的复杂因素- 利用适当的假设和近似方法3. 模型求解的有效性：- 使用合适的数学方法和工具- 分析模型的解的意义和合理性结语数学建模是一门综合性强、应用广泛的学科，通过对数学建模的复习和学习，能够增强学生的问题分析和解决能力，培养科学思维和创新意识。
希望本讲义对学生复习数学建模专题有所帮助，祝愿大家学有所成！。
数学建模复习完整版
数学建模复习HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四 (15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况． 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x Nrx x ln = ，又单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程求差分方程的平衡点，推导稳定条件参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
(完整word版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学建模总复习
二、建模题 要求：只写分析及建立模型，不求解
线性规划、整数规划、最短路应用、微
1、初等模型建立（椅子是否放稳、公平席位分配）
2、网络最大流费用最小流
3、无约束优化
四、分析判断题
举例： 1、一杯咖啡与一杯牛奶 假设给你一杯咖啡和一杯牛奶，盛在杯子里的 牛奶和咖啡数量相等，先从牛奶杯里舀出一满匙牛 奶放在咖啡杯里搅匀，然后再从掺有牛奶的咖啡杯 里舀出一满匙的咖啡放入牛奶杯里搅匀，此时，两 个杯子里的液体在数量上又相等了。这样，咖啡杯 里的牛奶和牛奶杯里的咖啡相比，哪个多
数学建模总复习
考试时间：18周周三3、4节 考试地点：信051 教1－218 信052 教1－222
题
型
一、填空（每空1分共20分） 二、建模（共4题40分） 三、计算题（共3题28分）
四、分析判断题（共2题12分）
一、填空题 主要考查基本概念及Matlab软件的使用 1、基本概念 数学建模的基本方法、数学建模的步骤、 优化建模的三个要素 2、Matlab使用 linprog、bintprog、regress、最短路问题算法分 析
2、登山问题 某人自上午8点始从营地出发沿一山间小径登山，到达山 顶的时间是下午5点；第二天他从上午8点开始沿着同一条 路线下山，并于下午5点返回营地。试证在这条路线上存在 一点，使得他在第二天到达这点的时间与第一天到达该点 的时间相同。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
数学建模期末知识点复习
1、图形通常是指用数学的方法所描述的几何形体；图像则是指人眼或仪器所纪录的观看景象。
2、计算机图形学主要研究的是用计算机技术来生成、显示和处理图形。
3、计算机图形学的应用：计算机辅助设计、用户接口、图示、计算机动画、科学可视化。
4、交互式计算机图形系统是（用户、计算机、图形设备、软件）组成的协调运行的系统。
5、图形软件通常分为两类：通用软件包和专用应用软件包。
6、图形输入设备：1.键盘和鼠标 2.光笔 3.数字化仪4.扫描仪5.数码相机6.三维输入设备：空间球、数据手套、数据衣等。
7、分辨率：是指屏幕在水平方向和垂直方向上能分辨的最大点数。
像素：每一个点就是一个像素。
帧：显示器屏幕上的一幅图像成为一帧，并且每一帧内容都是由“帧缓冲存储器”存储纪录。
8、点距：荧光屏上两个相同颜色荧光点之间的距离。
点距越小显示器显示图像的质量越高。
场频：又称“垂直扫描频率”，即通常所说的屏幕刷新频率，指每秒屏幕被刷新的次数，通常以赫兹（Hz）表示。
垂直扫描频率越高，图像的稳定性越好。
行频：电子枪每秒在荧光屏上扫描过的水平线数量，等于“行数* 场频”。
带宽：即视频带宽，指每秒电子枪扫描过的总像素数，等于“水平分辨率* 垂直分辨率*场频”。
9、生成直线的算法的要求：1.画的线段应是直的2.线的端点位置应正确3.线的浓度应均匀4.直线的生成速度要快10、判断任意一点（x，y），是否在多边形内，可以从该点向（负无穷，y）引直线，并计算该线与多边形交点的数n（自左向右算起）。
如果n为偶数，则点在多边形外；如果n为奇数，则点在多边形内；当直线与多边行的顶点相交时，约定如果交点处多边形的两条边位于所引直线的同一侧，交点数记为2；在两侧记为1。
11、所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。
12、齐次坐标的作用：1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。
2. 便于表示无穷远点。
3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。
安农大数学建模期末考试复习资料
1、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。
设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率txd d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明txd d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有txd d =kx(N=x)， (1043)其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)=kNtC N-+e 1 (1044)方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-ee e ， 当x(t*)＜N 时，则有txd d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)2N 时，22tx d d 0;当x(t*)＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2N 时，22txd d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．2、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r ，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为1F =60)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +； 第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +；rn n n r n C p --⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212121rn n n rn C p --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212122r n nr n r n n n r n C C p p p ----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22221212121〃〃〃〃〃〃第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。
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数学建模部分定义概念第一章1.1实践.数学与数学模型相关概念（1 •原型:客观存在的各种研究对象。
既包括有形的对象,也包括无形的、思维中的对象,还包括各种系统和过程等2 •模型:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3 •原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础,模型是原型的提炼与升华。
原型有各个方面和各个层次的特征,而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。
二什么是数学模型（Mathematical Model对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景,加以一级抽象或多级抽象的数学概念.数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲.数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品,而是为了一定的目的,对原型所作的一种抽象模拟。
它用数学算式.数学符号.程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系,是对现实世界的抽象.简化而有本质的描述,它源于现实又高于现实。
三.什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。
包括:(1)对实际问题的较详细的了解、分析和判断;(2 )为解决问题所需相关数学方法的选择；(3 )针对实际问题的数学描述，建立数学模型；(4 )对数学模型的求解和必要的计算；(5 )数学结果在实际问题中的验证；(6 )将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。
数学建模流程图(参见教材上册P14 )1实际问题2抽象.简化.假设,确定变量和参数3根据某种、、定律"或、、规律"建立变量和参数间的一个明确的数学关系,即在此简化阶段上构造数学模型4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释.验证该数学模型(若不通过,返回第2步)6投入使用,从而可产生经济.社会效益完美的图画““堇金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1:0.618或,即长段为全段的0.618o所谓黄金分割■指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。
计算黄金分割最简单的方法:计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...从二位起相邻两数之比,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13丿13/21严•的近似值。
1.2八步建模法1•问题提出2•量的分析3.模型假设4.模型建立5.模型求解6.模型分析7.模型检验&模型应用数学建模采用的方法（详见教材PH）1.机理分析法:在对研究对象内部机理分析的基础上,利用建模假设所给出的建模信息或前提条件及相关领域知识.相应的数学工具来构造模型。
2.系统识别建模法:对系统内部机理不清楚的情况下，利用建模假设或实际对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据丿用纯粹的数学方法确定模型形式f借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。
3•仿真建模法:利用各种仿真方法建立数学模型。
4.相似类比建模法:借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法, 是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似.物理相似和其他相似）借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。
1.3数学模型的分类(参见教材上册P15 )1.按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型.微分方程模型、差分方程模型.概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型.静态模型与动态模型.线性模型与非线性模型.离散模型与连续模型；3.按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生态模型.资源模型等；4.按建模的目的划分：描述模型、预测模型.优化模型.决策模型.控制模型等；5.按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；分类5的具体解释:(1)白箱模型(White Box)对系统相当了解,利用系统的机理方程建立起来的数学模型,通常采用机理建模。
(2 )黑箱(Black Box)模型对系统并不了解,利用实验得到的输入输出数据来构建系统的等价模型,通常采用统计建模。
(3 )灰箱(Gray Box)模型介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。
1-4数学模型特点与建模能力培养学模型的特点1.逼真性和可行性:模型越逼真就越复杂，应用起来费用越高，常与取得的效益不成正比。
所以需要对逼真性与可行性进行折衷。
2.渐进性:数学模型通常不会是一次就成功的，往往需要反复修正，逐渐主善。
3. 强健性:对于已建好的数学模型,当观测数据有微小的改变或者模型结构及 参数发生微小变化时，模型求解的结果也随之发生微小的变化。
事物有共性。
常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。
5. 非预制性：大干世界变化莫测，干姿百态,不能要求把所有的模型做成预制品 供我们使用。
建滾时遇到的问题往往事先没有答案，因此必须创新，产生新方法■ 新概念。
&条理性:从建模角度岀发，人们对现实对象分析应该全面.深入, 更具有条理性。
即使建模失败■对解决研究实际问题也是有利的7.技艺性:建模与其说使_门技术，不如说是一种技艺很强的技巧艺术。
期间经验.想象力■洞察力■判断力以及直觉灵感起的作用 往往比数学知识更大。
人的知识是有限的，想象力是无限的。
&局限性：由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设，因此当模型应用到 实际时就必须考虑被忽略的简化因素。
于是结论往往是相对的.近似的。
另外, 由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制,至今还有不少实 际问题没有建立出有价值的实用的数学模型,如中医诊断等。
二 数学建模能力的培养(教材上册P16 )(1)数学知识的积累；(2) 学好数学模型课,多看.多学数学建模案例；(3) 留心各样事物f 培养观察能力和用数学解决问题的思想；(4) 需要丰富的想象力与敏锐.深刻的洞察力；(5) 兴趣是学习的动力,努力培养建模兴趣；(6) 与计算机的紧密关联,学会使用相关软件；(7) 虚心学习,注重团队意识和团结协作；4.可转移(移植)性: 学模型是现实对象抽象化产物,它可能与其它领域其它Utx.(8)学会类比■做到〃由此及彼和由彼及此",培养发散思维能力；(9)培养自学能力.能快速获取新知识■并能学以致用；(10 )学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息f利用图书馆. 网络查找相关资料。
第二章初等数学模型2.1比例分析法建模比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。
在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。
求比例的未知项的过程■叫做解比例。
两种相关联的量■一种量变化■另一种量也随着变化■如果两种量中相对应的两个数的比值(商)一定，两种量就叫做曲例的量f他们的关系叫做正比例的关系。
如果两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
比例在曰常生活中的重要应用】比例是最基本.最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题所指向的对象都蕴含着比例关系,运用比例关系可以建立数学模型,对实际问题进行描述与求解。
例如：若两个物体的特征长度之比为1：A ,则其表面积的比例为1：A2•其体积的比例是1： A3O这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内在规律。
（详见教材上册P18）本节研究"商品包装成本的确定问题"的数学建模问题。
2.6图论方法在数学模型中的运用一.图论的起源壘是组合数学的一个分支，起源于1736年欧拉的第一篇关于图论的论文，这篇论文解决了著名的哥昼斯堡土橈问题,从而使欧拉成为图论的创始人。
在图中,用点代表登个範,用边代表各个事物之间的二童垂。
因此图是研究集合上二元关系的工具,图论给含有二元关系的系统提供了数学模型，是建立数学模型的重要手段。
由于＜+算机的迅速发展，有力推动了图论的发展，使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。
二.相关的图论知识定义(图)图是一个有序二元组G = ＜V(G),E(G)＞Z其中V(G) = { kJ为顶点集,E(G) = {eJ为边BV = V(G)中的元素齢称为顶点疋二E(G)中的元素6叫做边。
顶点总数记为| V(G) | z边的总数记为| E(G) |。
若|V(G)|=n测称G为n阶图若| V(G) |与| E(G) |均为有限数,测称G为有限图定义(有向图)WG = {V(G), E(G)，0G}为一个有向图，其中V(G)工①是顶点集合，V(G)的元素称为顶点，E(G)是边的集合，E(G)的元素称为边，且V(G)nE(G)=O, 0G：E(G)T V(G)X V(G)称为关联函数，当0G(e) = Z"时, 称边€与顶点“与U相关联，又称顶点"与U相邻,"是纟的尾,卩是幺的头，此时称G为有向图(Digraph),即有向图G中的每条边都是有方向的。
J数学模型、在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。
有向边也称为弧(Arc),边的始点称为弧尾(Tail),终点称为弧头(Head)。
例如＜片"表示一条有向边」是边的始点(起点)，卩j是边的终点。
因此＜叫,片＞和＜仔片＞是两条不同的有向边。
例1•有向图示例(见右图)给定有向图G={V,E},其中顶点集为V={«, b t c,d}f边集为E= {e/t e2, e3f % e5f e6f e7}二、相关的论知识定义(无向图)若G 的每条边头尾不分，即^G (e) = uv = vu ，称G 为无向图。
图的每条边都是有没有方向的，贝IJ 称G 为无向图(Undigraph)。
无向图中的条称为无向边，均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
例：如果5,片)表示一条无向边，则(V ；, Vj) = (vp Vj) o例2•无向图示例(见右图)给定无向图G={V,E},其中 顶点集为：V={v 1,v 2, v 3,v 4}, 边集为：E= {e l9 e 2,e 3, e 4f e 5, e 6, e 7) 或者定义4(环)若沪切则昭(时j)称为环，或回路。
例如 下图1中卫二a, e Y = {a,a)是环；下图2中小二畑勺=(巾,为)是环。
图G 的顶点数n 和边数e 的关系：(1) 若G 是无向图，则0<e<n(n-1)/2o 称恰有n(n-1)/2条边的无向图 称为无向完全图(Undirected Complete Graph)o(2) 若G 是有向图，贝ij0<e<n(n-1)o 称恰有n(n-1)条边的有向图称为 有向完全图(Directed Complete Graph)。