平行线的判定二
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
本文将介绍平行线的定义、性质以及常见的判定方法，并且给出相应的几何证明。
一、平行线的定义平行线是位于同一平面内并且不会相交的两条直线。
平行线之间的距离在任意两点上保持恒定。
二、平行线的性质1. 平行线具有等夹角性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内错角（夹角在两条平行线之间）互相相等，外错角（夹角在两条平行线之外）互相相等。
2. 平行线具有内错角性质：当一条直线与两条平行线相交时，内错角（夹角在两条平行线之间）之和等于180度。
3. 平行线具有对应角性质：当两条平行线被一条交线切割时，所形成的对应角（位于两条平行线的同一侧，一条在交线上，另一条在交线外）互相相等。
4. 平行线具有平行四边形性质：在平行四边形中，对边平行且相等，对角线互相等分。
三、平行线的判定方法1. 通过角度判定：若两条直线被一条第三线切割时，相应角、内错角或外错角相等，则可以判定这两条直线是平行的。
2. 通过距离判定：若两条直线上的任意两点之间的距离相等，则可以判定这两条直线是平行的。
3. 通过斜率判定：若两条直线的斜率相等，则可以判定这两条直线是平行的。
四、性质与判定的应用举例1. 平行线的性质在证明中常被用来推导其他几何结论。
例如，在证明三角形相似时，可以利用平行线的对应角性质。
2. 平行线的判定方法在几何问题中起到重要的作用。
例如，在解决平行四边形问题时，可以通过判定四边形的对边平行来证明它是平行四边形。
举例一：判断两条直线是否平行已知直线l1过点A(2, 4)和点B(6, 9)，直线l2过点C(-1, 1)和点D(3, 5)。
通过斜率判定来判断直线l1和l2是否平行。
解：直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
计算直线l1的斜率m1，可以用点斜式公式：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，代入A(2, 4)和B(6, 9)的坐标：m1 = (9 - 4) / (6 - 2) = 5 / 4同理，计算直线l2的斜率m2，代入C(-1, 1)和D(3, 5)的坐标：m2 = (5 - 1) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1由于斜率m1 ≠ m2，所以直线l1和l2不平行。
证明平行线的判定定理
证明平行线的判定定理平行线判定定理是几何中非常重要的定理，它告诉我们如何判断两条直线是否平行。
在本文中，我们将介绍平行线的判定定理，并详细讨论如何应用它解决几何问题。
首先，让我们明确一下什么是平行线。
平行线是不会相交的直线，它们的方向始终保持一致。
在欧氏几何中，平行线是从公理定义出来的，它们之间的距离是恒定的。
因此，如果我们能够确定两条直线是平行的，我们就能够利用平行线的性质来解决各种几何问题。
现在让我们来看一下平行线的判定定理，它有三种常用的表述方式：第一种表述方式是交角定理，即如果两条直线被一条第三条直线所截，且内角和为180度，则这两条直线是平行的。
这个定理的原理很简单，因为如果两条直线并非平行，那么截它们的第三条直线和它们的交角之和一定是小于180度的。
第二种表述方式是同位角定理，即如果两条直线被一条横穿它们的直线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理的原理是基于同位角的定义，同位角即以平行线为切线，且交于线的同侧的两个角，它们的大小是相等的。
第三种表述方式是平行线之间距离相等定理，即如果两条直线与一条横穿它们的直线之间的距离相等，则这两条直线是平行的。
这个定理基于平行线的定义，因为两条平行线的距离是恒定的，所以如果两条直线与一条横穿它们的直线的距离相等，那么它们也一定是平行的。
如何正确地应用平行线的判定定理呢？首先，在解决几何问题时，我们需要认真观察图形，找到两条或更多的直线之间的关系。
其次，我们需要考虑使用哪种平行线的判定定理，以及如何利用它来确定直线是否平行。
最后，我们需要检查我们的答案是否符合几何性质和实际情况。
总之，平行线的判定定理是几何学中非常重要的一部分。
只有正确地理解和应用它，我们才能够解决各种几何问题，并掌握更高级的几何知识。
4.8第二课时 平行线的判定2
得___ // ____( )
由∠2+∠4=180°
得___ // ____( )
【当堂训练】
1．如图．
（1）如果∠B =∠1，那么根据____________________，可得AD∥BC；
（2）如果∠D =∠1，那么根据____________________，可得AB∥CD。
2.如图，直线a、b被直线l所截，如果∠1=∠2，那么a∥b.这是根据________________________
如果_________=_________,也能说明a∥b，这是根据
__________________________.
【主动探究】
如图：
由∠1=∠3得___ //____( )
由∠2=∠3得___ //____( )
§4.8平行线
课时二平行线的判定
【学习目标】
1.掌握平行线的判定方法，并能简单的书写.
学习内容
学法指导
【课前练习】
1.两直线平行的判定：
____________________，两直线平行。
____________________，两直线平行。
____________________，两直线平行。
垂直于______________________互相平行。
（第1题）
2．如图．
（1）如果∠BAD +∠ABC =180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，可得_____∥_____；
（2）如果∠BCD +∠ABC =180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，可得_____∥_____。
3.根据图中给出的条件，指出互相平行的直线和互相垂直的直线。
5-2-2平行线的判定-七年级下册人教版数学课件
课堂练习
1.如图5.2-35，己知∠1=145°，∠2=145°，则AB∥CD，依据是 _同___位__角__相__等___，__两__直__线___平__行___.
图5.2-35
课堂练习
2.如图5.2-36 是一条街道的两个拐角,∠ABC与∠BCD均为140°,则 街道AB与CD的关系是_________，这是因___________________.
中考在线 考点：平行线的判定
【例1】如图5.2-27,下列说法错误的是（ C ）.
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥c
C．若∠3=∠2，则b∥c
D．若∠3+∠5=180°，则a∥c
知识梳理
图5.2-27
【解析】根据平行线的判定进行判断：A.若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了 平行公理，正确；B.若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行， 正确；C.∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；D.若∠3+∠5=180°，则a∥c，利 用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．
【答案】证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC=∠DCB=90°，∵∠1=∠2， ∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2， ∴∠CBE=∠BCF，∴BE∥CF．
图5.2-51
课后习题
9.如图5.2-52所示，已知∠1=50°，∠2=65°，CD平分∠ECF，则 CD∥FG．请说明理由.
图5.2-52
第5章 相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
教学新知
方法1：平行线的定义. 方法2：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 方法3：同位角相等，两直线平行. 方法4：内错角角相等，两直线平行. 方法5：同旁内角互补，两直线平行.
平行线的判定与证明几何中的平行推理方法
平行线的判定与证明几何中的平行推理方法平行线的判定与证明在几何学中是非常重要的一部分，通过使用平行推理方法，我们可以准确地判断线段是否平行，并给出相应的证明。
本文将详细介绍几种常见的平行线判定方法，并通过几何证明的方式，阐述其原理和推理过程。
一、同位角判定法同位角判定法是判定平行线的常用方法之一。
当两条直线被一条横截线所切割时，如果同位角相等，则可以判定这两条直线是平行的。
同位角是指处于相同侧的两个内角或两个外角。
例如，我们观察图中两条直线L1和L2，它们被一条横截线a切割，形成了一组内角和一组外角。
通过测量或计算这些角度，如果发现它们两两相等，那么可以得出结论：L1与L2是平行的。
二、平行线的性质判定法平行线的性质判定法是基于平行线的基本性质进行判断。
根据平行线的定义，如果两条直线上任意取一点与另一条直线上的两点分别连线，并使得两条连线的夹角相等，则可以判定这两条直线是平行的。
举个例子，我们考虑一组直线L1和L2，并任意取L1上一点A和L2上两点B、C。
连接线段AB和AC，并测量它们的夹角。
再取L1上的另一点D与L2上的两点E、F，连接线段DE和DF，并测量它们的夹角。
如果发现这两组夹角相等，就可以证明L1与L2是平行的。
三、内错角判定法内错角判定法是应用角的内错性质来判断平行线的方法。
当两条直线被一条横截线所切割时，如果内错角互补，则可以判定这两条直线是平行的。
内错角是指由两条平行线被横截线所切割而形成的一个内角和一个外角。
举个例子，我们观察图中两条直线L1和L2，它们被一条横截线b 切割，形成了一组内角和一组外角。
通过测量或计算这些角度，如果发现内错角互补关系（即相加等于180度），那么可以得出结论：L1与L2是平行的。
通过以上的三种判定方法，我们可以准确地判断平行线，透过几何证明的方式，给出具体的推理过程与证明过程。
这样，在几何学问题中，我们就能够运用这些方法来解决和证明与平行线相关的定理和问题。
平行线的判定模型
平行线的判定模型
1.同位角判定法：如果两条直线被一条横线（称为横截线）所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
2.内错角判定法：如果两条直线被一条横线所截，且内错角互补（和为180度），则这两条直线是平行的。
3.副交角判定法：如果两条直线被一对平行线所截，副交角相等，则这两条直线是平行的。
4.斜率判定法：如果两条直线的斜率相等，则这两条直线是平行的。
注意，这个判定法只适用于不垂直的直线，对于垂直的直线则斜率不存在。
其中，同位角判定法和内错角判定法基于直线与横截线的相交关系，而副交角判定法基于直线与平行线的相交关系。
这些判定模型是基于几何性质和角度的推理，可以用于判断平行关系的成立或者非成立。
需要注意的是，这些判定模型只适用于二维空间中的直线和平行线判定，而对于三维空间中的直线和平行线，还需要借助向量的概念和性质进行判断。
同时，这些判定模型是根据平行线的定义和性质推导出来的，可以作为判断平行关系的依据，但并非绝对准确，必须根据具体问题和情境进行判断和验证。
平行线的性质知识点
平行线的性质知识点平行线是几何学中非常重要的概念，它在解决几何问题和证明几何定理时经常被使用。
理解平行线的性质和特点对于学好几何学是至关重要的。
本文将介绍平行线的定义和性质，以及相关的定理和应用。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
换句话说，平行线的方向相同，但是距离可以不同。
二、平行线的性质1. 平行线是同一个平面内的直线。
2. 平行线的任意两条线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。
3. 平行线的两个内角和、外角和和180度的关系：- 两个相交的平行线与一条横切线所形成的内角和等于180度；- 平行线与一条横切线所形成的外角和等于180度。
4. 平行线的任意两条线上的对应角、同位角和内错角的关系：- 同位角对应相等，即对应角相等；- 对应角互补，即对应角的和等于180度；- 同位角互补，即同位角和等于180度；- 内错角互补，即内错角的和等于180度。
5. 平行线的等分线性质：- 平行线切割的两个平行线段互相等分；- 平行线切割的两个平行线段互相成比例。
三、平行线的定理和应用1. 平行线的唯一性定理：通过一点可以作一条且仅一条平行于给定线的线。
2. 平行线的判定定理：- 两直线被第三条直线切割，且所得的同位角互补，则所切割的两直线平行。
- 两直线被第三条直线切割，且所得的内错角互补，则所切割的两直线平行。
3. 平行线的延长线性质：- 平行线的延长线仍然平行；- 平行线的延长线与平行线之间的夹角相等。
4. 平行线与垂直线的关系：- 平行线和垂直线之间没有公共点；- 平行线和垂直线之间的夹角为直角。
5. 平行线的应用：- 证明几何定理时，可以利用平行线的性质进行推理；- 解决实际问题时，根据平行线的特点进行模型建立和推导。
以上是关于平行线的性质知识点的介绍。
理解和掌握平行线的定义和性质，可以帮助我们解决几何问题，证明几何定理，以及应用到日常生活中的实际问题中。
通过学习和应用平行线的知识，我们可以培养几何思维能力，并提高解决问题的能力和创造力。
部编人教版七年级下册数学5.2.2第1课时《平行线的判定2》教案
第1课时平行线的判定教学目标1、通过操作、观察、想象、推理、交流等活动推演出平行线的判定方法；2、会运用转化的思想将新问题转化为已知或者已解决的问题，体会数学的转化思维；3、会运用数学语言描述并证明平行线的判定方法，认识证明的必要性和证明过程的严密性，深刻理解直线平行的判定方法；4、灵活应用判定方法进行直线是否平行或者其它结论的推理判断。
重点：理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进行简单的推理应用。
难点：平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识。
教学过程一、创设情境，引入课题一个长方形工件，如果需要检验它是否符合设计要求，除了度量它的长和宽的尺寸外，还要检查各面的长宽是否分别平行，而这些实际问题如果根据平行线的定义去判断是不可能的，但又如何判断它们是否平行呢？二、目标导学,探索新知目标导学1：平行的判定方法活动1：如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1，∠2满足什么条件时直线a与b平行。
直线a和b不平行直线a∥b得出结论：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行.【教学备注】【教师提示】引导学生去发现，两直线之所以平行，是因为同位角相等，进而引导学生用文字述叙概括出判定两直线平行的方法。
活动2图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程。
由此你又得出怎样的平行判定？结论：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条直线平行.活动3下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD?结论：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行学习目标2：平行判定方法的灵活应用活动4 学生讨论完成下面题目。
如图，∠A= 55 °，∠B=125 °，AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？为什么？学习目标3：平行判定方法在生活中的应用应用1：在如图所示的图中，甲从A处沿东偏南55°方向行走，乙从B处沿东偏南35°方向行走，（1）他们所行道路可能相交吗？（2）当乙从B处沿什么方向行走，他们所行道路不相交？请说明其中的理由．应用2 如图，有一座山，想从山中开凿一条隧道直通甲、乙两地；在甲地侧得乙为北偏东41．5º方向,如果甲、乙两地同时开工，那么从乙地出发应按北偏西【教师提示】引导学生利用判定1：同位角相等，两直线平行和对顶角相等得出结论。
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5.2.2平行线的判定（二）
教学目标1掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题；
2、初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程。
重点：直线平行的条件及运用难点：会正确的书写简单的推理过程是教学过程
一、复习导入我们学习过哪些判断两直线平行的方法？
（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。
（2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。
（3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
二、例题
例在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
解：这两条直线平行。
■/ b丄ac丄a （已知）
•••/ 1 = / 2=90°（垂直的定义）
a
• b // c （同位角相等，两直线平行）你还能用其它方法
说明 b // c吗？
方法一：如图（1）,利用“内错角相等俩直线平行”说明；方法二：如图（2）,利用“同旁内角相等，两直线平行”说明.
（1）（2）
注意：本例也是一个有用的结论。
例2如图，点B在DC上，BE平分/ ABD, / DBE= / A，则BE // AC,请说明理由。
分析：由BE平分/ ABD我们可以知道什么？联系/ DBE= / A，我们又可以知道什么？由此能得出BE // AC吗？为什么？
解：••• BE 平分/ ABD
•••/ ABE= / DBE （角平分线的定义）
又/ DBE= / A
•••/ ABE= / A （等量代换）
• BE // AC（内错角相等，两直线平行）注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。
1
□__ 2
b c
A
四、课堂练习
1如图，/ 1 = / 2=55°，试说明直线AB, CD平行？.
a
b
c
1题2题
2、如图所示，已知直线a,b,c,d,e,且/仁/ 2,7 3+ / 4=180 °，则a与c平行吗？?为什么？五、布置作业：：课本P16第7题，P17第12题（提示：画图说明）。