结构力学第10章-结构动力计算基础
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结构动力学
柔度系数
L
L
L
1
2l 3 3EI
M1图
1 m
1 2m 2l 3 EI
3
3 EI 4ml 3
4ml 3 T 2 3EI
2
第十章 结构动力学简介
二、单自由度体系的受迫振动
内 蒙 古 农 业 大 学
受迫振动指体系是在干扰力 FP (t )持续作用下的振动。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:
3、自由振动和受迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。
第十章 结构动力学简介
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的
内 蒙 古 农 业 大 学
动力反应。
§10-2 动力自由度
一、自由度的定义
内 蒙 古 农 业 大 学
一、多自由度体系的自由振动
1 多自由度体系振动方程的建立（以两个自由度为例来说明）
（1） 柔度法
在惯性力作用下的位移等于实际的动位移。(力法)
y2
m2 y
m1 y
21
11
P 1 1
22
P2 1
y1
12
M 1图
M 2图
第十章 结构动力学简介
t
无阻尼y- t曲线
第十章 结构动力学简介
②阻尼对振幅的影响.
内 蒙 古 农 业 大 学
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
y k 1 e T 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
L
L
L
1
2l 3 3EI
M1图
1 m
1 2m 2l 3 EI
3
3 EI 4ml 3
4ml 3 T 2 3EI
2
第十章 结构动力学简介
二、单自由度体系的受迫振动
内 蒙 古 农 业 大 学
受迫振动指体系是在干扰力 FP (t )持续作用下的振动。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:
3、自由振动和受迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。
第十章 结构动力学简介
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的
内 蒙 古 农 业 大 学
动力反应。
§10-2 动力自由度
一、自由度的定义
内 蒙 古 农 业 大 学
一、多自由度体系的自由振动
1 多自由度体系振动方程的建立（以两个自由度为例来说明）
（1） 柔度法
在惯性力作用下的位移等于实际的动位移。(力法)
y2
m2 y
m1 y
21
11
P 1 1
22
P2 1
y1
12
M 1图
M 2图
第十章 结构动力学简介
t
无阻尼y- t曲线
第十章 结构动力学简介
②阻尼对振幅的影响.
内 蒙 古 农 业 大 学
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
y k 1 e T 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
结构动力学基础
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
0
1
2
3
4
5
l/5
0
l/5
1y = 1 1 φ1(x) 2
l/5
3
l/5
4
l/5
5
0
2 θ1 = 1 1 φ (x) 2
3
4
5
如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角θ）作为 广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、θ1，y2、θ2，y3、 θ3，y4、θ4 作广义坐标。
T
sin t
(10 3)
(10 4)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
-A
3、结构的自振周期
由式
A
y (t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒
结构动力计算
5. 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下的 结构内力、位移等量值随时间而变化的规律，从 而找出其最大值以作为设计或验算的依据。
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
13
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
13
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
结构力学第十章习题集
第十章 结构动力计算基础 【练习题】10-1 判断题：1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
5、图 a 体 系 的 自 振 频 率 比 图 b 的 小 。
l /2l /2l /2l /2(a)(b)6、单 自 由 度 体 系 如 图 ，W =98.kN ，欲 使 顶 端 产 生 水平位 移 ∆=001.m ，需 加 水 平 力 P =16kN ，则 体 系 的自 振 频 率 ω=-40s 1。
∆7、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、桁架ABC 在C 结点处有重物W ，杆重不计，EA 为常数，在C 点的竖向初位移干扰下，W 将作竖向自由振动。
AC10、不 计 阻 尼 时 ，图 示 体 系 的 运 动 方 程 为 ：m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭=⎧⎨⎩⎫⎬⎭ ()lh10-2 选择题：1、图 示 体 系 ，质 点 的 运 动 方 程 为 ： A ．()()()y l Ps i n m y EI =-77683θ t /； B ．()()m y EIy l Ps i n /+=19273θ t ； C ．()()m y EIy l Ps i n /+=38473θ t ； D ．()()()y l Ps i n m yEI =-7963θ t/ 。
ll0.50.52、在 图 示 结 构 中 ，若 要 使 其 自 振 频 率 ω增 大 ，可 以 A ．增 大 P ； B ．增 大m ； C ．增 大 E I ； D ．增 大 l 。
第10章 结构动力学基础1
（1）重力 W 为静力荷载
（2）弹性恢复力 S(t) k[ y jw y(t)] 与位移成正比，方向与位移指向相
反的。在k质为点刚上度R所(系t加)数的，c力其y• (意t) 义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需
（3）阻尼力
•• 与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为
粘滞阻尼系I (数t) 。 m y(t)
my(t) cy(t) ky(t) 0
当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。
（二）柔度法：取振动体系为研究对象。
I (t) R(t)
FP 1
m y(t)
δ（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作 用所引起的可得方程：
y(t) [I(t) R(t)]
10.1 一般概念
一、结构的动力荷载及分类
动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的 荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明 显的振动，即在平衡位置附近往返运动。
静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷 载；同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢， 使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载
T
T
T
（二）自振周期与频率
自振频率（圆频率）
自振周期
T 2
k 1 g g m m W st
T 2π m 2π mδ 2π Wδ 2π Δst
动静法 根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设想将惯性力I(t)加
于振动体系的质点上，则任一瞬时体系中的实际各力与惯 性力处于平衡状态。
三、 动力计算简图和动力自由度
动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的 分布。
结构力学结构的动力计算
下册P73
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
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对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI + Fs = 0 ,即m& y& (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
通常对于杆系结构，质点惯性力矩对结构动力响应的影响 很小，因此可忽略不计，即质点的角位移不作为基本未知量。 对于受弯杆件通常还忽略轴向变形的影响，即假定变形后杆上 任意两点之间距离保持不变。
(a) 自由度示意 (b) 附加链杆
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
确定结构的振动自由度可采用附加链杆的方法：加入最少 的链杆使结构上全部质点均不能运动，则结构振动的自由度为 所加链杆的数目。
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
⑴概念：结构振动时，确定某一时刻全部质中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的
若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。
(a)
(b)
(a) 一个质量点 (b) 若干质量点
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
【例2】门式刚架。两个立柱的截面抗弯刚度分别为E1I1和 E2I2，横梁的截面抗弯刚度EI=∞ ，横梁的总质量为m，立柱的 质量不计。求刚架作水平振动时的频率。
y(t)=y0cosωt+yω & 0sinωt
上式可改写为如下形式
y(t)=Asinω t+
其中 ， A =
y02
+
y&0 2 ω2
tan = y0ω y&0
无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式
中A表示体系振动时质点m的最大动位移，称为振幅。 称为初始
相位角，(t ) 称为相位角。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
§10-1 概述
1）结构动力计算的特点和内容
⑴动力荷载：指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并
且使结构产生不可忽视的惯性力的荷载。区分静力荷载和动力 荷载，主要看其对结构产生的影响。
⑵动力特性：指结构自由振动时，结构的自振频率、振型和
阻尼参数等指标。研究结构的动力计算方法，需要分析结构的 自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结 构的动力特性，后者进一步计算结构的动力响应。
§10-1 概述
2）动力荷载的分类
⑴周期荷载：随时间呈周期变化的荷载。 ⑵冲击荷载：短时间内作用在结构上的一种幅值较大的荷载。 (3)突加荷载：在瞬间突然施加在结构上且保持一段较长时间
的荷载。
(4)随机荷载：在任一时刻其数值是随机量，其变化规律不能
用确定的函数关系进行表示。
前三种荷载都属于确定性荷载，本章只涉及确定性荷载的 作用。
(a)二质点三自由度结构 (b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出： ① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目； ② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关； ③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
的自振周期T的计算公式为：
T2
m2
k11
m112
yst g
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
【例1】简支梁承受静荷载F=12kN，梁EI为常数。设在t=0 时刻把这个静荷载突然撤除，不计梁的阻力，试求系统的自振 频率和质点m的位移。
解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度
系数 1 1 ，再求固有频率
第十章 结构动力计算基础
主要内容
§10-1 概述 §10-2 单自由度体系无阻尼自由振动 §10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 §10-4 单自由度体系有阻尼自由振动 §10-5 单自由度体系有阻尼受迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 多自由度体系在简谐荷载作用 下的受迫振动
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
(2)柔度法：
将惯性力FI作为静力荷载加于体系的质点上(图c)，则惯性
力FI引起的位移等于质点的位移y(t)，即运动方程为 y=F Iδ11=-m & y & tδ11
,此式可改写为
&y&(t)＋ 1 y(t)＝0
m11
这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法。
。由结构的 M
图, ，则 1
11
1 EI
M12dx3E4I
1 3EI m11 4m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
振动。初始时刻质点速度为零，即 y&0 0 ，y 0 可由图乘法计算得到，
y0
1 EI
M1MPdx1E1I
，则质点m的位移
yy0cost
11cos EI
3EIt 4m
2）运动分析
简谐振动是周期运动，质点m的位移是周期性的，其周期
为 T 2 ，T称为结构的自振周期，自振周期的倒数f称为工程频 率 f 1 ，体系自由振动的圆频率或角频率为
T
2f 2
T
结构自振频率的计算公式为
k11 m
m111
W g 11
g yst
式中，W表示重力，y st 是由重力产生的静力位移。相应地，结构
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
通常对于杆系结构，质点惯性力矩对结构动力响应的影响 很小，因此可忽略不计，即质点的角位移不作为基本未知量。 对于受弯杆件通常还忽略轴向变形的影响，即假定变形后杆上 任意两点之间距离保持不变。
(a) 自由度示意 (b) 附加链杆
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
确定结构的振动自由度可采用附加链杆的方法：加入最少 的链杆使结构上全部质点均不能运动，则结构振动的自由度为 所加链杆的数目。
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
⑴概念：结构振动时，确定某一时刻全部质中质量法：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的
若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。
(a)
(b)
(a) 一个质量点 (b) 若干质量点
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
【例2】门式刚架。两个立柱的截面抗弯刚度分别为E1I1和 E2I2，横梁的截面抗弯刚度EI=∞ ，横梁的总质量为m，立柱的 质量不计。求刚架作水平振动时的频率。
y(t)=y0cosωt+yω & 0sinωt
上式可改写为如下形式
y(t)=Asinω t+
其中 ， A =
y02
+
y&0 2 ω2
tan = y0ω y&0
无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式
中A表示体系振动时质点m的最大动位移，称为振幅。 称为初始
相位角，(t ) 称为相位角。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
§10-1 概述
1）结构动力计算的特点和内容
⑴动力荷载：指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并
且使结构产生不可忽视的惯性力的荷载。区分静力荷载和动力 荷载，主要看其对结构产生的影响。
⑵动力特性：指结构自由振动时，结构的自振频率、振型和
阻尼参数等指标。研究结构的动力计算方法，需要分析结构的 自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结 构的动力特性，后者进一步计算结构的动力响应。
§10-1 概述
2）动力荷载的分类
⑴周期荷载：随时间呈周期变化的荷载。 ⑵冲击荷载：短时间内作用在结构上的一种幅值较大的荷载。 (3)突加荷载：在瞬间突然施加在结构上且保持一段较长时间
的荷载。
(4)随机荷载：在任一时刻其数值是随机量，其变化规律不能
用确定的函数关系进行表示。
前三种荷载都属于确定性荷载，本章只涉及确定性荷载的 作用。
(a)二质点三自由度结构 (b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出： ① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目； ② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关； ③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
的自振周期T的计算公式为：
T2
m2
k11
m112
yst g
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
【例1】简支梁承受静荷载F=12kN，梁EI为常数。设在t=0 时刻把这个静荷载突然撤除，不计梁的阻力，试求系统的自振 频率和质点m的位移。
解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度
系数 1 1 ，再求固有频率
第十章 结构动力计算基础
主要内容
§10-1 概述 §10-2 单自由度体系无阻尼自由振动 §10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 §10-4 单自由度体系有阻尼自由振动 §10-5 单自由度体系有阻尼受迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 多自由度体系在简谐荷载作用 下的受迫振动
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
(2)柔度法：
将惯性力FI作为静力荷载加于体系的质点上(图c)，则惯性
力FI引起的位移等于质点的位移y(t)，即运动方程为 y=F Iδ11=-m & y & tδ11
,此式可改写为
&y&(t)＋ 1 y(t)＝0
m11
这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法。
。由结构的 M
图, ，则 1
11
1 EI
M12dx3E4I
1 3EI m11 4m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
振动。初始时刻质点速度为零，即 y&0 0 ，y 0 可由图乘法计算得到，
y0
1 EI
M1MPdx1E1I
，则质点m的位移
yy0cost
11cos EI
3EIt 4m
2）运动分析
简谐振动是周期运动，质点m的位移是周期性的，其周期
为 T 2 ，T称为结构的自振周期，自振周期的倒数f称为工程频 率 f 1 ，体系自由振动的圆频率或角频率为
T
2f 2
T
结构自振频率的计算公式为
k11 m
m111
W g 11
g yst
式中，W表示重力，y st 是由重力产生的静力位移。相应地，结构