结构力学 11.结构的动力计算2
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
结构力学习题集（下）_结构的动力计算习题与答案
结构⼒学习题集（下）_结构的动⼒计算习题与答案第九章结构的动⼒计算⼀、判断题：1、结构计算中，⼤⼩、⽅向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复⼒作⽤下的振动称为⾃由振动。
3、单⾃由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增⼤到原来的2倍，则周期⽐原来的周期减⼩1/2。
4、结构在动⼒荷载作⽤下，其动内⼒与动位移仅与动⼒荷载的变化规律有关。
5、图⽰刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动⾃由度为2，图b 刚架的振动⾃由度也为2。
6、图⽰组合结构，不计杆件的质量，其动⼒⾃由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图⽰结构的动⼒⾃由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同⼀体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的⾃振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
⼆、计算题：10、图⽰梁⾃重不计，求⾃振频率ω。
l l /411、图⽰梁⾃重不计，杆件⽆弯曲变形，弹性⽀座刚度为k ，求⾃振频率ω。
12、求图⽰体系的⾃振频率ω。
l l0.5l 0.513、求图⽰体系的⾃振频率ω。
EI = 常数。
ll 0.514、求图⽰结构的⾃振频率ω。
l l15、求图⽰体系的⾃振频率ω。
EI =常数，杆长均为l 。
16、求图⽰体系的⾃振频率ω。
杆长均为l 。
17、求图⽰结构的⾃振频率和振型。
l /218、图⽰梁⾃重不计，W EI ==??2002104kN kN m 2,，求⾃振圆频率ω。
B2m2m19、图⽰排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求⾃振周期ω。
EIEIW20、图⽰刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。
求⾃振周期T 。
EIEIWEI 221、求图⽰体系的⾃振频率ω。
各杆EI = 常数。
a aa22、图⽰两种⽀承情况的梁，不计梁的⾃重。
求图a 与图b的⾃振频率之⽐。
l /2/2(a)l /2l /2(b)23、图⽰桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。
求⽔平⾃振周期T 。
考研结构力学必看精华总结结构的动力计算
杜哈梅积分(Duhamel)
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 y0 0 v0 0
则
y
y0
cos t
v0
sin t
1
m
t 0
FP
(
)
sin
t
d
第26页/共77页
（1）突加荷载
y
FP 0
m 2
(1
cos t )
yst (1 cost)
质点围绕静力平衡位置作简谐振动，动 力系数为
1， 产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。
1
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
第22页/共77页
例10-3 已知：跨度l=4m，惯性矩 I=7480cm4，截面系数W=534cm3 ，弹性模 量E=2.1×105MPa。电动机重量G=35kN，转速n=500r/min，离心力FP=10kN， 竖向分力FPsint。试求梁动力系数和最大正应力。
第34页/共77页
阻尼对自振特性的影响
r 1 2
阻尼对振幅的影响
★影响小,可以忽略
ln yk ln y tk
yk1
y tk T
e tk ln etk T
ln eT
T
★振幅的对数衰减率
★阻尼越大,衰减速度越快
1 ln yk 或 2 yk1
1 ln yk 2 n ykn
2004年8月
第8页/共77页
§10-2单自由度体系的自由振动 1 振动方程的建立
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt kyt 0
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
y t my t my t
2017年山东建筑大学初试《结构力学》考研大纲硕士研究生入学考试大纲
山东建筑大学
研究生入学考试《结构力学A》考试大纲
考试科目：
考试参考书：《结构力学教程（Ⅰ）》龙驭球、包世华主编高等教育出版《结构力学教程（Ⅱ）》龙驭球、包世华主编高等教育出版
考试总分：150分
考试时间：3小时
一、考试要求：
要求考生全面掌握结构力学中的基本概念、基本理论和基本方法，并具有一定的综合应用能力。
二、考试内容
1.结构的几何构造分析。
1）几何构造分析的几个概念
2）平面几何不变体系的组成规律
3）平面杆件体系的计算自由度
2.静定结构的受力分析
1）静定多跨梁
2）静定平面刚架
3）静定平面桁架
4）组合结构
3.影响线：
1）静力法作简支梁影响线
2）结点荷载作用下梁的影响线
3）静力法作桁架的影响线
4）机动法作影响线
4.结构位移计算：
1）结构位移计算的一般公式
2）荷载作用下的位移计算
3）荷载作用下的位移计算举例
4）图乘法
5）温度作用时的位移计算。
结构力学结构的动力计算
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学的动力特性分析
结构力学的动力特性分析结构力学是工程学中重要的学科，它研究物体在外界作用力的作用下产生的力学行为及其相互关系。
动力特性分析是结构力学中的一个重要方向，它研究结构在外部激励下的振动特性以及对结构的影响。
本文将探讨结构力学的动力特性分析方法及其在实际工程中的应用。
一、动力特性分析的基本方法动力特性分析是研究结构振动行为的一种方法，它主要通过求解结构的固有频率、模态形态和频率响应等来描述结构对外界激励的响应情况。
以下是动力特性分析的基本方法：1. 固有频率分析：通过求解结构的本征值和本征向量，得到结构的固有频率和模态形态。
固有频率是结构在自由振动状态下的频率，也是结构振动的基本特性之一。
2. 频率响应分析：通过对结构施加外部激励，计算结构在不同频率下的响应特性。
频率响应分析可以帮助工程师了解结构对不同频率激励的响应情况，从而做出相应的优化设计。
3. 模态超几何分析：对于非线性结构或者多自由度结构，可以采用模态超几何分析方法来描述结构的动力特性。
该方法主要是在模态基础上引入非线性效应，研究结构在不同模态下的非线性行为。
二、动力特性分析的应用动力特性分析在工程实践中具有广泛的应用，以下是动力特性分析在各个领域的具体应用案例：1. 建筑工程：在建筑工程中，动力特性分析可以用于研究大楼、桥梁等结构的抗震性能。
通过分析结构的固有频率和模态形态，可以对结构进行合理的抗震设计，提高结构的地震安全性能。
2. 车辆工程：在汽车、火车等交通工具的设计中，动力特性分析可以用于优化车辆的悬挂系统、减震器等部件。
通过分析车辆在不同频率下的响应特性，可以改善车辆的行驶平稳性和乘坐舒适度。
3. 航空航天工程：在航空航天领域，动力特性分析可以用于研究飞机、火箭等载具的结构振动特性。
通过对结构的固有频率和模态形态的研究，可以对飞行器的结构强度和稳定性进行评估和设计。
4. 机械工程：在机械设计中，动力特性分析可以用于优化机械系统的结构和参数。
湖南大学结构力学第六版课后必做习题
湖大结构力学教材重点及大纲考试重难点情况
第二章 平面体系的几何组成分析、
第3章基 于多第3章基于多
湖大结构力学教材重点及大纲考试重难点情况
第X章 变形图
题型：大题
考察重点：绘制结构弯矩图和变形图
谢谢聆听
Hunan University
第五章力法
常规（00-04，07、09、10、12） 1:判断题型 2：简化 力 法 解 题 步 骤 1对称性 2 静定结构+ 超静定
对称结构,（06，11、15、16、17）
力 法 题 型 组合结构（08、13、14） 桁架结构（05） 带有刚度无穷大杆 支座位移 弹簧 温度
3： 取基本体系 4：绘出M1,M2,Mp图 5：求出柔度系数（图乘）
题型：多以填空题形式，少数年份大题（08、12）
考察重点：体系几何组成分析，计算自由度，多余约束数 教材课后重难点：2-16—2-26。
第3章基 于多第3章基于多
湖大结构力学教材重点及大纲考试重难点情况
第三章 静定结构的受力分析
题型：多以填空题形式、某些年份大题
考察重点：求多跨静定梁某截面弯矩、静定平面刚架某截面弯矩、静定桁架某杆轴 力、静定平面组合结构某截面弯矩、三铰拱 教材课后重难点：3-2、3-4、3-5、3-11、3-12、3-24、3-28、3-29、3-30、3-35、 3-38、3-39、3-40、3-41、3-42、3-43、3-44、3-47、3-48、3-52,3-53,3-56,357,3-61,3-62,3-64,3-66,3-73,3-74。
结构力学(Ⅱ)教案
结构力学(Ⅱ)教案一、引言课程介绍：本课程是结构力学的高级课程，旨在加深学生对结构力学的基本概念、原理和方法的理解，掌握复杂结构体系的受力分析与设计方法。
目标：通过本章的学习，学生应能够理解并应用结构力学的原理，对复杂结构进行受力分析，并确定结构的稳定性与承载能力。
二、平面力系内容：平面力系的合成与分解，力的平衡条件，力矩与力偶矩，平面力系的平衡方程。
目标：学生应能够进行平面力系的合成与分解，应用平衡条件解决力矩问题，并利用平衡方程求解复杂力系的平衡。
三、空间力系内容：空间力系的合成与分解，空间力系的平衡条件，空间力矩与力偶矩，空间力系的平衡方程，自由度的概念。
目标：学生应能够进行空间力系的合成与分解，解决空间力矩问题，利用平衡方程求解复杂空间力系的平衡，并理解结构体系中自由度的概念。
四、轴向力与剪力内容：轴向力的概念，剪力的概念，轴向力与剪力的计算，剪力图的绘制。
目标：学生应能够理解轴向力和剪力的概念，计算简单结构中的轴向力和剪力，并绘制剪力图以分析结构的受力情况。
五、弯曲力与弯矩内容：弯曲力的概念，弯矩的概念，弯曲力与弯矩的计算，弯矩图的绘制。
目标：学生应能够理解弯曲力和弯矩的概念，计算简单结构中的弯曲力和弯矩，并绘制弯矩图以分析结构的受力情况。
六、扭转内容：扭转的概念，扭转力矩的概念，扭转力矩的计算，扭转剪切应力与扭转应变，扭转弹性稳定性的概念。
目标：学生应能够理解扭转的概念和扭转力矩的概念，计算简单杆件的扭转力矩，分析扭转剪切应力和扭转应变，理解扭转弹性稳定性的概念。
七、剪力墙与框架结构内容：剪力墙的概念和特点，框架结构的概念和特点，剪力墙和框架结构的受力分析，剪力墙和框架结构的承载力计算。
目标：学生应能够理解剪力墙和框架结构的概念和特点，进行剪力墙和框架结构的受力分析，计算剪力墙和框架结构的承载力。
八、空间结构内容：空间结构的概念，空间结构的受力分析，空间结构的承载力计算，空间结构的设计方法。
考研结构力学的知识点梳理
第一章结构的几何构造分析1 •瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后，又成为几何不变的体系，成为瞬变体系。
瞬变体系至少有一个多余约束。
2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚片，才能看成是瞬较。
3.关于无穷远处的瞬较：（1）每个方向都有且只有一个无穷远点，（即该方向各平行线的交点），不同方向有不同的无穷远点。
（2）各个方向的无穷远点都在同一条直线上（广义）。
（3）有限点都不在无穷线上。
4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去支座去二元体。
体系与大地通过三个约束相连时，应去支座去二元体；体系与大地相连的约束多于4个时，考虑将大地视为一个刚片。
（2）需要时，链杆可以看成刚片，刚片也可以看成链杆，且一种形状的刚片可以转化成另一种形状的刚片。
5.关于计算自由度：（基本不会考）（1），则体系中缺乏必要约束，是几何常变的。
（2）若，则体系具有保证几何不变所需的最少约束，若体系无多余约束，则为几何不变，若有多余约束，则为几何可变。
（3）,则体系具有多与约束。
是保证体系为几何不变的必要条件，而非充分条件。
若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.第二章静定结构的受力分析1.静定结构的一般性质：（1）静定结构是无多余约束的几何不变体系，用静力平衡条件可以唯一的求得全部内力和反力。
（2）静定结构只在荷载作用下产生内力，其他因素作用时，只引起位移和变形。
（3）静定结构的内力与杆件的刚度无关。
（4）在荷载作用下，如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。
（5）当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内力不变。
（6）静定结构有弹性支座或弹性结点时，内力与刚性支座或刚性节点时一样。
解放思想：计算内力和位移时，任何因素都可以分别作用，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。
2.叠加院里的应用条件是：用于静定结构内力计算时应满足小变形，用于位移计算和超静定结构的内力计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。
结构力学 结构的动力计算
小结
4. 两个自由度体系的自由振动有两个自振频率，数值较小的称为基本频率； 相应地有两个主振型。关键是如何计算结构的柔度系数或刚度系数，并验 证主振型的正交性。 5. 两个自由度体系的受迫振动，各质点的振幅、动力幅值没有一个统一的 动力系数，这是和单自由度体系受迫振动不同的。 6. 振型分析法将无限自由度体系的自由振动问题转化为单自由度体系的计 算问题。它将复杂的问题分解为简单的问题，使我们看出复杂运动与主振 型之间关系的规律。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（2）冲击荷载 这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大（图 5 – 2a）或急剧减小（图 5 – 2b）。各种爆炸荷载都属于这一类。当升载时间趋于零时，就是突加荷载 （图 5 – 2c）。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（3）随机荷载 这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时刻 t 的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地 震作用的地面运动加速度（图 5 – 3）。
子项目 结构的动力计算 知识链接
3．动力计算的自由度 在进行动力计算时，也需选取一个合理的计算简图，但考虑惯性力的作用，需要 确定质量在运动中的状态。因此，体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时 刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。 实际结构的质量都是连续分布的，在计算中常把连续分布的无限自由度问题简化 为有限自由度问题。
子项目 结构的动力计算
知识链接
概括起来，动力计算的基本特点： ① 动力响应与时间有关，即荷载、位移、内力等随时间急剧变化。 ② 建立平衡方程时要包括质量的惯性力。 2．动力荷载的分类 工程中常见的动力荷载有以下几种分类： （1）周期荷载 这类荷载随时间作周期性的变化。简谐荷载是周期荷载中最简单也是最 重要的一种，它随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图 5 – 1b 所示。具有偏心质量的机器（图 5 – 1a）运转时，传到结构上的 偏心力 P(t) 随时间 t 的变化规律可用Psinθt和Pcosθt表示。
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(1
2
)2
4
2
2
yst
动力系数
初始相位角
tan 2
(1
2 2
)
§10-4 阻尼对振动的影响
（1） / 对β的影响
■/ <<1时，1 。F(t)
可作为静力荷载F处理。
■/ >>1时， 0， 做极
微小的振动，动位移 0 。
■/ =1的附近，阻尼对 影 响明显。 大、小。
■0.75< / <1.3——共振区
特征方程为： 2 2 2 0
2 1
§10-4 阻尼对振动的影响
(1) 1 高阻尼
1,2 2 1 0 y t C1e1t C2e2t
(2) 1 临界阻尼比 c cr 2m
y t C1 C2t et
临界阻尼
★这两种情况下的动位移具有衰减的性质,不具有波动的性质.
★ 动荷载振动很慢。 ★ 位移与动荷载同步。 ★ 与弹性力相比,阻尼力和惯性
力都很小。
★ 最大位移处，动荷载与弹性 力平衡。
动荷载的作用相当于静载
§10-4 阻尼对振动的影响
1
2
动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力
F sin t a cos t ka cos t ca sin t ma 2 cos t
求出： C1 y0
C2
v0
r
y0
§10-4 阻尼对振动的影响
y(t)
e t
(
y0
cos r t
v0
r
y0
sin rt)
两项合并为：
y eta sin rt (10-28)
其中：
a
y02
v0
r2
y0
2
tan y0r v0 y0
(10-27)
§10-4 阻尼对振动的影响
阻尼对自振特性的影响
★ 位移滞后动荷载900。 ★ 动荷载与阻尼力平衡。
共振时，增大阻尼，可以降低位移
§10-4 阻尼对振动的影响
动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力
★ 动荷载振动很快。 ★ 位移与动荷载反向,滞后1800。
★ 与惯性力相比,弹性力与阻尼 力很小。
★ 动荷载与惯性力平衡。
§10-5 两个自由度体系的自由振动
r 1 2
阻尼对振幅的影响
★影响小,可以忽略
ln yk ln y tk
yk1
y tk T
e tk ln etk T
ln eT
T
★振幅的对数衰减率
★阻尼越大,衰减速度越快
1 ln yk 或 2 yk1
1 ln yk 2 n ykn
★通过实测振幅,可以测定阻尼比ξ
§10-4 阻尼对振动的影响
阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量均用于 消耗阻尼，没有多余的能量再引起的振动
§10-4 阻尼对振动的影响 (3) 1 低阻尼
设 r 1 2
特征根为：
ir
微分方程解为：
y(t) et C1 cosrt C2 sinrt
记住此公式
利用初始条件: y(0) y0 y(0) v0
2 有阻尼的单自由度体系强迫振动
FP t
（1）在τ时刻瞬时冲量 S F P d
的作用下质体获得速度
t d
v0
FP
m
d
（2）质体以这个速度作为初速度，开始 作自由振动t时刻的动位移为
d
y(t)
et
v0
r
sin r
t
et
FP d
mr
sin r
t
（3）将时刻t之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加
tan 2
1
2 2
1 1
2 0
2 0
2
1
2
0
1
2 2
0
0
2
2
1
2 0
2
1
2
0
2
§10-4 阻尼对振动的影响
讨论三个典型情况
0 很小
0
动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力
F sin t a sin t ka sin t ca cos t ma 2 sin t
FP0
FP(t)
t
代入10-31式积分得：
y
FP 0
m 2
[1
e t
(cos r t
r
sin rt)
yst [1 et (cosrt
r
sin rt)
(10-33)
§10-4 阻尼对振动的影响
(2)简谐荷载 FP (t) F sint y 2y 2 y F sint
m y et (C1 cosrt C2 sin rt) A sin t B cos t
1刚度法——附加支杆法
m
y2
2
y
2
FR1(t)≡0
m 1 y1
y1
FR2(t)≡0
a 振动方程
在惯性力和质点位移的作用下，附加支 杆上的约束反力为零。
m1y1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y2 k21 y1 k22 y2 0
§10-4 阻尼对振动的影响
阻尼的几种情况 ■阻尼力(damping force)与质点速度成正比，称为粘 滞阻尼力； ■阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中 运动受到的阻力属于这一类；
■阻尼力与质点速度无关，摩擦力属于这一类；
■其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
§10-4 阻尼对振动的影响
有阻尼的强迫振动: 动荷载 FP (t) 弹性恢复力 Fs ky 阻尼力 FD cy 惯性力 FI my
则 my cy ky FP (t)（二阶常系数非齐次线性微分方程）
1 有阻尼的自由振动 my cy ky 0
（二阶常系数齐次线性微分方程）
设 k m
c 2m
y 2 y 2 y 0
瞬态振动，很快消失
稳态振动
有阻尼的自由振动部分
只考虑稳态振动 y Asin t B cos t
A F m
2 2 2 2 2 4 2 2 2
B F m
2 2 2 2 4 2 2 2
§10-4 阻尼对振动的影响
写成单项式
y a sin(t )
振幅
F
1
a
A2 B2 m 2
y(t) 1
mr
t 0
FP
e
t
sin
r
t
d
(10-31)
§10-4 阻尼对振动的影响
如果还有初始位移y0、v0， 则总位移为：
y(t
)e t(源自y0cosr tv0
r
y0
sin
r
t
)
1
mr
t 0
FP
e
t
sin
r
t
d
(10-32)
§10-4 阻尼对振动的影响
（1）突加荷载
0 t 0 FP (t) FP0 t 0
共振区以外不考虑阻尼的影响 ，按无阻尼计算。
§10-4 阻尼对振动的影响
1
(1
2
)2
4
2
2
d d
0
得 1 2 2
★ β的最大值并不发生在/ =1处。
max
1 2 2
1
1
4 4 4 2 1 2
实际中
max
(
1)
1
2
§10-4 阻尼对振动的影响
（2） / 对α的影响