线性代数7 投入产出法与线性规划简介PPT课件
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《投入产出法》讲课PPT(1)
w a
i 1
m
i ij
pj
，
j 1,2, , n 。
（1·4）
由此，我们就得到了瓦尔拉斯一般均衡模型的最简化形式：
a X R , i 1 , 2 , , m . ij j i j 1 ~ ~ X j X j ( p , w), j 1,2, n. ~ ~ Ri Ri ( p , w), i 1,2,, m. m wi aij p j , j 1,2, , n. i 1
产出法又称为部门联系平衡法。此外，投 入产出法还可以推广应用于各地区、国民 经济各部门和各企业等类似问题的分析。 当用于地区问题时，它反映的是地区内部 之间的内在联系；当用于某一部门时，它 反映的是该部门各类产品之间的内在联系； 当用于公司或企业时，它反映的是其内部 各工序之间的内在联系。 投入产出表的一般介绍：
第二章
第一节
投入产出法原理（一）
静态投入产出模型
பைடு நூலகம்
1、静态投入产出模型的一般介绍 所谓静态投入产出模型 —— 不包括时间 因素的投入产出模型。（模型中时间因素的 意义和复杂性） 简单地说，投入产出表（模型）可分为 以下几类：
实物形态的投入产出表 产品投入产出表 价值形态的投入产出表 根据内容的不同划分 劳动投入产出表 固定资产投入产出表 … 特殊生产要素投入产出表
第三节 瓦尔拉斯（Walras）的一般均衡模型
这里只作一简要的介绍： 基本假设： （1 ） 一经济社会中有n种产品和m种生产要素；
Ri ——社会所能提供的第 X j ——第 j 种产品的总产量；
i 种要素的数量。 (2)投入系数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n) ——表示生产单 位 j 种产品需要 i 种要素的投入量（ aij
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
《线性规划》课件
线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
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本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。
线性规划 ppt课件
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
投入产出法讲课PPT课件
第6页/共61页
•
直接消耗系数——即单位总产品生产中消耗劳动对象和生产性服务产品的数
量。中间产品与总产品之间的数量联系正是通过它表现出来的。
•
完全消耗系数——即单位最终产品的生产中对其它部门提供的总产品或中间
产品的全部消耗量，这里所谓全部消耗量除直接消耗外，还包括通过以前各生产
阶段中其它中间产品所转移过来的同类的间接消耗在内。最终产品与总产品之间
（2·2）
上式如果写成矩阵形式则为：
AQ Y Q
（2·3）
第24页/共61页
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
Q1
Q
Q2
Qn
y1
Y
y2
yn
因此，（2·2）又可写成
Y (I A)Q
（2·4）
其中，I 是单位矩阵，而(I A) 是一个特殊形式的矩阵，
• 应该指出的是，列昂惕夫的“投入产出分析” 曾受到二十年代苏联的计划平衡思想的影响。因 为列昂惕夫曾参加了苏联二十年代中央统计局编 制国民经济平衡表的工作。
第15页/共61页
•
当然，按照列昂惕夫的说法，“投入产出分析”的理论基础和所使用的数学方
法，主要来自于瓦尔拉斯的“一般均衡模型”（瓦尔拉斯在《纯粹政治经济学要义》
(2)投入系数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) ——表示生产单
位 j 种产品需要 i 种要素的投入量（ aij rij X j ）。
第8页/共61页
(3) 设 n 维向量 ~p 是 n 种产品的价格向量，m 维向量 w~ 是
m 种要素价格向量。即
线性代数7PPT课件
向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。
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给各总部门产 品 x1 x2 xn 从每一纵列看 该部门又作为消耗部门在生产过程中消
耗各部门的产品
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
y1 x1
产
2
xn2 xnn
分别由各部门提供的数量
价值型的投入产出表
产出(至)
投入(自)
1
生
1
x11
产
2
x21
部
门
n
xn1
新 创
劳动报酬 v1
造 价
纯 收 入 m1
值 合 计 z1
总产品
x1
中间产品
最终产品
总
消耗部门 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
x12 x1n x22 x2n
y1 x1 y2 x2
xn2 xnn
线性代数在经济中的应用
——投入产出法与线性规划简介
在经济活动中分析投入多少财力、物力、人 力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主 要标志。投入产出法正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该 方法最早由美国著名的经济学家瓦西里.列昂惕夫 （ Wassily Leontief ）提出，是目前比较成熟的经济 分析方法。
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造 价
纯 收 入 m1 m2
mn
值 合 计 z1 z2 zn
y2 x2
yn xn
总行与产 列品交叉点x1是部x2门部流 量xn 这个量也是以双重身份出
现 它是行部门分配给列部门的产品量 也是列部门消耗行部
门的产品量
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
基本假设 在一个经济系统有n个生产部门 各部门分别用1 2 n表 示 部门i只生产一种产品i 并且没有联合生产 即产品i仅由部 门i生产 每一生产部门 一方面以自已的产品分配给各部门作为生 产资料或满足社会的非生产性消费需要 并提供积累 另一方面 每一生产部门在其生产过程中也要消耗各部门的产品
部
门
n
xn1 xn2 xnn
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造 价
纯 收 入 m1 m2
mn
值 合 计 z1 z2 zn
y2 x2
yn xn
总 产品
x1 x2 xn
mj(j1 2 n)表示第j部门创造的纯收入(包括利润、税
收等)
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
y1 x1
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2 xnn
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造 价
纯 收 入 m1 m2
mn
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
y1 x1
产
2
x21 x22 x2n
y2 x2
部
门
n
xn1 xn2 xnn
yn xn
新创左上劳角动为报酬第I象v1 限v2在这一 部v分n 中 每一个部门都以生产
者和造价消费纯者收的入双重m身1 份m出2 现 mn 值从每合一横计行看z1 该z部2 门作 为生zn 产部门以自已的产品分配
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
y1 x1
产
2
x21 x22 x2n
y2 x2
部
门
n
xn1 xn2 xnn
yn xn
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造价值右上纯 合角收为入计第IImz象11 限mz 2反2 映各 部mz门nn 用于最终产品的部分 总从从每每产 一一品横纵行列来看x1看 表 反x明2 映用了于该 消部费xn门、最积终累产等品方的面分的配最情终况产 品
左下角为第yInII象x限n
v2 vn 反映总产品中新创造的
m2 mn 价值部分
z2 zn
每一列指出该部门
x2 xn 的新创造价值 包括劳动
报酬和该部门创造的纯
收入
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
总产品
x1 x2 xn
zj(j1 2 n)表示第j部门新创造价值
vj(j1 2 n)表示第j部门的劳动报酬
y1 x1 y2 x2
yn xn
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
y1 x1
产
2
x21 x22 x2n
各部门之间形成了一个复杂的互相交错的关系 这一关系 可以用投入产出(平衡)表来表示
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12
产
2
x21 x22
部
门
n
xn1 xn2
新 创
劳动报酬 v1 v2
造 价
纯 收 入 m1 m2
者说第j部门消耗第i部门的产品量
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2 xnn
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造 价
纯 收 入 m1 m2
mn
值 合 计 z1 z2 zn
积 累
合 计
产 品
生
1
x11 x12 x1n
y1 x1
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2 xnn
新 创
劳动报酬 v1 v2
vn
造 价
纯 收 入 m1 m2
mn
值 合 计 z1 z2 zn
y2 x2
yn xn
总产品
x1 x2 xn
xij(i j1 2 n)表示第i部门分配给第j部门的产品量 或
值 合 计 z1 z2
总产品
x1 x2
x1n x2n
xnn vn mn zn xn
y1 x1 y2 x2
yn xn
xi(i1 2 n)表示第i部门总产品 yi(i1 2 n)表示第i部门的最终产品
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
消耗部门 1 2 n
消 费
一、投入产出法
1、投入产出表（ input-output table ）
“投入”是指从事一项经济活动的消耗，“产出”则是 指该项经济活动的结果.
将一个经济体系（一个国家，一个地区，一个综合企 业等）中的各部门在一个周期（一个月，一个季度或一年 等）内的“投入”与“产出”列成一个表，称为投入产出 表.