高二数学椭圆的定义及其标准方程(供参考)

高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）

学生姓名： 授课教师： 授课时间： 12.21 椭圆及其标准方程

第一部分：基础知识梳理

知识点一 椭圆的定义

平面内到两个定点21F F ，的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫做椭圆。两个定点21F F ，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M 满足集合2a}MF MF {M 21=+=P ，c F F 221=，0,0>>c a 且c a 、都为常数。

当c a >即c a 22>时，集合P 为椭圆。

当c a =即c a 22=时，集合P 为线段21F F 。

当c a <即c a 22<时，集合P 为空集。

知识点二 椭圆的标准方程

（1）)0(122

22>>=+b a b

y a x ，焦点在x 轴上时，焦点为)0,(c F ±，焦点c F F 221=。 （2）)0(122

22>>=+b a b

x a y ，焦点在y 轴上时，焦点为),0(c F ±，焦点c F F 221=。 知识点三 椭圆方程的一般式

这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：

C By Ax =+22（其中C B A 、、为同号且不为零的常数，B A ≠），它包含焦点在x 轴或y 轴上两种情形。方程可变形为12

2=+B

C

y A C x 。 当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

一般式，通常也设为12

2=+By Ax ，应特别注意B A 、均大于0，标准方程为11

12

2=+B y A x 。 知识点四 椭圆标准方程的求法

1. 定义法

椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例1、 在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为c b a 、、，且B （-1,0）C （1,0），求满足c a b >>，且c a b 、、成等差数列时，顶点A 的曲线方程。

变式练习 1.在△ABC 中，点B （-6,0）、C （0,8），且C A B sin sin sin 、、成等差数列。

（1）求证：顶点A 在一个椭圆上运动。

（2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2. 待定系数法

首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数b a 、表示出来，然后结合问题的条件，建立参数b a 、满足的等式，求得b a 、的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。 例2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P （3,0），a =3b ，求椭圆的标准方程。

例3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3()1,6(21--P P 、，求椭圆方程。 变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程;

(1)两个焦点分别是（-3,0），（3,0）且经过点（5,0）.

（2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.

3.已知椭圆经过点），（336和点），（13

22，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点）

，（），，（2

1-03131Q P 的椭圆标准方程。 知识点五 共焦点的椭圆方程的求解 一般地，与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设其方程为)(1222

22b k k

b y k a x ->=+++。 例4、 过点（-3,2）且与14

92

2=+y x 有相同焦点的椭圆的方程为（ ） A. 1101522=+y x B.110022522=+y x C.1151022=+y x D. 1225

1002

2=+y x 变式练习 5.求经过点（2，-3）且椭圆36492

2=+y x 有共同焦点的椭圆方程。

知识点六 与椭圆有关的轨迹问题的求解方法

与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点),(y x P 和已知曲线上一点),(00y x M ，建立其关系，再代入。