导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
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翻 豳 苣 ｌ ｉ 餮 ｌ … 一 … 、 一 一 … … … … … … 一 一 ～ 一 一 一 … … ～ … … … … … ＼
思索 前 后 两个 函 数 都 有 一 个
ａ
形 式 可 以分 成 ａ ＝ ０ ， ａ ＞ Ｏ ， ａ ＜ Ｏ 三 种 情 况进行 讨论 ． 通过 数形 结合进行 选择 ．
合 的 思 想 和 转 化 变 换 的 思 想 研 究
重 点 ：了解 函数 单 调 性 和 导 数 的 关 系 ．能 利 用 导数 研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 函数 的单 调 区 间 ； 了解 函 数 在某 点取 得 极 值 的 必要 条 件 和充 分条件 ； 会 用 导 数 求 函 数 的极 大值 、
基 础 知识 进 行 考 查 的 同 时 ，还 注重
结到位 ． 并 不 断进 行训 练． ３ ．要 加 强 交 汇 ．注 意 导 数 与 函
出一 个 “ 用” 字， 其 中利 用 导 数 判 断 单 调性 起 着 基 础 性 的 作 用 ，对 导 数
数、 方程 、 不 等 式 等 知识 的 交 汇，由 导 数 方法 研 究 方 程 、 不等式时 ， 一 般
是 先 构造 一 个 函数 ，这 里要 考 虑是
在 解 决 函数 单 调 性 、 最值、 极 值 等方
面 的应 用 ． 要做到抓 主线 ， 攻重点 ， 熟 知方 法 ， 并 不 断 进行 训 练 ．要 注 意
考 查 能力 ， 特 别 是 解 导 数解 答 题 ， 往
往 要 站在 数 学 思 想 方 法 的 高 度去 考 虑 问题 ．对 求 解 目标 的理 解 应 该 如
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
利用导数研究函数的性质
（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
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导数在研究函数中得应用(1)
一、教学目标
1、理解函数得单调性与导数得关系；会利用导数研究函数得单调性。
2、会用导数求不超过三次得多项式函数得极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次得多项式函数最大值、最小值。
3、理解函数在某点取得极值得条件；
二、知识梳理
１、给出下列命题：
①若在区间上就是增函数,都有
②若在区间上可导,则必为上得单调函数
③若对任意,都有，则在上就是增函数
④若可导函数在区间上有，则区间上有
其中真命题得序号就是
2、下列结论中正确得就是
①若，则就是函数得极值
②若在内有极值，则在内不就是单调函数
③函数得极小值一定小于它得极大值
④在定义域上最多只能有一个极大值与一个极小值
3、求函数在最值得一般步骤为：(1）；（2）；（3）。
三、诊断练习
题1:函数得单调减区间就是__________．
题2。
函数有极 ___值_____.
题3.函数得最大值就是________、
题４。
函数在处取得极小值.
要点归纳
（1）要熟悉求函数单调区间、求极值得一般步骤方法，如诊断练习题１、题2
（２)分析原函数、导函数得图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数得正负决定原函数得增减”。
遵循此规律，函数得增减性、极值情况一目了然.
四、范例导析
例1、已知函数、（1）判断函数得奇偶性;（2）求函数得单调区间、
【变式】：已知函数，求函数得单调区间。
例2：设函数,已知就是奇函数。
(１）求、得值。
(2）求得单调区间与极值。
例3：已知函数，其中ｅ就是自然对数得底数、
（1)证明:就是Ｒ上得偶函数；
（2)若关于得不等式≤在上恒成立,求实数得取值范围；
注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理得范围。
变式：已知函数。
（１）若函数在上就是增函数,求得取值范围;
（2)若在时取得极值，且时，恒成立，求得取值范围。
五、解题反思
1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时,具有一般性与有效性。
运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数得单调区间、最值问题。
牢记求导公式就是根本,同时一定要熟练掌握求单调区间,求极值、最值得解题基本步骤.如例1
2、要注意函数在处取得极值得充要条件，体会就是函数在区间上单调递增得充分不必要条件，注意端点处情况得讨论.如例３得第（1）问。
3、求字母参数得取值范围问题,可考虑生成一个恒成立得不等式，最终转化为函数求最值问题。
如诊断练习４，例3第（２)问。
4、要会读图、识图。
要搞清楚原函数图像与其导函数图像之间得相互关系,这对概念得理解、作三次函数得简图等都大有裨益。
课后作业
1、函数y＝1
x＋2lｎx得单调减区间为_＿__＿＿__。
2、若函数f(x）＝e x－ax在x＝1处取到极值,则ａ=_____＿__.
３、函数f (x)＝sinx＋错误!ｘ在区间[0，２π］上得值域为_____＿__.
4、已知函数f（x）＝－＼f（1，2)ｘ2+blnｘ在区间[错误!，＋∞）上就是减函数,则b 得取值范围就是＿_______。
５、已知函数ｆ（x)=alｎｘ-ax—3（a∈R）.
(1) 当a>0时，求函数f(x）得单调区间；
(２）若函数y＝f(x)得图象在点（2，f(2)）处得切线得倾斜角为45°，且函数g（x）=错误!x2＋nｘ＋mf′（x）(m，n∈R）当且仅当在x=１处取得极值,其中f′（x)为ｆ(x）得导函数，求m得取值范围。
6、已知函数f（x）＝ax+lｎx,x∈（１，e),且f(ｘ）有极值.
（１）求实数a得取值范围;
（2) 求函数f(x）得值域。