函数的周期性常见结论归类
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
函数的周期性常用定理、结论
函数的周期性⑴ 概念：当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。
1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T 是函数的一个周期.T 的整数倍也是函数的一个周期. ⑵抽象函数周期性结论：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；对数函数与指数函数图像_8 _6 _4 _2 _- 2 _- 4 _- 5 _5 _ 10 _b _ = _2 . 01 _a _ = _0 . 50_8_6_4_2_b_= _3.00_-5_5_10_a_= _0.33_-2_-4友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
函数周期性的几个重要结论
函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=抽象函数的对称性1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±)(1x f T=2a ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b| 证明：令x=x-b 得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)?因为关于x=a 对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a 所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a 得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b(当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=f[a-(x+a-2b)]=f(2b-x)=f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)f(2b-x)=-f(x )f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称。
函数的周期性常见结论归类
函数的周期性常见结论归类四川省苍溪实验中学校 周万勇一.周期函数的定义：设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有()()f x T f x +=，则称()y f x =为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
二.常见结论 (约定a>0)（1）()()f x f x a =+，则()f x 的周期T a =；（2）()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或1()(()0)()f x a f x f x +=≠，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则()f x 的周期2T a =； 1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.（3）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （4）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. （5）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.（6）若()()f a x f a x +=--且f(x)是偶函数,则()y f x =是周期为4a 的周期函数；若f(x) 是奇函数,则()y f x =是周期为2a 的周期函数。
（7）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. （8）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（9）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. (10)1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =； (11)121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，或()()f x a f x +=-－a 则()f x 的周期T=4a ；（证明方法：令12,x x x a ==） (12)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则()f x 的周期5T a =；证明：()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ++++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++令x x a =+，则()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a +++++++++()(2)(3)(4)(5)f x a f x a f x a f x a f x a =+++++两式做差得：(5)()[(5)()][()(2)(3)(4)]f x a f x f x a f x f x a f x a f x a f x a +-=+-⋅++++ 整理[(5)()][()(2)(3)(4)1]0f x a f x f x a f x a f x a f x a +-⋅++++-=若(5)()0f x a f x +-=则(5)()f x a f x +=证毕否则()(2)(3)(4)1f x a f x a f x a f x a ++++=，这不可能。
函数的周期性常用定理、结论
. 函数的周期性⑴概念：当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现。
1.周期函数的定义：对于()f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()f x T f x+=恒成立，则称函数()f x具有周期性，T叫做()f x的一个周期，则kT（,0k Z k∈≠）也是()f x的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.⑵抽象函数周期性结论：函数()y f x=满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,①()()f x f x a=+，则()y f x=是以T a=为周期的周期函数；②()()f x a f x+=-，则()x f是以2T a=为周期的周期函数；③()()1f x af x+=±，则()x f是以2T a=为周期的周期函数；④()()f x a f x a+=-，则()x f是以2T a=为周期的周期函数；⑤1()()1()f xf x af x-+=+，则()x f是以2T a=为周期的周期函数.⑥1()()1()f xf x af x-+=-+，则()x f是以4T a=为周期的周期函数.⑦1()()1()f xf x af x++=-，则()x f是以4T a=为周期的周期函数.⑧函数()y f x=满足()()f a x f a x+=-（0a>），若()f x为奇函数，则其周期为4T a=，若()f x为偶函数，则其周期为2T a=.⑨函数()y f x=()x R∈的图象关于直线x a=和x b=()a b<都对称，则函数()f x是以()2b a-为周期的周期函数；⑩函数()y f x=()x R∈的图象关于点()0,A a y、()0,B b y()a b<都对称，则函数()f x是以()2b a-为周期的周期函数；⑾函数()y f x=()x R∈的图象关于()0,A a y和直线x b=()a b<都对称，则函数()f x是以()4b a-为周期的周期函数；对数函数与指数函数图像_8_6_4_2_-2_-4_-5_5_10_b_= _2.01_a_= _0.50._8_6_4_2_- 2 _- 4_- 5 _5 _ 10 _b _ = _3 . 00 _a _ = _0 . 33。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x) T=2a② f(x+a)=±)(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得：f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+tf(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)]=f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b)证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)) f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结 ① fx+a=-fx T=2a② fx+a=±)(1x f T=2a ③ fx+a=fx+b T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 fx-b+a=fx-b+b fx-b+a=fx 根据公式fx=fx+T=fx+nT 得 T=-b+a 即a-b④fx 为偶函数,且关于直线x=a 对称,T=2a证明：fx+2a =f-x=fx证明：因为 偶函数,所以 f-x=fx 因为 关于x=a 对称所以 fa+x=fa-x 对称性质设 x=x+a 所以 fx+2a=fx 所以 周期T=2a ⑤fx 为奇函数,且关于直线x=a 对称,T=4a证明：fx+2a =f-x=-fx 根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以fa+x=fa-x 令x=x+a 得：fx+2a=f-x 又fx= - f-x 故fx= - fx+2a 代换x=x+2a 得：fx+2a= - fx+4a 即得fx=fx+4a 于是函数fx 的周期为4a⑥fx=fx+a+fx-a 有三层函数,用递推的方法来证明;fx+a=fx+2a+fxfx+2a=-fx-a 换元：令x-a=t 那么x=a+tft+3a=-ft 根据①可知T=6a⑦fx 关于直线x=a,直线x=b 对称,T=2|a-b|证明：fa+x=fa-xfb+x=fb-x假设a＞b 当然假设a ＜b 也可以同理证明出T=2a-b现在只需证明fx+2a-2b=fx 即可fx+2a-2b=fa+x+a-2b =fa-x+a-2b=f2b-x=fx⑧fx 的图像关于a,0 b,0对称,T=2a-2ba ＞b证明：根据奇函数对称中心可知：fa+x=-fa-xfb+x=-fb-x fx+2a-2b=fa+x+a-2b=-fa-x+a-2b=-f2b-x=fx 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称。
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函数的周期性常见结论归类
四川省苍溪实验中学校周万勇
一.周期函数的定义：
设函数y = f(x)的定义域为D,若存在常数 T M 0,使得对一切x € D,且x+T € D时都有f(x T)二f(x)，则称y二f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫这个函数的周
期。
二.常见结论(约定a>0)
(1)f(x) f(x a)，则f(x)的周期T =a ;
(2) f (x a)二一f (x)，或f (x a)二f (x-a)或f (x a)二f1x)(f (xp= 0)，或
f(x a) =-fxj(f(x) = 0),则f(x)的周期T =2a ；f(x a) = ： _ f(：)，则f(x)是
以T =2a为周期的周期函数.
(3)f(x a) = - f(x)，则f(x)是以T =4a为周期的周期函数•
1 + f (x)
(4)f(x a) = 1 f(x)，贝V f(x)是以T =4a为周期的周期函数•
1 - f (x)
(5)函数y = f(x)满足f(a + x) = f(a - x) ( a A0)，若f(x)为奇函数，则其周期为T =4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T =2a.
(6 )若f(a • x) f(a -x)且f(x)是偶函数,则y二f(x)是周期为4a的周期函数；若f(x) 是奇函数，则y二f(x)是周期为2a的周期函数。
(7) 若函数f x在R上满足f(a，x)=fa「x，且f(b，x)=fb「x (其中a^b)，则函数
y=f(x 以2(a — b)为周期.
(8) 若函数f x 在 R 上满足f(a，x) fa-x，且f(b，x)二-fb-x (其中a式b),则函数y = f (x 以2(a - b)为周期.
(9) 若函数f x 在 R 上满足f(a •x) = fa-x，且f (b • x)二- f b「x (其中a式
b)，则函数y=f(x 以4(a—b)为周期.
(10) f(x) =1 _ f^1a)(f(x) =0)，则f(x)的周期T =3a ；
(11) f(X1 xd =序仁)；、：2))且f(a) =1(f(xd f(X2) = 1,0 IX1-X2I 2a)，或
f (x a^ f(x- a)则f(x)的周期 T=4a；(证明方法：令x^x, x^a )
(12) f(x) f(x a) f(x 2a) f(x 3a) f(x 4a) f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),则f(x)的周期T =5a ;
证明：f(x) f(x a) f(x 2a) f(x 3a) f(x 4a) = f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a) 令x = x a，贝U f (x a) f(x 2a) f (x 3a) f(x 4a) f(x 5a)
二f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a)f(x 5a)
两式做差得：
f(x 5a) - f (x) =[f (x 5a) - f(x)] [f(x a)f(x 2a)f (x 3a) f(x 4a)] 整理[f(x 5a) 一f(x)] [f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a)-1] = 0 若f (x 5a) - f (x) = 0 贝U f (x 5a)二f (x)证毕
否则f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a) =1，这不可能。
举个反例：分段函数f(x)Wa：監I)，X的定义域是一系列的点,
f (x)也是符合题意的。
(13) f(x a) = f (x) - f(x a)，则f (x)的周期T = 6a .
(14) 周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)=a(x・R)；
(15) 周期函数的定义域是无界的；
(16) 若T为y = f(x)的周期，贝y nT(n・Z且n = 0)也是y=f(x)的周期
(17) 若函数f(x)恒满足f(x+a)= f(x + b)，贝U f(x)是周期函数，2 a —b是它的一个周期；
推论：若函数f(x)恒满足f (x - a)二-f (x - b) (a = b)，贝U f (x)是周期函数，
2 a — b是它的一个周期；
三、主要方法：
1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有f(x TH f(x);二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义
域均为无限集•
2 •解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。