变上限定积分及微积分基本定理
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变上限定积分及微积分基本定理
dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
x
x
f (t)dt xf ( x) xf ( x) f (t)dt
1
1
第6页/共15页
推广1： 若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [ ( x )] ( x )
dx a
推导：设( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
a
d du f (u)( x)
a
f [ ( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x )] ( x) f [ ( x )] ( x)
1 e t 2 dt
lim
x0Biblioteka cos xx2(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x)
2x
1 2e
(
lim x
x et2dt)2
0
x e2t2dt
0
()
lim x
2
x et2dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
第8页/共15页
定理1（p119）（微积分基本定理）
证
x x
( x x) a f (t)dt
( x x) ( x)
( x)
微积分的基本公式_2022年学习资料
2.微积分基本公式-如果f∈C[a,b],则ftdt为fx在[a,b]上-的一个原函数-若已知Fx为fx的 函数，则有-∫fdt=Fx+Co.-令x=a,则0=∫fdt=Fa+C,故C。=-Fa-取x=b,则得到fodufodx=ro-ra
定理-牛顿一莱布尼茨公式-若fx∈C[a,b],Fx为fx在[a,b]上的-一个原函数，则-["fxdx= x"=Fb-Fa.-将定积分的计算与求原数的计算联系起来了
定理2-若fx∈C[a,b,则Fx=∫fdt在[a,b]-上可导，且-F'=-fadr-fo-a≤x≤b.
定理3-若fx∈R[a,b],且在点x,∈[a,b]处连续-则Fx=ftdt在点x处可导，且F'xo=fx .-在端点处是指的左右导数
例1-easrdry-dIcosdr-cosx-Fx-cosxdx'=？-/-定积分与积分变量的记号无关. cosxdx'=cosx.
定积分的计算-问题转化为已-知函数的导函-数，求原来函数-的问题.
例5-sin x'=cosx,-π -[2cosxdx=sinx2=-sin 0=1.-问题的关键是如何求一 -函数的原函数，
例6-cnantn-unslan--兀-2-●-sinO=
例7-计算∫1+cos2xdx.-去绝对-值符号如果-是分段函数-解-o+cos2xdx=f2cosdx利用积分-的性质将积-分分成几个-怎么办？方201cos1dx-部分的和的-形式--cd+cd.x-=v2 inx-2sinx=2v2.
积分上限函数的几何意义-y-y-a-xx-b-X-曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化.
由积分的性质：fxdx=-∫公fxdx,有-∫fodr=-∫fodt.-所以，我们只需讨论积分上限函数.fdr称为积分下限函数
计算定积分的一般方法-微积分基本定理
§2计算定积分的一般方法
微积分基本定理
• 前面介绍了不定积分的概念与性质，指出了不定 积分与定积分之间的区别。
• 牛顿和莱布尼兹最先发现了微分和积分的内在关 系，找到了定积分与不定积分之间的联系，因此 创立了微积分学。
2.1 微积分学基本定理
1
例1 计算 x4dx 0
例2 计算
3 dx 1 1 x2
2
例3 计算 sin2x cos xdx 0
① 变上限的定积分的定义
② 变上限定积分的性质
连续函数的原函数存在定理
• (1) 上述定理
③ 微积分基本定理的证明
例1 求
d
x
cos(1 t2)dt
dx 0
例2 求 d 1 1 tdt dx x
x
cos3 tdt
例3 求极限 lim 0 x0 2x
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx
-a
0
(2)若f (x)在[-a, a]上连续且为奇函数，则
a
f (x)dx 0
-a
定理2 定积分分部积分法
设u(x), v(x)在[a,b]上具有连续导数的函数，则
b
b
uvdx
(uv)
b a
uvdx
a
a
b
b
或
u
dv
(uv)
b a
vdu
a
a
这就是定积分的分部积分公式.
以下条件：
或t [, ]
(1) :() a, ( ) b, 且a (t) b, t [, ].
(2) : 在[, ]上有连续导数(t),则有定积分换元公式
b 或[， ]
f (x)dx f ((t))(t)dt.
微积分基本定理
• 前面介绍了不定积分的概念与性质，指出了不定 积分与定积分之间的区别。
• 牛顿和莱布尼兹最先发现了微分和积分的内在关 系，找到了定积分与不定积分之间的联系，因此 创立了微积分学。
2.1 微积分学基本定理
1
例1 计算 x4dx 0
例2 计算
3 dx 1 1 x2
2
例3 计算 sin2x cos xdx 0
① 变上限的定积分的定义
② 变上限定积分的性质
连续函数的原函数存在定理
• (1) 上述定理
③ 微积分基本定理的证明
例1 求
d
x
cos(1 t2)dt
dx 0
例2 求 d 1 1 tdt dx x
x
cos3 tdt
例3 求极限 lim 0 x0 2x
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx
-a
0
(2)若f (x)在[-a, a]上连续且为奇函数，则
a
f (x)dx 0
-a
定理2 定积分分部积分法
设u(x), v(x)在[a,b]上具有连续导数的函数，则
b
b
uvdx
(uv)
b a
uvdx
a
a
b
b
或
u
dv
(uv)
b a
vdu
a
a
这就是定积分的分部积分公式.
以下条件：
或t [, ]
(1) :() a, ( ) b, 且a (t) b, t [, ].
(2) : 在[, ]上有连续导数(t),则有定积分换元公式
b 或[， ]
f (x)dx f ((t))(t)dt.
变限积分的性质
变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。
本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。
通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。
关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。
下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。
1. 变限积分的概念与理解1.1变限积分的定义[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。
微积分基本定理
0 f (t )dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用 例2
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用 例3
回忆
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
求蓝色部分面积
y
1 1 x2
微积分基本定理应用 例3
蓝色部分面积
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
变上限积分
x3 0 e2 x 3 |1 |0 3 2 e6 1 2 6
在该区间上它的原函数一定存在.
例 1 (1) 已知 ( x)
解
x
1
e dt , 求 (x).
t2
根据定理4. 1，得
( x)
e dt e
x t
2
x2
1
.
d x2 1 (2) 求 1 1 t 4 dt dx
d x2 1 1 2x 2 ' 解 1 1 t 4 dt 1 ( x2 )4 ( x ) 1 x8 dx
3
0
f ( x )dx
1
3
0
4 3
xdx e x dx
1
1
3
3 x 4
( e )
0
x
3 1
3 e2 1 3 . 4 e
请在草稿纸上练习书上例题： 例4 求定积分 解
1
0
(sin x 2e3 x )dx
1
0
(sin x 2e3 x )dx
a c
c
b
即 当点 c 不介于 a 与 b 之间， c < a < b 或 a < b < c 时， 结论仍正确.
补充例题
1
计算下列定积分.
ex (1) dx; ( 2) 4cos2 xdx . 1 1 e x 6 1 1 1 ex d(1 e x ) (1) dx 1 解 1 1 e x 1 ex
n
( x )dx
b
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx.
6.2微积分基本定理
sin x ⋅ e = lim x→0 2x
1 = . 2e
例：求 y = ∫0
x
sin t 上的极值。 上的极值 dt 在(-1,1)上的极值。 1+ t
sin x 解： ' = y , 令 y ' = 0, 得 x = 0. 1+ x
cos x(1 + x ) − sin x y '' = , y ''(0) = 1 > 0, 2 (1 + x )
2
(∫ 2 cos t dt )' = ( ∫ cos t dt + ∫ cos t 2 dt )' x x 0
2
0 2
2
x3
x3
= ( − ∫ cos t 2 dt + ∫ cos t 2 dt )&#os x 4 + 3 x 2 cos x 6 .
注： (∫v( x) f (t )dt )' = f (u( x))u'( x) − f (v( x))v '( x).
∫ 例：求 lim
x→ 0
1 cos x
e x
− t2 2
dt .
解： 原式= 原式
0 ( 0 lim
x→0
∫
1
cos x
e dt )'
2
−t2
( x )'
− cos 2 x
= lim
x →0
−( ∫
cos x
1
e dt )'
−t2
2x
= lim
x→0
−e
⋅ (cos x )' 2x
− cos 2 x
26-微积分的基本公式
2 cos x d x
2 | cos x | d x
0
去绝对 值符号(如果 是分段函数， 则利用积分 的性质将积 分分成几个 部分的和的 形式.)
2 cos x d x 2
2 0
( cos x) d x
2
2sin x
2 0
2sin x
2
2 2.
2
故 F ( x) sin 2 x , G( x) cos2 x
都是 f ( x) sin 2 x 的原函数 .
验证 F ( x) G ( x) C :
sin 2 x ( cos2 x) sin 2 x cos2 x 1
即 C 1.
定理
若 f ( x) 在区间 I 上的原函数存在 , 则它
a
x
x [a, b] , 且 x x [a, b] , 则
( x) ( x x) ( x)
x x a
f (t ) d t f (t ) d t
a
x
x x x
f (t ) d t
又 f ( x) R([a, b]), 故 f ( x) 在 [a, b] 上有界： f ( x) | M . |
由 ( x) f (t ) d t 及 ( x) f ( x) 你会想到什么？
a
x
若 F ( x) 存在, 则 ( F ( x) C ) F ( x) f ( x) .
这样的 F ( x) 若存在, 则必有无穷多个.
若 F1( x) f ( x), F2( x) f ( x), 则 F1 ( x) F2 ( x) C.
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c
(x)
f (t)dt f (t)dt
(x)
(x)
c
(x)
f (t)dt
(x)
f (t)dt
c
c
d ln x arctan 4xdx dx x3
1 arctan 4ln x 3 x2arctan4x3 x
题型2：洛必答法则求极限（及分段函数的连续性和可导性）
1 e t 2 dt
lim
x0
cos x
定 理 2 如 果 f (x)C[a,b] ， 则 变 上 限 积 分
x
( x) a f (t)dt D[a,b]，且它的导数是
( x)
d dx
x
a
f
(t )dt
f
(x)
(a
x
b)
即( x)为f ( x)的一个原函数
微积分学第（一连基续本函数定的理原－函数－一－定存原在函y）数存在定理
证
( x
dx a
推导：设 ( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
d
du
a
f (u)( x)
a
f [( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
dx ( x)
原理：
(x)
f (t)dt
即 I 1 2I , I 1 ，
2
2
f (x) x 1 .
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
题型1：积分上限函数求导
d
dx
x t 2dt
1
x2
d x t 2 sin tdt x2 sin x
dx 1
d x x2 sin tdt x2 sin x ?
dx 1
x)
xx
a
f
(t )dt
( x x) ( x)
x x
x
o
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
oa
f ( )x [x, x x],
x2
(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x) 1
2x
2e
(
lim x
x et2dt )2
0
x e2t2 dt
0
()
lim x
2
x et2 dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
定理1（p119）（微积分基本定理）
若 f ( x) C[a,b], F( x) f ( x)
d x x2dx
dx 1
d x x2dt
dx 1
d x x2dx x2
dx 1
d
x x2dt d x2
x
dt 2x
x
dt
x21
dx 1
dx 1
1
d
x x2 sin tdt
d
x2
x
sin tdt
dx 1
dx 1
2x
x
sin tdt
x 2 sin
x
1
d
x
( x t ) f (t )dt
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
积分中值公式的几何解释：
(a b)
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sin xdx
0
y
o
cos
x
0
2.
x
1
例 设 f (x)是连续函数, 且 f ( x) x 2 f ( x)dx , 0 求 f (x) .
解
设
1
f ( x)dx I ,
于是 f ( x) x 2I ,
0
两边在[0, 1]上积分,
1
1
1
0 f ( x)dx 0 x dx 2I 0 dx ,
x2 0
3
. 2
例
7
| x - 2 |dx
0
原式=
2
| x 2 |dx
7
| x 2 |dx
2
(2 x)dx
7
( x 2)dx
0
2
0
2
例
求
1 1 dx.
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln
|
x
|
Hale Waihona Puke 1 2ln 1ln
2
ln 2.
例 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
F ( x)ba
微积分基本公式实质：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a
) 仍成立.
例
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
则
b
f ( x)dx
a
[F ( x)]ba F(b) F(a)
微积分学第二基本定理－－－Newton-Leibniz 公式
（不定积分和定积分的关系）
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f
(t )dt 也是
f
( x) 的一个原函数,
F(x) (x) c x [a,b]
dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t )dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t )dt
dx 1
dx 1
x
x
1 f (t)dt xf ( x) xf ( x) 1 f (t)dt
推广1： 若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [( x)]( x)
二、变上限积分
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a, b]上的一点，考察定积分
x
a f (t)dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a, b]上定义了一个函数，
记
x
( x) a f (t)dt.
变上限积分（积分上限函数）
令 x a F(a) (a) c,
又Q (a)
a
f (t)dt 0
a
F(a) c,
x
Q F ( x) a f (t)dt c,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)